Geometri aljabar: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
123569yuuift (bicara | kontrib)
Sudah tersedia
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot
 
(10 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 7:
'''Geometri aljabar''' merupakan cabang [[matematika]] yang mempelajari akar dari suatu [[Polinomial|suku banyak]]. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari [[aljabar abstrak]] seperti aljabar komutatif dan [[teori kategori]]. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.<ref>{{Cite book|title=Foundations of Algebraic Geometry|last=Vakil|first=Ravi|date=2017|publisher=|isbn=|location=|pages=|url-status=live}}</ref>
 
Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti [[garis]], [[parabola]], [[elips]], [[kurva eliptik]] dan lain-lain.
 
Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, [[topologi]], [[teori bilangan]], [[teori kategori]], dan lain-lain.
Baris 18:
Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah.
* Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam [[bidang tertutup aljabar]].
* [[Geometri aljabar nyata|Geometri aljabar]] real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik nyatareal dari suatu ragam aljabar.
* [[Geometri Diofantin]] dan, secara lebih umum, [[geometri aritmetika]] adalah studi tentang titik variasivarietas aljabar dengan koordinat di [[bidang (matematika)|bidang]] yang tidak [[tertutup secara aljabar]] dan terjadi di [[teori bilangan aljabar]], seperti bidang [[bilangan rasional]], [[bidang bilangan]], [[bidang terbatas]], [[bidang fungsi aljabar|bidang fungsi]], dan [[bilangan p-adicadik]].
* Sebagian besar [[Teori Singularitas#Singularitas dalam geometri aljabar|teori singularitas]] dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
* [[#Geometri aljabar komputasi|Geometri aljabar komputasi]] adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan [[aljabar komputer]], dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari [[algoritmaalgoritme]] desain dan [[perangkat lunak]] pengembangan untuk mempelajari propertisifat dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.
 
Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam [[topologi]], [[geometri diferensial|diferensial]] dan [[geometri kompleks]]. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah [[Grothendieck]] pada [[teori skema]] yang memungkinkan seseorangsalah satunya untuk menggunakan [[teori sheafgemal]] untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi [[lipatanManifold diferensial|lipatan diferensial]] dan [[lipatanManifold kompleks|lipatan analitik]]. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari variasivarietas afin dapat diidentifikasi, melalui [[Hilbert Nullstellensatz]], dengan [[ideal maksimal]] dari [[gelanggang koordinat]], sedangkan titik dari skema affineafin yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa pointitik dari skema seperti itu dapat berupa pointitik biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan pointitik kompleks, dan teori bilangan aljabar. [[Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat|Bukti Wiles]] dari konjeykonjektur lemmalema yang disebut [[Teorema terakhir Fermat]] adalah contoh kekuatan pendekatan ini.
 
== Pengertian dasar ==
Baris 30:
=== Angka nol dari polinomial simultan ===
[[Berkas:Slanted circle.png|thumb|right|Bola dan lingkaran miring]]
Dalam geometri aljabar klasik, objek utama yang menarik adalah kumpulan kumpulan [[polinomial]] yang hilang, artinya himpunan semua titik yang secara bersamaan memenuhi satu atau lebih [[sistem persamaan polinomial|persamaan polinomial]]. Misalnya, [[N-bola|dua dimensi]] pada [[bola (geometri)|bola]] dengan radiusjari-jari 1 dalam tiga dimensi dalam [[Ruang Euklides]] '''R'''<supmath>\R^3</supmath> dapat didefinisikan sebagai himpunan semua pointitik <math>(''x'', ''y'', ''z'')</math> dengan
 
:<math>x^2+y^2+z^2-1=0.\,</math>
 
Lingkaran "miring" pafapafd '''R'''<supmath>\R^3</supmath> dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik <math>(''x'', ''y'', ''z'')</math> yang memenuhi dua persamaan polinomial
 
