Limas persegi: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
→‎Limas persegi siku: mungkin pada umumnya
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
 
(17 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 12:
| properties = [[Himpunan cembung|cembung]]
| net = Square pyramid net.svg}}
Dalam geometri, '''limas persegi'''{{efn|1=Sebutan lainnya adalah ''limas segiempat''.{{r|ts}} Akan tetapi, [[segiempat]] mengacu pada bangun datar umum yang memiliki empat sisi dan empat sudut. [[Persegi]] adalah kasus spesial dari segiempat: sebuah segiempat dikatakan ''persegi'' jika semua sisi dan sudut yang dimilikinya sama besarnya.{{r|devilliers-role|ug}} }} ({{Lang-en|square pyramid}}) adalah [[limas]] yang terdiri atas empat buah [[segitiga]] yang [[kongruen]] dan memiliki satu buah [[persegi]] sebagai alasnya. Limas memiliki macam-macam bentuk, salah satunya ada yangdengan [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]]nya tepat berada di atas pusat persegi dan dengan empat muka [[segitiga sama kaki]], maka itu adalah ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''); jika tidak, maka itu ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid''). Apabila semua rusuk pada limas tersebutpersegi memiliki panjang yangsiku sama panjangpanjangnya, maka limas itu merupakan [[bangun ruang Johnson]] pertama, yang dilambangkan <math>J_1</math>.
 
Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah [[Piramida Mesir|piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno]], dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam [[struktur molekul piramidal persegi]], serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan terdahulu telah menemukan rumus menghitung volumenya dengan cara yang berbeda.
 
== SifatLimas persegi siku ==
LimasLmas persegi pada umumnya mempunyai lima buah [[titik sudut]], delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah ''alas'' limas yang berbentuk [[persegi]], sisanya berbentuk [[segitiga]].{{r|kmpclissold}} Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (''lateral edges'') bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]].{{r|o-bruce|smith}} Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi [[Segitiga sama kaki|sama kaki]], disebut ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid'').{{r|amin}}{{sfnb|Freitag|2014|p=598}}
=== Limas persegi siku dan yang rusuknya sama panjang ===
Limas persegi mempunyai lima buah [[titik sudut]], delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah ''alas'' limas yang berbentuk [[persegi]], sisanya berbentuk [[segitiga]].{{r|kmp}} Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (''lateral edges'') bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah [[Titik puncak (geometri)|titik puncak]].{{r|o-bruce|smith}} Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi [[Segitiga sama kaki|sama kaki]], disebut ''limas persegi siku'' (''right square pyramid''). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut ''limas persegi miring'' (''oblique square pyramid'').{{r|amin}}{{sfnb|Freitag|2014|p=598}}
 
=== Luas permukaan dan volume ===
Berkaitan dengan limas persegi siku, terdapat pula semua rusuknya memiliki panjang yang sama, sehingga semua muka segitiga tersebut menjadi [[Segitiga sama sisi|sama sisi]]. Semua muka limas itu adalah [[poligon beraturan]]''.''{{r|hocevar}} [[Sudut dihedral]] di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai <math>\arccos \left(-1/3\right) \approx 109.47^\circ </math>, dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, <math>\arctan \sqrt{2} \approx 54.735^\circ</math>.{{r|johnson}} Sebuah polihedron [[Himpunan cembung|cembung]] yang hanya memiliki poligon beraturan sebagai mukanya disebut [[bangun ruang Johnson]], dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan <math>J_1</math>.{{r|uehara}} Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki [[simetri piramidal]]. Limas persegi memiliki simetri dari [[grup siklik]] <math>C_{4v}</math>, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar [[sumbu simetri]], garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.{{r|johnson}} Limas ini dapat direpresentasikan [[graf roda]] (''wheel graph'') <math> W_4 </math>; lebih umumnya, graf roda <math> W_n </math> merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan <math>n</math> sisi alas.{{r|pisanski}}
 
