Aturan sinus: Perbedaan antara revisi

"... .Spherical geometry was based on Menelaus's Spherics (and, in particular, its theorem IIIJ.1) and gave rise through Abu'l-Wafii' al-Buzjani (940-997/8) to the law of sines for spherical triangles,

Pada abad ke-11, buku [[Ibn Muʿādh al-Jayyānī]]' mengandung hukum sinus secara umum.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|date=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/37996126|title=Histoire des sciences arabes|location=Paris|isbn=2-02-030355-8|others=Rushdī Rāshid, Régis Morelon|oclc=37996126}}</ref> Hukum sinus pada bidang [datar] kemudian dinyatakan oleh [[Nasir al-Din al-Tusi|Nashiruddin ath-Thusi]] pada abad ke-13.<ref name=":0" /> Dalam karyanya ''Tentang Gambar Sektor'', <!-- Bahasa Inggris: On the Sector Figure. Saya menerjemahkan dengan menggunakan asumsi Sector memiliki artian yang sama dengan definisi kata "sektor" di KBBI, "tembereng tajam". Tolong koreksi. --Kekavigi -->ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola, dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini.<ref>{{cite book|last=Berggren|first=J. Lennart|year=2007|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11485-9|page=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518]|chapter=Mathematics in Medieval Islam}}</ref>

Pada abad ke-15, matematikawan Jerman [[Regiomontanus]] menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan [[segitiga siku-siku]]. Solusi yang tertulis pada Buku IV-nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum.<ref>Glen Van Brummelen (2009). "''[https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC&pg=&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry]''". Princeton University Press. p.259. {{isbn|0-691-12973-8}}</ref>

Ketika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga, kasus ambigu dapat terjadi ketika terdapat dua segitiga dapat dibuat dari informasi yang diketahui (dengan kata lain, akan menghasilkan dua solusi berbeda). Kasus ini mungkin saja terjadi karena ada dua nilai sudut yang benar antara 0° dan 180° yang memiliki nilai sinus yang sama.

Pada identitas<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},</math>ketiga pecahan tersebut memiliki nilai yang sama dengan panjang [[diameter]] dari [[lingkaran luar]] segitiga. Bukti mengenai hal ini dapat ditelusuri sampai ke [[Ptolemy]].<ref>Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967</ref><ref name=":02">{{Cite web|title=Law of Sines|url=http://www.pballew.net/lawofsin.html|website=www.pballew.net|access-date=2018-09-18|archive-date=2018-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180910164536/http://www.pballew.net/lawofsin.html|dead-url=yes}}</ref>

Seperti terlihat pada gambar, misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga <math> \triangle ABC</math>, dan memuat segitiga lain <math> \triangle ADB</math> yang sisinya melewati pusat lingkaran '''O'''.<ref group="nb">Memuat, dalam artian semua titik sudut segitiga terletak pada lingkaran.</ref> Sudut <math> \angle AOD</math> memiliki [[sudut pusat]] sebesar <math> 180^\circ</math>, sehingga sudut <math> \angle ABD = 90^\circ</math>. Karena merupakan segitiga siku-siku, pada segitiga <math> \triangle ABD</math> merupakan segitiga siku-siku, berlaku<math display="block"> \sin{\delta}= \frac{\text{sisi lawandepan}}{\text{hipotenusamiring}}= \frac{c}{2R},</math>

dengan <math display="inline"> R= \frac{d}{2}</math> adalah radiusjari-jari dari lingkaran yang memuat segitiga.<ref name=":02" /> Sudut <math>{\gamma}</math> dan <math>{\delta}</math> memiliki sudut pusat yang sama, sehingga besar sudut mereka sama: <math>{\gamma} = {\delta}</math>. Maka disimpulkan,<math display="block"> \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.</math>Dengan menyusun kembali suku-suku, dihasilkan<math display="block"> 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.</math>Proses di atas dapat diulangi dengan membentuk <math> \triangle ADB</math> yang berbeda, sehingga menghasilkan persamaan

Dalam [[geometri hiperbolik]] dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadi<math display="block">\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.</math>Pada kasus khusus dengan {{math|''B''}} berupa sudut siku-siku, dihasilkan<math display="block">\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b} </math>yang mirip dengan rumus pada [[geometri Euklides]], yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi hipotenusa.

Misalkan radius dari bola adalah 1. Misalkan pula {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}} adalah panjang dari segmen-segmen lingkaran besar yang menjadi sisi-sisi segitiga. Karena bola berupa bola satuan, panjang {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}} sama dengan besar-besar sudut (dalam [[radian]]) dari pusat bola, yang membentuk segmen-segmen lingkaran besar. Misalkan juga {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, dan {{math|''C''}} adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan masing-masing sisi segitiga. Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.</math>