Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
|||
| (42 revisi perantara oleh 16 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Operasi mateMATIka}}
{{use dmy dates|date=Juli 2020|cs1-dates=y}}
{{Operasi aritmetika}}
[[Gambar:Expo02.svg|thumb|315px|Grafik {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} untuk sebagai basis ''b'':
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Pangkat sepuluh|basis 10]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#Fungsi eksponensial|basis ''e'']],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Pangkat dua|basis 2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis {{sfrac|1|2}}.}}}}
Setiap kurva melewati titik {{math|(0, 1)}} karena setiap bilangan bukan nol pangkat 0 adalah 1. Pada {{math|1=''x'' = 1}}, nilai ''y'' sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.]]{{Periksa terjemahan|en|Exponentiation}}<div class="tright">{{Hasil perhitungan}}</div>
'''Eksponensiasi''' adalah sebuah [[
:<math>b^n = \underbrace{b \times \
Satu memiliki {{math|1=''b''<sup>1</sup> = ''b''}}, dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif {{mvar|m}} dan {{mvar|n}}, apabila memiliki {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> ⋅ ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n''+''m''</sup>}}. Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, {{math|''b''<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai {{math|1}}, dan {{math|''b''<sup>−''n''</sup>}} (dengan {{mvar|n}} bilangan bulat positif dan {{mvar|b}} bukan nol) didefinisikan sebagai {{math|{{sfrac|1|''b''<sup>''n''</sup>}}}}. Khususnya, {{math|''b''<sup>−1</sup>}} sama dengan {{math|{{sfrac|1|''b''}}}}, ''[[perkalian invers|timbal balik]]'' dari {{mvar|b}}.
Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasuk [[matriks (matematika)|matriks]].
Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaitu [[ekonomi]], [[biologi]], [[kimia]], [[fisika]], dan [[ilmu komputer]], dengan aplikasi seperti [[bunga majemuk]], [[pertumbuhan populasi]], [[kinetika reaksi kimia]], perilaku [[gelombang]], dan [[kriptografi kunci publik]].
<!--
[Terjemahan belum lengkap]
== Sejarah notasi ==
Istilah ''kuasa'' ({{lang-la|potentia, potestas, dignitas}}) adalah terjemahan yang salah<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=Advanced Modern Algebra, Part 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=The Beginnings of Greek Mathematics|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> dari [[Yunani kuno]] (''dúnamis'', "amplifikasi"<ref name="Rotman"/>) yang digunakan oleh matematikawan [[matematika Yunani|Yunani]] [[Euklides]] untuk garis kuadrat,<ref name="MacTutor"/> mengikuti [[Hippocrates dari Chios]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=A Short Account of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> Dalam ''[[The Sand Reckoner]]'', [[Archimedes]] menemukan dan membuktikan hukum eksponen, {{math|1=10<sup>''a''</sup> ⋅ 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, diperlukan untuk memanipulasi kuasa {{math|10}}.{{citation needed|date=Augustus 2021}} Pada abad ke-9, matematikawan Persia [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] menggunakan istilah ال (''māl'', "harta", "properti") untuk [[Persegi (aljabar)|persegi]]— kaum muslimin, "seperti kebanyakan matematikawan pada masa itu dan sebelumnya, menganggap bilangan kuadrat sebagai penggambaran suatu area, terutama tanah, bahkan properti"<ref name="worldwidewords"/>—dan كَعْبَة (''[[Ka'bah|kaʿbah]]'', "kubus") untuk [[Kubus (aljabar)|kubus]], yang kemudian matematikawan [[Matematika dalam Islam abad pertengahan|Islam]] diwakili dalam [[notasi matematika]] sebagai huruf ''[[mīm]]'' (m) dan ''[[kāf]]'' (k), masing-masing, pada abad ke-15, seperti yang terlihat dalam karya [[Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī]].<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>
Pada akhir abad ke-16, [[Jost Bürgi]] menggunakan bilangan Romawi untuk eksponen.<ref name=cajori>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>
[[Nicolas Chuquet]] menggunakan bentuk notasi eksponensial pada abad ke-15, yang kemudian digunakan oleh [[Henricus Grammateus]] dan [[Michael Stifel]] pada abad ke-16. Kata "eksponen" diciptakan pada tahun 1544 oleh Michael Stifel.<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=Arithmetica integra|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> [[Samuel Jeake]] memperkenalkan istilah ''indeks'' pada tahun 1696.<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> Pada abad ke-16, [[Robert Recorde]] menggunakan istilah persegi, kubus, zenzizenzic ([[kuasa keempat]]), padatan (kelima), kubuszenzi (keenam), padatan kedua (ketujuh), dan [[zenzizenzizenzik]] (kedelapan).<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> ''Biquadrate'' telah digunakan untuk merujuk pada kuasa keempat juga.
Pada awal abad ke-17, bentuk pertama dari notasi eksponensial modern diperkenalkan oleh [[René Descartes]] dalam teksnya yang berjudul ''[[La Géométrie]]''; terdapat, notasi diperkenalkan di Buku I.<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=Discourse de la méthode [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (Dan ''aa'', atau ''a''<sup>2</sup>, untuk mengalikan ''a'' dengan dirinya sendiri; dan ''a''<sup>3</sup>, untuk mengalikannya sesekali)</ref>
Beberapa matematikawan (seperti [[Isaac Newton]]) menggunakan eksponen hanya untuk pangkat yang lebih besar dari dua, lebih memilih untuk merepresentasikan kuadrat sebagai perkalian berulang. Jadi ketika akan menulis [[polinomial]], misalnya, sebagai {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}.
Sinonim sejarah lainnya{{clarify|reason=sinonim dari apa?|date=Agustus 2021}} dalam penggunaan '''involusi''',<ref>Penggunaan terbaru dalam pengertian ini yang dikutip oleh OED adalah dari tahun 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> dan jangan bingung dengan [[Involusi (matematika)|artinya yang lebih umum]].
Pada tahun 1748, [[Leonhard Euler]] memperkenalkan eksponen variabel, dan, secara implisit, eksponen non-bilangan bulat dengan menulis:<blockquote>"pertimbangkan eksponensial atau kuasa dimana eksponen itu sendiri adalah variabel. Jelaskan besaran-besaran seperti ini bukanlah [[fungsi aljabar]], karena eksponennya harus konstan."<ref name="Euler_1748" /> </blockquote>-->
==Terminologi==
Ekspresi {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Persegi (aljabar)|persegi]] dari ''b''" atau "kuadrat ''b''", karena luas persegi dengan panjang sisi {{math|''b''}} adalah {{math|''b''<sup>2</sup>}}.
Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''<sup>3</sup>}}.
Karena itu adalah [[bilangan bulat positif]], eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}. Basis {{math|3}} muncul {{math|5}} kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah {{math|5}}. Maka, {{math|243}} adalah ''pangkat ke-5 dari 3'', atau ''3 terpangkat ke-5''.
Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi {{math|3<sup>5</sup>}} dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasi {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dinyatakan sebagai "''b'' untuk pangkat ''n''", "''b'' untuk pangkat ke-''n''", "''b'' untuk ke-''n''", atau disingkat juga sebagai "''b'' untuk ''n'' ".
Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (yang berarti {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} dan bukan {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), disebut juga sebagai '''menara pangkat'''.
==Eksponen bilangan bulat==
Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari [[operasi aritmetika]] dasar.
===Eksponen positif===
Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara [[pembuktian formal|formalisasi]] dengan menggunakan [[induksi matematika|induksi]],<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=Abstract Algebra: an inquiry based approach |first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> dan definisi ini digunakan segara untuk perkalian [[asosiatif|asosiasi]]:
Kasus dasarnya adalah
dan [[relasi perulangan|pengulangan]] adalah
Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif {{mvar|m}} dan {{mvar|n}}, adalah
:<math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n,</math>
dan
:<math>(b^m)^n=b^{mn}.</math>
=== Eksponen nol ===
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat {{math|0}} adalah {{math|1}}:<ref name=":1" /><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref>
:<math>b^0=1.</math>
Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus
:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math>
ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap [[struktur aljabar]] dengan perkalian yang memiliki [[identitas perkalian|identitas]].
Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.
Kasus {{math|0<sup>0</sup>}} adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai {{math|0}} umumnya ditetapkan ke <math>0^0,</math> namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. <div class="rellink boilerplate seealso">Untuk detail selengkapnya, lihat [[Nol pangkat nol|Nol ke pangkat nol]].</div>
===Eksponen negatif===
Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|n}} dan bukan nol {{mvar|b}}:
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}.</math><ref name=":1" />
Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga (<math>\infty</math>).
Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus <math>m=-n</math>).
