Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (9 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Pythagorean.svg|jmpl|260x260px|'''Teori Pythagoras'''<br/>Jumlah area dari dua
Dalam matematika, '''teorema''' '''
▲[[Berkas:Pythagorean.svg|jmpl|260x260px|'''Teori Pythagoras'''<br/>Jumlah area dari dua kotak pada kaki (a dan b) sama dengan luas kotak pada sisi miring (c).]]
▲Dalam matematika, '''teorema''' '''Pythagoeran''', juga dikenal sebagai '''teorema Pythagoras''', adalah hubungan mendasar dalam [[geometri Euclidean]] di antara tiga sisi [[segitiga siku-siku]]. Ini menyatakan bahwa luas kotak yang sisinya adalah [[sisi miring]] (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kotak di [[Cathetus|dua sisi lainnya]]. Teorema ini dapat ditulis sebagai [[persamaan]] yang menghubungkan panjang sisi ''a'', ''b'' dan ''c'', sering disebut "persamaan Pythagoras":<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63|title=Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems|last=Sally|first=Judith D.|date=2007-01-01|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-7267-3|language=en}}</ref>
:<math>a^2 + b^2 = c^2 ,</math>
Baris 13 ⟶ 12:
Dua kotak besar yang ditunjukkan pada gambar masing-masing berisi empat segitiga identik, dan satu-satunya perbedaan antara dua kotak besar adalah bahwa segitiga diatur secara berbeda. Oleh karena itu, ruang putih dalam masing-masing dari dua kotak besar harus memiliki luas yang sama. Menyamakan luas ruang putih menghasilkan teorema Pythagoras, Q.E.D.
Heath memberikan bukti ini dalam komentarnya tentang Proposisi I.47 dalam ''Elemen Euclid'', dan menyebutkan proposal Bretschneider dan Hankel bahwa Pythagoras mungkin telah mengetahui bukti ini. Heath sendiri lebih menyukai proposal yang berbeda untuk bukti Pythagoras, tetapi mengakui dari permulaan diskusinya "bahwa literatur Yunani yang kita miliki milik lima abad pertama setelah Pythagoras tidak berisi pernyataan yang menyebutkan hal ini atau penemuan geometrik besar lainnya kepadanya."<ref name="Pythagorean theorem">{{Cite journal|date=2020-05-26|title=Pythagorean theorem|url=https://en.wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Pythagorean_theorem&oldid=958899723|journal=Wikipedia|language=en}}</ref> Beasiswa terbaru telah menimbulkan keraguan yang semakin besar pada segala jenis peran untuk Pythagoras sebagai pencipta matematika, meskipun perdebatan tentang ini terus berlanjut.<ref>{{Cite journal|last=Huffman|first=Carl|date=2005-02-23|title=Pythagoras|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/pythagoras/}}</ref>
== Bentuk-bentuk teorema lainnya ==
Baris 37 ⟶ 36:
== Bukti teorema lainnya ==
Teorema ini mungkin memiliki bukti lebih dikenal daripada yang lain (hukum timbal balik kuadrat menjadi pesaing lain untuk perbedaan itu); buku ''The Pythagoras Proposition'' berisi 370 bukti.<ref
=== Bukti menggunakan segitiga serupa ===
Baris 43 ⟶ 42:
Bukti ini didasarkan pada [[Kesebandingan (matematika)|Kesebandingan]] sisi-sisi dari dua segitiga yang sama, yaitu, pada kenyataan bahwa [[rasio]] dari setiap dua sisi yang sesuai dari segitiga yang sama adalah sama terlepas dari ukuran segitiga.
Biarkan ''ABC'' mewakili segitiga siku-siku, dengan sudut kanan terletak di ''C'', seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar [[Ketinggian (segitiga)|ketinggian]] dari titik ''C'', dan dikatakan ''H'' persimpangan dengan sisi ''AB''. Titik ''H'' membagi panjang sisi miring ''c'' menjadi bagian ''d'' dan ''e''. ''ACH'' segitiga baru [[Kesamaan (geometri)|sama]] dengan segitiga ''ABC'', karena mereka berdua memiliki sudut kanan (menurut definisi ketinggian), dan mereka berbagi sudut pada ''A'', yang berarti bahwa sudut ketiga akan sama di kedua segitiga juga, ditandai sebagai θ pada gambar. Dengan alasan yang sama, segitiga ''CBH'' juga mirip dengan ''ABC''. Bukti kesamaan segitiga membutuhkan [[postulat segitiga]]: jumlah [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]] segitiga adalah dua sudut kanan, dan setara dengan [[postulat paralel]]. Kesamaan segitiga menyebabkan rasio kesetaraan dari sisi yang sesuai:
:<math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ dan } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>
Baris 62 ⟶ 61:
Peran bukti ini dalam sejarah adalah subjek banyak spekulasi. Pertanyaan mendasarnya adalah mengapa Euclid tidak menggunakan bukti ini, tetapi menemukan yang lain. Salah satu dugaan adalah bahwa bukti dari segitiga yang sama melibatkan teori proporsi, topik yang tidak dibahas sampai nanti dalam ''Elemen'', dan bahwa teori proporsi membutuhkan pengembangan lebih lanjut pada waktu itu.<ref>{{Harv|Maor|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false 39]}}</ref><ref name="Hawking">{{cite book|url=https://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12|title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history|author=Stephen W. Hawking|publisher=Running Press Book Publishers|year=2005|isbn=0-7624-1922-9|location=Philadelphia|page=12}} This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.</ref>
=== Bukti
[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|jmpl|Bukti dalam ''Elemen'' Euclid]]
Secara garis besar, berikut adalah bagaimana bukti dalam ''[[Elemen Euclid|Elemen]]'' [[Euclid]] berasal. Persegi besar dibagi menjadi persegi panjang kiri dan kanan. Sebuah segitiga dibangun yang memiliki setengah luas persegi panjang kiri. Kemudian segitiga lain dibangun yang memiliki setengah luas persegi di sisi paling kiri. Dua segitiga ini terbukti kongruen, membuktikan bahwa persegi ini memiliki area yang sama dengan persegi panjang kiri. Argumen ini diikuti oleh versi yang sama untuk persegi panjang kanan dan persegi yang tersisa. Menempatkan dua persegi panjang bersama-sama untuk mereformasi alun-alun pada sisi miring, luasnya sama dengan jumlah luas dari dua kotak lainnya. Detailnya mengikuti.
