Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
|||
| (62 revisi perantara oleh 17 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{redirect|Penjumlahan}}
{{Operasi aritmetika}}{{Terjemahan kaku|en|Addition}}[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
'''Penambahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+", adalah salah satu dari empat [[operasi (matematika)|operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[matriks (matematika)|matriks]].
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan [[0 (bilangan)|0]] tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi [[pengurangan]] dan [[perkalian]].
== Notasi dan terminologi ==
[[Berkas:PlusCM128.svg|right|120px|thumb|Tanda plus]]
Penjumlahan ditulis menggunakan [[tanda plus dan minus|tanda plus]] "+" di antara suku-suku tersebut;<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|title=Addition|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/addition.html|access-date=2020-08-25|website=www.mathsisfun.com}}</ref> yaitu, dalam [[notasi infix]]. Hasilnya diekspresikan dengan [[tanda sama dengan]]. Sebagai contoh,
:<math>1 + 1 = 2</math> ("satu tambah satu sama dengan dua")
:<math>2 + 2 = 4</math> ("dua tambah dua sama dengan empat")
:<math>1 + 2 = 3</math> ("satu tambah dua sama dengan tiga")
:<math>5 + 4 + 2 = 11</math> (lihat "asosiatif" [[#Asosiatif|di bawah]])
:<math>3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> (lihat "perkalian" [[#Operasi terkait|di bawah]])
[[Berkas:AdditionVertical.svg|right|thumb|Penjumlahan kolom bilangan pada kolom akan ditambahkan, dengan penjumlahan ditulis di bawah [[garis bawah]] bilangan.]]
Ada pula situasi di mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:
* Bilangan bulat dengan [[pecahan (matematika)|pecahan]] menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut ''bilangan campuran''.<ref>Devine et al. p. 263</ref> Sebagai contoh, <br />{{spaces|6}}<math>3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3,5</math>.<br />Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, [[wikt:jukstaposisi|jukstaposisi]] seperti ini menunjukkan [[perkalian]] sebagai gantinya.<ref>Mazur, Joseph. ''Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers''. Princeton University Press, 2014. p. 161</ref>
Jumlah dari sebuah [[deret (matematika)|deret]] dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui [[notasi Sigma]] yang secara kompak menunjukkan [[iterasi]]. Sebagai contoh,
:<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.</math>
{{anchor|sumand|adend}}
Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagai '''suku''',<ref>Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics. Bagian 5.1</ref> '''tinambah'''<ref name="Shmerko">{{cite book |last1=Shmerko |first1=V.P. |last2=Yanushkevich [Ânuškevič] |first2=Svetlana N. [Svitlana N.] |last3=Lyshevski |first3=S.E. |date=2009 |title=Computer arithmetics for nanoelectronics |publisher=[[CRC Press]] |page=80}}</ref><ref name="Schmid_1974"/><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Addition|url=https://mathworld.wolfram.com/Addition.html|access-date=2020-08-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> atau '''penjumlahan''';<ref>Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38</ref>
terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah.
Dibedakan dari ''faktor'', yaitu [[perkalian]].
Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagai ''augend''.<ref name="Shmerko"/><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=0-471-76180-X |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }} and {{cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid|author-link=Hermann Schmid (ilmuwan komputer) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=reprint of 1st|publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, FL|isbn=978-0-89874-318-0}}</ref><ref name=":1" /> Faktanya, selama [[Renaisans]], banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali.<ref group=lower-alpha>"Addend" bukan kata Latin; dalam bahasa Latin itu harus dikonjugasikan lebih lanjut, seperti dalam ''numerus aaddendus'' "angka yang akan ditambahkan".</ref> Saat ini, karena [[sifat komutatif]] penjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.<ref name="Schwartzman p. 19">Schwartzman p. 19</ref>
[[Berkas:AdditionNombryng.svg|left|thumb|Ilustrasi yang digambar ulang oleh ''The Art of Nombryng'', salah satu teks aritmetika dalam bahasa Inggris pertama, pada abad ke-15.<ref>Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104</ref>]]
[[Tanda plus dan minus|Tanda plus]] "+" ([[Unicode]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&#43;</code>) adalah singkatan dari kata Latin ''et'', yang berarti "dan".<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations, Vol. 1 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.200372 |year=1928 |publisher=The Open Court Company, Publishers |chapter=Asal dan arti dari tanda + dan -}}</ref> Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.<ref name="OED">{{OED|plus}}</ref>
== Interpretasi ==
Penambahan digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik. Bahkan untuk kasus sederhana penambahan [[bilangan asli]], banyak kemungkinan interpretasi dan bahkan lebih banyak lagi representasi visual.
=== Himpunan gabungan ===
[[Berkas:AdditionShapes.svg|right|200px|thumb]]
Interpretasi paling mendasar dari penjumlahan terletak pada himpunan gabungan:
* Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat {{Section link||Bilangan asli}} di bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.<ref>Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".</ref>
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.<ref>''Menambahkannya'' (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."</ref> Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
=== Ekstensi panjang ===
[[Berkas:AdditionLineAlgebraic.svg|right|frame|Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan aljabar 2 + 4 = 6. Translasi oleh 2 diikuti dengan translasi oleh 4 sama dengan translasi oleh 6.]]
[[Berkas:AdditionLineUnary.svg|right|frame|Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan uner 2 + 4 = 6. Translasi oleh 4 ekuivalen dengan empat translasi oleh 1.]]