:<math>x^2+y^2+z^2-1=0,\,</math>
:<math>x+y+z=0.\,</math>
 
== Varietas Affineafin ==
{{main|Varietas Affineafin}}
 
Pertama kita mulai dengan [[bidang (matematika)|bidang]] ''<math>k''</math>. Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks '''<math>\mathbb{C'''}</math>, tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa ''<math>k''</math> saja [[bidang tertutup aljabar|tertutup secara aljabar]]. KamiKita menganggap [[ruang affine|ruang afin]] dari dimensi ''<math>n'' di</math> atas ''<math>k''</math>, dilambangkan '''A'''<supmath>\mathbf{A}^n</sup>(''k'')</math> (atau lebih sederhananya '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath>, ketika ''<math>k''</math> jelas dari konteksnya). Ketika seseorangsalah memperbaikisatunya menetapkan sistem koordinat, seseorangsalah satunya dapat mengidentifikasi '''A'''<supmath>\mathbf{A}^n</sup>(''k'')</math> dengan ''k''<supmath>''k^n''</supmath>. Tujuan tidak bekerja dengan ''k''<supmath>''k^n''</supmath> adalah untuk menekankan bahwa seseorangsalah satunya "melakukan" sesuatu dengan struktur [[ruang vektor]] pada ''k''<supmath>k^n</supmath>.
 
Fungsi ''<math>f'':'''\colon \mathbf{A'''<sup>''}^n''</sup> \to '''\mathbf{A'''<sup>}^1</supmath> dikatakan sebagai ''polinomial'' (atau ''regular'') jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial ''<math>p''</math> maka ''<math>k''[''x''<sub>1</sub>x_1,...\dots,''x''<sub>''n''x_n]</submath>] merupakan ''<math>f''(''M'') = ''p''(''t''<sub>1</sub>t_1,...\dots,''t''<sub>''n''t_n)</submath>) untuk titik ''<math>M''</math> dengan koordinat (''t''<sub>1</submath>(t_1,...\dots,''t''<sub>''n''t_n)</submath>) indi '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath>. PropertiSifat suatu fungsi menjadi polinomial (atau regulerberaturan) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath>.
 
Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi regulerberaturan pada ''<math>n''</math> sebagai ruang affineafin dapat diidentifikasi dengan gelanggang [[fungsi polinomial]] dalam variabel ''<math>n''</math> pada ''<math>k''</math>. Oleh karena itu, himpunan fungsi regulerberaturan pada '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath> adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan ''<math>k''['''\mathbf{A'''<sup>''}^n'']</supmath>].
 
KamiKita mengatakan bahwa polinomial ''menghilanglenyap'' pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan ''<math>S''</math> adalah kumpulan polinomial masuk ''<math>k''['''\mathbf{A'''<sup>}^n]</supmath>]. ''Himpunan menghilanglenyap dari <math>S</math>'' atau ''himpunan nol'' adalah himpunan ''<math>V''(''S'')</math> dari semua titik di '''A'''<sup>''n''</sup> di mana setiap polinomial pada ''<math>S''</math>. Secara simbolis,
 
:<math>V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ foruntuk allsemua } p \in S\}.\,</math>
 
Bagian dari '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath> yang mana adalah ''<math>V''(''S'')</math>, untuk beberapasuatu ''<math>S''</math>, disebut ''himpunan aljabar''. ''<math>V''</math> adalah singkatan dari ''varietas'' (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).
 
Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan [[topologi Zariski]], sebuah topologi aktif '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath> yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar ''<math>k''['''\mathbf{A'''<sup>''}^n'']</supmath>]. Kemudian ''<math>U'' = ''V''(''I''(''U''))</math> adalah ''<math>U''</math> bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh [[Hilbert's Nullstellensatz]]. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian ''<math>I''(''V''(''S''))</math> adalah [[radikal ideal|radikal]] dari ideal yang dihasilkan oleh ''<math>S''</math>. Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada [[koneksi Galois]], yang memunculkan dua [[operator penutupan]]; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; [[koneksi Galois#Contoh|contoh]] diuraikan pada koneksi Galois.
 
Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar ''<math>U''</math>. [[Teorema dasar Hilbert]] menyiratkan bahwa cita-citaideal dalam ''<math>k''['''\mathbf{A'''<sup>''}^n'']</supmath>] selalu dihasilkan tanpaterbangkit batashingga.
 
Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan '' varietas yang tidak dapat direduksi taktereduksi'' untuk membuat perbedaan bila diperlukan.
 
=== Fungsi biasaberaturan ===
{{main|Fungsi biasaberaturan}}
 
Sama seperti [[fungsi berkelanjutankontinu]] adalah peta alami pada [[ruang topologi]] dan [[fungsi mulus]] adalah peta alami pada [[lipatanmanifold diferensial]], adaterdapat kelas fungsi alami pada himpunan aljabar, yang disebut '' fungsi reguler beraturan'' atau '' fungsi polinomial ''. Fungsifungsi regulerberaturan pada himpunan aljabar '' <math>V ''</math> yang terdapat di '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath> adalah batasan untuk '' <math>V ''</math> dari fungsi regulerberaturan di '''A'''<supmath>''\mathbf{A}^n''</supmath>. Untuk himpunan aljabar yang ditentukan pada bidang [[bilangan kompleks]], fungsi regulernyaberaturannya adalah mulus dan genap [[fungsi analitik|analitik]].
 
Mungkin tampak membatasi secara tidak wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi regulerberaturan selalu diperluas ke ruang ambiensekitar, tetapi sangat mirip dengan situasi pada [[ruang normal|normal]] [[ruang topologi]], dimana [[Teorema ekstensikeberadaan Tietze]] menjamin bahwa fungsi kontinu pada subset[[himpunan bagian]] tertutup selalu meluas ke ruang topologi ambiensekitar.
 
Seperti halnya fungsi regulerberaturan pada ruang affineafin, fungsi regulerberaturan pada '' <math>V ''</math> membentuk sebuah gelanggang, yang kamikita nyatakan dengan ''<math>k''[''V'']</math>. CincinGelanggang ini disebut '' [[koordinat gelanggang]] dari <math>V</math> ''.
 
== Geometri aljabar nyatareal ==
{{main|Geometri aljabar nyatareal}}
 
Geometri aljabar nyatareal adalah ilmu yang mempelajari titik-titik nyatareal dari varietas aljabar.
 
Fakta bahwa bidang [[Bilangan riil|bilangan real]] adalah [[bidang terurut]] tidak dapat diabaikan dalam studi semacam itu. Misalnya, kurva persamaan <math>x^2+y^2-a=0</math> adalah lingkaran jika <math> a>0</math>, tetapi tidak memiliki pointitik nyatareal jika <math> a<0</math>. Oleh karena itu, geometri aljabar nyatareal tidak hanya mempelajari varietas aljabar nyatareal, tetapi telah digeneralisasikan untuk mempelajari ''himpunan semi-aljabar'', yang merupakan solusipenyelesaian dari sistem persamaan polinomial dan pertidaksamaan polinomial. Misalnya, cabang dari persamaan [[hiperbola]] <math>x y-1 = 0</math> bukan ragam aljabar, tetapi himpunan semi-aljabar yang didefinisikan oleh <math>x y-1=0</math> dan <math>x>0</math> atau oleh <math>x y-1=0</math> dan <math>x+y>0</math>.
 
Salah satu masalah yang menantang dari geometri aljabar nyatareal adalah [[masalah keenam belas Hilbert]] yang tidak terpecahkantakterpecahkan: Tentukan posisi masing-masing yang mungkin untuk oval dari [[kurva bidang]] nonsingulartaksingular.
 
