Wikipedia

Penambahan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Bot
663.561 suntingan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20210509)) #IABot (v2.0.8) (GreenC bot
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Bot
663.561 suntingan
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot
 
(44 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{redirect|Penjumlahan}}
[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
{{Operasi aritmetika}}{{Terjemahan kaku|en|Addition}}[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
'''Penambahan''' (disebut juga '''penjumlahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+") adalah salah satu dari empat [[operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
'''Penambahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+", adalah salah satu dari empat [[operasi (matematika)|operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
 
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[matriks (matematika)|matriks]].
 
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifat [[sifat komutatif|komutatif]], yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifat [[sifat asosiatif|asosiatif]], yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan [[0 (bilangan)|0]] tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasi [[pengurangan]] dan [[perkalian]].
Baris 16 ⟶ 17:
 
[[Berkas:AdditionVertical.svg|right|thumb|Penjumlahan kolom bilangan pada kolom akan ditambahkan, dengan penjumlahan ditulis di bawah [[garis bawah]] bilangan.]]
Ada pula situasi dimanadi mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:
* Bilangan bulat dengan [[pecahan (matematika)|pecahan]] menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut ''bilangan campuran''.<ref>Devine et al. p. 263</ref> Sebagai contoh, <br />{{spaces|6}}<math>3½\frac{1}{2} = 3 + ½\frac{1}{2} = 3.,5</math>.<br />Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, [[wikt:jukstaposisi|juxtapositionjukstaposisi]] seperti ini menunjukkan [[perkalian]] sebagai gantinya.<ref>Mazur, Joseph. ''Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers''. Princeton University Press, 2014. p. 161</ref>
 
Jumlah dari sebuah [[deret (matematika)|deret]] dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui [[notasi sigma kapitalSigma]] yang secara kompak menunjukkan [[iterasi]]. Sebagai contoh,
:<math>\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.</math>
 
{{anchor|sumand|adend}}
Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagai '''istilahsuku''',<ref>Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics. Bagian 5.1</ref> '''tambahantinambah'''<ref name="Shmerko">{{cite book |last1=Shmerko |first1=V.P. |last2=Yanushkevich [Ânuškevič] |first2=Svetlana N. [Svitlana N.] |last3=Lyshevski |first3=S.E. |date=2009 |title=Computer arithmetics for nanoelectronics |publisher=[[CRC Press]] |page=80}}</ref><ref name="Schmid_1974"/><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Addition|url=https://mathworld.wolfram.com/Addition.html|access-date=2020-08-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> atau '''ringkasanpenjumlahan''';<ref>Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38</ref>
terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah.
Dibedakan dari ''faktor'', yaitu [[perkalian]].
Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagai ''augend''.<ref name="Shmerko"/><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=0-471-76180-X |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }} and {{cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid|author-link=Hermann Schmid (ilmuwan komputer) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=reprint of 1st|publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, FL|isbn=978-0-89874-318-0}}</ref><ref name=":1" /> Faktanya, selama [[Renaisans]], banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali.<ref group=lower-alpha>"Addend" bukan kata Latin; dalam bahasa Latin itu harus dikonjugasikan lebih lanjut, seperti dalam ''numerus aaddendus'' "angka yang akan ditambahkan".</ref> Saat ini, karena [[sifat komutatif]] penjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.<ref name="Schwartzman p. 19">Schwartzman p. 19</ref>
 
[[Berkas:AdditionNombryng.svg|left|thumb|Ilustrasi yang digambar ulang oleh ''The Art of Nombryng'', salah satu teks aritmetika dalam bahasa Inggris pertama, pada abad ke-15.<ref>Karpinski pp. 56–57, reproduced on p. 104</ref>]]
 
[[Tanda plus dan minus|Tanda plus]] "+" ([[Unicode]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&amp;#43;</code>) adalah singkatan dari kata Latin ''et'', yang berarti "dan".<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations, Vol. 1 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.200372 |year=1928 |publisher=The Open Court Company, Publishers |chapter=Asal dan arti dari tanda + dan -}}</ref> Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.<ref name="OED">{{OED|plus}}</ref>
 
== Interpretasi ==
Baris 40 ⟶ 41:
* Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.
 
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat {{Section link||Bilangan asli}} dibawahdi bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.<ref>Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".</ref>
 
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.<ref>''Menambahkannya'' (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."</ref> Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
Baris 66 ⟶ 67:
 
=== Sifat distributif ===
:Berlaku dengan perkalian atas penambahan. Identitas ini sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:
Penambahan bersifat [[distributif]] terhadap perkalian. Sifat ini bisa digambarkan dengan identitas berikut.
::<math>x\cdot(xy + yz)\cdot z = x\cdot zy + yx\cdot z </math>
 
=== Elemen identitas ===
[[File:AdditionZero.svg|right|70px|thumb|5 + 0 = 5 digambarkan dengan sekarung titik]]
Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''ax'' apapun,
:''ax'' + 0 = 0 + ''ax'' = ''ax''.
Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628, meskipinmeskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah ''a'' adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", correspondingsesuai todengan thepernyataan unary statement {{nowrap|1=0 + ''ax'' = ''ax''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>
 
=== Elemen invers ===
:Setiap bilangan ''x'', penjumlahan, memiliki '''[[invers penambahan]]''', <math>-x</math>, sehingga <math>x+(-x) = 0</math>.
 