Interpretasi kedua tentang penjumlahan berawal dari panjang awal dengan panjang tertentu:
* Jika panjang asli panjang dengan jumlah tertentu, panjang akhirnya adalah jumlah dari panjang asli dan panjang.<ref>Mosley, F. (2001). ''Using number lines with 5–8 year olds''. Nelson Thornes. p. 8</ref>
Jumlah ''a'' + ''b'' dapat diartikan sebagai [[operasi biner]] yang menggabungkan ''a'' dan ''b'', dalam arti aljabar, dapat diartikan sebagai penambahan ''b'' lebih banyak unit ke ''a''. Dibawah interpretasi terakhir, bagian dari penjumlahan {{nowrap|''a'' + ''b''}} memainkan peran asimetri, dan operasi {{nowrap|''a'' + ''b''}} sebagai [[operasi uner]] +''b'' ke ''a''.<ref>Li, Y., & [[Glenda Lappan|Lappan, G.]] (2014). ''Mathematics curriculum in school education''. Springer. p. 204</ref> Alih kedua adendemen ''a'' dan ''b'', lebih tepat untuk ''a'' dari '''augend''' dalam kasus ini, karena ''a'' memainkan peran pasif. Tampilan uner berguna saat mendiskusikan [[pengurangan]], karena setiap operasi penjumlahan uner memiliki operasi pengurangan uner terbalik, dan ''sebaliknya''.
== Sifat-sifat ==
[[Berkas:AdditionComm01.svg|right|113px|thumb|4 + 2 = 2 + 4 digambarkan dengan kotak]]
Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jika ''x'' dan ''y'' adalah sembarang bilangan, maka
:<math>x + y = y + x</math>.
[[File:AdditionAsc.svg|left|100px|thumb|2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 digambarkan dengan tabung]]
Penambahan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh dengan [[urutan operasi]]. Misalkan untuk pernyataan <math>x + y + z</math>, jika pernyataan tersebut diartikan sebagai <math>(x + y) + z</math> maupun <math>x + (y + z)</math>, hasilnya akan sama.
:<math>(x + y) + z = x + (y + z)</math>
Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.
===
:Berlaku dengan perkalian atas penambahan. Identitas ini sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>
=== Elemen identitas ===
[[File:AdditionZero.svg|right|70px|thumb|5 + 0 = 5 digambarkan dengan sekarung titik]]
Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''x'' apapun,
:''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''.
Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah ''a'' adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary {{nowrap|1=0 + ''x'' = ''x''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>
===
:Setiap bilangan ''x'', penjumlahan, memiliki '''[[invers penambahan]]''', <math>-x</math>, sehingga <math>x+(-x) = 0</math>.
===
Dalam konteks bilangan bulat, penambahan [[1 (angka)|satu]] juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat ''a'', bilangan bulat {{nowrap|(''a'' + 1)}} adalah bilangan bulat terkecil dari ''a'', juga dikenal sebagai [[fungsi penerus|penerus]] dari ''a''.<ref>Hempel, C.G. (2001). Filosofi Carl G. Hempel: studi dalam sains, penjelasan, dan rasionalitas. hal. 7</ref> Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilai {{nowrap|''a'' + ''b''}} juga dapat dilihat sebagai penerus ke-''b'' dari ''a'', membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya, {{nowrap|6 + 2}} adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
===
Untuk menambahkan [[kuantitas fisik|kuantitas-kuantitas fisik]] dengan [[satuan]], kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.<ref>R. Fierro (2012) ''Mathematics for Elementary School Teachers''. Cengage Learning. Sec 2.3</ref> Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar dari [[analisis dimensi]].
==
=== Kemampuan bawaan ===
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena [[pembiasaan]]: [[bayi]] melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.<ref>Wynn p. 5</ref> Percobaan tersebut dimulai oleh [[Karen Wynn]] pada tahun 1992 yang melibatkan boneka [[Mickey Mouse]] yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' {{nowrap|1 + 1}} menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa {{nowrap|1 + 1}} bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.<ref>Wynn p. 15</ref> Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan [[balita]] yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola [[ping-pong]] dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.<ref>Wynn p. 17</ref>
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama [[primata]]. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan [[terong]] sebagai pengganti boneka), [[monyet rhesus]] dan [[tamarin berkepala kapas]] memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari [[angka Arab]] 0 hingga 4, satu [[simpanse]] dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.<ref>Wynn p. 19</ref> Baru-baru ini, [[Gajah Asia]] telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.<ref>{{cite news |newspaper=The Guardian |last=Randerson |first=James |url=https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |title=Elephants have a head for figures |date=21 August 2008 |access-date=29 March 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402103526/http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |archive-date=2 April 2015 |url-status=live }}</ref>
=== Pembelajaran masa kecil ===
Biasanya, anak pertama menguasai [[menghitung]]. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, ''lima''" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.<ref>F. Smith p. 130</ref> Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, ''lima''." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("[[bilangan ikatan]]"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dan kemudian beralasan bahwa {{nowrap|6 + 7}} adalah 13.<ref>{{Cite book |last=Carpenter |first=Thomas |author2=Fennema, Elizabeth |author3=Franke, Megan Loef |author4=Levi, Linda |author5=Empson, Susan |title=Children's mathematics: Cognitively guided instruction |publisher=Heinemann |year=1999 |location=Portsmouth, NH |isbn=978-0-325-00137-1 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/childrensmathema0000unse_i5h7 }}</ref> Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.<ref name=Henry>{{Cite journal |last=Henry |first=Valerie J. |author2=Brown, Richard S. |title=First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard |url=https://archive.org/details/sim_journal-for-research-in-mathematics-education_2008-03_39_2/page/153 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=39 |issue=2 |pages=153–183 |year=2008 |doi=10.2307/30034895|jstor=30034895 }}</ref>
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.<ref>
Beckmann, S. (2014). Studi ICMI dua puluh tiga: studi matematika dasar pada bilangan bulat. Jurnal Internasional Pendidikan STEM, 1(1), 1-8.