Definisi yang sama berlaku untuk [[elemen terbalikkan]] dalam [[monoid]] perkalian, yaitu, [[struktur aljabar]] dengan perkalian asosiatif dan [[identitas perkalian]] yang dilambangkan {{math|1}} (misalnya, [[matriks persegi]] dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari [[elemen terbalikkan]] {{mvar|x}} secara standar dilambangkan sebagai <math>x^{-1}.</math>
===Identitas dan sifat===
{{redirect|Hukum Indeks|kuda|Hukum Indeks (kuda)}}
[[identitas (matematika)|Identitas]] berikut ini, sering disebut juga sebagai '''{{vanchor|kaidah eksponen}}''', untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:<ref name=":1" />
:<math>\begin{align}
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n
\end{align}</math>
Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah [[komutatif]] (misalnya, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah [[asosiatif]] (misalnya, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, dimana {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}). Tanpa tanda kurung, [[urutan operasi]] konvensional untuk [[deret eksponensial]] dalam notasi superskrip adalah ''top-down'' (atau asosiatif-''kanan''), bukan ''bottom-up''<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/> (atau asosiatif-''kiri''). Maka,
:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math>
yang secara umum berbeda dengan
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>
===Pangkat jumlah===
pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan [[rumus binomial]]
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam [[struktur aljabar|struktur]] yaitu [[sifat komutatif|komutatif]]. Jika tidak, {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} adalah [[matriks persegi]] dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalam [[aljabar komputer]], banyak [[algoritma]] yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum [[sistem aljabar komputer]] menggunakan notasi yang berbeda (terkadang, {{math|^^}} sebagai gantinya adalah {{math|^}}) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut '''eksponensial non-komutatif'''.
===Interpretasi kombinatorial===
{{see also|#Eksponen atas himpunan|l1=Eksponen atas himpunan}}
Untuk bilangan bulat tak-negatif {{mvar|n}} dan {{mvar|m}}, nilai dari {{math|''n''<sup>''m''</sup>}} adalah jumlah [[fungsi (matematika)|fungsi]] dari elemen [[himpunan (matematika)|himpunan]] {{mvar|m}} ke elemen himpunan {{mvar|n}} (lihat [[Bilangan kardinal#Eksponensial kardinal|eksponensial kardinal]]). Fungsi tersebut diwakilankan sebagai [[rangkap]]-{{mvar|m}} dari elemen himpunan-{{mvar|n}} (atau sebagai kata huruf {{mvar|m}} dari alfabet huruf {{mvar|n}}). Beberapa contoh untuk nilai {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} tertentu diberikan dalam tabel berikut:
:{| class="wikitable"
!{{math|''n''<sup>''m''</sup>}}
!{{math|''n''<sup>''m''</sup>}} yang merupakan rangkap-{{mvar|m}} dari elemen himpunan {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}}
|-
|0{{sup|5}} = 0
|{{CNone|tidak ada}}
|-
|1{{sup|4}} = 1
|(1, 1, 1, 1)
|-
|2{{sup|3}} = 8
|(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
|-
|3{{sup|2}} = 9
|(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
|-
|4{{sup|1}} = 4
|(1), (2), (3), (4)
|-
|5{{sup|0}} = 1
|()
|}
===Basis khusus===
===={{anchor|Basis 10}}Pangkat sepuluh====
{{see also|Notasi ilmiah}}
{{main|Pangkat 10}}
Dalam sistem bilangan basis sepuluh ([[desimal]]), pangkat bilangan bulat {{math|10}} ditulis sebagai digit {{math|1}} diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} dan {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0,0001}}}}.
Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.
[[Awalan SI]] berdasarkan pangkat {{math|10}} yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan [[Kilo-|kilo]] berarti {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, jadi satu kilometer adalah {{val|1000|u=meter}}.
===={{anchor|Basis 2}}Pangkat dua ====
{{main|Pangkat dua}}
pangkat negatif pertama {{math|2}} biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: ''[[Satu setengah|setengah]]'' dan ''[[4 (angka)|kuarterner]]''.
pangkat {{math|2}} muncul dalam [[teori himpunan]], karena himpunan dengan anggota {{math|''n''}} memiliki [[himpunan pangkat]], himpunan dari semua [[himpunan bagian]]-nya, yang memiliki anggota {{math|2<sup>''n''</sup>}}.
pangkat bilangan bulat {{math|2}} penting dalam [[ilmu komputer]]. Bilangan bulat positif pangkat {{math|2<sup>''n''</sup>}} memberikan jumlah bilangan untuk [[bit]] {{math|''n''}} bilangan bulat [[bilangan biner]]; misalnya, [[bita]] mengambil nilai {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} yang berbeda. [[Sistem bilangan biner]] menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat {{math|2}}, dan menyatakannya sebagai urutan {{math|0}} dan {{math|1}}, dipisahkan oleh [[titik biner]], dimana {{math|1}} menunjukkan pangkat {{math|2}} yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat {{math|1}} ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat {{math|1}} sebelah kiri titik (mulai dari {{math|0}}), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.
====Pangkat satu====
pangkat satu adalah semua satu-satunya: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}.Ppangkat nol
Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}), pangkat ke-{{mvar|n}} dari nol adalah nol: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
Jikalau eksponen {{mvar|n}} negatif ({{math|''n'' < 0}}), pangkat ke-{{mvar|n}} dari nol {{math|0<sup>'' n''</sup>}} tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan <math>1/0^{-n}</math> dengan {{math|−''n'' > 0}}, dan ini sebagai menjadi <math>1/0</math>.
Ekspresi {{math|0<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol pangkat nol]]'').
====[Pangkat negatif satu====
Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.
Jikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}.
Oleh karena itu, pangkat {{math|−1}} berguna untuk menyatakan sebagai [[urutan]] bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks {{math|''i''}}, lihat {{section link||Pangkat bilangan kompleks}}.
===Eksponen besar===
[[Limit barisan]] pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}
Apabila dibaca sebagai "''b'' pangkat ''n'' cenderung [[garis bilangan real diperluas|+∞]] sebagai ''n'' cenderung tak hingga ketika ''b'' memiliki nilai besar daripada satu".
pangkat suatu bilangan dengan [[nilai absolut]] kurang dari satu cenderung nol:
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}
Setiap pangkat satu tetap satu:
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}
pangkat {{math|–1}} berganti antara {{math|1}} dan {{math|–1}} sebagai {{math|''n''}} berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke {{math|1}} karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah
:{{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} sebagai {{math|''n'' → ∞}}
Lihat ''{{section link||Fungsi eksponensial}}'' dibawah ini.
Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||Pangkat limit}} dibawah.
===Fungsi pangkat===
[[Berkas:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Fungsi pangkat untuk <math>n=1,3,5</math>]]
[[Berkas:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Fungsi pangkat untuk <math>n=2,4,6</math>]]
Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].
Ketika <math>n</math> ganjil, perilaku [[asimptotik]] <math>f(x)</math> berbalik dari <math>x</math> positif ke <math>x</math> negatif. Untuk <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> juga cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan tingkatan <math>x</math>, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umum <math>y=cx^3</math>, merata ditengah ketika tingkatan <math>n</math> dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk <math>n=1</math>. Fungsi dengan simetri seperti ini {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} disebut [[fungsi ganjil]].
Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
===Daftar pangkat bilangan bulat===
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
|-
|'''
|-
|'''
|-
|'''
|-
|'''5''' || 25 || 125 || 625 || 3125 || {{val|15,625}} || {{val|78,125}} || {{val|390,625}} || {{val|1,953,125}} || {{val|9,765,625}}
|-
|'''6''' || 36 || 216 || 1296 || {{val|7,776}} || {{val|46,656}} || {{val|279,936}} || {{val|1,679,616}} || {{val|10,077,696}} || {{val|60,466,176}}
|-
|'''7''' || 49 || 343 || 2401 || {{val|16,807}} || {{val|117,649}} || {{val|823,543}} || {{val|5,764,801}} || {{val|40,353,607}} || {{val|282,475,249}}
|-
|'''8''' || 64 || 512 || 4096 || {{val|32,768}} || {{val|262,144}} || {{val|2,097,152}} || {{val|16,777,216}} || {{val|134,217,728}} || {{val|1,073,741,824}}
|-
|'''9''' || 81 || 729 || 6561 || {{val|59,049}} || {{val|531,441}} || {{val|4,782,969}} || {{val|43,046,721}} || {{val|387,420,489}} || {{val|3,486,784,401}}
|-
|'''10''' || 100 || 1000 || {{val|10,000}} || {{val|100,000}} || {{val|1,000,000}} || {{val|10,000,000}} || {{val|100,000,000}} || {{val|1,000,000,000}} || {{val|10,000,000,000}}
|}
==
[[Gambar:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|Dari atas ke bawah: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]
Jika {{mvar|x}} adalah [[bilangan real]] nonnegatif, dan {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif, <math>x^\frac 1n</math> atau <math>\sqrt[n]x</math> menunjukkan real positif unik [[akar ke-n|akar ke-{{mvar|n}}]] dari {{math|x}}, yaitu, bilangan real positif unik {{mvar|y}} sehingga <math>y^n=x.</math>
Jika {{mvar|x}} adalah bilangan real positif, dan <math>\frac pq</math> adalah [[bilangan rasional]], dengan {{mvar|p}} dan {{mvar|q ≠ 0}} bilangan bulat, maka <math DISPLAY=inline>x^\frac pq</math> didefinisikan sebagai
:<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math>
Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan <math>y=x^\frac 1q,</math> dan menulis <math>(x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.</math>
Jika {{mvar|r}} adalah bilangan rasional positif, <math>0^r=0,</math> menurut definisi.
Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas <math>(x^r)^s</math> ke eksponen rasional.
Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke-{{mvar|n}} real, yang negatif jika {{mvar|n}} adalah [[bilangan ganjil|ganjil]], dan tidak memiliki akar real jika {{mvar|n}} genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke-{{mvar|n}} memilih satu untuk <math>x^\frac 1n,</math> identitas <math>(x^a)^b=x^{ab}</math>. Misalnya,
:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math>
Lihat {{slink||Eksponen real dengan basis negatif}} dan {{slink|Pangkat bilangan kompleks}} untuk detail tentang cara menangani masalah ini.