===Penerus ===
Dalam konteks bilangan bulat, penambahan [[1 (angka)|satu]] juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulat ''a'', bilangan bulat {{nowrap|(''a'' + 1)}} adalah bilangan bulat terkecil dari ''a'', juga dikenal sebagai [[fungsi penerus|penerus]] dari ''a''.<ref>Hempel, C.G. (2001). Filosofi Carl G. Hempel: studi dalam sains, penjelasan, dan rasionalitas. hal. 7</ref> Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilai {{nowrap|''a'' + ''b''}} juga dapat dilihat sebagai penerus ke-''b'' dari ''a'', membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya, {{nowrap|6 + 2}} adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
 
=== Satuan ===
Baris 80 ⟶ 87:
== Cara penambahan ==
=== Kemampuan bawaan ===
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena [[pembiasaan]]: [[infantbayi]] melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.<ref>Wynn p. 5</ref> Percobaan tersebut dimulai oleh [[Karen Wynn]] pada tahun 1992 yang melibatkan boneka [[Mickey Mouse]] yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' {{nowrap|1 + 1}} menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa {{nowrap|1 + 1}} bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.<ref>Wynn p. 15</ref> Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan [[balita]] yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola [[ping-pong]] dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.<ref>Wynn p. 17</ref>
 
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama [[primata]]. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan [[terong]] sebagai pengganti boneka), [[monyet rhesus]] dan [[cottontop tamarin berkepala kapas]] memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari [[angka Arab]] 0 hingga 4, satu [[simpanse]] dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.<ref>Wynn p. 19</ref> Baru-baru ini, [[Gajah Asia]] telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.<ref>{{cite news |newspaper=The Guardian |last=Randerson |first=James |url=https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |title=Elephants have a head for figures |date=21 August 2008 |access-date=29 March 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402103526/http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |archive-date=2 April 2015 |url-status=live }}</ref>
 
=== Pembelajaran masa kecil ===
Biasanya, anak pertama menguasai [[menghitung]]. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, ''lima''" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.<ref>F. Smith p. 130</ref> Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, ''lima''." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("[[bilangan ikatan]]"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dan kemudian beralasan bahwa {{nowrap|6 + 7}} adalah 13.<ref>{{Cite book |last=Carpenter |first=Thomas |author2=Fennema, Elizabeth |author3=Franke, Megan Loef |author4=Levi, Linda |author5=Empson, Susan |title=Children's mathematics: Cognitively guided instruction |publisher=Heinemann |year=1999 |location=Portsmouth, NH |isbn=978-0-325-00137-1 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/childrensmathema0000unse_i5h7 }}</ref> Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.<ref name=Henry>{{Cite journal |last=Henry |first=Valerie J. |author2=Brown, Richard S. |title=First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard |url=https://archive.org/details/sim_journal-for-research-in-mathematics-education_2008-03_39_2/page/153 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=39 |issue=2 |pages=153–183 |year=2008 |doi=10.2307/30034895|jstor=30034895 }}</ref>
 
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.<ref>
Baris 151 ⟶ 158:
86
 
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.<ref group=alfalower-rendahalpha>Beberapa penulis berpikir bahwa "simpan" mungkin tidak sesuai untuk pendidikan; Van de Walle (p. 211) menyebutnya "usang dan menyesatkan secara konseptual", lebih memilih kata "perdagangan". Namun, "simpan" tetap menjadi istilah standar.</ref> Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
 
==== Pecahan desimal ====
Baris 162 ⟶ 169:
4 9 . 4 4
 
==== Notasi Ilmiahilmiah ====
{{main|Notasi ilmiah#Operasi dasar}}
Pada [[notasi ilmiah]], bilangan ditulis dalam bentuk <math>x=a\times10^{b}</math>, dimana <math> a </math> adalah signifikan dan <math>10^{b}</math> adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Baris 168 ⟶ 175:
Sebagai contoh:
:<math>2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}</math>
 
===Bukan desimal===
{{main|Penambahan biner}}
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner.<ref>Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra (2008) ''Dasar-Dasar Sistem Digital Elektronik'' The Fairmont Press, Inc. p. 155</ref> Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
:0 + 0 → 0
:0 + 1 → 1
:1 + 0 → 1
:1 + 1 → 0, simpan 1 (karena 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2<sup>1</sup>))
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
:5 + 5 → 0, simpan 1 (karena 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10<sup>1</sup>)))
:7 + 9 → 6, simpan 1 (karena 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10<sup>1</sup>))
 
Ini dikenal sebagai ''simpan''.<ref>P.E. Bates Bothman (1837) ''Aritmatika sekolah umum''. Henry Benton. hal. 31</ref> Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
 
{{brown|1 1 1 1 1 (angka simpan)}}
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
1 0 0 1 0 0 = 36
 
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 01101<sub>2</sub> (13<sub>10</sub>) dan 10111<sub>2</sub> (23<sub>10</sub>). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan, {{nowrap|1=1 + 1 = 10<sub>2</sub>}}. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan: {{nowrap|1=1 + 0 + 1 = 10<sub>2</sub>}}; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga: {{nowrap|1=1 + 1 + 1 = 11<sub>2</sub>}}. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 100100<sub>2</sub> (36<sub>10</sub>).
 
