Infimum dan supremum: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''infimum''' [[himpunan bagian]] <math>S </math> dari [[himpunan terurut parsial]] <math>P </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terbesar]] dalam <math>P </math>, yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota <math>S </math>, jika ada satu buah anggota.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Berdasarkan pengertian tersebut, infimum disebut ''batas bawah terbesar'' ({{Lang-en|greatest lower bound}}), dan istilah itu umum digunakan.<ref name="BabyRudin" /> Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, '''supremum''' himpunan bagian dari himpunan terurut parsial <math>P </math> adalah [[Anggota terbesar dan terkecil|anggota terkecil]] dalam <math>P </math> yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota <math>S </math>, jika terdapat anggotanya.<ref name="BabyRudin">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga disebut sebagai ''batas atas terkecil'' ({{Lang-en|least upper bound}}).<ref name="BabyRudin2">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> Supremum disingkat sebagai "sup".

Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki ''sedikit'' sifat batas atas terkecil, yaitu <math>\Q </math>, himpunan bilangan rasional. Misalkan <math>S </math> adalah himpunan dari semua bilangan rasional <math>q</math>, sehingga <math>q^2 < 2</math>. Maka <math>S </math> memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di <math>\Q </math>. Jika memisalkan <math>p \in \Q</math> adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real <math>x </math> dan <math>y </math> (seperti <math>\sqrt{2}</math> dan <math>p</math>), terdapat suatu bilangan rasional <math>p'</math>, yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika <math>p > \sqrt{2}</math>). Contoh lainnya adalah [[bilangan hiperreal]] sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan [[infinitesimal]] positif.

[[Sifat batas paling atas|Sifat batas atas terkecil]] adalah sebuah indikator dari supremasupremum.

== InfimaInfimum dan supremasupremum bilangan real ==

Dalam [[Analisis matematis|analisis matematika]], infimainfimum dan suprema darisupremum himpunan bagian <math>S </math> dari [[bilangan real]] sangat penting. MisalnyaSebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremum merekasupremumnya adalah 0 (yang bukan sebuah bilangan real negatif).<ref name="BabyRudin3">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format="print"|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> [[Kelengkapan dari bilangan real]] menyiratkanmengimplikasikan (dan setaraekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas <math>S </math> dari bilangan real memiliki sebuahsatu buah infimum dan sebuahsatu buah supremum. Jika <math>S </math> tidak berbatas bawah, salahmaka satunyaumumnya seringditulis secara formal, menulisyaitu <math>\inf(S) = -\infty</math>. Jika <math>S </math> [[Himpunan kosong|kosong]], salah satunyamaka menulisditulis <math>\inf(S) = + \infty</math>.

Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika padadi himpunan-himpunanː. Misalkan himpunan <math>A, B \subseteq \R </math>, dan misalkan skalar <math>\lambdar \in \R</math>. MendefinisikanHal ini mendefinisikan

* <math>\lambdar \cdot A = \{ \lambdar \cdot a : a \in A \}</math>;, hasil produkkali skalar dari sebuahsuatu himpunan hanyahanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota dalamdi himpunan.

* <math>A + B = \{a + b : a \in A, b \in B \}</math>;, jumlahdisebut sebagai [[penjumlahan Minkowski]], penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan-bilangan, salah satuanggota dari setiap himpunan.

* <math>A \cdot B = \{a \cdot b : a \in A, b \in B \}</math>, produkhasil artimetikkali artimetika dua himpunan adalah semuahasil produkkali semua pasangan-pasangan anggota-anggota, salah satuanggota dari setiap himpunan.

Dalam kasus-kasus itutersebut dimanauntuk infima dan suprema dari himpunan-himpunan <math>A </math> dan <math>B </math> adamempunyai infimum dan supremum, identitasberlaku berikutidentitas berlakuːberikutː

* <math>p = \inf A</math> [[jika dan hanya jika]] untuk setiap <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah <math>x \in A</math> dengan <math>x < p + \varepsilon</math>, dan <math>x \geq p</math> untuk setiap <math>x \in A</math>.