Chicago
</ref> Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.<ref>Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". ''American Educator'', 26(2), 1–18.</ref>
==== Tabel ====
Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! +
! scope="column" | 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
|-
! scope="row" | 0
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
|-
! scope="row" | 1
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|-
! scope="row" | 2
| 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11
|-
! scope="row" | 3
| 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
! scope="row" | 4
| 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
|-
! scope="row" | 5
| 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14
|-
! scope="row" | 6
| 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15
|-
! scope="row" | 7
| 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|-
! scope="row" | 8
| 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17
|-
! scope="row" | 9
| 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18
|}
=== Sistem desimal ===
Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistem [[desimal]] adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:<ref name="FosnotDolk99">Fosnot dan Dolk p. 99</ref>
* ''Sifat komutatif'': Disebutkan diatas, menggunakan pola ''a + b = b + a'' mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
* ''Satu atau dua'': Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya, [[intuisi (pengetahuan)|intuisi]].<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Nol'': Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan; [[masalah kata (pendidikan matematika)|masalah kata]] dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Ganda'': Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua dan [[perkalian]]. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Hampir ganda'': Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dengan menambahkan satu, atau dari {{nowrap|1=7 + 7 = 14}} dengan menguranginya.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Lima dan sepuluh'': Jumlah dari bentuk 5 + {{mvar|x}} dan 10 + {{mvar|x}} biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh, {{nowrap|1=6 + 7 = 13}} dapat diturunkan dari {{nowrap|1=5 + 7 = 12}} dengan menambahkan satu.<ref name="FosnotDolk99"/>
* ''Membuat sepuluh'': Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh, {{nowrap|1=8 + 6 = 8 + 2 + 4 =}} {{nowrap|1=10 + 4 = 14}}.<ref name="FosnotDolk99"/>
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.<ref name=Henry/>
==== Simpan ====
{{main|Simpan (aritmetika)}}
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "[[simpan (aritmetika)|simpan]]" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan {{nowrap|27 + 59}}
¹
27
+ 59
————
86
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.<ref group=lower-alpha>Beberapa penulis berpikir bahwa "simpan" mungkin tidak sesuai untuk pendidikan; Van de Walle (p. 211) menyebutnya "usang dan menyesatkan secara konseptual", lebih memilih kata "perdagangan". Namun, "simpan" tetap menjadi istilah standar.</ref> Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
==== Pecahan desimal ====
[[Pecahan desimal]] dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas.<ref>Rebecca Wingard-Nelson (2014) ''Decimals and Fractions: It's Easy'' Enslow Publishers, Inc.</ref> Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
==== Notasi ilmiah ====
{{main|Notasi ilmiah#Operasi dasar}}
Pada [[notasi ilmiah]], bilangan ditulis dalam bentuk <math>x=a\times10^{b}</math>, dimana <math> a </math> adalah signifikan dan <math>10^{b}</math> adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Sebagai contoh:
:<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>
===Bukan desimal===
{{main|Penambahan biner}}
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner.<ref>Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) ''Dasar-Dasar Sistem Digital Elektronik'' The Fairmont Press, Inc. p. 155</ref> Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
:0 + 0 → 0
:0 + 1 → 1
:1 + 0 → 1
:1 + 1 → 0, simpan 1 (karena 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2<sup>1</sup>))
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
:5 + 5 → 0, simpan 1 (karena 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10<sup>1</sup>)))
:7 + 9 → 6, simpan 1 (karena 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10<sup>1</sup>))
Ini dikenal sebagai ''simpan''.<ref>P.E. Bates Bothman (1837) ''Aritmatika sekolah umum''. Henry Benton. hal. 31</ref> Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
{{brown|1 1 1 1 1 (angka simpan)}}
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
1 0 0 1 0 0 = 36
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 01101<sub>2</sub> (13<sub>10</sub>) dan 10111<sub>2</sub> (23<sub>10</sub>). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan, {{nowrap|1=1 + 1 = 10<sub>2</sub>}}. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan: {{nowrap|1=1 + 0 + 1 = 10<sub>2</sub>}}; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga: {{nowrap|1=1 + 1 + 1 = 11<sub>2</sub>}}. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 100100<sub>2</sub> (36<sub>10</sub>).
===Komputer===
[[Berkas:Opampsumming2.svg|right|frame|Penambahan dengan op-amp. Lihat [[Aplikasi penguat operasional#Penguat penjumlahan|Penguat penjumlahan]] untuk detailnya.]]
