Eksponensiasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
fixx |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (12 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Operasi
{{use dmy dates|date=Juli 2020|cs1-dates=y}}
{{Operasi aritmetika}}
[[Gambar:Expo02.svg|thumb|315px|Grafik {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} untuk sebagai basis ''b'':
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Pangkat sepuluh|basis
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#Fungsi eksponensial|basis
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Pangkat dua|basis
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|basis
Setiap kurva melewati titik {{math|(0, 1)}} karena setiap bilangan bukan nol pangkat 0 adalah 1. Pada {{math|1=''x'' = 1}}, nilai ''y'' sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.]]{{Periksa terjemahan|en|Exponentiation}}<div class="tright">{{Hasil perhitungan}}</div>
'''Eksponensiasi''' adalah sebuah [[Operasi (matematika)|operasi matematika]], ditulis sebagai <math>b^n</math>, melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok <math>b</math> dan eksponen atau pangkat <math>n</math>, diucapkan sebagai "<math>b</math> pangkat <math>n</math>".<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-27|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=Agustus 27, 2020|website=Math Insight}}</ref>. Ketika <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]] positif, eksponensiasi adalah [[perkalian]] berulang dari basis: yaitu, <math>b^n</math> adalah [[Darab (matematika)|darab]] dari mengalikan basis <math>n</math>:<ref name=":1" />
Baris 64 ⟶ 63:
=== Eksponen nol ===
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat {{math|0}} adalah {{math|1}}:<ref name=":1" /><ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref
:<math>b^0=1.</math>
Baris 98 ⟶ 97:
:<math>\left(b^p\right)^q = b^{p q} .</math>
===
pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan [[rumus binomial]]
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math>
Baris 132 ⟶ 131:
|}
===Basis
===={{anchor|Basis 10}}Pangkat sepuluh====
{{see also|Notasi ilmiah}}
Baris 150 ⟶ 149:
pangkat bilangan bulat {{math|2}} penting dalam [[ilmu komputer]]. Bilangan bulat positif pangkat {{math|2<sup>''n''</sup>}} memberikan jumlah bilangan untuk [[bit]] {{math|''n''}} bilangan bulat [[bilangan biner]]; misalnya, [[bita]] mengambil nilai {{math|1=2<sup>8</sup> = 256}} yang berbeda. [[Sistem bilangan biner]] menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat {{math|2}}, dan menyatakannya sebagai urutan {{math|0}} dan {{math|1}}, dipisahkan oleh [[titik biner]], dimana {{math|1}} menunjukkan pangkat {{math|2}} yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat {{math|1}} ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat {{math|1}} sebelah kiri titik (mulai dari {{math|0}}), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.
====
pangkat satu adalah semua satu-satunya: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}.Ppangkat nol
Jika eksponen {{mvar|n}} positif ({{math|''n'' > 0}}), pangkat ke-{{mvar|n}} dari nol adalah nol: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}.
Baris 160 ⟶ 158:
Ekspresi {{math|0<sup>0</sup>}} didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (''lihat [[Nol pangkat nol]]'').
====
Jika {{math|''n''}} adalah bilangan bulat genap, maka {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.
Baris 250 ⟶ 248:
===Limit eksponen rasional===
[[Berkas:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|Limit {{math|''e''{{sup|1/''n''}}}} adalah {{math|1=''e''{{sup|0}} = 1}} ketika {{mvar|n}} cenderung ketakterhinggaan.]]
Karena [[bilangan irasional]] dapat dinyatakan sebagai [[limit barisan]] dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif {{mvar|b}} dengan eksponen real sembarang {{mvar|x}} didefinisikan oleh [[fungsi kontinu|kontinuitas]] dengan kaidah<ref name="Denlinger">{{cite book |title=Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000denl |last=Denlinger |first=Charles G. |publisher=Jones and Bartlett |date=2011 |pages=
:<math> b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),</math>
dimana limitnya diambil alih nilai rasional {{mvar|r}} saja. Limit ini ada untuk setiap {{mvar|b}} positif dan setiap {{mvar|x}} real.
Baris 279 ⟶ 277:
Karena [[deret (matematika)|deret]] [[deret konvergen|konvergen]] untuk setiap [[bilangan kompleks|kompleks]] nilai {{mvar|x}} dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula <math>e^z,</math> untuk argumen kompleks {{mvar|z}}. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.
