Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Hiraga1405 (bicara | kontrib) k Menambahkan "atau b pangkat n" Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(19 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Operasi
{{use dmy dates|date=Juli 2020|cs1-dates=y}}
{{Operasi aritmetika}}
[[Gambar:Expo02.svg|thumb|315px|Grafik {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} untuk sebagai basis ''b'':
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#Fungsi eksponensial|basis
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis
Setiap kurva melewati titik {{math|(0, 1)}} karena setiap bilangan bukan nol
'''
:<math>b^n = \underbrace{b \times \dots \times b}_{\text{
Satu memiliki {{math|1=''b''<sup>1</sup> = ''b''}}, dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif {{mvar|m}} dan {{mvar|n}}, apabila memiliki {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> ⋅ ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n''+''m''</sup>}}. Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif, {{math|''b''<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai {{math|1}}, dan {{math|''b''<sup>−''n''</sup>}} (dengan {{mvar|n}} bilangan bulat positif dan {{mvar|b}} bukan nol) didefinisikan sebagai {{math|{{sfrac|1|''b''<sup>''n''</sup>}}}}. Khususnya, {{math|''b''<sup>−1</sup>}} sama dengan {{math|{{sfrac|1|''b''}}}}, ''[[perkalian invers|timbal balik]]'' dari {{mvar|b}}.
Baris 44 ⟶ 40:
Demikian pula, ekspresi {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}} disebut "[[Kubus (aljabar)|kubus]] dari ''b''" atau "''b'' pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk {{math|''b''}} adalah {{math|''b''<sup>3</sup>}}.
Karena itu adalah [[bilangan bulat positif]], eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}. Basis {{math|3}} muncul {{math|5}} kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah {{math|5}}. Maka, {{math|243}} adalah ''
Kata "
Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (yang berarti {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} dan bukan {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), disebut juga sebagai '''menara
==Eksponen bilangan bulat==
Baris 67 ⟶ 63:
=== Eksponen nol ===
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol
:<math>b^0=1.</math>
Baris 76 ⟶ 72:
Secara intuitif, <math>b^0</math> diartikan sebagai [[darab kosong]] dari salinan {{mvar|b}}. Jadi, persamaan <math>b^0=1</math> adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.
Kasus {{math|0<sup>0</sup>}} adalah rumit. Dalam konteks dimana
===Eksponen negatif===
Baris 101 ⟶ 97:
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>
===
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
Baris 135 ⟶ 131:
|}
===Basis
===={{anchor|Basis 10}}
{{see also|Notasi ilmiah}}
{{main|
Dalam sistem bilangan basis sepuluh ([[desimal]]),
Eksponen dengan basis {{math|[[10 (bilangan)|10]]}} digunakan dalam [[notasi ilmiah]] untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya, {{val|299792458|u=m/s}} ([[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa), dalam [[meter per detik]]) dapat ditulis sebagai {{val|2,99792458|e=8|u=m/s}} dan kemudian [[perkiraan]] sebagai {{val|2,998|e=8|u=m/s}}.
[[Awalan SI]] berdasarkan
===={{anchor|Basis 2}}
{{main|
====
Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}),
▲Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}), kuasa ke-{{mvar|n}} dari nol adalah nol: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
Jikalau eksponen {{mvar|n}} negatif ({{math|''n'' < 0}}),
Ekspresi {{math|0<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol
====
Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.
Jikalau {{math|''n''}} adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}.
Oleh karena itu,
===Eksponen besar===
[[Limit barisan]]
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|''b'' > 1}}
Apabila dibaca sebagai "''b''
:{{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} sebagai {{math|''n'' → ∞}} jika {{math|{{abs|''b''}} < 1}}
Setiap
:{{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk semua {{math|''n''}} jika {{math|1=''b'' = 1}}
Jika {{math|''b'' < –1}}, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}}, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan {{math|''n''}} berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan {{math|''n''}}.
Baris 191 ⟶ 186:
Lihat ''{{section link||Fungsi eksponensial}}'' dibawah ini.
Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan [[bentuk antara]], dijelaskan dalam {{section link||
===Fungsi
[[Berkas:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|Fungsi
[[Berkas:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|Fungsi
Fungsi real dari bentuk <math>f(x) = cx^n</math>, dimana <math>c \ne 0</math>, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.{{citation needed|date=November 2017}} Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] dan <math>n \ge 1</math>, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk <math>n</math> genap, dan untuk <math>n</math> ganjil. Secara umum untuk <math>c > 0</math>, bila <math>n</math> genap <math>f(x) = cx^n</math> cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan penambahan <math>x</math>, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum <math>y=cx^2</math>, yang merata ditengah sebagai tingkatan <math>n</math>.<ref name="Calculus: Early Transcendentals">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> Fungsi dengan [[simetri]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} seperti ini disebut [[fungsi genap]].
Ketika <math>n</math> ganjil, perilaku [[asimptotik]] <math>f(x)</math> berbalik dari <math>x</math> positif ke <math>x</math> negatif. Untuk <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> juga cenderung ke arah positif [[ketakterhinggaan (matematika)|ketakterhinggaan]] dengan tingkatan <math>x</math>, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan <math>x</math>. Semua grafik dari keluarga fungsi
Untuk <math>c < 0</math>, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
===Daftar
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! ''n'' !! ''n''<sup>2</sup> !! ''n''<sup>3</sup> !! ''n''<sup>4</sup> !! ''n''<sup>5</sup> !! ''n''<sup>6</sup> !! ''n''<sup>7</sup> !! ''n''<sup>8</sup> !! ''n''<sup>9</sup> !! ''n''<sup>10</sup>
Baris 242 ⟶ 237:
:<math>\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.</math>
Lihat {{slink||Eksponen real dengan basis negatif}} dan {{slink|
== Eksponen real ==
Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk
Di sisi lain, eksponensial ke
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
adalah benar; lihat {{section link||Kegagalan
===Limit eksponen rasional===
[[Berkas:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|Limit {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} adalah {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} ketika {{mvar|n}} cenderung ketakterhinggaan.]]
Karena [[bilangan irasional]] dapat dinyatakan sebagai [[limit barisan]] dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif {{mvar|b}} dengan eksponen real
:<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math>
dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.
Misalnya, jika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}, diwakilankan [[desimal tanpa]] {{math|1=''π'' = 3.14159... }} dan [[fungsi monoton|monotonisitas]] dari
:<math>\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots</math>
Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua [[barisan (matematika)|barisan]] yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai <math>b^\pi.</math>
Baris 282 ⟶ 277:
Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
===
Definisi {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''<sup> ''x''</sup>}} maka ia memiliki
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
Baris 298 ⟶ 293:
:<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math>
Secara umum,
<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> tidak didefinisikan, karena {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat {{slink||
:<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math>
kecuali {{mvar|z}} adalah real atau {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
Baris 304 ⟶ 299:
[[Rumus Euler]] <math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> mengekspresikan [[bentuk polar]] dari <math>b^z</math> dalam hal [[bagian real dan imajiner]] dari {{mvar|z}}, yaitu
:<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math>
dimana [[nilai absolut]] dari faktor [[
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>
==
Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.
Baris 329 ⟶ 324:
[[Berkas:One3Root.svg|thumb|right|Tiga akar ke-3 dari 1]]
Bilangan kompleks ''w'' sedemikian rupa sehingga {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk bilangan bulat positif ''n'' adalah '''akar satuan ke-''n'''''. Secara geometris, akar satuan ke-''n'' terletak pada [[lingkaran satuan]] dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-''n'' beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.
Jika {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} akan tetapi {{math|''w''<sup>''k''</sup> 1}} untuk semua bilangan asli ''k'' sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}, maka ''w'' disebut '''akar satuan ke-''n'' primitif'''. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya [[akar kuadrat]] primitif dari satuan. [[satuan imajiner]] ''i'' adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −''i''.