[[Komputer analog]] bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan [[tuas]] [[rataan aritmetik|perata-rata]]. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari dua [[poros]], maka ia ditambahkan dengan [[diferensial (otomotif)|diferensial]]. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkan [[tekanan]] dalam dua ruang dengan memanfaatkan [[hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] untuk menyeimbangkan gaya pada rakitan [[piston]]. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog adalah ketika menambahkan dua [[voltase]] (direferensikan ke [[pembumian (listrik)|tanah]]); ini dapat dicapai secara kasar dengan [[resistor]] [[Rangkaian elektronik|jaringan]], tetapi desain yang lebih baik memanfaatkan [[penguat operasional]].<ref>Truitt and Rogers hlm. 1;44–49 dan hlm. 2;77–78</ref>
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasian [[komputer|komputer digital]], dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanisme [[penerus (aritmetika)|penerus]], merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
[[Berkas:BabbageDifferenceEngine.jpg|left|thumb|Bagian dari [[perbedaan mesin]] Charles Babbage termasuk mekanisme penambahan dan pengangkutan]]
[[Swipoa]], juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis di [[Asia]], [[Afrika]], dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan di [[Sumer]].<ref>{{cite book |last=Ifrah |first=Georges |year=2001 |title=The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |location=New York |isbn=978-0-471-39671-0 |url=https://archive.org/details/unset0000unse_w3q2 }} hal. 11</ref>
[[Blaise Pascal]] menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;<ref name="inventor">[[Penambahan#MARG|Jean Marguin]], hal. 48 (1994); Mengutip [[Penambahan#TATON63|René Taton]] (1963)</ref> ia adalah [[mesin penambah]] pertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17<ref>Lihat [[Kalkulator Pascal#Desain bersaing|Desain bersaing]] di artikel kalkulator Pascal</ref> dan komputer digital otomatis paling awal. [[Kalkulator Pascal]] dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakan [[metode komplemen|komplekmen kalkulator Pascal]], yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan. [[Giovanni Poleni]] mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.
[[Berkas:Full-adder.svg|thumb|"[[Penambah (elektronik)|Penambahan penuh]]" rangkaian logika yang menambahkan dua digit biner, ''A'' dan ''B'', bersama dengan input penerus ''C<sub>dalam</sub>'', menghasilkan jumlah bit, ''S'', dan hasil penerus, ''C<sub>keluar</sub>''.]]
[[Penambah biner]] melakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakan [[aritmetika biner]]. Arsitektur paling sederhana adalah penambah dengan simpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain yang bisa melewati simpan; sesuai intuisi manusia, tidak perlu mengitung semua simpan dalam komputasi {{nowrap|999 + 1}}, tetapi bisa melewati sekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.<ref>Flynn and Overman hlm. 2, 8</ref>
<syntaxhighlight lang="c">
// Algoritme iteratif
int tambah(int x, int y) {
int simpan = 0;
while (y != 0) {
simpan = AND(x, y); // AND logis
x = XOR(x, y); // XOR logis
y = simpan << 1; // bitshift simpan ke kiri satu kali
}
return x;
}
// Algoritme rekursif
int tambah(int x, int y) {
return x if (y == 0) else tambah(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}
</syntaxhighlight>
Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadi [[luapan aritmetika]], menghasilkan jawaban yang salah. Luapan aritmetika yang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum dari [[kutu (komputer)|kutu program]]. Kutu luapan seperti ini bisa jadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.<ref>Joshua Bloch, [http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html "Ekstra, Ekstra – Baca Semua Tentang Ini: Hampir Semua Pencarian Biner dan Penggabungan Rusak"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160401140544/http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html |date=2016-04-01 }}. Blog Riset Google Resmi, 2 Juni 2006.</ref> [[Masalah tahun 2000]] adalah serangkaian kutu di mana kesalahan luapan terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.<ref>{{cite journal |url=http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |title=The Risks Digest Volume 4: Issue 45 |journal=The Risks Digest |access-date=2015-03-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141228211038/http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |archive-date=2014-12-28 |url-status=live |last1=Neumann |first1=Peter G. }}</ref>
== Penambahan bilangan ==
Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untuk [[bilangan asli]]. Dalam [[teori himpunan]], operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitu [[bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], dan [[bilangan real]].<ref>[[Herbert Enderton|Enderton]] chapters 4 and 5, sebagai contoh, mengikuti pengembangan ini.</ref>
=== Bilangan asli ===
{{further|Bilangan asli}}
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari [[himpunan hingga]], (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
* Misalkan N(''S'') adalah lambang untuk kardinalitas himpunan ''S''. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas ''A'' dan ''B'', dengan {{nowrap|1=N(''A'') = ''a''}} dan {{nowrap|1=N(''B'') = ''b''}}. Maka {{nowrap|''a'' + ''b''}} didefinisikan sebagai <math> N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75</ref>
Di sini, {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} adalah [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari ''A'' dan ''B''. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan ''A'' dan ''B'' bertindih dan kemudian mengambil [[satuan disjoin]], mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
* Misalkan ''n''<sup>+</sup> adalah lambang untuk [[fungsi penerus|penerus]] dari ''n'', yaitu bilangan setelah ''n'' dalam himpunan bilangan asli, jadi 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. Definisikan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi {{nowrap|1=''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>}}. Jadi misalnya {{nowrap|1=1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> =}} {{nowrap|1=1<sup>+</sup> = 2}}.<ref>Enderton hal. 79</ref>
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari [[Rekursi#Teorema rekursi|teorema rekursi]] pada [[himpunan terurut parsial]] '''N'''<sup>2</sup>.<ref>Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan [[kondisi rantai turunan]], lihat Bergman hal. 100.</ref> Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu ''a'' untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada ''b'' untuk mendefinisikan fungsi "''a'' +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua ''a'' dengan membentuk operasi biner penuh.<ref>Enderton (p. 79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."</ref>
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.<ref>Ferreirós p. 223</ref> Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan [[induksi matematika]].
