Masalah Monty Hall: Perbedaan antara revisi

 

'''Masalah Monty Hall''' adalah sebuah teka-teki yang melibatkan [[probabilitas]] dan berasal dari sebuah acara permainan Amerika ''[[Let's Make a Deal]]''. Nama masalah ini berasal dari nama pembawa acara tersebut, [[Monty Hall]]. Masalah ini juga disebut sebagai '''paradoks Monty Hall'''; ia adalah [[paradoks]] dalam artian penyelesaian masalah tersebut adalah berlawanan dengan intuisi seseorang.

 

== Masalah ==

 

{{Cquote|Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? ([[#refWhitaker1990|Whitaker 1990]])}}

{{Cquote|Apabila Anda berada dalam suatu acara kuis di TV dan diberikan pilihan untuk memilih tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah mobil dan dua lainnya terdapat kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya pintu No. 1, dan pembawa acara yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, misalnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa acara tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin memilih pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?}}

 

{{Cquote|Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? ([[#refKraussandWang2003|Krauss and Wang 2003:10]])}}

 

Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka acara akan membuka pintu yang mana ([[#refMorganetal1991|Morgan dkk. 1991]]). Hal ini berarti jika banyak pemain secara acak memilih untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang memilih untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang memilih untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan mobil tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan menggunakan komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula bagian [[#Simulasi|Simulasi]] di bawah).

 

 

== Sumber kerancuan ==

 

Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada ''Majalah Parade'' tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas ([[#refGranbergandBrown1995|Granberg and Brown, 1995:712]]). Krauss dan Wang ([[#refKraussandWang2003|2003:10]]) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. ([[#refMueserandGranberg1999|Mueser and Granberg, 1999]]). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang ([[#refFalk1992|Falk 1992:202]]). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. ([[#refFoxandLevav2004|Fox and Levav, 2004:637]]).

 

 

Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan [[probabilitas bersyarat]] kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa acara buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini adalah pertanyaan yang berbeda secara matematika dan memiliki jawaban yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa acara memilih pintu yang dia buka apabila pilihan awal pemain adalah mobil ([[#refMorganetal1991|Morgan dkk., 1991]]; [[#refGillman1992|Gillman 1992]]). Sebagai contoh, jika pembawa acara sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya memilih Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan adalah 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa acara telah membuka Pintu 3. Oleh karena itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laku pembawa acara menjadikan jawaban probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa acara buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) ([[#refMorganetal1991|1991]]).

 

=== Mengapa probabilitasnya bukanlah 1/2 ===

 

Hal ini dapat kita mengerti apabila kita bandingkan dengan variasi masalah yang diajukan vos Savant pada bulan November 2006. Dalam versi yang berbeda ini, Monty Hall lupa pintu mana yang di belakangnya terdapat mobil. Dia kemudian membuka pintu secara acak dan lega setelah mengetahui pintu yang dia buka ternyata terdapat kambing. Apabila ditanyai apakah kontestan ingin mengalihkan pilihan, vos Savant menjawab, "Jika pembawa acara saja tidak tahu, maka tidak ada bedanya antara tetap pada pilihan maupun mengalihkan pilihan. Jika dia tahu, maka alihkanlah pilihan." ([[#refvosSavant2006|vos Savant, 2006]]).

 

::{| class="wikitable"

|-

| Kambing A || Mobil || Kambing B

Dalam dua kasus pertama, pembawa acara menampakkan mobil. Namun seperti yang telah dinyatakan dalam masalah awal, pembawa acara pasti akan menampakkan kambing, sehingga:

::{| class="wikitable"

|-

| Kambing A|| Kambing B || <span style="border:1px solid gray;">Mobil</span>

 

=== Menggabungkan pintu ===

lain memiliki probabilitas sebesar 2/3.]]

Daripada membuka salah satu pintu dan menunjukkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita dapat melakukan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut adalah setara karena pemain tidak bisa dan tidak akan memilih pintu yang telah terbuka ([[#refAdams1990|Adams 1990]]; [[#refDevlin2003|Devlin 2003]]; [[#refWilliams2004|Williams 2004]]; [[#refStibeletal2008|Stibel dkk., 2008]]). Oleh karena itu pemain hanya memiliki dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang memiliki probabilitas 2/3.

 

Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil) secara acak.