===Komputer===
[[Berkas:Opampsumming2.svg|right|frame|Penambahan dengan op-amp. Lihat [[Aplikasi penguat operasional#Penguat penjumlahan|Penguat penjumlahan]] untuk detailnya.]]
[[Komputer analog]] bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan [[tuas]] [[rataan aritmetik|perata-rata]]. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari dua [[poros]], maka ia ditambahkan dengan [[diferensial (otomotif)|diferensial]]. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkan [[tekanan]] dalam dua ruang dengan memanfaatkan [[hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] untuk menyeimbangkan gaya pada rakitan [[piston]]. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog adalah ketika menambahkan dua [[voltase]] (direferensikan ke [[pembumian (listrik)|tanah]]); ini dapat dicapai secara kasar dengan [[resistor]] [[Rangkaian elektronik|jaringan]], tetapi desain yang lebih baik memanfaatkan [[penguat operasional]].<ref>Truitt and Rogers hlm. 1;44–49 dan hlm. 2;77–78</ref>
 
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasian [[komputer|komputer digital]], dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanisme [[penerus (aritmetika)|penerus]], merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
 
[[Berkas:BabbageDifferenceEngine.jpg|left|thumb|Bagian dari [[perbedaan mesin]] Charles Babbage termasuk mekanisme penambahan dan pengangkutan]]
[[Swipoa]], juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis di [[Asia]], [[Afrika]], dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan di [[Sumer]].<ref>{{cite book |last=Ifrah |first=Georges |year=2001 |title=The Universal History of Computing: From the Abacus to the Quantum Computer |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |location=New York |isbn=978-0-471-39671-0 |url=https://archive.org/details/unset0000unse_w3q2 }} hal. 11</ref>
 
[[Blaise Pascal]] menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;<ref name="inventor">[[Penambahan#MARG|Jean Marguin]], hal. 48 (1994); Mengutip [[Penambahan#TATON63|René Taton]] (1963)</ref> ia adalah [[mesin penambah]] pertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17<ref>Lihat [[Kalkulator Pascal#Desain bersaing|Desain bersaing]] di artikel kalkulator Pascal</ref> dan komputer digital otomatis paling awal. [[Kalkulator Pascal]] dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakan [[metode komplemen|komplekmen kalkulator Pascal]], yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan. [[Giovanni Poleni]] mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.
 
[[Berkas:Full-adder.svg|thumb|"[[Penambah (elektronik)|Penambahan penuh]]" rangkaian logika yang menambahkan dua digit biner, ''A'' dan ''B'', bersama dengan input penerus ''C<sub>dalam</sub>'', menghasilkan jumlah bit, ''S'', dan hasil penerus, ''C<sub>keluar</sub>''.]]
[[Penambah biner]] melakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakan [[aritmetika biner]]. Arsitektur paling sederhana adalah penambah dengan simpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain yang bisa melewati simpan; sesuai intuisi manusia, tidak perlu mengitung semua simpan dalam komputasi {{nowrap|999 + 1}}, tetapi bisa melewati sekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.<ref>Flynn and Overman hlm. 2, 8</ref>
 
<syntaxhighlight lang="c">
// Algoritme iteratif
int tambah(int x, int y) {
int simpan = 0;
while (y != 0) {
simpan = AND(x, y); // AND logis
x = XOR(x, y); // XOR logis
y = simpan << 1; // bitshift simpan ke kiri satu kali
}
return x;
}
 
// Algoritme rekursif
int tambah(int x, int y) {
return x if (y == 0) else tambah(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);
}
</syntaxhighlight>
 
Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadi [[luapan aritmetika]], menghasilkan jawaban yang salah. Luapan aritmetika yang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum dari [[kutu (komputer)|kutu program]]. Kutu luapan seperti ini bisa jadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.<ref>Joshua Bloch, [http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html "Ekstra, Ekstra – Baca Semua Tentang Ini: Hampir Semua Pencarian Biner dan Penggabungan Rusak"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160401140544/http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html |date=2016-04-01 }}. Blog Riset Google Resmi, 2 Juni 2006.</ref> [[Masalah tahun 2000]] adalah serangkaian kutu di mana kesalahan luapan terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.<ref>{{cite journal |url=http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |title=The Risks Digest Volume 4: Issue 45 |journal=The Risks Digest |access-date=2015-03-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141228211038/http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |archive-date=2014-12-28 |url-status=live |last1=Neumann |first1=Peter G. }}</ref>
 
== Penambahan bilangan ==
Baris 174 ⟶ 236:
=== Bilangan asli ===
{{further|Bilangan asli}}
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari [[himpunan hingga]], (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
* Misalkan N(''S'') adalah lambang untuk kardinalitas himpunan ''S''. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas ''A'' dan ''B'', dengan {{nowrap|1=N(''A'') = ''a''}} dan {{nowrap|1=N(''B'') = ''b''}}. Maka {{nowrap|''a'' + ''b''}} didefinisikan sebagai <math> N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75</ref>
Di sini, {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} adalah [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari ''A'' dan ''B''. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan ''A'' dan ''B'' bertindih dan kemudian mengambil [[satuan disjoin]], mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
 
