Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20220109)) #IABot (v2.0.8.5) (GreenC bot |
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (9 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{redirect|Penjumlahan}}
{{Operasi aritmetika}}{{Terjemahan kaku|en|Addition}}[[Berkas:Addition01.svg|ka|jmpl|120px|3 + 2 = 5 dengan [[apel]] pilihan paling populer dalam buku cetak<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
'''Penambahan''', sering ditandai dengan [[Tanda plus dan minus|tanda plus]] "+", adalah salah satu dari empat [[operasi (matematika)|operasi]] [[aritmetika]] dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompok [[bilangan]] atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebut ''jumlah''. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "{{nowrap|1=3 + 2 = 5}}", disebut "3 di''tambah'' 2 [[kesamaan (matematika)|sama dengan]] 5".
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupa [[bilangan]], di antaranya [[bilangan bulat]], [[bilangan real]], dan [[bilangan kompleks]]. Dalam cabang matematika lain yang disebut [[aljabar]], penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya seperti [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[matriks (matematika)|matriks]].
Baris 235 ⟶ 236:
=== Bilangan asli ===
{{further|Bilangan asli}}
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan asli ''a'' dan ''b''. Jika bilangan asli didefinisikan sebagai [[Bilangan kardinal|kardinalitas]] dari [[himpunan hingga]], (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
* Misalkan N(''S'') adalah lambang untuk kardinalitas himpunan ''S''. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepas ''A'' dan ''B'', dengan {{nowrap|1=N(''A'') = ''a''}} dan {{nowrap|1=N(''B'') = ''b''}}. Maka {{nowrap|''a'' + ''b''}} didefinisikan sebagai <math> N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p. 49, Johnson p. 120, Devine et al. p. 75</ref>
Di sini, {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} adalah [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari ''A'' dan ''B''. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkan ''A'' dan ''B'' bertindih dan kemudian mengambil [[satuan disjoin]], mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Baris 242 ⟶ 243:
* Misalkan ''n''<sup>+</sup> adalah lambang untuk [[fungsi penerus|penerus]] dari ''n'', yaitu bilangan setelah ''n'' dalam himpunan bilangan asli, jadi 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2. Definisikan {{nowrap|1=''a'' + 0 = ''a''}}. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursi {{nowrap|1=''a'' + (''b''<sup>+</sup>) = (''a'' + ''b'')<sup>+</sup>}}. Jadi misalnya {{nowrap|1=1 + 1 = 1 + 0<sup>+</sup> = (1 + 0)<sup>+</sup> =}} {{nowrap|1=1<sup>+</sup> = 2}}.<ref>Enderton hal. 79</ref>
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dari [[Rekursi#Teorema rekursi|teorema rekursi]] pada [[himpunan terurut parsial]] '''N'''<sup>2</sup>.<ref>Untuk versi yang berlaku untuk pohimpunan apa pun dengan [[kondisi rantai turunan]], lihat Bergman hal. 100.</ref> Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satu ''a'' untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi pada ''b'' untuk mendefinisikan fungsi "''a''
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.<ref>Ferreirós p. 223</ref> Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakan [[induksi matematika]].
Baris 284 ⟶ 285:
[[Berkas:AdditionRealCauchy.svg|right|250px|thumb|Menjumlahkan π<sup>2</sup>/6 dan ''e'' menggunakan deret rasional Cauchy.]]
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.<ref>Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari." ''Catatan Kuliah di Ilmu Komputer'' (1995).</ref> Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dari [[urutan Cauchy]] dari rasional, lim
* Define <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n).</math><ref>Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.</ref>
Definisi ini pertama kali diterbitkan oleh [[Georg Cantor]], juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.<ref>Ferreirós hal. 128</ref>
Baris 302 ⟶ 303:
==== Vektor ====
{{Main|Penjumlahan vektor}}
Dalam [[aljabar linear]], [[ruang vektor]] adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara dua [[vektor (spasial)|vektor]] dan [[perkalian skalar]] suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (''a'',''b'') dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (''a'',''b''). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
:<math>(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d).</math>
Operasi penambahan ini penting sekali bagi [[mekanika klasik]], di mana [[gaya (fisika)|gaya]] ditafsirkan sebagai vektor.