=== Luas permukaan dan volume ===
Sisi miring (''slant height'') <math>s</math> dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan [[teorema Pythagoras]]:
<math display="block">s = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{4}},</math>
dengan <math>l</math> adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan <math>b</math> adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}{{r|perry}} Tinggi <math>h</math> dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:{{sfnb|Larcombe|1929|p=177}}
<math display="block">h = \sqrt{s^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{2}}.</math>
[[Luas permukaan]] dari sebuah [[polihedron]] (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi siku <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai <math>A = 4T + S</math>, dengan <math>T</math> dan <math>S</math> masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:{{sfnp|Freitag|2014|p=[https://books.google.com/books?id=GYsWAAAAQBAJ&pg=PA798 798]}}
<math display="block"> A = 4\left(\frac{1}{2}ls\right) + l^2 = 2ls + l^2.</math>
 
=== Volume ===
Secara umum, volume dari sebuah limas <math>V</math> sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.{{r|ak}} Untuk limas persegi, rumusnya adalah:{{sfnp|Larcombe|1929|p=[https://books.google.com/books?id=SAE9AAAAIAAJ&pg=PA178 178]}}
<math display="block"> V = \frac{1}{3}l^2h.</math>
 
Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam [[Papirus Matematika Moskwa]], bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari [[Frustum|frustum dengan alasnya yang berupa persegi]]. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada [[Papirus Matematika Rhind]].{{r|cromwell}} Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.{{r|eves}} Salah satu matematikawan asal Tiongkok, [[Liu Hui]], menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.{{r|wagner}}
 
=== Limas persegi siku dan yang rusuknya sama panjang ===
[[File:Johnson J1 3D.stl|thumb|Model 3D limas persegi dengan rusuk yang sama panjang]]
BerkaitanAndaikan dengansemua rusuk pada limas persegi siku, terdapat pula semua rusuknya memiliki panjang yang sama, sehingga semua muka segitiga tersebutyang dimiliki menjadi [[Segitiga sama sisi|sama sisi]]., Semuadan muka-muka limas itutersebut adalahmerupakan [[poligon beraturan]]''.''{{r|hocevar}} [[Sudut dihedral]] di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai <math>\arccos \left(-1/3\right) \approx 109.47^\circ </math>, dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, <math>\arctan \sqrt{2} \approx 54.735^\circ</math>.{{r|johnson}} Sebuah polihedron [[Himpunan cembung|cembung]] yang hanya memiliki poligon beraturan sebagai mukanya disebut [[bangun ruang Johnson]], dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan <math>J_1</math>.{{r|uehara}} Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki [[simetri piramidal]]. Limas persegi ini memiliki simetri dari [[grup siklik]] <math>C_{4v}</math>, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar [[sumbu simetri]], garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas persegi ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.{{r|johnson}} Limas ini dapat direpresentasikan [[graf roda]] (''wheel graph'') <math> W_4 </math>; lebih umumnya, graf roda <math> W_n </math> merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan <math>n</math> sisi alas.{{r|pisanski}}
 