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
* Misalkan ''n''<sup>+</sup> adalah lambang untuk [[fungsi penerus|penerus]] dari ''n'', yaitu bilangan setelah ''n'' dalam himpunan bilangan asli, jadi 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. Definisikan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi {{nowrap|1=''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>}}. Jadi misalnya {{nowrap|1=1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> =}} {{nowrap|1=1<sup>+</sup> = 2}}.<ref>Enderton phal. 79</ref>
 
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari [[Rekursi#Teorema rekursi|teorema rekursi]] pada [[himpunan terurut parsial]] '''N'''<sup>2</sup>.<ref>Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan [[kondisi rantai turunan]], lihat Bergman hal. 100.</ref> Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu ''a'' untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada ''b'' untuk mendefinisikan fungsi "''a'' +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua ''a'' dengan membentuk operasi biner penuh.<ref>Enderton (p. 79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."</ref>
 
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.<ref>Ferreirós p. 223</ref> Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan [[induksi matematika]].
 
<!-- ===Bilangan bulat -->===
{{Further|Bilangan bulat}}
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri dari [[nilai absolut]] (yang merupakan bilangan asli) dan [[tanda (matematika)|tanda]] (umumnya [[bilangan positif|positif]] atau [[Bilangan negatif|negatif]]). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
* Untuk bilangan bulat ''n'', maka |''n''| menjadi nilai mutlaknya. Misalkan ''a'' dan ''b'' adalah bilangan bulat. Jika ''a'' atau ''b'' adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya positif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = {{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}}}}. Jika ''a'' dan ''b'' keduanya negatif, tentukan {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = −({{!}}''a''{{!}} + {{!}}''b''{{!}})}}. Jika ''a'' dan ''b'' memiliki tanda yang berbeda, tentukan {{nowrap|''a'' + ''b''}} sebagai selisih antara |''a''| dan |''b''|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.<ref>K.Smith hal. 234, Sparks dan Rees hal. 66</ref> Sebagai contoh, {{nowrap|1=−6 + 4 = 2}}; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
 
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, {{math|''a'' – ''b''}} sama dengan {{math|''c'' – ''d''}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagai [[kelas ekuivalensi]] dari [[pasangan terurut]] bilangan asli di bawah [[relasi ekuivalensi]]
:{{math|(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'')}} jika dan hanya jika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.
Kelas ekuivalensi dari {{math|(''a'', ''b'')}} berisi {{math|(''a'' – ''b'', 0)}} jika {{math |''a'' ≥ ''b''}}, atau {{math|(0, ''b'' – ''a'')}}. Jika {{mvar|n}} adalah bilangan asli, yang menyatakan {{math|+''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(''n'', 0)}}, dan dengan {{math|–''n''}} kelas ekuivalen dari {{math|(0, ''n'')}}. Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan asli {{mvar|n}} dengan kelas ekivalen {{math|+''n''}}.
 
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
:<math>
(a, b)+(c, d)=(a+c,b+d).</math>
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.<ref>Enderton p. 92</ref> Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
 
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalam [[grup (matematika)|grup]] komutatif [[semigrup]] dengan [[sifat pembatalan]]. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
 
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan nama [[grup Grothendieck]] untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalan [[homomorfisme semigrup]] dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawah isomorfisme objek dari [[kategori Abelian]], dengan [[jumlah langsung]] sebagai operasi semigrup.
 
=== Bilangan rasional (pecahan) ===
Baris 189 ⟶ 270:
* Definisikan <math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
 
ContohnyaSebagai contoh, jumlah <math>\frac 34 + \frac 18 = \frac{3 \times 8+4 \times 1}{4 \times 8} = \frac{24 + 4}{32} = \frac{28}{32} = \frac78</math>.
 
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika [[pecahan|penyebut]]nya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, jadi <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>.<ref>Schyrlet Cameron, dan Carolyn Craig (2013)''Menjumlahkan dan Mengurangi Pecahan, Nilai 5–8'' Mark Twain, Inc.</ref>
 
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat.<ref>Verifikasi dilakukan di Enderton hal. 104 dan membuat sketsa untuk bidang umum pecahan di atas ring komutatif di Dummit and Foote hal. 263.</ref> Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihat ''[[medan pecahan]]''.
 