===
Definisi {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} sebagai fungsi eksponensial didefinisikan {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} untuk setiap bilangan real positif {{mvar|b}}, dalam hal fungsi eksponensial dan [[logaritmik]]. Secara khusus, bahwa [[logaritma natural]] {{math|ln(''x'')}} adalah [[fungsi invers|invers]] dari fungsi eksponensial {{math|''e''<sup> ''x''</sup>}} maka ia memiliki
: <math>b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}</math>
Baris 301 ⟶ 299:
[[Rumus Euler]] <math>e^{iy} = \cos y + i \sin y,</math> mengekspresikan [[bentuk polar]] dari <math>b^z</math> dalam hal [[bagian real dan imajiner]] dari {{mvar|z}}, yaitu
:<math>b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),</math>
dimana [[nilai absolut]] dari faktor [[
:<math>b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).</math>
==
Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-{{mvar|n}}, yaitu, dari eksponen <math>1/n,</math> dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-{{mvar|n}}, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan [[logaritma kompleks]], dan karena itu lebih mudah dipahami.
Baris 326 ⟶ 324:
[[Berkas:One3Root.svg|thumb|right|Tiga akar ke-3 dari 1]]
Bilangan kompleks ''w'' sedemikian rupa sehingga {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} untuk bilangan bulat positif ''n'' adalah '''akar satuan ke-''n'''''. Secara geometris, akar satuan ke-''n'' terletak pada [[lingkaran satuan]] dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-''n'' beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.
Jika {{math|1=''w''<sup>''n''</sup> = 1}} akan tetapi {{math|''w''<sup>''k''</sup> 1}} untuk semua bilangan asli ''k'' sehingga {{math|0 < ''k'' < ''n''}}, maka ''w'' disebut '''akar satuan ke-''n'' primitif'''. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya [[akar kuadrat]] primitif dari satuan. [[satuan imajiner]] ''i'' adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −''i''.
Bilangan ''e''<sup>{{sfrac|2''πi''|''n''}}</sup> adalah akar satuan ''n'' primitif dengan [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]] positif terkecil. Hal ini terkadang disebut '''akar kesatuan ke-''n'' utama''', meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan [[nilai utama]] dari {{radic|1|''n''}}, yaitu 1.<ref>{{cite book |title=Introduction to Algorithms |edition=second |author-first1=Thomas H. |author-last1=Cormen |author-first2=Charles E. |author-last2=Leiserson |author-first3=Ronald L. |author-last3=Rivest |author-first4=Clifford |author-last4=Stein |publisher=[[MIT Press]] |date=2001 |isbn=978-0-262-03293-3}} [http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html Online resource] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070930201902/http://highered.mcgraw-hill.com/sites/0070131511/student_view0/chapter30/glossary.html |date=2007-09-30 }}</ref><ref>{{cite book | title = Difference Equations: From Rabbits to Chaos | title-link= Difference Equations: From Rabbits to Chaos | edition = [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |author-first1=Paul |author-last1=Cull |author-first2=Mary |author-last2=Flahive |author-link2=Mary Flahive |author-first3=Robby |author-last3=Robson |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-23234-8}} Didefinisikan pada hal. 351</ref><ref>"[http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRootofUnity.html Principal root of unity]", MathWorld.</ref>)
Baris 377 ⟶ 375:
*''[[Bentuk polar]] dari {{mvar|z}}''. Jika <math>z=a+ib</math> adalah bentuk kanonik dari {{mvar|z}} ({{mvar|a}} dan {{mvar|b}} sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah <math DISPLAY=block>z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),</math> dimana <math>\rho=\sqrt{a^2+b^2}</math> dan <math>\theta=\operatorname{atan2}(a,b)</math> (lihat [[atan2]] untuk definisi fungsi ini).
*''[[logaritma kompleks|
*''Bentuk kanonik dari <math>w\log z.</math>'' Jika <math>w=c+di</math> dengan real {{mvar|c}} dan {{mvar|d}}, nilai <math>w\log z</math> adalah <math DISPLAY=block>w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),</math> nilai utama yang sesuai dengan <math>k=0.</math>
*''Hasil akhir.'' Menggunakan identitas <math>e^{x+y}e^x = e^y</math> dan <math>e^{y\ln x} =x^y,</math> satu-satunya menggunakan <math DISPLAY=block>z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),</math> dengan <math>k=0</math> untuk nilai utama.
Baris 385 ⟶ 383:
* <math>i^i</math> <br>Bentuk polar {{mvar|i}} adalah <math>i=e^{i\pi/2},</math> dan dengan demikian nilai <math>\log i</math> adalah <math DISPLAY=block>\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).</math> Oleh karena itu <math DISPLAY=block>i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.</math> Jadi, semua nilai real <math>i^i</math> utama adalah <math DISPLAY=block> e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.</math>
*<math>(-2)^{3+4i}</math><br>
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\
&=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)).