Bilangan ''e''<sup>{{sfrac|2''πi''|''n''}}</sup> adalah akar satuan ''n'' primitif dengan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] positif terkecil. Hal ini terkadang disebut '''akar kesatuan ke-''n'' utama''', meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan [[nilai utama]] dari {{radic|1|''n''}}, yaitu 1.<ref>{{cite book |title=Introduction to Algorithms |edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = Difference Equations: From Rabbits to Chaos | title-link= Difference Equations: From Rabbits to Chaos | edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Didefinisikan pada hal. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref>)
Baris 374 ⟶ 369:
Jika <math>w=\frac mn</math> adalah bilangan rasional dengan {{mvar|m}} dan {{mvar|n}} [[bilangan bulat koprima]] dengan <math>n>0,</math> maka <math>z^w</math> memiliki nilai persis {{mvar|n}}. Dalam kasus <math>m=1,</math> nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam [[#Akar ke-n bilangan kompleks|§akar ke-{{mvar|n}} bilangan kompleks]]. Jika {{mvar|w}} adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan {{slink||Eksponen bilangan bulat}}.
====Komputasi====
Baris 380 ⟶ 375:
*''[[Bentuk polar]] dari {{mvar|z}}''. Jika <math>z=a+ib</math> adalah bentuk kanonik dari {{mvar|z}} ({{mvar|a}} dan {{mvar|b}} sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> dimana <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> dan <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (lihat [[atan2]] untuk definisi fungsi ini).
*''[[logaritma kompleks|
*''Bentuk kanonik dari <math>w\log z.</math>'' Jika <math>w=c+di</math> dengan real {{mvar|c}} dan {{mvar|d}}, nilai <math>w\log z</math> adalah <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> nilai utama yang sesuai dengan <math>k=0.</math>
*''Hasil akhir.'' Menggunakan identitas <math>e^{x+y}e^x = e^y</math> dan <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> satu-satunya menggunakan <math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> dengan <math>k=0</math> untuk nilai utama.
Baris 388 ⟶ 383:
* <math>i^i</math> <br>Bentuk polar {{mvar|i}} adalah <math>i=e^{i\pi/2},</math> dan dengan demikian nilai <math>\log i</math> adalah <math DISPLAY=block>\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> Oleh karena itu <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math> Jadi, semua nilai real <math>i^i</math> utama adalah <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>
*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\
&=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)).
Baris 395 ⟶ 390:
Dalam kedua contoh, semua nilai <math>z^w</math> memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika [[bagian real]] dari {{mvar|w}} adalah bilangan bulat.
====Kegagalan
Beberapa identitas untuk
{{bulleted list
Baris 423 ⟶ 418:
Untuk sembarang bilangan bulat {{mvar|n}}, memiliki:
# <math>e^{1 + 2 \pi i n} = e^1 e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e</math>
# <math>\left(e^{1 + 2\pi i n}\right)^{1 + 2 \pi i n} = e\qquad</math> (mengambil ke-<math>(1 + 2 \pi i n)</math>
# <math>e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>\left(e^x\right)^y = e^{xy}</math> dan memperluas eksponen)
# <math>e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e\qquad</math> (menggunakan <math>e^{x+y} = e^x e^y</math>)
Baris 444 ⟶ 439:
{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''<sup>''x''</sup> (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}
==
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi
Sebuah [[struktur aljabar]] yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah [[monoid]]. Dalam monoid, eksponensial elemen {{mvar|x}} didefinisikan secara induktif oleh
Baris 475 ⟶ 470:
Jadi, jika {{mvar|G}} adalah grup, <math>x^n</math> didefinisikan untuk setiap <math>x\in G</math> dan setiap bilangan bulat {{mvar|n}}.
Himpunan dari semua
Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam [[teori grup]]. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat [[teorema Sylow]]), dan dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].