== Geometri aljabar komputasi ==
{{Bagian kosong}}<!--One may date the origin of computational algebraic geometry to meeting EUROSAM'79 (International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation) held at [[Marseille]], France in June 1979. At this meeting,
* Dennis S. Arnon showed that [[George E. Collins]]'s [[Cylindrical algebraic decomposition]] (CAD) allows the computation of the topology of semi-algebraic sets,
* [[Bruno Buchberger]] presented the [[Gröbner basis|Gröbner bases]] and his algorithm to compute them,
Baris 88:
A body of mathematical theory complementary to symbolic methods called [[numerical algebraic geometry]] has been developed over the last several decades. The main computational method is [[homotopy continuation]]. This supports, for example, a model of [[floating point]] computation for solving problems of algebraic geometry.-->
 
=== Bagian DasarBasis Gröbner ===
 
{{main|Bagian Dasar Gröbner}}
Baris 118:
 
As an example of the state of art, there are efficient algorithms to find at least a point in every connected component of a semi-algebraic set, and thus to test if a semi-algebraic set is empty. On the other hand, CAD is yet, in practice, the best algorithm to count the number of connected components.-->
 
{{Bagian kosong}}
 
== Kompleksitas asimtotik vs. efisiensi praktis ==
Algoritme umum dasar dari [[geometri komputasi]] memiliki kasus terburuk eksponensial ganda [[Teori kompleksitas komputasi | kompleksitas]]. Lebih tepatnya, jika '' <math>d ''</math> adalah derajat maksimal dari polinomial masukan dan '' <math>n ''</math> jumlah variabel, kompleksitasnya paling banyak. <math>d^{2^{c n}}</math> untuk beberapa konstanta '' <math>c ''</math>, dan, untuk beberapa masukan, paling tidak kompleksitasnya <math>d^{2^{c' n}}</math> untuk konstanta lain ''<math>c''′</math> lainnya.
 
Selama 20 tahun terakhir abad ke-20, berbagai algoritme telah diperkenalkan untuk menyelesaikan sub-masalah tertentu dengan kompleksitas yang lebih baik. Sebagian besar algoritme ini memiliki kompleksitas <math>d^{O(n^2)}</math>.{{Citation needed|reason=klaim yang paling dan urutan membutuhkan pembuktian|date=November 2018}}
 
Di antara algoritme ini yang memecahkan sub masalahsubmasalah dari masalah yang dipecahkan oleh basis Gröbner, seseorangsalah satunya dapat mengutip '' pengujian jika variasivarietas affineafin kosong '' dan '' menyelesaikan sistem polinomial nonhomogentakhomogen''. Algoritme semacam itu jarang diterapkan karena, pada sebagian besar entri [[Algoritme F4 dan F5 Faugère]] memiliki efisiensi praktis yang lebih baik dan mungkin kompleksitas yang serupa atau lebih baik ('' mungkin '' karena evaluasi kompleksitas algoritma dasar Gröbner pada kelas entri tertentu adalah tugas yang sulit yang telah dilakukan hanya dalam beberapa kasus khusus).
 
AlgoritmaAlgoritme utama geometri aljabar nyatareal yang memecahkan masalah yang diselesaikan dengan CAD berhubungan dengan topologi himpunan semi-aljabar. SeseorangSalah satunya mungkin mengutip '' menghitung jumlah komponen yang terhubung'', ''menguji jika dua titik berada dalam komponen yang sama '' atau '' menghitung [[stratifikasi Whitney]] dari himpunan aljabar nyatareal ''. Mereka memiliki kompleksitas <math>d^{O(n^2)}</math>, tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi <math>O</math> begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah taktrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika salah satunya dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritme ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritme yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.
 