== Eksponen real ==
Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas ({{slink||Limit eksponen rasional}}, dibawah), atau dalam hal [[logaritma]] dari basis dan [[fungsi eksponensial]] ({{section link||Pangkat melalui logaritma}}, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan [[#Identitas dan sifat|identitas dan sifat]] yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke [[bilangan kompleks|kompleks]] eksponen.
Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat {{section link||Eksponen real dengan basis negatif}}). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut [[nilai utama]], tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan pangkat dan identitas logaritma}}. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai [[fungsi multinilai]].
===Limit eksponen rasional===
[[Berkas:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|Limit {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} adalah {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} ketika {{mvar|n}} cenderung ketakterhinggaan.]]
Karena [[bilangan irasional]] dapat dinyatakan sebagai [[limit barisan]] dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif {{mvar|b}} dengan eksponen real sembarang {{mvar|x}} didefinisikan oleh [[fungsi kontinu|kontinuitas]] dengan kaidah<ref name="Denlinger">{{cite book |title=Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl |last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=[https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl/page/278 278]–283 |isbn=978-0-7637-7947-4}}</ref>
:<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math>
dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.
Misalnya, jika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, diwakilankan [[desimal tanpa]] {{math|1=''π'' = 3.14159... }} dan [[fungsi monoton|monotonisitas]] dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai <math>b^\pi:</math>
:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>
Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>
Apabila mendefinisikan <math>b^x</math> untuk setiap {{mvar|b}} positif dan {{mvar|x}} positif sebagai [[fungsi kontinu]] dari {{mvar|b}} dan {{mvar|x}}.
===Fungsi eksponensial===
{{Main|Fungsi eksponensial}}
''Fungsi eksponensial'' didefinisikan sebagai <math>x\mapsto e^x,</math> dimana <math>e\approx 2,718</math> adalah [[bilangan Euler]]. Untuk menghindari [[penalaran lingkar]], definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan <math>\exp(x),</math> dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:
:<math>\exp(x)=e^x.</math>
Terdapat [[Karakterisasi fungsi eksponensial|banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial]], salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai [[fungsi invers]] dari [[logaritma alami]]. Tepatnya, logaritma natural adalah [[antiturunan]] dari <math>1/x</math> yang mengambil nilai {{math|0}} untuk {{math|1=''x'' = 1}} :
:<math>\ln x=\int_1^x \frac {dt}t.</math>
Apabila mendefinisikan logaritma sebagai [[fungsi meningkat]] dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan {{math|exp}}. Satu satunya, memiliki
:<math>\exp(0)=1,</math>
dan ''identitas eksponensial''
:<math>\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)</math>
untuk setiap {{mvar|x}} dan {{mvar|y}}.
Bilangan Euler didefinisikan sebagai <math>e=\exp(1)</math>. Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa <math>\exp(x)=e^x</math> dengan {{mvar|x}} adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika {{mvar|x}} adalah real, <math>\exp(x)=e^x</math> dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika {{mvar|x}} adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.
Fungsi eksponensial memenuhi persamaan
:<math>\exp(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n}.</math>
Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
===Pangkat melalui logaritma===
Definisi {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''<sup> ''x''</sup>}} maka ia memiliki
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
untuk setiap {{math|''b'' > 0}}. Untuk mempertahankan identitas <math>(e^x)^y=e^{xy},</math> maka ia memiliki
:<math>b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}</math>
Jadi, <math>e^{x \ln b}</math> digunakan sebagai definisi alternatif dari {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap real positif {{mvar|b}}. Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.
== Eksponen kompleks dengan basis real positif ==
Jika {{mvar|b}} adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis {{mvar|b}} dan [[bilangan kompleks|kompleks]] eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir {{slink||Fungsi eksponensial}}, diatas) sebagai
:<math>b^z = e^{(z\ln b)},</math>
dimana <math>\ln b</math> menunjukkan [[logaritma natural]] dari {{mvar|b}}.
Maka, ini memenuhi identitas
:<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math>
Secara umum,
<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> tidak didefinisikan, karena {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat {{slink||Pangkat bilangan kompleks}}, dibawah), secara umum,
:<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math>
kecuali {{mvar|z}} adalah real atau {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
[[Rumus Euler]] <math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> mengekspresikan [[bentuk polar]] dari <math>b^z</math> dalam hal [[bagian real dan imajiner]] dari {{mvar|z}}, yaitu
:<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math>
dimana [[nilai absolut]] dari faktor [[trigonometri]] adalah satu. Maka, hasilnya adalah
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>
==Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat==
Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.
=== Akar ke-{{mvar|n}} pada bilangan kompleks ===
Setiap bilangan kompleks bukan nol {{mvar|z}} dapat ditulis dalam [[bentuk polar]] sebagai
:<math>z=\rho e^{i\theta}=r(cos \theta +i \sin \theta),</math>
dimana <math>\rho</math> adalah [[nilai absolut]] dari {{mvar|z}}, dan <math>\theta</math> adalah [[argumen (analisis kompleks)|argumen]]. Argumen didefinisikan [[hingga]] bilangan bulat kelipatan {{math|2{{pi}}}}; ini berarti, jika <math>\theta</math> adalah argumen dari bilangan kompleks, maka <math>\theta +2k\pi</math> juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.
Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke-{{mvar|n}} dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke-{{mvar|n}} dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan {{mvar|n}}:
:<math>\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.</math>
Jika <math>2i\pi</math> ditambahkan ke <math>\theta,</math> maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan <math>2i\pi/n</math> ke argumen akar ke-{{mvar|n}}, dan diberikan akar ke-{{mvar|n}} yang baru. Ini dilakukan kali {{mvar|n}}, dan diberikan kepada akar ke-{{mvar|n}} {{mvar|n}} dari bilangan kompleks.
Biasanya memilih salah satu dari akar ke-{{mvar|n}} {{mvar|n}} sebagai [[akar utama]]. Pilihan umum adalah memilih akar ke-{{mvar|n}} sebagai <math>-\pi<\theta\le \pi,</math> yaitu, akar ke-{{mvar|n}} yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke-{{mvar|n}} utama sebuah [[fungsi kontinu]] dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari [[radikan]]. Fungsi ini sama dengan akar ke-{{mvar|n}} biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke-{{mvar|n}} utama bukanlah real, meskipun akar ke-{{mvar|n}} yang biasa adalah real. [[Kelanjutan analitik]] menunjukkan bahwa prinsip akar ke-{{mvar|n}} utama adalah fungsi unik [[diferensial kompleks]] yang memperluas fungsi akar ke-{{mvar|n}} medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.
Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan <math>2\pi,</math> bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke-{{mvar|n}}-nya adalah [[permutasi lingkar]] (yang dikalikan dengan <math DISPLAY=textstyle>e^{2i\pi/n}</math>). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke-{{mvar|n}} yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.
====Akar satuan====
{{Main|Akar satuan}}
[[Berkas:One3Root.svg|thumb|right|Tiga akar ke-3 dari 1]]
Bilangan kompleks ''w'' sedemikian rupa sehingga {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk bilangan bulat positif ''n'' adalah '''akar satuan ke-''n'''''. Secara geometris, akar satuan ke-''n'' terletak pada [[lingkaran satuan]] dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-''n'' beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.
Jika {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} akan tetapi {{math|''w''<sup>''k''</sup> 1}} untuk semua bilangan asli ''k'' sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}, maka ''w'' disebut '''akar satuan ke-''n'' primitif'''. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya [[akar kuadrat]] primitif dari satuan. [[satuan imajiner]] ''i'' adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −''i''.
Bilangan ''e''<sup>{{sfrac|2''πi''|''n''}}</sup> adalah akar satuan ''n'' primitif dengan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] positif terkecil. Hal ini terkadang disebut '''akar kesatuan ke-''n'' utama''', meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan [[nilai utama]] dari {{radic|1|''n''}}, yaitu 1.<ref>{{cite book |title=Introduction to Algorithms |edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = Difference Equations: From Rabbits to Chaos | title-link= Difference Equations: From Rabbits to Chaos | edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Didefinisikan pada hal. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref>)
Akar satuan ke-''n'' yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-''n'' utama, yaitu
<math display="block">\left( e^{ \frac{2\pi i}{n} } \right) ^k = e^{ \frac{2\pi i}{n} k }</math>
untuk {{math|2 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}.
=== Eksponensial kompleks ===
Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk <math DISPLAY=textstyle>z^w</math>. Jadi, salah satu [[nilai utama]] didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai {{mvar|z}} real dan nonpositif, atau <math DISPLAY=textstyle>z^w</math> didefinisikan sebagai [[fungsi multinilai]].
Dalam semua kasus, [[logaritma kompleks]] digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai
:<math>z^w=e^{w\log z},</math>
dimana <math>\log z</math> adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau [[fungsi multinilai]] sedemikian rupa sehingga
:<math>e^{\log z}=z</math>
untuk setiap {{mvar|z}} dalam [[ranah fungsi|ranah definisi]].