Baris 486 ⟶ 481:
Jika nilradikal direduksi menjadi [[ideal nol]] (yaitu, jika <math>x\neq 0</math> menyatakan <math>x^n\neq 0</math> untuk setiap bilangan bulat positif {{mvar|n}}), ring komutatif dikatakan [[gelanggang tereduksi|tereduksi]]. Gelanggang tereduksi penting dalam [[geometri aljabar]], karena [[gelanggang koordinat]] dari [[himpunan aljabar Affin]] merupakan gelanggang tereduksi.
Lebih umum, diberikan ideal {{mvar|I}} dalam gelanggang komutatif {{mvar|R}}, himpunan elemen {{mvar|R}} yang memiliki
===Matriks dan operator linear===
Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[
Selain matriks, [[operator linear]] yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah [[turunan]] operator kalkulus, <math>d/dx</math> salah satu operator linear yang melakukan fungsi <math>f(x)</math> untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>.
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math>
Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan
===Medan hingga===
{{main|Medan hingga}}
Sebuah [[Medan (matematika)|medan]] adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah [[asosiatif]], dan setiap elemen bukan nol memiliki [[perkalian invers]]. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk
Sebuah ''medan hingga'' adalah medan dengan elemen [[himpunan hingga|bilangan hingga]]. Jumlah elemen ini adalah [[bilangan prima]] atau [[
Satu-satunya adalah
Baris 508 ⟶ 503:
untuk setiap <math>x\in \mathbb F_q.</math>
Sebuah [[elemen primitif (medan hingga)|elemen primitif]] di <math>\mathbb F_q</math> adalah elemen {{mvar|g}} seperti pada himpunan {{math|''q'' − 1}}
Dalam <math>\mathbb F_q,</math> identitas [[impian Fresman]]
Baris 517 ⟶ 512:
& x\mapsto x^p
\end{align}</math>
adalah [[peta linear|linear]] atas <math>\mathbb F_q,</math> dan merupakan [[automorfisme medan]], disebut [[automorfisme Frobenius]]. Jika <math>q=p^k,</math> medan <math>\mathbb F_q</math> memiliki {{mvar|k}} automorfisme, yang merupakan
[[Pertukaran kunci Diffie–Hellman]] adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk [[komunikasi aman]]. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, [[logaritma diskret]], secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika {{mvar|g}} adalah elemen primitif dalam <math>\mathbb F_q,</math> maka <math>g^e</math> dihitung secara efisien dengan [[eksponensial dari kuadrat]] untuk {{mvar|e}}, bahkan jika {{mvar|q}} besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan {{mvar|e}} dari <math>g^e</math> jika nilai {{mvar|q}} adalah besar.
Baris 569 ⟶ 564:
Untuk [[bilangan kardinal]] tak hingga dan himpunan ''A'', notasi ''A''<sup>κ</sup> juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga ''A''. Ini terkadang ditulis <sup>κ</sup>''A'' untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.
Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan [[Struktur matematika|struktur]] tambahan. Misalnya, dalam [[aljabar linear]], untuk indeks [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] dari [[ruang vektor]] melalui himpunan indeks
: <math>\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_i,</math>
dimana setiap ''V''<sub>''i''</sub> adalah ruang vektor.
Baris 578 ⟶ 573:
: <math>S^N \equiv \{f \colon N \to S\}.</math>
Ini cocok dengan [[Bilangan kardinal#Eksponen kardinal|eksponen bilangan kardinal]], dalam arti bahwa {{math|1={{abs|''S''<sup>''N''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''N''}}</sup>}}, dimana {{abs|''X''}} adalah kardinalitas ''X''. Ketika "2" didefinisikan sebagai {{math|{0, 1}}}, maka memiliki {{math|1={{abs|2<sup>''X''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''X''}}</sup>}}, dimana 2<sup>''X''</sup>, biasanya dilambangkan dengan '''P'''(''X''), adalah [[himpunan
===Dalam teori kategori===
{{Main|Kategori tertutup Kartesius}}
Dalam [[kategori tertutup Kartesius]], operasi [[eksponensial (teori kategori)|eksponensial]] digunakan untuk kenaikkan objek
===Dari bilangan kardinal dan ordinal===
Baris 597 ⟶ 592:
Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut [[hiper-4]] atau [[tetrasi]]. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama [[hiperoperasi]]. Urutan operasi ini dinyatakan oleh [[fungsi Ackermann]] dan [[notasi panah atas Knuth]]. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada {{math|(3, 3)}}, fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan {{val|7625597484987}} masing-masing pada ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}).