===Bilangan riil===
Penambahan pecahan lebih sederhana ketika [[pecahan|penyebut]]nya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya: <math>\frac ac + \frac bc = \frac{a + b}{c}</math>, jadi <math>\frac 14 + \frac 24 = \frac{1 + 2}{4} = \frac 34</math>.<ref>Schyrlet Cameron, and Carolyn Craig (2013)''Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8'' Mark Twain, Inc.</ref>
[[Berkas:AdditionRealDedekind.svg|right|250px|thumb|Menambahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan potongan rasional Dedekind.]]
{{Further|Konstruksi bilangan riil}}
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai [[potongan Dedekind]] dari rasional: [[himpunan tak kosong]] dari rasional tertutup bawah dan tidak memiliki [[elemen terbesar]]. Jumlah bilangan riil ''a'' dan ''b'' didefinisikan elemen demi elemen:
* Tentukan <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}.</math><ref>Enderton hal. 114</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, oleh [[Richard Dedekind]] pada tahun 1872.<ref>Ferreirós hal. 135; lihat bagian 6 dari ''[http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html Stetigkeit und irrationale Zahlen] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20051031071536/http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html |date=2005-10-31 }}''.</ref>
Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.<ref>Pendekatan intuitif, membalikkan setiap elemen potongan dan mengambil komplemen, hanya berfungsi untuk bilangan irasional; lihat Enderton hal. 117 untuk detailnya.</ref>
 
[[Berkas:AdditionRealCauchy.svg|right|250px|thumb|Menjumlahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan deret rasional Cauchy.]]
<!-- Bilangan real -->
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." ''Catatan Kuliah di Ilmu Komputer'' (1995).</ref> Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari [[urutan Cauchy]] dari rasional, lim ''a''<sub>''n''</sub>. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
* Define <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n).</math><ref>Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh [[Georg Cantor]], juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.<ref>Ferreirós hal. 128</ref>
Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.<ref>Burrill hal. 140</ref>
 
=== Bilangan kompleks ===
[[Berkas:Vector Addition.svg|200px|right|thumb|Penjumlahan dua bilangan kompleks apabila dilakukan secara geometris dengan membangun jajar genjang.]]
Penambahan [[bilangan kompleks]] didefinisikan dengan menjumlahkan bagian real dan menjumlahkan bagian imajiner.<ref>{{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}</ref><ref>{{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D
Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan.<ref>{{Citation |last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6}}</ref><ref>{{Citation |last1=Joshi |first1=Kapil D
|title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6|year=1989}}</ref> Dengan simbol matematika:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.</math>
|title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6|year=1989}}</ref> Artinya:
:<math>(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.</math>
Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleks ''A'' dan ''B'', ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titik ''X'' yang diperoleh dengan membangun [[jajar genjang]] tiga di antaranya adalah ''O'', ''A'' dan ''B''. Secara ekuivalen, ''X'' adalah titik sedemikian rupa [[segitiga]] dengan simpul ''O'', ''A'', ''B'', dan ''X'', ''B'', ''A'' adalah [[Kongruensi (geometri)|kongruen]].
 
== Generalisasi ==
Baris 205 ⟶ 303:
==== Vektor ====
{{Main|Penjumlahan vektor}}
Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[perkalian skalar]] suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Operasi penambahan ini penting sekali bagi [[mekanika klasik]], di mana [[gaya (fisika)|gaya]] ditafsirkan sebagai vektor.
Baris 265 ⟶ 363:
==== Aritmetika modular ====
{{Main|Aritmetika modular}}
Dalam [[aritmetika modular]], penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
 
==== Teori umum ====
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif. [[Struktur aljabar]] dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalah [[Monoid#Monoid komutatif|monoid komutatif]] dan [[grup abelian]].
 
===Teori himpunan dan teori kategori===
== Produk dari urutan == <!--ditautkan dari bawah-->
Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahan [[bilangan urut]] dan [[bilangan kardinal]] dalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli ke [[bilangan lintas-hingga|lintas-hingga]]. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasi [[satuan disjoin]].
=== Notasi pi kapital ===<!--Bagian ini ditautkan dari [[Pi (huruf)]], [[Notasi huruf besar Pi]], [[Notasi huruf besar pi]]-->
Hasil kali rangkaian faktor dapat ditulis dengan simbol hasil kali, yang berasal dari huruf kapital <math>\textstyle \prod</math> (pi) di [[Alfabet Yunani]] (mirip seperti huruf kapital <math>\textstyle \sum</math> (sigma) digunakan dalam konteks [[penjumlahan]]).<ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref> Posisi unicode U + 220F (∏) ​​berisi mesin terbang untuk menunjukkan produk seperti itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf. Arti dari notasi ini diberikan oleh:
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>
that is
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>
 
Dalam [[teori kategori]], satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasi [[koproduk]], dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, seperti [[jumlah langsung]] dan [[jumlah irisan]], diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
Subskrip memberikan simbol untuk [[variabel bebas dan variabel terikat|variabel terikat]] (''i'' dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (''1''). Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi mengikuti operator produk, dengan nilai integer yang berurutan menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan ditambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Sebagai contoh:
:<math>\prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720</math>
 
==Operasi terkait==
Secara umum, notasi didefinisikan sebagai
Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalam [[aritmatika dasar]].
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>
di mana '' m '' dan '' n '' adalah bilangan bulat atau ekspresi yang dievaluasi menjadi bilangan bulat. Dalam kasus dimana {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, nilai produknya sama dengan nilai faktor tunggalnya ''x''<sub>''m''</sub>; bila {{nowrap|''m'' > ''n''}}, produknya adalah [[produk kosong]] yang nilainya 1 terlepas dari ekspresi faktornya.
 