Baris 362 ⟶ 363:
==== Aritmetika modular ====
{{Main|Aritmetika modular}}
Dalam [[aritmetika modular]], penambahan dua bilangan bulat hasilnya sama dengan bilangan bulat yang [[Relasi kongruensi|kongruen]] dengan jumlah kedua bilangan bulat tersebut.
==== Teori umum ====
Baris 410 ⟶ 411:
Kenaikan, juga dikenal sebagai [[Fungsi penerus|operasi penerus]], adalah penambahan {{num|1}} ke suatu bilangan.
[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret
[[Pencacahan|Mencacah]] himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
Baris 450 ⟶ 451:
'''Ilmu kognitif'''
* {{cite book |last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5}}
* {{cite conference |first=Karen |last=Wynn |book-title=The Development of Mathematical Skills. |title=Numerical competence in infants |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=0-86377-816-X}}
Baris 456 ⟶ 457:
* {{cite web |author=Bogomolny, Alexander |year=1996 |title=Addition |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |access-date=3 February 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |archive-date=April 26, 2006 |url-status=live }}
* {{cite book |first=William |last=Dunham |title=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-53656-7 }}
* {{cite book |first=Paul |last=Johnson |title=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse |publisher=Science Research Associates |year=1975 |isbn=978-0-574-19115-1}}
* {{cite book |first=Carl |last=Linderholm |year=1971 |title=Mathematics Made Difficult |publisher=Wolfe |isbn=978-0-7234-0415-6|title-link=Mathematics Made Difficult }}
* {{cite book |first=Frank |last=Smith |title=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit |url-access=registration |publisher=Teachers College Press |year=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6 }}
* {{cite book |first=Karl |last=Smith |title=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit |edition=3rd |publisher=Wadsworth |year=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8}}
'''Matematika tingkat lanjut'''
* {{cite book |first=George |last=Bergman |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |edition=2.3 |publisher=General Printing |year=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html }}
* {{cite book |first=Claude |last=Burrill |title=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau |publisher=McGraw-Hill |year=1967 |id={{LCC|QA248.B95}}}}
* {{cite book |author1=Dummit, D. |author2=Foote, R. |title=Abstract Algebra |edition=2 |publisher=Wiley |year=1999 |isbn=978-0-471-36857-1}}
* {{cite book |first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0}}
* {{cite book |first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{cite book |first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart |publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2 }}
* {{cite book |first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 }}
Baris 482 ⟶ 483:
* {{cite book |author1=Flynn, M. |author2=Oberman, S. |title=Advanced Computer Arithmetic Design |publisher=Wiley |year=2001 |isbn=978-0-471-41209-0}}
* {{cite book |author1=Horowitz, P. |author2=Hill, W. |title=The Art of Electronics |edition=2 |publisher=Cambridge UP |year=2001 |isbn=978-0-521-37095-0 |url=https://archive.org/details/artofelectronics00horo }}
* {{cite book |first=Albert |last=Jackson |title=Analog Computation |url=https://archive.org/details/analogcomputatio0000albe |publisher=McGraw-Hill |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|J3}}}}
* {{cite book |author1=Truitt, T. |author2=Rogers, A. |title=Basics of Analog Computers |url=https://archive.org/details/basicsofanalogco0000trui |publisher=John F. Rider |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|T7}}}}
* {{cite book |ref=MARG |language=fr |title=Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 |first=Jean |last=Marguin |year=1994 |publisher=Hermann |isbn=978-2-7056-6166-3}}
* {{cite book |ref=TATON63 |language=fr |title=Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 |first=René |last=Taton |year=1963 |pages=20–28 |publisher=Presses universitaires de France }}
| |||