===Bilangan bulat===
{{Further|Bilangan bulat}}
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari [[nilai absolut]] (yang merupakan bilangan asli) dan [[tanda (matematika)|tanda]] (umumnya [[bilangan positif|positif]] atau [[Bilangan negatif|negatif]]). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
* Untuk bilangan bulat ''n'', maka |''n''| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan ''a'' dan ''b'' adalah bilangan bulat. Jika ''a'' atau ''b'' adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya positif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = {{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}}}}. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya negatif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = −({{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}})}}. Jika ''a'' dan ''b'' memiliki tanda yang berbeda, tentukan {{nowrap|''a'' + ''b''}} sebagai selisih antara |''a''| dan |''b''|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.<ref>K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66</ref> Sebagai contoh, {{nowrap|1=−6 + 4 = 2}}; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, {{math|''a'' – ''b''}} sama dengan {{math|''c'' – ''d''}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai [[kelas ekuivalensi]] dari [[pasangan terurut]] bilangan asli di bawah [[relasi ekuivalensi]]
:{{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Kelas ekuivalensi dari {{math|(''a'', ''b'')}} berisi {{math|(''a'' – ''b'', 0)}} jika {{math |''a'' ≥ ''b''}}, atau {{math|(0, ''b'' – ''a'')}}. Jika {{mvar|n}} adalah bilangan asli, yang menyatakan {{math|+''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(''n'', 0)}}, dan dengan {{math|–''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(0, ''n'')}}. Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli {{mvar|n}} dengan kelas ekivalen {{math|+''n''}}.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
:<math>
(a, b)+(c, d)=(a+c,b+d).</math>
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.<ref>Enderton p. 92</ref> Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam [[grup (matematika)|grup]] komutatif [[semigrup]] dengan [[sifat pembatalan]]. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama [[grup Grothendieck]] untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan [[homomorfisme semigrup]] dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari [[kategori Abelian]], dengan [[jumlah langsung]] sebagai operasi semigrup.
=== Bilangan rasional (pecahan) ===
Penambahan [[bilangan rasional]] didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
* Definisikan <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
Sebagai contoh, jumlah <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac78</math>.
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika [[pecahan|penyebut]]nya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, jadi <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>.<ref>Schyrlet Cameron, dan Carolyn Craig (2013)''Menjumlahkan dan Mengurangi Pecahan, Nilai 5–8'' Mark Twain, Inc.</ref>
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat.<ref>Verifikasi dilakukan di Enderton hal. 104 dan membuat sketsa untuk bidang umum pecahan di atas ring komutatif di Dummit and Foote hal. 263.</ref> Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihat ''[[medan pecahan]]''.
===Bilangan riil===
[[Berkas:AdditionRealDedekind.svg|right|250px|thumb|Menambahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan potongan rasional Dedekind.]]
{{Further|Konstruksi bilangan riil}}
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai [[potongan Dedekind]] dari rasional: [[himpunan tak kosong]] dari rasional tertutup bawah dan tidak memiliki [[elemen terbesar]]. Jumlah bilangan riil ''a'' dan ''b'' didefinisikan elemen demi elemen:
* Tentukan <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}.</math><ref>Enderton hal. 114</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, oleh [[Richard Dedekind]] pada tahun 1872.<ref>Ferreirós hal. 135; lihat bagian 6 dari ''[http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html Stetigkeit und irrationale Zahlen] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20051031071536/http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html |date=2005-10-31 }}''.</ref>
Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.<ref>Pendekatan intuitif, membalikkan setiap elemen potongan dan mengambil komplemen, hanya berfungsi untuk bilangan irasional; lihat Enderton hal. 117 untuk detailnya.</ref>
[[Berkas:AdditionRealCauchy.svg|right|250px|thumb|Menjumlahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan deret rasional Cauchy.]]
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." ''Catatan Kuliah di Ilmu Komputer'' (1995).</ref> Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari [[urutan Cauchy]] dari rasional, lim ''a''<sub>''n''</sub>. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
* Define <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n).</math><ref>Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh [[Georg Cantor]], juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.<ref>Ferreirós hal. 128</ref>
Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.<ref>Burrill hal. 140</ref>
===Bilangan kompleks ===
[[Berkas:Vector Addition.svg|200px|right|thumb|Penjumlahan dua bilangan kompleks apabila dilakukan secara geometris dengan membangun jajar genjang.]]
Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan.<ref>{{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}</ref><ref>{{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D
|title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6|year=1989}}</ref> Artinya:
:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.</math>
Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleks ''A'' dan ''B'', ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titik ''X'' yang diperoleh dengan membangun [[jajar genjang]] tiga di antaranya adalah ''O'', ''A'' dan ''B''. Secara ekuivalen, ''X'' adalah titik sedemikian rupa [[segitiga]] dengan simpul ''O'', ''A'', ''B'', dan ''X'', ''B'', ''A'' adalah [[Kongruensi (geometri)|kongruen]].
== Generalisasi ==
Ada banyak [[operasi biner]] yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidang [[aljabar abstrak]] utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalam [[teori himpunan]] dan [[teori kategori]].
=== Aljabar abstrak ===
==== Vektor ====
{{Main|Penjumlahan vektor}}
Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[perkalian skalar]] suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Operasi penambahan ini penting sekali bagi [[mekanika klasik]], di mana [[gaya (fisika)|gaya]] ditafsirkan sebagai vektor.