=== Produk tak hingga Aritmetika===
[[Pengurangan]] dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahan [[aditif invers]]. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahan {{mvar|x}} dan pengurangan {{mvar|x}} adalah [[fungsi invers]].
{{Main|Produk tak hingga}}
Seseorang juga dapat mempertimbangkan produk dari istilah yang sangat banyak; ini disebut [[produk tak terbatas]]. Secara notasi, ini terdiri dari mengganti '' n '' di atas dengan [[simbol tak hingga]] ∞. Hasil kali dari urutan tak hingga seperti itu didefinisikan sebagai [[batas urutan | batas]] dari hasil kali suku '' n '' pertama, karena '' n '' tumbuh tanpa batas. Itu adalah,
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>
 
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.<ref>Himpunan tetap harus kosong. Dummit and Foote (hal. 48) mendiskusikan kriteria ini yang ditulis secara berganda.</ref>
Seseorang juga dapat mengganti '' m '' dengan tak terhingga negatif, dan mendefinisikan:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
asalkan kedua batasan itu ada.
 
[[Perkalian]] dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]. Jika satu suku {{mvar|x}} muncul dalam jumlah ''n'' kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kali ''n'' dan {{mvar|x}}. Jika ''n'' bukan [[bilangan asli]], produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan {{num|−1}} menghasilkan [[invers aditif]] dari suatu bilangan.
== Aksioma ==
{{Main|Aksioma Peano}}
Dalam buku '' [[Arithmetices principal, nova methodo exposita]] '', [[Giuseppe Peano]] mengajukan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksioma-nya untuk bilangan asli.<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |title=Peano arithmetic |publisher=[[PlanetMath]] |access-date=2007-06-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |archive-date=2007-08-19 |url-status=live }}</ref> Aritmatike peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>
 
[[Berkas:Csl.JPG|thumb|Mistar geser melingkar]]
Di sini '' S '' ('' y '') mewakili [[pengganti ordinal|penerus]] dari '' y '', atau bilangan asli yang '' mengikuti '' '' y ''. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmatika Peano lainnya termasuk [[Induksi matematika|induksi]]. Misalnya '' S ''(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan [[fungsi eksponensial]]:<ref>Rudin hal. 178</ref>
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>
:<math>e^{a+b} = e^a e^b.</math>
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat [[tabel matematika|tabel]] dari [[logaritma]] dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada [[mistar hitung]]. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas [[grup Lie]], dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam [[aljabar Lie]] yang terkait.<ref>Lee hal. 526, Proposisi 20.9</ref>
 
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.<ref>Linderholm (hal. 49) mengamati, "Dengan ''perkalian'', berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Dengan ''penambahan'' dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."</ref> Secara umum, operasi perkalian selalu [[distributif]] melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk {{nowrap|(1 + 1)(''a'' + ''b'')}} dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.<ref>Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.</ref>
Aksioma untuk [[bilangan bulat]] biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekivalen dari pasangan bilangan asli yang terurut. Modelnya didasarkan pada perawatan (''x'',''y'') setara dengan {{nowrap|''x'' − ''y''}} jika ''x'' dan ''y'' diperlakukan sebagai bilangan bulat. Jadi baik (0,1) dan (1,2) sama dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat didefinisikan dengan cara ini
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>
 
[[Pembagian]] adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena {{nowrap|1=''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>)}}, pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a''/''c'' + ''b''/''c''}}.<ref>Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.</ref> Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; {{nowrap|1 / (2 + 2)}} tidak sama dengan {{nowrap|1/2 + 1/2}}.
Aturan yang −1 × −1 = 1 dapat disimpulkan
:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0)</math>
 
===Urutan===
Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan [[bilangan rasional]] dan kemudian ke [[bilangan riil]].
[[Berkas:XPlusOne.svg|right|thumb|[[Log-log petak]] dari {{nowrap|1={{mvar|x}} + 1}} dan {{nowrap|1=maks ({{mvar|x}}, 1)}} dari {{mvar| x}} = 0,001 sampai 1000<ref>Bandingkan Viro Gambar 1 (hal. 2)</ref>]]
Operasi maksimum "maks (''a'', ''b'')" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatif ''a'' dan ''b'' berbeda [[tingkat besaran]], maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potongan [[deret Taylor]]. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalam [[analisis numerik]], pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jika ''b'' jauh lebih besar dari ''a'', maka perhitungan langsung {{nowrap|(''a'' + ''b'') ''b''}} mengakumulasi nilai yang tidak dapat diterima [[galat pembulatan]], bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pula ''[[Kehilangan signifikans]]''.
 
Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jika ''a'' atau ''b'' adalah [[bilangan kardinal]] tak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya.<ref>Enderton menyebut pernyataan ini sebagai "Hukum Penyerapan Aritmatika Kardinal"; itu tergantung pada komparabilitas kardinal dan oleh karena itu pada [[Aksioma Pilihan]].</ref> Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.<ref>Enderton hal. 164</ref>
== Perkalian dengan teori himpunan ==
Hasil perkalian bilangan bulat bukan negatif dapat ditentukan dengan teori himpunan menggunakan [[Bilangan pokok#Perkalian Kardinal|bilangan pokok]] atau [[Aksioma Peano#Aritmetika| Aksioma Peano]]. Lihat [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|di bawah]] bagaimana cara mengalikan bilangan bulat sembarangan, lalu bilangan rasional sembarang. Produk dari bilangan riil didefinisikan dalam hal produk dari bilangan rasional, lihat [[konstruksi bilangan riil]].
 
Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:
== Lihat pula ==
:<math>a + \max(b,c) = \max(a+b,a+c).</math>
Untuk alasan ini, dalam [[geometri tropis]] mengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalah [[garis bilangan real diperluas|tak hingga negatif]].<ref>Mikhalkin hal. 1</ref> Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.<ref>Akian et al. hal. 4</ref>
 
Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melalui [[logaritma]]:
:<math>\log(a+b) \approx \max(\log a, \log b),</math>
yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma.<ref>Mikhalkin hal. 2</ref> Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstanta ''h'', dinamai dengan analogi dengan [[konstanta Planck]] dari [[mekanika kuantum]],<ref>Litvinov et al. hal. 3</ref> dan mengambil "[[batas klasik]]" sebagai ''h'' cenderung nol:
:<math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yang ''terdekuantisasi''.<ref>Viro hal. 4</ref>
 
===Cara lain untuk penambahan===
Kenaikan, juga dikenal sebagai [[Fungsi penerus|operasi penerus]], adalah penambahan {{num|1}} ke suatu bilangan.
 
[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret]].<ref>Stewart hal. 8</ref>
 
[[Pencacahan|Mencacah]] himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
 
[[Integral|Integrasi]] adalah semacam "penjumlahan" pada [[Kontinuum (teori himpunan)|kontinum]], atau lebih tepatnya dan secara umum, pada [[manifold terdiferensiasi]]. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
 
[[Kombinasi linear]] menggabungkan perkalian dan penjumlahan; ia adalah jumlah di mana setiap istilah memiliki pengali, biasanya [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Kombinasi linear sangat berguna dalam konteks di mana penambahan langsung akan melanggar beberapa aturan normalisasi, seperti [[strategi campuran|campuran]] dari [[strategi (teori permainan)|strategi]] dalam [[teori permainan]] atau [[superposisi kuantum|superposisi]] dari [[keadaan kuantum|keadaan]] dalam [[mekanika kuantum]].
 
[[Konvolusi]] digunakan untuk menambahkan dua [[variabel acak]] independen yang ditentukan oleh [[distribusi probabilitas|fungsi distribusi]]. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.
 
==Lihat pula==
* [[Perhitungan mental|Aritmetika mental]]
* [[PenambahanPenjumlahan paralel (matematika)]]
* [[Aritmetika verbal]] (juga dikenal sebagai kriptaritmakriptoaritma), teka-teki yang melibatkan penambahanpenjumlahan
 
==Catatan==
{{Notelist}}
 
== Catatan Kaki kaki==
{{Reflist}}
 
== Referensi ==
{{Refbegin}}
'''Sejarah'''
* {{cite book |first=José |last=Ferreirós |title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/labyrinthofthoug0000ferr |url-access=registration |publisher=Birkhäuser |year=1999 |isbn=978-0-8176-5749-9 }}
* {{cite book |first=Louis |last=Karpinski |author-link=Louis Charles Karpinski |title=The History of Arithmetic |publisher=Rand McNally |year=1925 |id={{LCC|QA21.K3}}}}
* {{cite book |first=Steven |last=Schwartzman |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw |url-access=registration |publisher=[[Mathematical Association of America|MAA]] |year=1994 |isbn=978-0-88385-511-9 }}
* {{cite book |first=Michael |last=Williams |title=A History of Computing Technology |url=https://archive.org/details/historyofcomputi0000will |url-access=registration |publisher=Prentice-Hall |year=1985 |isbn=978-0-13-389917-7 }}
 
'''Matematika elementer'''
* {{cite book |author1=Sparks, F. |author2=Rees C. |title=A Survey of Basic Mathematics |url=https://archive.org/details/surveyofbasicmat0000spar |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |isbn=978-0-07-059902-4}}
 
'''Pendidikan'''
Baris 336 ⟶ 447:
* [https://web.archive.org/web/20051228115904/http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/mthmain.asp California State Board of Education mathematics content standards] Adopted December 1997, accessed December 2005.
* {{cite book |author1=Devine, D. |author2=Olson, J. |author3=Olson, M. |title=Elementary Mathematics for Teachers |edition=2e |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |year=1991 |isbn=978-0-471-85947-5 |url=https://archive.org/details/elementarymathem0000devi }}
* {{cite book |author=National Research Council |title=Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics |publisher=[[United States National Academies|National Academy Press]] |year=2001 |isbn=978-0-309-06995-3 |author-link=United States National Research Council |url=http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |doi=10.17226/9822 |access-date=2021-03-14 |archive-date=2007-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070608181717/http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |dead-url=yes }}
* {{cite book |first=John |last=Van de Walle |title=Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally |edition=5e |publisher=Pearson |year=2004 |isbn=978-0-205-38689-5 |url=https://archive.org/details/elementarymiddle00vand }}
 