====Nilai utama====
[[Nilai utama]] dari [[logaritma kompleks]] adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan <math>\log,</math> sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol {{mvar|z}},
:<math>e^{\log z}=z,</math>
dan [[bagian imajiner]] dari {{mvar|z}} memenuhi
:<math>-\pi <\mathrm{Im} \le \pi.</math>
Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk <math>z=0,</math> hal itu disebut juga sebagai [[fungsi kontinu|tidak kontinu]] pada nilai real negatif {{mvar|z}}, dan [[holomorfik]] (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika {{mvar|z}} adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami: <math>\log z=\ln z.</math>
Nilai utama <math>z^w</math> didefinisikan sebagai
<math>z^w=e^{w\log z},</math>
dimana <math>\log z</math> adalah nilai utama dari logaritma.
Fungsi <math>(z,w)\to z^w</math> adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimana {{mvar|z}} adalah real dan non-positif.
Jika {{mvar|z}} adalah real dan positif, nilai utama <math>z^w</math> sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika <math>w=1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.
====Fungsi multinilai====
Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama <math>\log z</math> dan <math>z^w</math> pada nilai real negatif {{mvar|z}}. Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai [[fungsi multinilai]].
Jika <math>\log z</math> menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah <math>2ik\pi +\log z,</math> dimana {{mvar|k}} adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika <math>z^w</math> adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh
:<math>e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},</math>
dimana {{mvar|k}} adalah bilangan bulat.
Nilai {{mvar|k}} berbeda memberikan nilai <math>z^w</math> yang berbeda kecuali {{mvar|w}} adalah [[bilangan rasional]], yaitu, apabila bilangan bulat {{mvar|d}} sehingga {{mvar|dw}} adalah bilangan bulat. Maka hasil dari [[fungsi periodik|periodisitas]] ini dari fungsi eksponensial, bahwa <math>e^a=e^b</math> jika dan hanya jika <math>a-b</math> adalah kelipatan bilangan bulat dari <math>2\pi.</math>
Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.
pangkat multinilai adalah holomorfik untuk <math>z\ne 0,</math> dalam arti bahwa [[grafik fungsi|grafik]]-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi {{mvar|z}} terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar {{math|0}}, maka, setelah titik balik, nilai <math>z^w</math> berubah dari lapisan.
====Komputasi====
''Bentuk kanonik'' <math>x+iy</math> dari <math>z^w</math> dihitung dari bentuk kanonik {{mvar|z}} dan {{mvar|w}}. Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.
*''[[Bentuk polar]] dari {{mvar|z}}''. Jika <math>z=a+ib</math> adalah bentuk kanonik dari {{mvar|z}} ({{mvar|a}} dan {{mvar|b}} sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> dimana <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> dan <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (lihat [[atan2]] untuk definisi fungsi ini).
*''[[logaritma kompleks|Logaritma]] dari {{mvar|z}}''. [[Nilai utama]] dari logaritma ini adalah <math>\log z=\ln \rho+i\theta,</math> dimana <math>\ln</math> menunjukkan [[logaritma alami]]. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan <math>2ik\pi</math> untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|k}}.
*''Bentuk kanonik dari <math>w\log z.</math>'' Jika <math>w=c+di</math> dengan real {{mvar|c}} dan {{mvar|d}}, nilai <math>w\log z</math> adalah <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> nilai utama yang sesuai dengan <math>k=0.</math>
*''Hasil akhir.'' Menggunakan identitas <math>e^{x+y}e^x = e^y</math> dan <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> satu-satunya menggunakan <math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> dengan <math>k=0</math> untuk nilai utama.
=====Contoh=====
* <math>i^i</math> <br>Bentuk polar {{mvar|i}} adalah <math>i=e^{i\pi/2},</math> dan dengan demikian nilai <math>\log i</math> adalah <math DISPLAY=block>\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> Oleh karena itu <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math> Jadi, semua nilai real <math>i^i</math> utama adalah <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>
*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>Demikian pula, bentuk polar dari {{math|−2}} adalah <math>-2 = 2e^{i \pi}.</math> Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai <math DISPLAY=block>\begin{align}
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\
&=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)).
\end{align}</math>Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen <math>4\ln 2,</math> yang sama dan nilai absolut yang berbeda.
Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
====Kegagalan pangkat dan identitas logaritma====
Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan ''sebagai fungsi bernilai tunggal''. Misalnya:
{{bulleted list
| Identitas {{math|1=log(''b''<sup>''x''</sup>) = ''x'' ⋅ log ''b''}} berlaku setiap {{mvar|b}} adalah bilangan real positif dan {{mvar|x}} adalah bilangan real. Tetapi untuk [[cabang utama]] dari logaritma kompleks yang dimiliki
: <math> i\pi = \log(-1) = \log\left[(-i)^2\right] \neq 2\log(-i) = 2\left(-\frac{i\pi}{2}\right) = -i\pi</math>
Terlepas dari cabang logaritma mana yang digunakan, kegagalan identitas yang serupa akan tetap ada. Yang terbaik yang bisa dikatakan (jika hanya menggunakan hasil ini) adalah bahwa:
: <math>\log(w^z) \equiv z \cdot \log(w) \pmod{2 \pi i}</math>
Identitas ini tidak berlaku bahkan ketika mempertimbangkan log sebagai fungsi multinilai. Nilai yang mungkin menggunakan {{math|log(''w''<sup>''z''</sup>)}} berisi {{math|''z'' log ''w''}} sebagai himpunan bagian. Menggunakan {{math|Log(''w'')}} untuk nilai utama {{math|log(''w'')}} dan {{mvar|m}}, {{mvar|n}} sebagai bilangan bulat, nilai yang berasal dari kedua sisi adalah:
: <math>\begin{align}
\left\{\log(w^z)\right\} &= \left\{ z \cdot \operatorname{Log}(w) + z \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \right\} \\
\left\{z \cdot \log(w)\right\} &= \left\{ z \cdot \operatorname{Log}(w) + z \cdot 2 \pi i n \right\}
\end{align}</math>
| Identitas {{math|1=(''bc'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>''c''<sup>''x''</sup>}} dan {{math|1=(''b''/''c'')<sup>''x''</sup> = ''b''<sup>''x''</sup>/''c''<sup>''x''</sup>}} adalah absah jika {{mvar|b}} dan {{mvar|c}} adalah bilangan real positif dan {{mvar|x}} adalah bilangan real. Tetapi perhitungan menggunakan cabang utama menunjukkan bahwa
: <math>1 = (-1 \cdot -1)^\frac{1}{2} \not = (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2} = -1</math>
dan
: <math>i = (-1)^\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{-1}\right)^\frac{1}{2} \not = \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i}=-i</math>
Di sisi lain, ketika {{mvar|x}} adalah bilangan bulat, identitas absah-nya untuk semua bilangan kompleks bukan nol.
Jika eksponensial dianggap sebagai fungsi multinilai maka nilai yang mungkin dari {{math|(−1 ⋅ 1)<sup>1/2</sup>}} adalah {{math|{1, −1}}}. Identitasnya berlaku, tetapi mengatakan {{math|1={1} = {(−1 ⋅ 1)<sup>1/2</sup>}}} adalah salah.
| Identitas {{math|1=(''e''<sup>''x''</sup>)<sup>''y''</sup> = ''e''<sup>''xy''</sup>}} berlaku untuk bilangan real {{mvar|x}} dan {{mvar|y}}, tetapi dengan asumsi kebenarannya untuk bilangan kompleks mengarah ke [[ketakbenaran matematika|paradoks]] berikut, ditemukan pada tahun 1827 oleh [[Thomas Clausen (matematikawan)|Clausen]]:<ref name="Clausen1827">{{cite journal |author-last1=Steiner |author-first1=J. |author-last2=Clausen |author-first2=T. |author-last3=Abel |author-first3=Niels Henrik |author-link3=Niels Henrik Abel |title=Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen |trans-title=Problems and propositions, the former to solve, the later to prove |url=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0002{{!}}log33&physid=phys301#navi |journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |volume=2 |date=1827 |pages=286–287}}</ref>
Untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|n}}, memiliki:
# <math>e^{1 + 2 \pi i n} = e^1 e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e</math>
# <math>\left(e^{1 + 2\pi i n}\right)^{1 + 2 \pi i n} = e\qquad</math> (mengambil ke-<math>(1 + 2 \pi i n)</math> pangkat kedua sisi)
# <math>e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>\left(e^x\right)^y = e^{xy}</math> dan memperluas eksponen)
# <math>e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>e^{x+y} = e^x e^y</math>)
# <math>e^{-4 \pi^2 n^2} = 1\qquad</math> (membagi dengan {{mvar|e}})
tetapi ini salah jika bilangan bulat {{mvar|n}} adalah bukan nol.
Kesalahannya adalah sebagai berikut: menurut definisi, <math>e^y</math> adalah notasi untuk <math>\exp(y),</math> fungsi yang sebenarnya, dan <math>x^y</math> adalah notasi untuk <math>\exp(y\log x),</math> yang merupakan fungsi multinilai. Jadi notasi ambigunya ketika {{math|1=''x'' = ''e''}}. Maka, sebelum memperluas eksponen, baris kedua seharusnya
: <math>\exp\left((1 + 2\pi i n)\log \exp(1 + 2\pi i n)\right) = \exp(1 + 2\pi i n).</math>
Oleh karena itu, ketika memperluas eksponen, apabila implisit menduga bahwa <math>\log \exp z =z</math> untuk nilai kompleks {{mvar|z}} adalah nilai salah, karena logaritma kompleksnya adalah multinilai. Dengan kata lain, identitas salah {{math|1=(''e''<sup>''x''</sup>)<sup>''y''</sup> = ''e''<sup>''xy''</sup>}} harus diganti dengan identitas
: <math>\left(e^x\right)^y = e^{y\log e^x},</math>
yang merupakan identitas hakiki antara fungsi multinilai.