 

== Analisis Bayes ==

Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori [[probabilitas Bayes]] ([[#refGill2002|Gill 2002]]) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi ''latar belakang'' apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:

 

 

Sebagai contoh, <math>C_1\,</math> menandakan proposisi ''mobil di belakang pintu 1'' dan <math>H_{12}\,</math> menandakan ''pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1''. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan <math>I\,</math>, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:

* [[Masalah Tiga Tahanan]]

* [[Masalah dua amplop]]

 

== Referensi ==

 

-->

* <cite id=refBapeswaraRao1992>Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". ''The Mathematical Scientist'' '''17'''(2): 89–94.</cite>

* <cite id=refBarbeau2000>Barbeau, Edward (2000). ''Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam''. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-529-1.</cite>

|authorlink=Keith Devlin

|date=July – August 2003

* <cite id=refFalk1992>Falk, Ruma (1992). "A closer look at the probabilities of the notorius three prisoners," ''Cognition'' '''43''': 197–223.</cite>

* <cite id=refFlitney2002>Flitney, Adrian P. and [[Derek Abbott|Abbott, Derek]] (2002). "Quantum version of the Monty Hall problem," ''Physical Review A'', '''65''', Art. No. 062318, 2002.</cite>

* <cite id=refFoxandLevav2004>Fox, Craig R. and Levav, Jonathan (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability," ''Journal of Experimental Psychology: General'' '''133'''(4): 626-642.</cite>

* <cite id=refGardner1959>[[Martin Gardner|Gardner, Martin]] (1959). "Mathematical Games" column, ''Scientific American'', October 1959, pp. 180–182. Reprinted in ''The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions''.</cite>

* <cite id=refGill2002>[[Jeff Gill|Gill, Jeff]] (2002). ''Bayesian Methods'', pp. 8–10. CRC Press. ISBN 1-58488-288-3.</cite>

* <cite id=refGillman1992>[[Leonard Gillman|Gillman, Leonard]] (1992). "The Car and the Goats," ''American Mathematical Monthly'' '''99''': 3–7.</cite>

* <cite id=refGranberg1996>Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, ''The Power of Logical Thinking''. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.</cite>

* <cite id=refGranbergandBrown1995>Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1999). "The Monty Hall Dilemma," ''Personality and Social Psychology Bulletin'' '''21'''(7): 711-729.</cite>

* <cite id=refMartin1989>Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", ''Bridge Today'', May–June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), ''For Experts Only'', Granovetter Books.</cite>

* <cite id=refMorganetal1991>Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). [http://links.jstor.org/sici?sici=0003-1305(199111)45%3A4%3C284%3ALMADTP%3E2.0.CO%3B2-7 "Let's make a deal: The player's dilemma,"] ''American Statistician'' '''45''': 284-287.</cite>

* <cite id=refSelvin1975a>Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). ''American Statistician'' '''29'''(1): 67 (February 1975).</cite>

* <cite id=refSelvin1975b>Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). ''American Statistician'' '''29'''(3): 134 (August 1975).</cite>

* <cite id=refTierney1991>[[John Tierney (journalist)|Tierney, John]] (1991). "[http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?]", ''The New York Times'', [[1991-07-21]]. Retrieved on [[2008-01-18]].</cite>

* <cite id=refTierney2008>Tierney, John (2008). "[http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08tier.html And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw]", ''The New York Times'', [[2008-04-08]]. Retrieved on [[2008-04-08]].</cite>

* <cite id=refvosSavant1990>[[Marilyn vos Savant|vos Savant, Marilyn]] (1990). "Ask Marilyn" column, ''Parade Magazine'' p. 16 ([[9 September]] [[1990]]).</cite>

* <cite id=refvosSavant2006>vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, ''Parade Magazine'' p. 6 ([[26 November]] [[2006]]).</cite>

* <cite id=refWilliams2004>{{cite web

<!-- {{cite journal | author = Marilyn vos Savant | date = [[November 26]]–[[December 2]] [[2006]] | title = Ask Marilyn | journal = Parade Classroom Teacher's Guide | pages = 3 | url = http://www.paradeclassroom.com/tg_folders/2006/1126/TG_11262006.pdf | format = [[PDF]] | accessdate = 2006-11-27 }} -->

== Pranala luar ==

* {{dmoz|Science/Math/Recreations/Famous_Problems/Monty_Hall/|Monty Hall}}

* "[http://demonstrations.wolfram.com/MontyHallParadox/ Monty Hall Paradox]" oleh Matthew R. McDougal, [[The Wolfram Demonstrations Project]] (simulasi)

* [http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html The Monty Hall Problem] di ''The New York Times'' (simulasi)