<math>d^{O(n^2)}</math>, tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi '' O '' begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah nontrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika seseorang dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritma ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritma yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.
== Lihat pula ==
{{div col |colwidth=27em}}
* [[Statistik aljabar]]
* [[Geometri diferensial]]
* [[Geometri kompleks]]
* [[Aljabar geometri]]
* [[Glosarium geometri aljabar klasik]]
* [[Teori irisan]]
* [[Daftar terbitan dalam matematika#Geometri aljabar|Terbitan penting dalam geometri aljabar]]
* [[Daftar permukaan aljabar]]
* [[Geometri aljabar takkomutatif]]
* [[Diffieti|Teori Diffieti]]
* [[Geometri aljabar diferensial]]
* [[Geometri aljabar real]]
* [[Aljabar taklinear]]
{{div col end}}
 
== Catatan ==
{{Notelist|30em}}{{empty section}}
 
== Referensi ==
{{reflistReflist|30em}}
== Daftar pustaka ==
* {{cite book |ref=harv |last=Kline |first=M. |date=1972 |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |volume=Volume 1 |publisher=Oxford University Press |isbn=0195061357}}
 
== Bacaan lebih lanjut ==
;Beberapa buku teks klasik yang mendahului skema:
* {{cite book
|last=van der Waerden |first=B. L. |authorlink=B. L. van der Waerden
|year = 1945
|title = Einfuehrung in die algebraische Geometrie
|publisher = [[Dover]]
}}
* {{cite book |last1=Hodge |first1=W. V. D. |authorlink1=W. V. D. Hodge |last2=Pedoe |first2=Daniel |authorlink2=Daniel Pedoe |title=Methods of Algebraic Geometry Volume 1 |year=1994 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-46900-5 |zbl=0796.14001}}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 = W. V. D. Hodge| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 2| year = 1994| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46901-2| zbl = 0796.14002 }}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 = W. V. D. Hodge| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 3| year = 1994| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46775-9| zbl = 0796.14003 }}
 
;Modern textbooks that do not use the language of schemes:
* {{cite book| last = Garrity| first = Thomas| title = Algebraic Geometry A Problem Solving Approach| year = 2013| publisher = [[American Mathematical Society]]| isbn = 978-0-821-89396-8|display-authors=etal}}
* {{cite book
| last1=Griffiths | first1=Phillip | authorlink1=Phillip Griffiths
| last2=Harris | first2=Joe | authorlink2=Joe Harris (mathematician)
| year = 1994
| title = Principles of Algebraic Geometry
| publisher = [[Wiley-Interscience]]
| isbn = 978-0-471-05059-9
| zbl = 0836.14001
}}
* {{cite book| last = Harris| first = Joe| authorlink = Joe Harris (mathematician)| title = Algebraic Geometry A First Course| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-97716-4| zbl = 0779.14001 }}
* {{cite book| last = Mumford| first = David| authorlink = David Mumford| title = Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-58657-9| zbl = 0821.14001 }}
* {{cite book| last = Reid| first = Miles| authorlink = Miles Reid| title = Undergraduate Algebraic Geometry| url = https://archive.org/details/undergraduatealg0000reid| url-access = registration| year = 1988| publisher = [[Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-35662-6| zbl = 0701.14001 }}
* {{cite book| last = Shafarevich| first = Igor| authorlink = Igor Shafarevich| title = Basic Algebraic Geometry I Varieties in Projective Space| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-54812-8| zbl = 0797.14001| url-access = registration| url = https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}
 