== Penerapan ==
Baris 51 ⟶ 54:
Alas limas persegi dapat ditempelkan ke muka persegi dari sebuah polihedron, sehingga membangun polihedron yang baru. Contoh proses konstruksi ini disebut ''augmentation''. Contohnya seperti polihedron (pada gambar) yang dapat dikonstruksi dengan menempelkan alas limas persegi ke masing-masing muka dari sebuah kubus.{{r|ds}} Menempelkan [[Prisma (geometri)|prisma]] dan {{ill|antiprisma|en|Antiprism (geometry)}} ke alas limas persegi masing-masing dikenal dengan sebutan ''elongation'' atau ''gyroelongation''.{{r|smg}} Beberapa bangun ruang Johnson dapat dikonstruksikan dengan menempelkan alas limas persegi, atau menempelkan bangun ruang lain dengan limas persegi, di antaranya adalah: {{ill|limas persegi elongasi|en|elongated square pyramid}} <math> J_8 </math>, {{ill|limas persegi giroelongasi|en|gyroelongated square pyramid}} <math> J_{10} </math>, {{ill|bipiramida persegi elongasi|en|elongated square bipyramid}} <math> J_{15} </math>, {{ill|bipiramida persegi giroelongasi|en|gyroelongated square bipyramid}} <math> J_{17} </math>, {{ill|prisma segitiga augmentasi|en|augmentated triangular prism}} <math> J_{49} </math>, {{ill|prisma segitiga biaugmentasi|en|biaugmented triangular prism}} <math> J_{50}</math>, {{ill|prisma segitiga triaugmentasi|en|triaugmented triangular prism}} <math> J_{51} </math>, {{ill|prisma pentagonal augmentasi|en|augmented pentaognal prism}} <math> J_{52} </math>, {{ill|prisma pentagonal biaugmentasi|en|biaugmented pentagonal prism}} <math> J_{53} </math>, {{ill|prisma heksagonal augmentasi|en|augmented hexagonal prism}} <math> J_{54} </math>, {{ill|prisma heksagonal parabiaugmentasi|en|parabiaugmented hexagonal prism}} <math> J_{55} </math>, {{ill|prisma heksagonal metabiaugmentasi|en|metabiaugmented hexagonal prism}} <math> J_{56} </math>, {{ill|prisma heksagonal triaugmentasi|en|triaugmented hexagonal prism}} <math> J_{57} </math>, dan {{ill|sfenokorona augmentasi|en|augmented sphenocorona}} <math> J_{87} </math>.{{r|rajwade}}
{{Clear}}
 
== Catatan ==
{{notelist|group="lower-alph"}}
 
== Referensi ==
Baris 78 ⟶ 84:
| url = https://repositori.kemdikbud.go.id/10354/1/Aircraft%20Drawing%20%26%20CAD%20Semester%204.pdf
}} Lihat di Aircraft Drawing & CAD &ndash; Sm. 428.</ref>
<ref name="clissold">{{cite book
| last = Clissold | first = Caroline
| year = 2020
| title = Maths 5–11: A Guide for Teachers
| publisher = Taylor & Francis
| url = https://books.google.com/books?id=XgW5DwAAQBAJ
| isbn = 978-0-429-26907-3
| page = 141
| url = https://books.google.com/books?id=_MjPDwAAQBAJ&pg=PA141
}}</ref>
<ref name="cromwell">{{cite book
| last = Cromwell | first = Peter R.
Baris 85 ⟶ 101:
| publisher = [[Cambridge University Press]]
| pages = 20&ndash;22
}}</ref>
<ref name="devilliers-role">{{cite journal
| last = De Villiers | first = Michael
| date = February 1994
| issue = 1
| journal = [[For the Learning of Mathematics]]
| jstor = 40248098
| pages = 11–18
| title = The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals
| volume = 14
}}</ref>
<ref name="ds">{{cite journal
Baris 96 ⟶ 122:
| page = 204
| doi = 10.3390/sym9100204
| doi-access = free
}}</ref>
<ref name="emeleus">{{cite book
Baris 397 ⟶ 423:
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="ts">{{cite book
| last = | first =
| year = 2020
| title = Buku Ajar Geometri dan Pengukuran Berbasis Pendekatan Saintifik
| url = books.google.com/books?id=w2sYEAAAQBAJ&pg=PA127
| publisher = Bening Media
}}</ref>
<ref name="uehara">{{cite book
| last = Uehara
Baris 412 ⟶ 445:
| dead-url = no
}}</ref>
<ref name="ug">{{cite book
| last1 = Usiskin | first1 = Zalman
| last2 = Griffin | first2 = Jeniffer
| year = 2008
| title = The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition
| url = https://books.google.com/books?id=ff0nDwAAQBAJ&pg=PA59
| publisher = Information Age Publishing
| page = 59
}}</ref>
<ref name="wagner">{{cite journal
| last = Wagner | first = Donald Blackmore