==== Matriks ====
{{Main|Penjumlahan matriks}}
Penjumlahan [[Matriks (matematika)|matriks]] didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuran ''m'' × ''n'' '''A''' dan '''B''', dilambangkan dengan {{nowrap|'''A''' + '''B'''}}, adalah sebuah matriks {{nowrap|''m'' × ''n''}} yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:<ref>Lipschutz, S., & Lipson, M. (2001). Schaum's outline of theory and problems of linear algebra. Erlangga.</ref><ref>{{cite book |title=Mathematical methods for physics and engineering |url=https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile |url-access=registration |first1=K.F. |last1=Riley |first2=M.P.|last2=Hobson |first3=S.J. |last3=Bence |publisher=Cambridge University Press |year=2010 |isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>
:<math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
\end{align}</math>
Contohnya:
:<math>
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
7 & 5 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 \\
1+7 & 0+5 \\
1+2 & 2+1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
8 & 5 \\
3 & 3
\end{bmatrix}
</math>
==== Aritmetika modular ====
{{Main|Aritmetika modular}}
Dalam [[aritmetika modular]], penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
==== Teori umum ====
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. [[Struktur aljabar]] dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah [[Monoid#Monoid komutatif|monoid komutatif]] dan [[grup abelian]].
===Teori himpunan dan teori kategori===
Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahan [[bilangan urut]] dan [[bilangan kardinal]] dalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli ke [[bilangan lintas-hingga|lintas-hingga]]. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasi [[satuan disjoin]].
Dalam [[teori kategori]], satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasi [[koproduk]], dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, seperti [[jumlah langsung]] dan [[jumlah irisan]], diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
==Operasi terkait==
Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalam [[aritmatika dasar]].
===Aritmetika===
[[Pengurangan]] dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahan [[aditif invers]]. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahan {{mvar|x}} dan pengurangan {{mvar|x}} adalah [[fungsi invers]].
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.<ref>Himpunan tetap harus kosong. Dummit and Foote (hal. 48) mendiskusikan kriteria ini yang ditulis secara berganda.</ref>
[[Perkalian]] dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]. Jika satu suku {{mvar|x}} muncul dalam jumlah ''n'' kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kali ''n'' dan {{mvar|x}}. Jika ''n'' bukan [[bilangan asli]], produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan {{num|−1}} menghasilkan [[invers aditif]] dari suatu bilangan.
[[Berkas:Csl.JPG|thumb|Mistar geser melingkar]]
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan [[fungsi eksponensial]]:<ref>Rudin hal. 178</ref>
:<math>e^{a+b} = e^a e^b.</math>
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat [[tabel matematika|tabel]] dari [[logaritma]] dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada [[mistar hitung]]. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas [[grup Lie]], dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam [[aljabar Lie]] yang terkait.<ref>Lee hal. 526, Proposisi 20.9</ref>
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.<ref>Linderholm (hal. 49) mengamati, "Dengan ''perkalian'', berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Dengan ''penambahan'' dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."</ref> Secara umum, operasi perkalian selalu [[distributif]] melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk {{nowrap|(1 + 1)(''a'' + ''b'')}} dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.<ref>Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.</ref>
[[Pembagian]] adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena {{nowrap|1=''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>)}}, pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a''/''c'' + ''b''/''c''}}.<ref>Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.</ref> Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; {{nowrap|1 / (2 + 2)}} tidak sama dengan {{nowrap|1/2 + 1/2}}.
===Urutan===
[[Berkas:XPlusOne.svg|right|thumb|[[Log-log petak]] dari {{nowrap|1={{mvar|x}} + 1}} dan {{nowrap|1=maks ({{mvar|x}}, 1)}} dari {{mvar| x}} = 0,001 sampai 1000<ref>Bandingkan Viro Gambar 1 (hal. 2)</ref>]]
Operasi maksimum "maks (''a'', ''b'')" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatif ''a'' dan ''b'' berbeda [[tingkat besaran]], maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potongan [[deret Taylor]]. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalam [[analisis numerik]], pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jika ''b'' jauh lebih besar dari ''a'', maka perhitungan langsung {{nowrap|(''a'' + ''b'') ''b''}} mengakumulasi nilai yang tidak dapat diterima [[galat pembulatan]], bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pula ''[[Kehilangan signifikans]]''.
Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jika ''a'' atau ''b'' adalah [[bilangan kardinal]] tak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya.<ref>Enderton menyebut pernyataan ini sebagai "Hukum Penyerapan Aritmatika Kardinal"; itu tergantung pada komparabilitas kardinal dan oleh karena itu pada [[Aksioma Pilihan]].</ref> Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.<ref>Enderton hal. 164</ref>
Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:
:<math>a + \max(b,c) = \max(a+b,a+c).</math>
Untuk alasan ini, dalam [[geometri tropis]] mengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalah [[garis bilangan real diperluas|tak hingga negatif]].<ref>Mikhalkin hal. 1</ref> Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.<ref>Akian et al. hal. 4</ref>
Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melalui [[logaritma]]:
:<math>\log(a+b) \approx \max(\log a, \log b),</math>
yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma.<ref>Mikhalkin hal. 2</ref> Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstanta ''h'', dinamai dengan analogi dengan [[konstanta Planck]] dari [[mekanika kuantum]],<ref>Litvinov et al. hal. 3</ref> dan mengambil "[[batas klasik]]" sebagai ''h'' cenderung nol:
:<math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yang ''terdekuantisasi''.<ref>Viro hal. 4</ref>
===Cara lain untuk penambahan===
Kenaikan, juga dikenal sebagai [[Fungsi penerus|operasi penerus]], adalah penambahan {{num|1}} ke suatu bilangan.