* <math>p = \sup A</math>, jika dan hanya jika setiap <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat sebuah <math>x \in A</math> dengan <math>x > p - \varepsilon</math> untuk setiap <math>x \in A</math>.

* Jika <math>\lambdar \geq 0</math>, maka <math>\inf (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\inf A)</math> dan <math>\sup (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\sup A)</math>.

* Jika <math>\lambdar \le 0 </math>, maka <math>\inf (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\sup A)</math> dan <math>\sup (\lambdar \cdot A) = \lambdar \cdot (\inf A)</math>.

* Jika <math>A </math>, <math>B </math> himpunn tak kosong bilangan real positif maka <math>\inf (A \cdot B) = (\inf A) \cdot (\inf B)</math>, dan hal ini berlaku sama untuk supremasupremum.<ref name="zakon">{{cite book|last=Zakon|first=Elias|date=2004|url=http://www.trillia.com/zakon-analysisI.html|title=Mathematical Analysis I|publisher=Trillia Group|pages=39–42}}</ref>

Jika salah satudualitas dilambangkan olehdengan <math>P^\operatorname{op}</math>, maka himpunan terurut parsial <math>P </math> dengan hubungan[[Relasi yang berlawanan|relasi urutan berlawanan]], yaitudalam artian: <math>x \le y</math> di <math>P^\operatorname{op} </math>jika dan hanya jika <math>x \ge y</math> dalam <math>P </math>, untuk semua <math>x</math> dan <math>y</math>, maka infimum himpunan bagian <math>S </math> di <math>P </math> sama dengan <math>P^\operatorname{op} </math>, dan begitupula untuk sebaliknya.

*Untuk <math>xhimpunan \lebagian y</math>dari dalambilangan <math>P^\operatorname{op}real, </math>jikaterdapat dandualitas hanyalain jikayang berlaku <math>x\inf S = -\gesup y(-S)</math>, dalamdengan <math>P-S = \{ -s \mid s \in S \}</math>.

=== SupremaSupremum ===

* Supremum dari himpunan bilangan <math>\{1, 2, 3 \}</math> adalah <math>3</math>. Bilangan <math>4</math> adalah sebuah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karenanyakarena itu, <math>4</math> bukanlah supremum.

Di contoh terakhir, supremum dari sebuah himpunan [[Bilanganbilangan rasional|rasional]] adalah [[Bilanganbilangan irasional|irasional]], yang berarti bahwa rasional [[Ruang metrik sempurnalengkap|tidak lengkap]].

Salah satu sifat dasar dari supremum adalah<math display="block">\sup \{ f(t) + g(t) \mid t \in A \} \leq \sup \{ f(t) \mid t \in A \} + \sup \{ g(t) \mid t \in A \}</math>untuk setiap [[Fungsional (matematika)|fungsional-fungsional]] <math>f</math> dan <math>g</math>.

Supremum darihimpunan sebuah himpunanbagian <math>S </math> dari <math>(\N, \mid) </math>, dimanadengan <math>\mid</math> melambangkan "notasi [[pembagi]]", adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari anggota-anggota <math>S </math>.

Supremum dari sebuah himpunan <math>S </math> dariyang <math>(P,mengandung \subseteq)</math>,beberapa dimanahimpunan <math>P X</math> adalahmerupakan [[himpunangabungan pangkat]]subhimpunan dari beberapa himpunan, adalahterurut supremum terhadapparsial <math>(P, \subseteq)</math>, (himpunan bagian) dari sebuah himpunan bagiandengan <math>S P </math> menyatakan [[pangkat kuasa]] dari <math>P X</math>, adalah gabungan dari anggota-anggotadan <math>S \subseteq</math> menyatakan himpunan bagian.