==Limit
[[Nol
Lebih tepatnya, perhatikan fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>''y''</sup>}} didefinisikan pada {{math|1=''D'' = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup> : ''x'' > 0}.}} Kemudian {{math|''D''}} dilihat sebagai himpunan bagian dari {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (yaitu, himpunan semua pasangan {{math|(''x'', ''y'')}} dengan {{math|''x''}}, {{math|''y''}} memiliki [[garis bilangan real diperluas]] {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, dengan [[darab topologi]]), yang berisi titik-titik dimana fungsi {{math|''f''}} memiliki limit.
Faktanya, {{math|''f''}} memiliki limit di semua [[titik akumulasi]] dari {{math|''D''}}, kecuali {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} dan {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan
Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
Baris 610 ⟶ 605:
* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} dan {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, bila {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.
Disisi lain, ketika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat, maka
==Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat==
Baris 623 ⟶ 618:
| 2<sup>2</sup> = 4
|-
| 2 * (2<sup>2</sup>) = 2<sup>3</sup> = 8
|-
| (2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>6</sup> = 64
Baris 631 ⟶ 626:
| (2<sup>12</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>24</sup> = {{val|16,777,216}}
|-
| 2 * (2<sup>24</sup>) = 2<sup>25</sup> = {{val|33,554,432}}
|-
| (2<sup>25</sup>)
|-
| (2<sup>
|}
Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.
Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} dikurangi menjadi <math>\sharp n +\lfloor
==Fungsi teriterasi==
Baris 646 ⟶ 641:
untuk setiap {{mvar|x}} dalam domain {{mvar|f}}.
Jika domain suatu fungsi {{mvar|f}} sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan
Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, [[perkalian sesetitik]], yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan [[notasi fungsional]], dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional ''sebelum'' tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik ''setelah'' tanda kurung. Jadi <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> dan <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> dan <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya [[fungsi trigonometri]]. Jadi, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2(x)</math> berarti keduanya <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> dan bukan <math>\sin(\sin(x)),</math> yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
Baris 654 ⟶ 649:
==Dalam bahasa pemrograman==
[[Bahasa pemrograman]] umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:
* <code>x ↑ y</code>: [[Bahasa pemrograman Algol|Algol]], [[Komodor BASIC]], [[TRS-80 Level II BASIC|TRS-80 Level II/III BASIC]].<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&lpg=PA42&focus=viewport&dq=TRS-80+exponention&hl=de#v=onepage&q=TRS-80%20exponention&f=false |archive-date=2020-02-07 |quote=[...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas) [[TRS-80 BASIC]], interpreter [[waktu berjalan (fase siklus hidup program)|waktu berjalan]] adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...]}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal|date=October 1983|title=80 Contents
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[J programming language|J]], [[MATLAB]], [[Wolfram Language]] ([[Wolfram Mathematica|Mathematica]]), [[R (programming language)|R]], [[Microsoft Excel]], [[Analytica (perangkat lunak)|Analytica]], [[TeX]] (dan turunannya), [[TI-BASIC]], [[bc bahasa pemrograman|bc]] (untuk eksponen bilangan bulat), [[Haskell (bahasa pemrograman)|Haskell]] (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), [[Lua (bahasa pemrograman)|Lua]] dan sebagian besar [[sistem aljabar komputer]]. Penggunaan simbol <code>^</code> yang bertentangan meliputi: [[XOR]] (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), [[Indirection]] (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
* <code>x ^^ y</code>: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), [[D (bahasa pemrograman)|D]].
Baris 669 ⟶ 664:
* <code>(expt x y)</code>: [[Common Lisp]].
Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung ''x''<sup>''y''</sup> jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih ''x''
Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan [[Wolfram Language]], [[Google Penelusuran]] dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>a^(b^c)</code>), banyak program komputer seperti [[Microsoft Office Excel]] dan [[Matlab]] mengasosiasikan ke kiri (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>(a^b)^c</code>).
Baris 685 ⟶ 680:
* [[Subskrip dan superskrip Unicode]]
* [[Persamaan x^y = y^x|''x''<sup>''y''</sup> = ''y''<sup>''x''</sup>]]
* [[Nol
{{div col end}}
<!-- harap simpan entri dalam urutan abjad -->
Baris 698 ⟶ 693:
<ref name="Robinson_1958">{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2<sup>n</sup> + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel |author-last=Robinson |author-link=Raphael Mitchel Robinson |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=9 |issue=5 |date=Oktober 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=[[Universitas California]], Berkeley, California, AS |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=2020-06-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=2020-06-28|doi-access=free }}</ref>
<ref name="Bronstein_1987">{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |language=de |trans-title=Pocketbook of mathematics |title-link=Bronstein and Semendjajew |chapter=2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke |trans-chapter=Definisi ekspresi aritmetika |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein |author-link1=Ilya Nikolaevich Bronshtein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew |author-link2=Konstantin Adolfovic Semendyayev<!-- 1908–1988 --> |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (dan [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |publication-place=Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany |location=Leipzig, Germany |isbn=3-87144-492-8 |pages=115–120, 802 <!-- |quote=Regel 7: Ist ''F''(''A'') Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und ''F'' eine Funktionenkonstante und ''A'' eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf ''F{{thin space}}A'' dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung ''F''<sup>''n''</sup>(''A'') für (''F''(''A''))<sup>''n''</sup> üblich. Dabei kann ''F'' sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.] --><!-- -->}}</ref>
<ref name="NIST_2010">{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |title-link=NIST Handbook of Mathematical Functions |editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=[[Institut Standar dan Teknologi Nasional]] (NIST), [[A.S. Departemen Perdagangan]], [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130703230148/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638 |date=2013-07-03 }}</ref>
<ref name="Zeidler_2013">{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I |title-link=Springer-Handbuch der Mathematik |volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |editor-link=:de:Eberhard Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard |author-link1=:de:Eberhard Zeidler |author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang |author-link3=Wolfgang Hackbusch |author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-link4=:de:Bernd Luderer |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |author-link8=Gert Wanka |author-last9=Hromkovič |author-first9=Juraj |author-link9=Juraj Hromkovič |author-last10=Gottwald |author-first10=Siegfried |author-link10=Siegfried Gottwald |publisher=[[Springer Spektrum]], [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] |location=Berlin / Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590<!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=2020-06-27 -->}} (xii+635 pages)</ref>
<!-- <ref name="Stibitz_1957">{{cite book |title=Mathematics and Computers |url=https://archive.org/details/mathematicscompu00stib |author-first1=George Robert |author-last1=Stibitz |author-link1=George Robert Stibitz |author-first2=Jules A. |author-last2=Larrivee |date=1957 |edition=1 |publisher=[[McGraw-Hill Book Company, Inc.]] |publication-place=New York, AS / Toronto, Kanada / London, Inggris |location=Underhill, Vermont, USA |lccn=56-10331 |page=[https://archive.org/details/mathematicscompu00stib/page/169 169]}} (10+228 halaman) (NB. Stibitz menggunakan tanda kurung bahkan dalam hubungannya dengan fungsi trigonometri (seperti <code>(cos
<ref name="Cajori_1929">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations |volume=2 |orig-year=March 1929 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, USA |date=1952 |edition=3rd|pages=108, 176–179, 336, 346 |isbn=978-1-60206-714-1 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |access-date=2016-01-18 }}</ref>
<!-- <ref name="Peirce_1852">{{cite book |author-first=Benjamin |author-last=Peirce |author-link=Benjamin Peirce |title=Curves, Functions and Forces |volume=I |edition=new |location=Boston, USA |date=1852 |page=203}}</ref>-->
|