[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret]].<ref>Stewart hal. 8</ref>
[[Pencacahan|Mencacah]] himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
[[Integral|Integrasi]] adalah semacam "penjumlahan" pada [[Kontinuum (teori himpunan)|kontinum]], atau lebih tepatnya dan secara umum, pada [[manifold terdiferensiasi]]. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
[[Kombinasi linear]] menggabungkan perkalian dan penjumlahan; ia adalah jumlah di mana setiap istilah memiliki pengali, biasanya [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Kombinasi linear sangat berguna dalam konteks di mana penambahan langsung akan melanggar beberapa aturan normalisasi, seperti [[strategi campuran|campuran]] dari [[strategi (teori permainan)|strategi]] dalam [[teori permainan]] atau [[superposisi kuantum|superposisi]] dari [[keadaan kuantum|keadaan]] dalam [[mekanika kuantum]].
[[Konvolusi]] digunakan untuk menambahkan dua [[variabel acak]] independen yang ditentukan oleh [[distribusi probabilitas|fungsi distribusi]]. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.
==Lihat pula==
* [[Perhitungan mental|Aritmetika mental]]
* [[Penjumlahan paralel (matematika)]]
* [[Aritmetika verbal]] (juga dikenal sebagai kriptoaritma), teka-teki yang melibatkan penjumlahan
==Catatan==
{{Notelist}}
==Catatan kaki==
{{Reflist}}
==Referensi==
{{Refbegin}}
'''Sejarah'''
* {{cite book |first=José |last=Ferreirós |title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/labyrinthofthoug0000ferr |url-access=registration |publisher=Birkhäuser |year=1999 |isbn=978-0-8176-5749-9 }}
* {{cite book |first=Louis |last=Karpinski |author-link=Louis Charles Karpinski |title=The History of Arithmetic |publisher=Rand McNally |year=1925 |id={{LCC|QA21.K3}}}}
* {{cite book |first=Steven |last=Schwartzman |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw |url-access=registration |publisher=[[Mathematical Association of America|MAA]] |year=1994 |isbn=978-0-88385-511-9 }}
* {{cite book |first=Michael |last=Williams |title=A History of Computing Technology |url=https://archive.org/details/historyofcomputi0000will |url-access=registration |publisher=Prentice-Hall |year=1985 |isbn=978-0-13-389917-7 }}
'''Matematika elementer'''
* {{cite book |author1=Sparks, F. |author2=Rees C. |title=A Survey of Basic Mathematics |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |isbn=978-0-07-059902-4}}
'''Pendidikan'''
* {{cite book |first=Edward |last=Begle |title=The Mathematics of the Elementary School |publisher=[[McGraw-Hill]] |year=1975 |isbn=978-0-07-004325-1 |url=https://archive.org/details/mathematicsofele0000begl }}
* [https://web.archive.org/web/20051228115904/http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/mthmain.asp California State Board of Education mathematics content standards] Adopted December 1997, accessed December 2005.
* {{cite book |author1=Devine, D. |author2=Olson, J. |author3=Olson, M. |title=Elementary Mathematics for Teachers |edition=2e |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |year=1991 |isbn=978-0-471-85947-5 |url=https://archive.org/details/elementarymathem0000devi }}
* {{cite book |author=National Research Council |title=Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics |publisher=[[United States National Academies|National Academy Press]] |year=2001 |isbn=978-0-309-06995-3 |author-link=United States National Research Council |url=http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |doi=10.17226/9822 |access-date=2021-03-14 |archive-date=2007-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070608181717/http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |dead-url=yes }}
* {{cite book |first=John |last=Van de Walle |title=Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally |edition=5e |publisher=Pearson |year=2004 |isbn=978-0-205-38689-5 |url=https://archive.org/details/elementarymiddle00vand }}
'''Ilmu kognitif'''
* {{cite book |last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}
* {{cite conference |first=Karen |last=Wynn |book-title=The Development of Mathematical Skills. |title=Numerical competence in infants |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=0-86377-816-X}}
'''Eksposisi matematika'''
* {{cite web |author=Bogomolny, Alexander |year=1996 |title=Addition |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |access-date=3 February 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |archive-date=April 26, 2006 |url-status=live }}
* {{cite book |first=William |last=Dunham |title=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-53656-7 }}
* {{cite book |first=Paul |last=Johnson |title=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse |publisher=Science Research Associates |year=1975 |isbn=978-0-574-19115-1}}
* {{cite book |first=Carl |last=Linderholm |year=1971 |title=Mathematics Made Difficult |publisher=Wolfe |isbn=978-0-7234-0415-6|title-link=Mathematics Made Difficult }}
* {{cite book |first=Frank |last=Smith |title=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit |url-access=registration |publisher=Teachers College Press |year=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6 }}
* {{cite book |first=Karl |last=Smith |title=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit |edition=3rd |publisher=Wadsworth |year=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8}}
'''Matematika tingkat lanjut'''
* {{cite book |first=George |last=Bergman |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |edition=2.3 |publisher=General Printing |year=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html }}
* {{cite book |first=Claude |last=Burrill |title=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau |publisher=McGraw-Hill |year=1967 |id={{LCC|QA248.B95}}}}
* {{cite book |author1=Dummit, D. |author2=Foote, R. |title=Abstract Algebra |edition=2 |publisher=Wiley |year=1999 |isbn=978-0-471-36857-1}}
* {{cite book |first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}
* {{cite book |first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{cite book |first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2 }}
* {{cite book |first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 }}
* {{cite book |first=James |last=Stewart |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=4 |publisher=Brooks/Cole |year=1999 |isbn=978-0-534-36298-0 |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew }}
'''Penelitian matematika'''
* {{cite journal |author1=Akian, Marianne |author2=Bapat, Ravindra |author3=Gaubert, Stephane |title=Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem |journal=INRIA Reports |year=2005 |arxiv=math.SP/0402090|bibcode=2004math......2090A }}
* {{cite conference |author=[[John C. Baez|Baez, J.]] |author2=Dolan, J. |book-title=Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams |year=2001 |page=29 |arxiv=math.QA/0004133 |isbn=3-540-66913-2}}
* Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii (1999). [https://arxiv.org/abs/math.SC/9911126 Idempotent mathematics and interval analysis]. ''[https://archive.today/20130203014259/http://www.springerlink.com/openurl.asp?genre=article&eissn=1573-1340&volume=7&issue=5&spage=353 Reliable Computing]'', Kluwer.