}}
== Eksponen irasional ==
{{main|Teorema Gelfond–Schneider}}
Jika ''b'' adalah real positif [[bilangan aljabar]], dan ''x'' adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa ''b''<sup>''x''</sup> adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk ''b'', dengan satu-satunya perbedaan bahwa ''b''<sup>''x''</sup> mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat ''b''<sup>''x''</sup> ketika ''x'' adalah [[bilangan irasional|irasional]] (yaitu, ''bukan rasional''). Maka, ini menyatakan:
{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''<sup>''x''</sup> (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}
==Pangkat bilangan bulat dalam aljabar==
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi pangkat]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
Sebuah [[struktur aljabar]] yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah [[monoid]]. Dalam monoid, eksponensial elemen {{mvar|x}} didefinisikan secara induktif oleh
* <math>x^0 = 1,</math>
* <math>x^{n+1} =x x^n</math> untuk setiap bilangan bulat nonnegatif {{mvar|n}}.
Jika {{mvar|n}} adalah bilangan bulat negatif, <math>x^n</math> didefinisikan hanya jika {{mvar|x}} memiliki [[invers perkalian]].<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=Linear Algebra and Geometry |url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> Dalam hal ini, invers dari {{mvar|x}} dinotasikan <math>x^{-1},</math> dan <math>x^n</math> didefinisikan sebagai <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}.</math>
Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk {{mvar|x}} dan {{mvar|y}} dalam struktur aljabar, dan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} bilangan bulat:
:<math>\begin{align}
x^0&=1\\
x^{m+n}&=x^m x^n\\
(x^m)^n&=x^{mn}\\
(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{jika } xy=yx, \text{dan, khususnya, jika perkaliannya adalah komutatif.}
\end{align}</math>
Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk [[grup (matematika)|geup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[medan (matematika)|medan]], [[matriks persegi]] (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari [[himpunan (matematika)|himpunan]] ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah [[komposisi fungsi]]. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, [[transformasi geometris]], dan [[endomorfisme]] dari [[struktur matematika]].
Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika {{mvar|f}} adalah [[fungsi real]] yang nilainya dapat dikalikan, <math>f^n</math> menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan <math>f^{\circ n}</math> ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan [[komposisi fungsi]]. Yaitu,
:<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math>
dan
:<math>(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots)).</math>
Biasanya, <math>(f^n)(x)</math> dinotasikan <math>f(x)^n,</math> sedangkan <math>(f^{\circ n})(x)</math> dilambangkan <math>f^n(x).</math>
===Dalam sebuah grup===
Sebuah [[grup perkalian]] adalah himpunan dengan [[operasi asosiatif]] dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki [[elemen identitas]], dan setiap elemen memiliki invers.
Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.
Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuk [[subgrup]]. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentu {{mvar|x}} adalah [[grup siklik]] yang dihasilkan oleh {{mvar|x}}. Jika semua pangkat {{mvar|x}} berbeda, grupnya adalah [[isomorfik]] pada [[grup aditif]] <math>\Z</math> dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah [[grup hingga|hingga]] (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah [[urutan (teori grup)|urutan]] dari {{mvar|x}}. Jika urutan {{mvar|x}} adalah {{mvar|n}}, maka <math>x^n=x^0=1,</math> dan grup siklik yang dihasilkan oleh {{mvar|x}} terdiri dari {{mvar|n}} pangkat pertama {{mvar|x}} (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen {{math|0}} atau {{math|1}}).
Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].
Notasi superskrip juga digunakan untuk [[Kelas konjugasi|konjugasi]]; yaitu, {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}, dimana ''g'' dan ''h'' adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu <math>(g^h)^k=g^{hk}</math> dan <math>(gh)^k=g^kh^k.</math>
===Dalam sebuah gelanggang===
Dalam sebuah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi <math>x^n=0</math> untuk beberapa bilangan bulat {{mvar|n}}. Unsur tersebut disebut juga [[nilpoten]]. Dalam [[gelanggang komutatif]], unsur-unsur nilpoten membentuk [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], disebut juga [[nilradikal gelanggang|nilradikal]] dari gelanggang.
Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.
Lebih umum, diberikan ideal {{mvar|I}} dalam gelanggang komutatif {{mvar|R}}, himpunan elemen {{mvar|R}} yang memiliki pangkat {{mvar|I}} adalah ideal, yang disebut [[ideal radikal|radikal]] dari {{mvar|I}}. Nilradikal adalah radikal dari [[zero ideal]]. Sebuah [[ideal radikal]] adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> atas [[medan (matematika)|medan]] {{mvar|k}}, sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari [[Hilbertscher Nullstellensatz]]).
===Matriks dan operator linear===
Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[pangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai [[matriks identitas]],<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.
pangkat matriks sering muncul dalam konteks [[sistem dinamik diskret]], dimana matriks ''A'' menyatakan transisi dari vektor keadaan ''x'' dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya ''Ax'' dari sistem.<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Bab 5.</ref> Ini adalah interpretasi standar dari [[rantai Markov]], misalnya, apabila <math>A^2x</math> adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, <math>A^nx</math> adalah status sistem setelah langkah kali ''n''. Matriks pangkat <math>A^n</math> adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali ''n'' ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan [[nilai eigen dan vektor eigen]].
Selain matriks, [[operator linear]] yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah [[turunan]] operator kalkulus, <math>d/dx</math> salah satu operator linear yang melakukan fungsi <math>f(x)</math> untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. pangkat ke-''n'' dari operator diferensiasi adalah turunan ke-''n'':
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>
Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika [[semigrup-C0|semigrup]].<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Analisis Fungsional dan Semi-Grup''. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.</ref> Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan [[persamaan panas]], [[persamaan Schrödinger]], [[persamaan gelombang]], dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut [[turunan pecahan]], yang bersama dengan [[integral pecahan]], merupakan operasi dasar dari [[kalkulus pecahan]].
===Medan hingga===
{{main|Medan hingga}}
Sebuah [[Medan (matematika)|medan]] adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah [[asosiatif]], dan setiap elemen bukan nol memiliki [[perkalian invers]]. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif {{math|0}}. Contoh umum adalah [[bilangan kompleks]] dan [[submedan]], [[bilangan rasional]] dan [[bilangan real]] yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua [[himpunan tak hingga|tak hingga]].
Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[pangkat prima]]; yaitu, memiliki bentuk <math>q=p^k,</math> dimana {{mvar|p}} adalah bilangan prima, dan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap {{mvar|q}} tersebut, ada medan dengan elemen {{mvar|q}}. Medan dengan elemen {{mvar|q}} semuanya adalah [[isomorfik]], yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen {{mvar|q}}, dilambangkan <math>\mathbb F_q.</math>
Satu-satunya adalah
:<math>x^q=x</math>
untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>
Sebuah [[elemen primitif (medan hingga)|elemen primitif]] di <math>\mathbb F_q</math> adalah elemen {{mvar|g}} seperti pada himpunan {{math|''q'' − 1}} pangkat pertama {{mvar|g}} (yaitu, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari <math>\mathbb F_q.</math> Ada <math>\varphi (p-1)</math> elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> dimana <math>\varphi</math> adalah [[fungsi totient Euler]].
Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]
:<math>(x+y)^p = x^p+y^p</math>
adalah hakiki untuk eksponen {{mvar|p}}. Seperti <math>x^p=x</math> di peta <math>\mathbb F_q,</math> maka
:<math>\begin{align}
F\colon{} & \mathbb F_q \to \mathbb F_q\\
& x\mapsto x^p
\end{align}</math>
adalah [[peta linear|linear]] atas <math>\mathbb F_q,</math> dan merupakan [[automorfisme medan]], disebut [[automorfisme Frobenius]]. Jika <math>q=p^k,</math> medan <math>\mathbb F_q</math> memiliki {{mvar|k}} automorfisme, yang merupakan pangkat pertama {{mvar|k}} (antara [[fungsi komposisi|komposisi]]) dari {{mvar|F}}. Dengan kata lain, [[grup Galois]] dari <math>\mathbb F_q</math> adalah [[grup siklik|siklik]] urutan {{mvar|k}}, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.
[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.
<!--
===Dalam aljabar abstrak===
Eksponen untuk eksponen bilangan bulat didefinisikan untuk struktur yang umum dalam [[aljabar abstrak]].
Maka ''X'' menjadi [[himpunan (matematika)|himpunan]] dengan [[kuasa-asosiatif]] [[operasi biner]] yang ditulis secara perkalian. Kemudian ''x''<sup>''n''</sup> didefinisikan untuk setiap elemen ''x'' dari ''X'' dan semua bukan nol [[bilangan asli]] ''n'' sebagai darab dari ''n'' salinan ''x'', yang didefinisikan secara rekursif oleh
:<math>\begin{align}
x^1 &= x, \\
x^n &= x^{n-1} x \quad \text{untuk } n > 1.
