Penambahan: Perbedaan antara revisi

{{Operasi aritmetika}}{{Terjemahan kaku|en|Addition}}[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]

'''Penambahan''' (disebut juga '''penjumlahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+"), adalah salah satu dari empat [[operasi (matematika)|operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".

Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[matriks (matematika)|matriks]].

Ada pula situasi dimanadi mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:

* Bilangan bulat dengan [[pecahan (matematika)|pecahan]] menunjukkan jumlah keduanya, yang disebut ''bilangan campuran''.<ref>Devine et al. p. 263</ref> Sebagai contoh, <br />{{spaces|6}}<math>3½\frac{1}{2} = 3 + ½\frac{1}{2} = 3.,5</math>.<br />Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain, [[wikt:jukstaposisi|juxtapositionjukstaposisi]] seperti ini menunjukkan [[perkalian]] sebagai gantinya.<ref>Mazur, Joseph. ''Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers''. Princeton University Press, 2014. p. 161</ref>

Jumlah dari sebuah [[deret (matematika)|deret]] dari bilangan terkait dapat diekspresikan melalui [[notasi sigma kapitalSigma]] yang secara kompak menunjukkan [[iterasi]]. Sebagai contoh,

Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagai '''istilahsuku''',<ref>Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics. Bagian 5.1</ref> '''tambahantinambah'''<ref name="Shmerko">{{cite book |last1=Shmerko |first1=V.P. |last2=Yanushkevich [Ânuškevič] |first2=Svetlana N. [Svitlana N.] |last3=Lyshevski |first3=S.E. |date=2009 |title=Computer arithmetics for nanoelectronics |publisher=[[CRC Press]] |page=80}}</ref><ref name="Schmid_1974"/><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Addition|url=https://mathworld.wolfram.com/Addition.html|access-date=2020-08-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> atau '''ringkasanpenjumlahan''';<ref>Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38</ref>

[[Tanda plus dan minus|Tanda plus]] "+" ([[Unicode]]:U+002B; [[ASCII]]: <code>&amp;#43;</code>) adalah singkatan dari kata Latin ''et'', yang berarti "dan".<ref>{{cite book |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations, Vol. 1 |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.200372 |year=1928 |publisher=The Open Court Company, Publishers |chapter=Asal dan arti dari tanda + dan -}}</ref> Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.<ref name="OED">{{OED|plus}}</ref>

Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat {{Section link||Bilangan asli}} dibawahdi bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.<ref>Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".</ref>

Ketika menambahkan [[0 (bilangan)|nol]] dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalah [[elemen identitas]] dari penambahan. Dalam simbol matematika, untuk ''ax'' apapun,

:''ax'' + 0 = 0 + ''ax'' = ''ax''.

Hukum ini pertama dikenali dalam ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' dari [[Brahmagupta]] pada tahun 628, meskipinmeskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakah ''a'' adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. Matematikawan India kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", correspondingsesuai todengan thepernyataan unary statement {{nowrap|1=0 + ''ax'' = ''ax''}}.<ref>Kaplan pp. 69–71</ref>

:Setiap bilangan ''x'', penjumlahan, memiliki '''[[penambahan invers penambahan]]''', <math>-x</math>, sehingga <math>x+(-x) = (-x)+x0</math>.

Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomena [[pembiasaan]]: [[infantbayi]] melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.<ref>Wynn p. 5</ref> Percobaan tersebut dimulai oleh [[Karen Wynn]] pada tahun 1992 yang melibatkan boneka [[Mickey Mouse]] yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap' {{nowrap|1 + 1}} menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa {{nowrap|1 + 1}} bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.<ref>Wynn p. 15</ref> Eksperimen tahun 1992 lainnya dengan [[balita]] yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bola [[ping-pong]] dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.<ref>Wynn p. 17</ref>

Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutama [[primata]]. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakan [[terong]] sebagai pengganti boneka), [[monyet rhesus]] dan [[cottontop tamarin berkepala kapas]] memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dari [[angka Arab]] 0 hingga 4, satu [[simpanse]] dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.<ref>Wynn p. 19</ref> Baru-baru ini, [[Gajah Asia]] telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.<ref>{{cite news |newspaper=The Guardian |last=Randerson |first=James |url=https://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |title=Elephants have a head for figures |date=21 August 2008 |access-date=29 March 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402103526/http://www.theguardian.com/science/2008/aug/21/elephants.arithmetic |archive-date=2 April 2015 |url-status=live }}</ref>