* {{cite journal |first=Jean-Louis |last=Loday |title= Arithmetree |journal=Journal of Algebra |year=2002 |arxiv=math/0112034 |doi=10.1016/S0021-8693(02)00510-0 |volume=258 |page=275}}
* {{cite book |last=Mikhalkin |first=Grigory |year=2006 |arxiv=math.AG/0601041 |zbl=1103.14034 |editor1-last=Sanz-Solé |editor1-first=Marta |title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications |location=Zürich |publisher=[[European Mathematical Society]] |isbn=978-3-03719-022-7 |pages=827–852}}
* {{Cite book |last=Viro |first=Oleg |year=2001 |url=http://www.math.uu.se/~oleg/dequant/dequantH1.html |title=European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper |editor1-first=Carles |editor1-last=Cascuberta |editor2-first=Rosa Maria |editor2-last=Miró-Roig |editor3-first=Joan |editor3-last=Verdera |editor4-first=Sebastià |editor4-last=Xambó-Descamps |publisher=Birkhäuser |location=Basel |isbn=978-3-7643-6417-5 |series=Progress in Mathematics |volume=201 |pages=135–146 |arxiv=math/0005163 |zbl=1024.14026 |bibcode=2000math......5163V }}
'''Komputasi'''
* {{cite book |author1=Flynn, M. |author2=Oberman, S. |title=Advanced Computer Arithmetic Design |publisher=Wiley |year=2001 |isbn=978-0-471-41209-0}}
* {{cite book |author1=Horowitz, P. |author2=Hill, W. |title=The Art of Electronics |edition=2 |publisher=Cambridge UP |year=2001 |isbn=978-0-521-37095-0 |url=https://archive.org/details/artofelectronics00horo }}
* {{cite book |first=Albert |last=Jackson |title=Analog Computation |url=https://archive.org/details/analogcomputatio0000albe |publisher=McGraw-Hill |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|J3}}}}
* {{cite book |author1=Truitt, T. |author2=Rogers, A. |title=Basics of Analog Computers |url=https://archive.org/details/basicsofanalogco0000trui |publisher=John F. Rider |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|T7}}}}
* {{cite book |ref=MARG |language=fr |title=Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 |first=Jean |last=Marguin |year=1994 |publisher=Hermann |isbn=978-2-7056-6166-3}}
* {{cite book |ref=TATON63 |language=fr |title=Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 |first=René |last=Taton |year=1963 |pages=20–28 |publisher=Presses universitaires de France }}
{{Refend}}
==Bacaan lebih lanjut==
* {{cite conference |last1=Baroody |first1=Arthur |last2=Tiilikainen |first2=Sirpa |title=The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development |year=2003 |page=[https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 75] |isbn=0-8058-3155-X |publisher=Routledge |url=https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 }}
* {{cite book |last1=Davison |first1=David M. |last2=Landau |first2=Marsha S. |last3=McCracken |first3=Leah |last4=Thompson |first4=Linda |title=Mathematics: Explorations & Applications |edition=TE |publisher=Prentice Hall |year=1999 |isbn=978-0-13-435817-8}}
* {{cite book |first1=Lucas N.H. |last1=Bunt |first2=Phillip S. |last2=Jones |first3=Jack D. |last3=Bedient |title=The Historical roots of Elementary Mathematics |url=https://archive.org/details/historicalrootso0000bunt |url-access=registration |publisher=Prentice-Hall |year=1976 |isbn=978-0-13-389015-0}}
* {{cite journal |last=Poonen |first=Bjorn |year=2010 |title=Addition |url=http://www.girlsangle.org/page/bulletin.php |journal=Girls' Angle Bulletin |volume=3 |issue=3–5 |issn=2151-5743}}
* {{cite conference |first=J. Fred |last=Weaver |book-title=Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction |year=1982 |page=60 |isbn=0-89859-171-6 |publisher=Taylor & Francis}}
{{Aritmetika dasar}}
{{Operasi-hiper}}
{{Authority control}}
[[Kategori:
[[Kategori:Aritmetika Dasar]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Artikel dengan contoh kode C]]
| |||