\end{align}</math>
Satu-satunya memiliki sifat-sifat berikut:
: <math>\begin{align}
(x^i x^j) x^k &= x^i (x^j x^k), && \text{(sifat kuasa-asosiatif)} \\
x^{m+n} &= x^m x^n, \\
(x^m)^n &= x^{mn}.
\end{align}</math>
Apabilaika operasi memiliki [[elemen identitas]] dua sisi, maka ''x''<sup>0</sup> didefinisikan sama dengan 1 untuk setiap ''x'':{{citation needed|date=April 2014}}
: <math>\begin{align}
x1 &= 1x = x, && \text{(identitas dua sisi)} \\
x^0 &= 1.
\end{align}</math>
Jika operasi juga memiliki [[elemen invers|invers]] dua sisi dan asosiatif, maka [[Magma (aljabar)|magma]] adalah [[grup (matematika)|grup]]. Kebalikan dari ''x'' dilambangkan dengan ''x''<sup>−1</sup> dan mengikuti semua aturan biasa untuk eksponen:
: <math>\begin{align}
x x^{-1} &= x^{-1} x = 1, && \text{(invers dua sisi)} \\
(x y) z &= x (y z), && \text{(asosiatif)} \\
x^{-n} &= (x^{-1})^n, \\
x^{m-n} &= x^m x^{-n}.
\end{align}</math>
Jika operasi perkalian adalah [[komutatif]] (seperti misalnya, dalam [[grup abelian]]), maka berikut ini berlaku:
: <math>(xy)^n = x^n y^n.</math>
Jika operasi biner ditulis secara aditif, seperti yang sering digunakan dalam [[grup abelian]], maka "perkalian adalah perkalian berulang" dapat ditafsirkan ulang sebagai "[[perkalian]] ulangan [[penambahan]]". Jadi, masing-masing hukum eksponensial diatas memiliki [[analogi|analog]] diantara hukum perkalian.
Ketika ada beberapa operasi biner kuasa asosiatif yang didefinisikan pada suatu himpunan, salah satunya ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi mana yang sedang diulang dengan menempatkan simbolnya di superskrip. Jadi, ''x''<sup>∗''n''</sup> is {{math|''x'' ∗ ... ∗ ''x''}}, sementara ''x''<sup>#''n''</sup> adalah {{math|''x'' # ... # ''x''}}, dimana operasi ∗ dan # tersebut.
Notasi superskrip juga digunakan, terutama dalam [[teori grup]], untuk menunjukkan [[Kelas konjugasi|konjugasi]]. Yaitu, {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}, dimana ''g'' dan ''h'' adalah elemen dari beberapa [[grup (matematika)|grup]]. Meskipun konjugasi menggunakan beberapa hukum yang sama seperti eksponensial, itu bukan contoh perkalian berulang dalam arti apa pun. Sebuah [[kuandel]] adalah [[struktur aljabar]] dimana hukum konjugasi ini memainkan peran sentral.
-->
==={{Anchor|Eksponen atas himpunan}}Atas himpunan===
{{Main|Darab Kartesius}}
Jika ''n'' adalah bilangan asli, dan ''A'' adalah himpunan sembarang, maka ekspresi ''A''<sup>''n''</sup> sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari [[rangkap-n|rangkap-''n'']] elemen ''A''. Apabila ditulis ''A''<sup>''n''</sup> menyatakan himpunan fungsi dari himpunan {{math|{0, 1, 2, ..., ''n'' − 1}{{null}}}} ke himpunan ''A''; rangkap-''n'' {{math|(''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2 </sub>, ..., a<sub>''n''−1</sub>)}} mewakili fungsi ''i'' ke ''a''<sub>''i''</sub>.
Untuk [[bilangan kardinal]] tak hingga dan himpunan ''A'', notasi ''A''<sup>κ</sup> juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga ''A''. Ini terkadang ditulis <sup>κ</sup>''A'' untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.
Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan [[Struktur matematika|struktur]] tambahan. Misalnya, dalam [[aljabar linear]], untuk indeks [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] dari [[ruang vektor]] melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang
: <math>\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_i,</math>
dimana setiap ''V''<sub>''i''</sub> adalah ruang vektor.
Kemudian jika ''V''<sub>''i''</sub> = ''V'' untuk setiap ''i'', jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai ''V''<sup>⊕'''N'''</sup>, atau cukup ''V''<sup>'''N'''</sup> dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan '''N''' dengan bilangan kardinal ''n'' untuk mendapatkan ''V''<sup>''n''</sup>, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas ''n'', yang didefinisikan [[isomorfisme]] [[hingga]] saja. Diberikan ''V'' sebagai [[medan (aljabar)|medan]]-'''R''' dari [[bilangan real]] (yang sebagai ruang vektor atas) dan ''n'' menjadi beberapa [[bilangan asli]], maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-'''R'''<sup>''n''</sup>.
Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah [[darab Kartesius]] kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-''n'', yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, ''S''<sup>''N''</sup> sebagai himpunan semua [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari ''N'' hingga ''S'' dalam kasus ini:
: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>
Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}}, dimana 2<sup>''X''</sup>, biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan pangkat]] dari ''X''; masing-masing [[himpunan bagian]] ''Y'' dari ''X'' berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada ''X'' yang mengambil nilai 1 untuk {{math|''x'' ∈ ''Y''}} dan 0 untuk {{math|''x'' ∉ ''Y''}}.<!-- (Dari sinilah istilah "himpunan kuasa" berasal. Ini membutuhkan sumber) -->
===Dalam teori kategori===
{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}
Dalam [[kategori tertutup Kartesius]], operasi [[eksponensial (teori kategori)|eksponensial]] digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasi [[darab Kartesius]] dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah [[objek awal]] dalam kategori tertutup Kartesius, maka [[objek eksponensial]] 0<sup>0</sup> adalah isomorfik ke objek terminal 1.
===Dari bilangan kardinal dan ordinal===
{{Main|Bilangan kardinal#Aritmetika kardinal|l1=Aritmetika kardinal|Aritmatika ordinal}}
Dalam [[teori himpunan]], ada operasi eksponensial untuk [[bilangan kardinal|kardinal]] dan [[bilangan ordinal]].
Jika ''κ'' dan ''λ'' adalah bilangan kardinal, ekspresi ''κ''<sup>''λ''</sup> mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas ''λ'' ke himpunan kardinalitas ''κ''.<ref name="Bourbaki">Nicolas Bourbaki, Elemen Matematika, Teori Himpunan, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.</ref> Jika ''κ'' dan ''λ'' adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas {{math|1=8 = 2<sup>3</sup>}}. Dalam aritmetika kardinal, ''κ''<sup>0</sup> adalah 1 (bahkan jika ''κ'' adalah kardinal tak hingga atau nol).
Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses [[batas (matematika)|batas]] yang melibatkan [[induksi transfinit]].
==Eksponensial berulang==
{{main|Tetrasi|Hiperoperasi}}
Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}).
==Limit pangkat==
[[Nol pangkat nol]] memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk [[bentuk tak tentu]] 0<sup>0</sup>. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} tidak memiliki limit pada titik {{math|(0, 0)}}. Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.
Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>''y''</sup>}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.
Faktanya, {{math|''f''}} memiliki limit di semua [[titik akumulasi]] dari {{math|''D''}}, kecuali {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} dan {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkat {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} dengan kontinuitas {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, kecuali untuk 0<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</sup>, 1<sup>+∞</sup> dan 1<sup>−∞</sup>, yang tetap bentuk tak tentu.
Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
* {{math|1=''x''<sup>+∞</sup> = +∞}} dan {{math|1=''x''<sup>−∞</sup> = 0}}, bila {{math|1 < ''x'' ≤ +∞}}.
* {{math|1=''x''<sup>+∞</sup> = 0}} dan {{math|1=''x''<sup>−∞</sup> = +∞}}, bila {{math|0 ≤ ''x'' < 1}}.
* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = 0}} dan {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = +∞}}, bila {{math|0 < ''y'' ≤ +∞}}.
* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} dan {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.
pangkat ini diperoleh dengan mengambil limit {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} untuk nilai ''positif'' dari {{math|''x''}}. Metode ini tidak mengizinkan definisi {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} ketika {{math|''x'' < 0}}, karena pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x'' < 0}} bukan merupakan titik akumulasi dari {{math|''D''}}.
Disisi lain, ketika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat, maka pangkat {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} bermakna untuk semua nilai {{math|''x''}}, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} yang diperoleh diatas untuk {{math|''n''}} negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah {{math|''n''}}, karena dalam kasus ini {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} karena {{math|''x''}} cenderung {{math|0}} melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.
==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==
Komputasi ''b''<sup>''n''</sup> menggunakan perkalian berulang membutuhkan {{math|''n'' − 1}} operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2<sup>100</sup>, terapkan [[kaidah Horner]] ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:
:<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>.
Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.
{{Static row numbers}}
{| {{Static row numbers table}}
|-
| 2<sup>2</sup> = 4
|-
| 2 * (2<sup>2</sup>) = 2<sup>3</sup> = 8
|-
| (2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>6</sup> = 64
|-
| (2<sup>6</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>12</sup> = {{val|4,096}}
|-
| (2<sup>12</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>24</sup> = {{val|16,777,216}}
|-
| 2 * (2<sup>24</sup>) = 2<sup>25</sup> = {{val|33,554,432}}
|-
| (2<sup>25</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>50</sup> = {{val|1,125,899,906,842,624}}
|-
| (2<sup>50</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>100</sup> = {{val|1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376}}
|}
Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.
Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor ^2\!\log n\rfloor -1,</math> dengan menggunakan [[pangkat dengan kuadrat]], dengan <math>\sharp n</math> menunjukkan jumlah {{math|1}} dalam [[wakilan biner]] dari {{mvar|n}}. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan [[pangkat kaidah-tambahan]] minimal. Menemukan barisan perkalian ''minimal'' (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat [[Masalah jumlah himpunan bagian]]), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = A Survey of Fast Exponentiation Methods | journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.
==Fungsi teriterasi==
[[Komposisi fungsi]] adalah [[operasi biner]] yang didefinisikan pada [[fungsi (matematika)|fungsi]] sehingga [[kodomain]] dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam [[domain dari suatu fungsi|domain]] dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan <math>g\circ f,</math> dan didefinisikan sebagai
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math>
untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.
Jika domain suatu fungsi {{mvar|f}} sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke-{{mvar|n}} dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut ''iterasi ke-{{mvar|n}}'' dari fungsi tersebut. Jadi <math>f^n</math> secara umum menunjukkan iterasi ke-{{mvar|n}} dari {{mvar|f}}; misalnya, <math>f^3(x)</math> berarti <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>
Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
Dalam konteks ini, eksponen <math>-1</math> selalu menunjukkan [[fungsi invers]], jika ada. Jadi <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> Untuk pecahan [[perkalian invers]] umumnya digunakan seperti pada <math>1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}.</math>
==Dalam bahasa pemrograman==
[[Bahasa pemrograman]] umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:
* <code>x ↑ y</code>: [[Bahasa pemrograman Algol|Algol]], [[Komodor BASIC]], [[TRS-80 Level II BASIC|TRS-80 Level II/III BASIC]].<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&lpg=PA42&focus=viewport&dq=TRS-80+exponention&hl=de#v=onepage&q=TRS-80%20exponention&f=false |archive-date=2020-02-07 |quote=[...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas) [[TRS-80 BASIC]], interpreter [[waktu berjalan (fase siklus hidup program)|waktu berjalan]] adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...]}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal|date=October 1983|title=80 Contents|url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10|journal=[[80 Micro]]|publisher=[[1001001, Inc.]]|issue=45|page=5|issn=0744-7868|access-date=2020-02-06|quote=[...] Tanda kurung kiri, [, menggantikan panah atas yang digunakan oleh [[RadioShack]] untuk menunjukkan eksponensial pada hasil cetakan kami. Saat memasukkan program yang diterbitkan di [[80 Micro]], Anda harus membuat perubahan ini. [...]}} (catatan Pada titik kode 5Bh [[TRS-80 character set]] memiliki simbol panah atas "↑" menggantikan [[ASCII]] [[braket siku kiri]] "[".)</ref>
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[J programming language|J]], [[MATLAB]], [[Wolfram Language]] ([[Wolfram Mathematica|Mathematica]]), [[R (programming language)|R]], [[Microsoft Excel]], [[Analytica (perangkat lunak)|Analytica]], [[TeX]] (dan turunannya), [[TI-BASIC]], [[bc bahasa pemrograman|bc]] (untuk eksponen bilangan bulat), [[Haskell (bahasa pemrograman)|Haskell]] (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), [[Lua (bahasa pemrograman)|Lua]] dan sebagian besar [[sistem aljabar komputer]]. Penggunaan simbol <code>^</code> yang bertentangan meliputi: [[XOR]] (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), [[Indirection]] (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
* <code>x ^^ y</code>: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), [[D (bahasa pemrograman)|D]].
* <code>x ** y</code>: [[Ada (bahasa pemrograman)|Ada]], [[Z shell]], [[KornShell]], [[Bash (Unix shell)|Bash]], [[COBOL]], [[CoffeeScript]], [[Fortran]], [[FoxPro 2|FoxPro]], [[Gnuplot]], [[Apache Groovy|Groovy]], [[JavaScript]], [[OCaml]], [[F Sharp (bahasa pemrograman)|F#]], [[Perl]], [[PHP]], [[PL/I]], [[Python (programming language)|Python]], [[Rexx]], [[Ruby (bahasa pemrograman)|Ruby]], [[bahasa pemrograman SAS|SAS]], [[Seed7]], [[Tcl]], [[ABAP]], [[Mercury (bahasa pemrograman)|Mercury]], Haskell (untuk eksponen floating-point), [[Turing (bahasa pemrograman)|Turing]], [[VHDL]].
* <code>pown x y</code>: F# (for integer base, integer exponent).
* <code>x⋆y</code>: [[APL (programming language)|APL]].
Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:
* <code>pow(x, y)</code>: [[C (programming language)|C]], [[C++]].
* <code>Math.Pow(x, y)</code>: [[C Sharp (programming language)|C#]].
* <code>math:pow(X, Y)</code>: [[Erlang (bahasa pemrograman)|Erlang]].
* <code>Math.pow(x, y)</code>: [[Java (bahasa pemrograman)|Java]].
* <code>[Math]::Pow(x, y)</code>: [[PowerShell]].
* <code>(expt x y)</code>: [[Common Lisp]].
Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung ''x''<sup>''y''</sup> jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih ''x'' · ''x'' daripada ''x''<sup>2</sup>; memilih 1/''x'' daripada ''x''<sup>−1</sup>) dan root (memilih sqrt(''x'') daripada ''x''<sup>0.5</sup>, memilih cbrt(''x'') daripada ''x''<sup>1/3</ sup>).
Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan [[Wolfram Language]], [[Google Penelusuran]] dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>a^(b^c)</code>), banyak program komputer seperti [[Microsoft Office Excel]] dan [[Matlab]] mengasosiasikan ke kiri (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>(a^b)^c</code>).
==Lihat pula==
{{Portal|Matematika}}
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Fungsi eksponensial ganda]]
* [[Peluruhan eksponensial]]
* [[Medan eksponensial]]
* [[Pertumbuhan eksponensial]]
* [[Daftar topik eksponensial]]
* [[Eksponensial modular]]
* [[Notasi ilmiah]]
* [[Subskrip dan superskrip Unicode]]
* [[Persamaan x^y = y^x|''x''<sup>''y''</sup> = ''y''<sup>''x''</sup>]]
* [[Nol pangkat nol]]
{{div col end}}
<!-- harap simpan entri dalam urutan abjad -->
==
{{Reflist|
<!-- <ref group="nb" name="NB_Rucker">[[Alfred Pringsheim]]'s and [[Jules Molk]]'s (1907) notation {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} to denote [[function composition]]s must not be confused with [[Rudolf von Bitter Rucker]]'s (1982) [[Rudy Rucker notation|notation]] {{math|{{i sup|''n''}}''x''}}, introduced by Hans Maurer (1901) and [[Reuben Louis Goodstein]] (1947) for [[tetration]], or with [[David Patterson Ellerman]]'s (1995) {{math|{{i sup|''n''}}''x''}} pre-superscript notation for [[nth root|root]]s. --><!-- See {{cite book |title=Intellectual Trespassing as a Way of Life: Essays in Philosophy, Economics, and Mathematics |chapter=Chapter 12: Parallel Addition, Series-Parallel Duality, and Financial Mathematics: Series Chauvinsism |series=G – Reference, Information and Interdisciplinary Subjects Series |work=The worldly philosophy: studies in intersection of philosophy and economics |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman |author-link=David Patterson Ellerman |edition=illustrated |publisher=[[Rowman & Littlefield Publishers, Inc.]] |date=1995-03-21 |isbn=0-8476-7932-2 |pages=237–268 [239] |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |chapter-url=https://books.google.com/books?id=NgJqXXk7zAAC&pg=PA237&lpg=PA237 |access-date=2019-08-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305012729/http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |archive-date=2016-03-05 |quote=}} [https://web.archive.org/web/20150917191423/http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/sp_math.doc] (271 pages) --><!-- {{cite web |title=Introduction to Series-Parallel Duality |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman |author-link=David Patterson Ellerman |publisher=[[University of California at Riverside]] |date=May 2004 |orig-year=1995-03-21 |citeseerx=10.1.1.90.3666 |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/Series-Parallel-Duality.CV_.pdf |access-date=2019-08-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190810011716/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf |archive-date=2019-08-10}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf] (24 pages) --></ref>
}}
==
{{Reflist|refs=
<ref name="Robinson_1958">{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2<sup>n</sup> + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel |author-last=Robinson |author-link=Raphael Mitchel Robinson |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=9 |issue=5 |date=Oktober 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=[[Universitas California]], Berkeley, California, AS |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=2020-06-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=2020-06-28|doi-access=free }}</ref>
<ref name="Bronstein_1987">{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |language=de |trans-title=Pocketbook of mathematics |title-link=Bronstein and Semendjajew |chapter=2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke |trans-chapter=Definisi ekspresi aritmetika |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein |author-link1=Ilya Nikolaevich Bronshtein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew |author-link2=Konstantin Adolfovic Semendyayev<!-- 1908–1988 --> |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (dan [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |publication-place=Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany |location=Leipzig, Germany |isbn=3-87144-492-8 |pages=115–120, 802 <!-- |quote=Regel 7: Ist ''F''(''A'') Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und ''F'' eine Funktionenkonstante und ''A'' eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf ''F{{thin space}}A'' dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung ''F''<sup>''n''</sup>(''A'') für (''F''(''A''))<sup>''n''</sup> üblich. Dabei kann ''F'' sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.] --><!-- -->}}</ref>