'''Ilmu kognitif'''
* {{cite book |last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}
* {{cite conference |first=Karen |last=Wynn |book-title=The Development of Mathematical Skills. |title=Numerical competence in infants |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=0-86377-816-X}}
 
'''Eksposisi matematika'''
* {{cite web |author=Bogomolny, Alexander |year=1996 |title=Addition |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |access-date=3 February 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |archive-date=April 26, 2006 |url-status=live }}
* {{cite book |first=William |last=Dunham |title=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-53656-7 }}
* {{cite book |first=Paul |last=Johnson |title=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse |publisher=Science Research Associates |year=1975 |isbn=978-0-574-19115-1}}
* {{cite book |first=Carl |last=Linderholm |year=1971 |title=Mathematics Made Difficult |publisher=Wolfe |isbn=978-0-7234-0415-6|title-link=Mathematics Made Difficult }}
* {{cite book |first=Frank |last=Smith |title=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit |url-access=registration |publisher=Teachers College Press |year=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6 }}
* {{cite book |first=Karl |last=Smith |title=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit |edition=3rd |publisher=Wadsworth |year=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8}}
 
'''Matematika tingkat lanjut'''
* {{cite book |first=George |last=Bergman |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |edition=2.3 |publisher=General Printing |year=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html }}
* {{cite book |first=Claude |last=Burrill |title=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau |publisher=McGraw-Hill |year=1967 |id={{LCC|QA248.B95}}}}
* {{cite book |author1=Dummit, D. |author2=Foote, R. |title=Abstract Algebra |edition=2 |publisher=Wiley |year=1999 |isbn=978-0-471-36857-1}}
* {{cite book |first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}
* {{cite book |first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{cite book |first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2 }}
* {{cite book |first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 }}
* {{cite book |first=James |last=Stewart |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=4 |publisher=Brooks/Cole |year=1999 |isbn=978-0-534-36298-0 |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew }}
 
Baris 369 ⟶ 480:
* {{Cite book |last=Viro |first=Oleg |year=2001 |url=http://www.math.uu.se/~oleg/dequant/dequantH1.html |title=European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper |editor1-first=Carles |editor1-last=Cascuberta |editor2-first=Rosa Maria |editor2-last=Miró-Roig |editor3-first=Joan |editor3-last=Verdera |editor4-first=Sebastià |editor4-last=Xambó-Descamps |publisher=Birkhäuser |location=Basel |isbn=978-3-7643-6417-5 |series=Progress in Mathematics |volume=201 |pages=135–146 |arxiv=math/0005163 |zbl=1024.14026 |bibcode=2000math......5163V }}
 
'''MenghitungKomputasi'''
* {{cite book |author1=Flynn, M. |author2=Oberman, S. |title=Advanced Computer Arithmetic Design |publisher=Wiley |year=2001 |isbn=978-0-471-41209-0}}
* {{cite book |author1=Horowitz, P. |author2=Hill, W. |title=The Art of Electronics |edition=2 |publisher=Cambridge UP |year=2001 |isbn=978-0-521-37095-0 |url=https://archive.org/details/artofelectronics00horo }}
* {{cite book |first=Albert |last=Jackson |title=Analog Computation |url=https://archive.org/details/analogcomputatio0000albe |publisher=McGraw-Hill |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|J3}}}}
* {{cite book |author1=Truitt, T. |author2=Rogers, A. |title=Basics of Analog Computers |url=https://archive.org/details/basicsofanalogco0000trui |publisher=John F. Rider |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|T7}}}}
* {{cite book |ref=MARG |language=fr |title=Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 |first=Jean |last=Marguin |year=1994 |publisher=Hermann |isbn=978-2-7056-6166-3}}
* {{cite book |ref=TATON63 |language=fr |title=Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 |first=René |last=Taton |year=1963 |pages=20–28 |publisher=Presses universitaires de France }}
{{Refend}}
 
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite conference |last1=Baroody |first1=Arthur |last2=Tiilikainen |first2=Sirpa |title=The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development |year=2003 |page=[https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 75] |isbn=0-8058-3155-X |publisher=Routledge |url=https://archive.org/details/developmentofari0000unse/page/75 }}
* {{cite book |last1=Davison |first1=David M. |last2=Landau |first2=Marsha S. |last3=McCracken |first3=Leah |last4=Thompson |first4=Linda |title=Mathematics: Explorations & Applications |edition=TE |publisher=Prentice Hall |year=1999 |isbn=978-0-13-435817-8}}
Baris 384 ⟶ 495:
* {{cite journal |last=Poonen |first=Bjorn |year=2010 |title=Addition |url=http://www.girlsangle.org/page/bulletin.php |journal=Girls' Angle Bulletin |volume=3 |issue=3–5 |issn=2151-5743}}
* {{cite conference |first=J. Fred |last=Weaver |book-title=Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction |year=1982 |page=60 |isbn=0-89859-171-6 |publisher=Taylor & Francis}}
 
{{Aritmetika dasar}}
{{Operasi-hiper}}
{{Authority control}}
 
[[Kategori:AritmetikaPenambahan| dasar]]
[[Kategori:OperasiAritmetika binerDasar]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Artikel dengan contoh kode C]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Penambahan"