Baris 71 ⟶ 70:
# Jika dua segitiga memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, masing-masing untuk masing-masing, dan sudut yang dimasukkan oleh sisi yang sama, maka segitiga adalah kongruen ([[sisi-sudut-sisi]]).
# Luas segitiga adalah setengah luas dari setiap [[jajar genjang]] pada alas yang sama dan memiliki ketinggian yang sama.
# Luas persegi panjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan.
# Luas kotak sama dengan produk dari dua sisinya (mengikuti dari 3).
Baris 77 ⟶ 76:
Selanjutnya, setiap bujur sangkar terkait dengan kongruen segitiga dengan segitiga lain yang terkait pada gilirannya dengan salah satu dari dua persegi panjang yang membentuk kuadrat bawah.<ref>See for example [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Pythagorean theorem by shear mapping] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161014165156/http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html|date=2016-10-14}}, Saint Louis University website Java applet</ref>
[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem2.svg|jmpl|Ilustrasi termasuk garis baru]]
[[Berkas:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem3.svg|jmpl|Menampilkan dua segitiga kongruen dari setengah luas persegi panjang BDLK dan persegi BAGF
Buktinya adalah sebagai berikut:
Baris 110 ⟶ 109:
=== Bukti Einstein dengan diseksi tanpa penataan ulang ===
[[
[[Albert Einstein]] memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan.<ref>{{Cite journal|last=|first=|year=|title=Fraktal, Kekacauan, Hukum Kekuasaan: Menit dari Surga yang Tak Terbatas. Perusahaan Kurir. hlm. 3–4|url=https://en.wiki-indonesia.club/wiki/Special:BookSources/0486134784|journal=Wikipedia|language=en|volume=|issue=|pages=|doi=}}</ref> Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring (lihat [[Teorema Pythagoras#Figur serupa di tiga sisi|Figur serupa di tiga sisi]]). Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.
Baris 151 ⟶ 150:
: <math>\int y \, dy=\int x \, dx\,,</math>
memberikan
: <math>y^2=x^2+C.</math>
Baris 164 ⟶ 163:
=== Bentuk serupa di tiga sisi ===
Generalisasi teorema Pythagoras yang melampaui bidang bujur sangkar pada tiga sisi hingga [[Kesamaan (geometri)|bentuk yang sama]] diketahui oleh [[Hippocrates of Chios]] pada abad ke-5 SM, dan dimasukkan oleh [[Euclid]] dalam buku ''[[Euclid's Elements|Elements]]'':<blockquote>Jika salah satu memasang angka yang sama (lihat [[geometri Euclidean]]) dengan sisi yang sesuai di sisi segitiga siku-siku, maka jumlah area yang ada di dua sisi yang lebih kecil sama dengan luas area yang ada di sisi yang lebih besar.</blockquote>Perpanjangan ini mengasumsikan bahwa sisi-sisi segitiga asli adalah sisi yang sesuai dari tiga angka yang kongruen (sehingga rasio sisi yang sama antara angka-angka yang sama adalah ''a:b:c'').<ref name="Putz">Putz, John F. and Sipka, Timothy A. "On generalizing the Pythagorean theorem", ''The College Mathematics Journal'' 34 (4), September 2003, pp. 291–295.</ref> Sementara bukti Euclid hanya berlaku untuk [[poligon]] cembung, teorema juga berlaku untuk poligon cekung dan bahkan untuk angka-angka serupa yang memiliki batas melengkung (tetapi masih dengan bagian dari batas gambar menjadi sisi segitiga asli).<ref name="Putz" />
Gagasan dasar di balik generalisasi ini adalah bahwa luas bidang gambar [[Kesebandingan (matematika)|sebanding]] dengan kuadrat dimensi linear apa pun, dan khususnya sebanding dengan kuadrat panjang sisi mana pun. Jadi, jika gambar yang serupa dengan area ''A'', ''B'' dan ''C'' didirikan pada sisi dengan panjang yang sesuai ''a'', ''b'' dan ''c'' maka:
Baris 199 ⟶ 198:
* [[Teorema terakhir Fermat]]
* [[Hukum jajaran genjang]]
* [[Teorema Thales]]
== Bacaan Lebih Lanjut ==
* {{cite book|last= Siswono|first=Tatang Yuli Eko|authorlink=|coauthors=Netty Lastiningsih|title=Matematika 2 SMP dan MTs untuk Kelas VIII|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-666-8 }} {{id icon}}
==
{{Reflist}}
Baris 211:
*{{cite book|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html|title=Elements|last=Euclid, David E. Joyce, ed.|year=1997|accessdate=2006-08-30|origyear=c. 300 BC}} Dalam HTML dengan angka interaktif berbasis Java.
*{{springer|title=Pythagorean theorem|id=p/p075940}}
*[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html History topic: Teorema Pythagoras dalam matematika Babilonia] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110606082111/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html |date=2011-06-06 }}
* Tautan interaktif:
**[http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Bukti interaktif] teorema Pythagoras di [[Java]]
| |||