Biasanya, anak pertama menguasai [[menghitung]]. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat, ''lima''" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.<ref>F. Smith p. 130</ref> Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat, ''lima''." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("[[bilangan ikatan]]"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu {{nowrap|1=6 + 6 = 12}} dan kemudian beralasan bahwa {{nowrap|6 + 7}} adalah 13.<ref>{{Cite book |last=Carpenter |first=Thomas |author2=Fennema, Elizabeth |author3=Franke, Megan Loef |author4=Levi, Linda |author5=Empson, Susan |title=Children's mathematics: Cognitively guided instruction |publisher=Heinemann |year=1999 |location=Portsmouth, NH |isbn=978-0-325-00137-1 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/childrensmathema0000unse_i5h7 }}</ref> Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.<ref name=Henry>{{Cite journal |last=Henry |first=Valerie J. |author2=Brown, Richard S. |title=First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard |url=https://archive.org/details/sim_journal-for-research-in-mathematics-education_2008-03_39_2/page/153 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=39 |issue=2 |pages=153–183 |year=2008 |doi=10.2307/30034895|jstor=30034895 }}</ref>

==== Notasi Ilmiahilmiah ====

[[Komputer analog]] bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengan [[purata aritmetika|puratatuas]] [[tuasrataan aritmetik|perata-rata]]. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari dua [[poros]], maka ia ditambahkan dengan [[diferensial (mekanikotomotif)|diferensial]]. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkan [[tekanan]] dalam dua ruang dengan memanfaatkan [[hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] untuk menyeimbangkan gaya pada rakitan [[piston]]. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog tujuanadalah umum adalahketika menambahkan dua [[voltase]] (direferensikan ke [[ardepembumian (listrik)|lapangantanah]]); ini dapat dicapai secara kasar dengan [[resistor]] [[Rangkaian elektronik|jaringan]], tetapi desain yang lebih baik memanfaatkan [[penguat operasional]].<ref>Truitt and Rogers hlm. 1;44–49 dan hlm. 2;77–78</ref>

[[Blaise Pascal]] menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;<ref name="inventor">[[Penambahan#MARG|Jean Marguin]], hal. 48 (1994); Mengutip [[Penambahan#TATON63|René Taton]] (1963)</ref> ia adalah operasi pertama [[menambahkan mesin penambah]] pertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17<ref>Lihat [[Kalkulator Pascal#Desain bersaing|Desain bersaing]] di artikel kalkulator Pascal</ref> dan komputer digital otomatis paling awal. [[Kalkulator Pascal]] dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakan [[metode komplemen|komplekmen kalkulator Pascal]], yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan. [[Giovanni Poleni]] mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.

[[Penambah (elektronik)|Penambahbiner]] melakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakan [[aritmetika biner]]. Arsitektur paling sederhana adalah penambah penerusdengan riaksimpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain [[Penerusyang pintasbisa tambahan|lewatimelewati penerus]]simpan; apabilasesuai intuisi manusia, tidak melakukanperlu mengitung semua penerussimpan dalam komputasi {{nowrap|999 + 1}}, tetapi apabilabisa melewati grupsekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.<ref>Flynn and Overman hlm. 2, 8</ref>

int addtambah(int x, int y) {

int carrysimpan = 0;

carrysimpan = AND(x, y); // Logical AND logis

x = XOR(x, y); // Logical XOR logis

y = carrysimpan << 1; // left bitshift carrysimpan ke kiri bysatu onekali

int addtambah(int x, int y) {

return x if (y == 0) else addtambah(XOR(x, y), AND(x, y) << 1);

Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadi [[aritmetikaluapan limpah atasaritmetika]] terjadi, menghasilkan jawaban yang salah. AritmetikaLuapan limpaharitmetika atasyang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum dari [[bugkutu perangkat lunak(komputer)|kesalahankutu program]]. BugKutu limpahluapan atasseperti sepertiini bisa dimungkinkanjadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.<ref>Joshua Bloch, [http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html "Ekstra, Ekstra – Baca Semua Tentang Ini: Hampir Semua Pencarian Biner dan Penggabungan Rusak"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160401140544/http://googleresearch.blogspot.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html |date=2016-04-01 }}. Blog Riset Google Resmi, 2 Juni 2006.</ref> [[Masalah tahun 2000]] adalah serangkaian bugkutu dimanadi kesalahanmana limpahkesalahan atasluapan terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.<ref>{{cite journal |url=http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |title=The Risks Digest Volume 4: Issue 45 |journal=The Risks Digest |access-date=2015-03-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141228211038/http://catless.ncl.ac.uk/Risks/4.45.html |archive-date=2014-12-28 |url-status=live |last1=Neumann |first1=Peter G. }}</ref>

Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari [[himpunan hingga]], (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:

Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari [[Rekursi#Teorema rekursi|teorema rekursi]] pada [[himpunan terurut parsial]] '''N'''².<ref>Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan [[kondisi rantai turunan]], lihat Bergman hal. 100.</ref> Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu ''a'' untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada ''b'' untuk mendefinisikan fungsi "''a''  +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semua ''a'' dengan membentuk operasi biner penuh.<ref>Enderton (p. 79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."</ref>

Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut, {{math|''a'' – ''b''}} andsama dengan {{math|''c'' – ''d''}} are equal ifjika anddan onlyhanya ifjika {{math|1=''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''}}.

Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." ''Catatan Kuliah di Ilmu Komputer'' (1995).</ref> Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari [[urutan Cauchy]] dari rasional, lim  ''a''_''n''. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:

Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[perkalian skalar]] suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:

Dalam [[aritmetika modular]], penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.

Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat [[tabel matematika|tabel]] dari [[logaritma]] dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada [[mistar geserhitung]]. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas [[grup Lie]], dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam [[aljabar Lie]] yang terkait.<ref>Lee hal. 526, Proposisi 20.9</ref>

[[Pembagian (matematika)|Pembagian]] adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena {{nowrap|1=''a''/''b'' = ''a''(''b''⁻¹)}}, pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a''/''c'' + ''b''/''c''}}.<ref>Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.</ref> Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; {{nowrap|1 / (2 + 2)}} tidak sama dengan {{nowrap|1/2 + 1/2}}.

[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret]]].<ref>Stewart hal. 8</ref>

[[MenghitungPencacahan|Mencacah]] himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.

* {{cite book |first=José |last=Ferreirós |title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/labyrinthofthoug0000ferr |url-access=registration |publisher=Birkhäuser |year=1999 |isbn=978-0-8176-5749-9 }}

* {{cite book |first=Steven |last=Schwartzman |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw |url-access=registration |publisher=[[Mathematical Association of America|MAA]] |year=1994 |isbn=978-0-88385-511-9 }}

* {{cite book |first=Michael |last=Williams |title=A History of Computing Technology |url=https://archive.org/details/historyofcomputi0000will |url-access=registration |publisher=Prentice-Hall |year=1985 |isbn=978-0-13-389917-7 }}

* {{cite book |author=National Research Council |title=Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics |publisher=[[United States National Academies|National Academy Press]] |year=2001 |isbn=978-0-309-06995-3 |author-link=United States National Research Council |url=http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |doi=10.17226/9822 |access-date=2021-03-14 |archive-date=2007-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070608181717/http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html |dead-url=yes }}

* {{cite book |last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}

* {{cite web |author=Bogomolny, Alexander |year=1996 |title=Addition |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |access-date=3 February 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |archive-date=April 26, 2006 |url-status=live }}

* {{cite book |first=William |last=Dunham |title=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-53656-7 }}

* {{cite book |first=Paul |last=Johnson |title=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse |publisher=Science Research Associates |year=1975 |isbn=978-0-574-19115-1}}

* {{cite book |first=Frank |last=Smith |title=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit |url-access=registration |publisher=Teachers College Press |year=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6 }}

* {{cite book |first=Karl |last=Smith |title=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit |edition=3rd |publisher=Wadsworth |year=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8}}

* {{cite book |first=George |last=Bergman |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |edition=2.3 |publisher=General Printing |year=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html }}

* {{cite book |first=Claude |last=Burrill |title=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau |publisher=McGraw-Hill |year=1967 |id={{LCC|QA248.B95}}}}

* {{cite book |first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}

* {{cite book |first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}

* {{cite book |first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2 }}

* {{cite book |first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 }}

* {{cite book |first=Albert |last=Jackson |title=Analog Computation |url=https://archive.org/details/analogcomputatio0000albe |publisher=McGraw-Hill |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|J3}}}}

* {{cite book |author1=Truitt, T. |author2=Rogers, A. |title=Basics of Analog Computers |url=https://archive.org/details/basicsofanalogco0000trui |publisher=John F. Rider |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|T7}}}}