;Textbooks in computational algebraic geometry
* {{cite book |last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=David A. Cox |last2=Little |first2=John |last3=O'Shea |first3=Donal |title=Ideals, Varieties, and Algorithms |edition=2nd |year=1997 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-94680-1 |zbl=0861.13012}}
* {{cite book | last1=Basu | first1=Saugata | last2=Pollack | first2=Richard | last3=Roy | first3=Marie-Françoise | year=2006 | title=Algorithms in real algebraic geometry | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | url=http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html | access-date=2020-10-12 | archive-date=2022-11-16 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221116144409/https://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html | dead-url=no }}
* {{cite book
| last1=González-Vega |first1=Laureano
| last2=Recio |first2=Tómas
| year = 1996
| title = Algorithms in algebraic geometry and applications
| publisher = Birkhaüser
}}
* {{cite book
| editor1-last=Elkadi |editor1-first=Mohamed
| editor2-last=Mourrain |editor2-first=Bernard
| editor3-last=Piene |editor3-first=Ragni
| year = 2006
| title = Algebraic geometry and geometric modeling
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
| editor1-last=Dickenstein |editor1-first=Alicia|editor1-link=Alicia Dickenstein
| editor2-last=Schreyer |editor2-first=Frank-Olaf
| editor3-last=Sommese |editor3-first=Andrew J.
| year = 2008
| title = Algorithms in Algebraic Geometry
| volume=146
| series=The IMA Volumes in Mathematics and its Applications
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
| isbn=9780387751559
| lccn=2007938208
}}
* {{cite book
| last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=David A. Cox
| last2=Little |first2=John B.
| last3=O'Shea |first3=Donal
| year = 1998
| title = Using algebraic geometry
| url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-6911-1 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
| last1=Caviness |first1=Bob F.
| last2=Johnson |first2=Jeremy R.
| year = 1998
| title = Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
}}
 
;Textbooks and references for schemes:
* {{cite book |last1=Eisenbud |first1=David |authorlink1=David Eisenbud |last2=Harris |first2=Joe |authorlink2=Joe Harris (mathematician) |title=The Geometry of Schemes |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22639-2 |year=1998 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-98637-1 |zbl=0960.14002}}
* {{cite book
| last=Grothendieck |first=Alexander |authorlink=Alexander Grothendieck
| year = 1960
| title = Éléments de géométrie algébrique
| publisher = [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]
| zbl = 0118.36206
|title-link=Éléments de géométrie algébrique }}
* {{cite book |last1=Grothendieck |first1=Alexander |authorlink1=Alexander Grothendieck |last2=Dieudonné |first2=Jean Alexandre |title=Éléments de géométrie algébrique |edition=2nd |volume=1 |year=1971 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-05113-8 |zbl=0203.23301|title-link=Éléments de géométrie algébrique }}
* {{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |authorlink=Robin Hartshorne |title=Algebraic Geometry |year=1977 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-90244-9 |zbl=0367.14001|title-link=Algebraic Geometry (book) }}
* {{cite book |last=Mumford |first=David |authorlink=David Mumford |title=The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians |url=https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf |edition=2nd |year=1999 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-63293-1 |zbl=0945.14001}}
* {{cite book| last = Shafarevich| first = Igor| authorlink = Igor Shafarevich| title = Basic Algebraic Geometry II Schemes and complex manifolds| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-57554-2| zbl = 0797.14002| url-access = registration| url = https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}
 
== Pranala luar ==
{{Wikiquote}}
* [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf ''Dasar-dasar Geometri Aljabar'' oleh Ravi Vakil, 808 pp.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191130195401/http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf |date=2019-11-30 }}
* [https://web.archive.org/web/20040415021548/http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Geometri aljabar''] di [http://planetmath.org/ PlanetMath]
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf Terjemahan bahasa Inggris dari buku teks van der Waerden] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230326032125/http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf |date=2023-03-26 }}
* {{cite web |first=Jean |last=Dieudonné |authorlink=Jean Dieudonné |date=March 3, 1972 |title=Sejarah Geometri Aljabar |url=https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo |publisher=Bicara di Departemen Matematika [[University of Wisconsin – Milwaukee]] |via=[[YouTube]] |access-date=2020-10-12 |archive-date=2023-05-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230509213053/https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo |dead-url=no }}
* [http://stacks.math.columbia.edu/ The Stacks Project] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230713123015/https://stacks.math.columbia.edu/ |date=2023-07-13 }}, sebuah buku teks ''open source'' dan referensi bekerja pada tumpukan aljabar dan geometri aljabar
 
{{Bidang matematika | state=collapsed}}
 
{{Authority control}}
{{geometri-stub}}
 
{{DEFAULTSORT:Geometri Aljabar}}
[[Kategori:Geometri aljabar| ]]
[[Kategori:Bidang matematika]]
[[Kategori:Geometri]]