<ref name="NIST_2010">{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |title-link=NIST Handbook of Mathematical Functions |editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=[[Institut Standar dan Teknologi Nasional]] (NIST), [[A.S. Departemen Perdagangan]], [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130703230148/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638 |date=2013-07-03 }}</ref>
<ref name="Zeidler_2013">{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I |title-link=Springer-Handbuch der Mathematik |volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |editor-link=:de:Eberhard Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard |author-link1=:de:Eberhard Zeidler |author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang |author-link3=Wolfgang Hackbusch |author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-link4=:de:Bernd Luderer |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |author-link8=Gert Wanka |author-last9=Hromkovič |author-first9=Juraj |author-link9=Juraj Hromkovič |author-last10=Gottwald |author-first10=Siegfried |author-link10=Siegfried Gottwald |publisher=[[Springer Spektrum]], [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] |location=Berlin / Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590<!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=2020-06-27 -->}} (xii+635 pages)</ref>
<!-- <ref name="Stibitz_1957">{{cite book |title=Mathematics and Computers |url=https://archive.org/details/mathematicscompu00stib |author-first1=George Robert |author-last1=Stibitz |author-link1=George Robert Stibitz |author-first2=Jules A. |author-last2=Larrivee |date=1957 |edition=1 |publisher=[[McGraw-Hill Book Company, Inc.]] |publication-place=New York, AS / Toronto, Kanada / London, Inggris |location=Underhill, Vermont, USA |lccn=56-10331 |page=[https://archive.org/details/mathematicscompu00stib/page/169 169]}} (10+228 halaman) (NB. Stibitz menggunakan tanda kurung bahkan dalam hubungannya dengan fungsi trigonometri (seperti <code>(cos ''u'') <sup>''n''</sup></code>) untuk menghindari ambiguitas dari notasi <code>cos<sup>''n''</sup> ''u''</code>.)</ref> -->
<ref name="Cajori_1929">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations |volume=2 |orig-year=March 1929 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, USA |date=1952 |edition=3rd|pages=108, 176–179, 336, 346 |isbn=978-1-60206-714-1 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |access-date=2016-01-18 }}</ref>
<!-- <ref name="Peirce_1852">{{cite book |author-first=Benjamin |author-last=Peirce |author-link=Benjamin Peirce |title=Curves, Functions and Forces |volume=I |edition=new |location=Boston, USA |date=1852 |page=203}}</ref>-->
<ref name="Peano_1903">{{cite book |author-first=Giuseppe |author-last=Peano |author-link=Giuseppe Peano |title=Formulaire mathématique |language=fr |volume=IV |date=1903 |page=229}}</ref>
<!-- <ref name="Pringsheim-Molk_1907">{{cite book |author-first1=Alfred |author-last1=Pringsheim |author-link1=Alfred Pringsheim |author-first2=Jules |author-last2=Molk |author-link2=Jules Molk |title=Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées |language=fr |id=Part I |volume=I |date=1907 |page=195}}</ref> -->
<ref name="Herschel_1813">{{cite journal |author-first=John Frederick William |author-last=Herschel |author-link=John Frederick William Herschel |title=On a Remarkable Application of Cotes's Theorem |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society of London]] |publisher=[[Royal Society of London]], printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall |location=London |volume=103 |number=Part 1 |date=1813 |orig-year=1812-11-12 |jstor=107384 |pages=8–26 [10]|doi=10.1098/rstl.1813.0005 |s2cid=118124706 |doi-access=free }}</ref>
<ref name="Herschel_1820">{{cite book |author-first=John Frederick William |author-last=Herschel |author-link=John Frederick William Herschel |title=A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences |chapter=Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences |location=Cambridge, UK |publisher=Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons |date=1820 |pages=1–13 [5–6] |chapter-url=https://books.google.com/books?id=PWcSAAAAIAAJ&pg=PA5 |access-date=2020-08-04 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200804031020/https://books.google.de/books?hl=de&id=PWcSAAAAIAAJ&jtp=5 |archive-date=2020-08-04}} [https://archive.org/details/acollectionexam00lacrgoog] (NB. Inhere, Herschel refers to his {{citeref|Herschel|1813|1813 work|style=plain}} and mentions [[Hans Heinrich Bürmann]]'s older work.)</ref>
<ref name="Euler_1748">{{cite book |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |title=Introductio in analysin infinitorum |language=la |location=Lausanne |publisher=Marc-Michel Bousquet |date=1748 |volume=I |pages=69, 98–99 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33510/f93.image <!-- |quote-page=69 -->|quote=Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.}}</ref>
<!-- <ref name="Euler_1760">{{cite journal |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |title=Novi commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, for the years 1754–1755 |language=la |location=Petropoli |date=1760 |orig-year=1754 |page=172}}</ref> -->
<!-- <ref name="Karsten_1760">{{cite book |author-first=Wenceslaus Johann Gustav |author-last=Karsten |author-link=Wenceslaus Johann Gustav Karsten |title=Mathesis theoretica Elementaris Atque Sublimior |language=la |chapter=Sectio XIII. De sectionibus angulorum et arcuum circularium |location=Rostock |date=1760 |page=511 |url=https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10594020_00539.html?contextSort=score%2Cdescending&contextType=scan&contextRows=10&context=511 |access-date=2020-08-04}} [http://mdz-nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb10594020-6 ]</ref> -->
<!-- <ref name="Scherffer_1772">{{cite book |author-first=Karl "Carolo" |author-last=Scherffer |author-link=:d:Q55072319 |title=Institutionum analyticarum, pars secunda |language=la |location=Vienna |date=1772 |page=144}}</ref> -->
<!-- <ref name="Frisius_1782">{{cite book |author-first=Paulli |author-last=Frisius (Frisii) |author-link=:s:de:BLKÖ:Frisi,_Paul |title=Operum tomus primus |language=la |location=Milano |date=1782 |page=303}}</ref> -->
<!-- <ref name="Abel_1826">{{cite journal |author-first=Niels Henrik |author-last=Abel |author-link=Niels Henrik Abel |language=de |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |publisher=[[August Leopold Crelle]] |volume=I |location=Berlin |date=1826 |pages=318–337 |postscript=;}} {{cite journal |author-first=Niels Henrik |author-last=Abel |author-link=Niels Henrik Abel |language=de |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] |publisher=[[August Leopold Crelle]] |volume=II |location=Berlin |date=1827 |page=26}}</ref> -->
<!-- <ref name="Ohm_1829">{{cite book |author-first=Martin |author-last=Ohm |author-link=Martin Ohm |title=System der Mathematik |language=de |id=Part 3 |location=Berlin |date=1829 |page=21}}</ref> -->
<!-- <ref name="Cagnoli_1786">{{cite book |author-first=Antonio |author-last=Cagnoli |author-link=Antonio Cagnoli |title=Traité de Trigonométrie |language=fr |publisher=trad. par Chompré |location=Paris |date=1786 |page=20}}</ref> -->
<!-- <ref name="DeMorgan_1849">{{cite book |author-first=Augustus |author-last=De Morgan |author-link=Augustus De Morgan |title=Trigonometry and Double Algebra |url=https://archive.org/details/trigonometryand01morggoog |location=London |date=1849 |page=[https://archive.org/details/trigonometryand01morggoog/page/n53 35]}}</ref> -->
<!-- <ref name="Serret_1857">{{cite book |author-first=Joseph Alfred |author-last=Serret |author-link=Joseph Alfred Serret |title=Traité de Trigonométrie |language=fr |edition=2nd |location=Paris |date=1857 |page=12}}</ref> -->
<!-- <ref name="Todhunter_1876">{{cite book |author-first=Isaac |author-last=Todhunter |author-link=Isaac Todhunter |title=Plane Trigonometry |edition=6th |location=London |date=1876 |page=19}}</ref> -->
<!-- <ref name="Hobson_1911">{{cite book
|author-first=Ernest William |author-last=Hobson |author-link=Ernest William Hobson |title=Treatise on Plane Trigonometry |url=https://archive.org/details/cu31924073537254 |location=Cambridge, UK |date=1911 |page=[https://archive.org/details/cu31924073537254/page/n38 19]}}</ref> -->
<!-- <ref name="Toledo_1917">{{cite book |author-first=Luis Octavio |author-last=de Toledo |author-link=:es:Luis Octavio de Toledo y Zulueta |title=Tradado de Trigonometria |language=es |edition=3rd |location=Madrid |date=1917 |page=64}}</ref> -->
<!-- <ref name="Rothe_1921">{{cite book |author-first=Hermann |author-last=Rothe |author-link=Hermann Rothe |title=Vorlesungen über höhere Mathematik |language=de |location=Vienna |date=1921 |page=261}}</ref> -->
}}
{{Hiperoperasi}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Eksponensial
[[Kategori:Operasi uner]]<!-- saat mengambil x atau y dalam x^y sebagai tetap; misalnya dalam exp(y) atau kubus(x) -->
| |||