Baris 441 ⟶ 439:
{{quote|Jika ''b'' adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, dan ''x'' adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilai ''b''<sup>''x''</sup> (banyaknya, tak hingga) adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan aljabar).}}
==
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk [[operasi asosiatif]] apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.<ref group="nb">Lebih umum, [[asosiasi pangkat]] sudah cukup untuk definisi.</ref> Definisi <math>x^0</math> memerlukan keberadaan [[identitas perkalian]] lebih lanjut.<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=Algèbre|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
Baris 486 ⟶ 484:
===Matriks dan operator linear===
Jika ''A'' adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali ''A'' dengan ''n'' itu sendiri disebut [[pangkat matriks]]. Juga <math>A^0</math> didefinisikan sebagai [[matriks identitas]],<ref>Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton</ref> dan jika ''A'' adalah invers, maka <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.
pangkat matriks sering muncul dalam konteks [[sistem dinamik diskret]], dimana matriks ''A'' menyatakan transisi dari vektor keadaan ''x'' dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya ''Ax'' dari sistem.<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Bab 5.</ref> Ini adalah interpretasi standar dari [[rantai Markov]], misalnya, apabila <math>A^2x</math> adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka, <math>A^nx</math> adalah status sistem setelah langkah kali ''n''. Matriks pangkat <math>A^n</math> adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali ''n'' ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan [[nilai eigen dan vektor eigen]].
Baris 651 ⟶ 649:
==Dalam bahasa pemrograman==
[[Bahasa pemrograman]] umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:
* <code>x ↑ y</code>: [[Bahasa pemrograman Algol|Algol]], [[Komodor BASIC]], [[TRS-80 Level II BASIC|TRS-80 Level II/III BASIC]].<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II |author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&lpg=PA42&focus=viewport&dq=TRS-80+exponention&hl=de#v=onepage&q=TRS-80%20exponention&f=false |archive-date=2020-02-07 |quote=[...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas) [[TRS-80 BASIC]], interpreter [[waktu berjalan (fase siklus hidup program)|waktu berjalan]] adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...]}}</ref><ref name="80Micro_1983">{{cite journal|date=October 1983|title=80 Contents
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[J programming language|J]], [[MATLAB]], [[Wolfram Language]] ([[Wolfram Mathematica|Mathematica]]), [[R (programming language)|R]], [[Microsoft Excel]], [[Analytica (perangkat lunak)|Analytica]], [[TeX]] (dan turunannya), [[TI-BASIC]], [[bc bahasa pemrograman|bc]] (untuk eksponen bilangan bulat), [[Haskell (bahasa pemrograman)|Haskell]] (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), [[Lua (bahasa pemrograman)|Lua]] dan sebagian besar [[sistem aljabar komputer]]. Penggunaan simbol <code>^</code> yang bertentangan meliputi: [[XOR]] (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), [[Indirection]] (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
* <code>x ^^ y</code>: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), [[D (bahasa pemrograman)|D]].
Baris 666 ⟶ 664:
* <code>(expt x y)</code>: [[Common Lisp]].
Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung ''x''<sup>''y''</sup> jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih ''x''
Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan [[Wolfram Language]], [[Google Penelusuran]] dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>a^(b^c)</code>), banyak program komputer seperti [[Microsoft Office Excel]] dan [[Matlab]] mengasosiasikan ke kiri (yaitu <code>a^b^c</code> dievaluasi sebagai <code>(a^b)^c</code>).
Baris 695 ⟶ 693:
<ref name="Robinson_1958">{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2<sup>n</sup> + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel |author-last=Robinson |author-link=Raphael Mitchel Robinson |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=9 |issue=5 |date=Oktober 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=[[Universitas California]], Berkeley, California, AS |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=2020-06-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=2020-06-28|doi-access=free }}</ref>
<ref name="Bronstein_1987">{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |language=de |trans-title=Pocketbook of mathematics |title-link=Bronstein and Semendjajew |chapter=2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke |trans-chapter=Definisi ekspresi aritmetika |author-first1=Ilja Nikolaevič<!-- Nikolajewitsch --> |author-last1=Bronstein |author-link1=Ilya Nikolaevich Bronshtein<!-- 1903–1976 --> |author-first2=Konstantin Adolfovič<!-- Adolfowitsch --> |author-last2=Semendjajew |author-link2=Konstantin Adolfovic Semendyayev<!-- 1908–1988 --> |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler<!-- 1922–1980--> |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen<!-- lector --> |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (dan [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |publication-place=Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany |location=Leipzig, Germany |isbn=3-87144-492-8 |pages=115–120, 802 <!-- |quote=Regel 7: Ist ''F''(''A'') Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und ''F'' eine Funktionenkonstante und ''A'' eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf ''F{{thin space}}A'' dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung ''F''<sup>''n''</sup>(''A'') für (''F''(''A''))<sup>''n''</sup> üblich. Dabei kann ''F'' sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.] --><!-- -->}}</ref>
<ref name="NIST_2010">{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |title-link=NIST Handbook of Mathematical Functions |editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=[[Institut Standar dan Teknologi Nasional]] (NIST), [[A.S. Departemen Perdagangan]], [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130703230148/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638 |date=2013-07-03 }}</ref>
<ref name="Zeidler_2013">{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I |title-link=Springer-Handbuch der Mathematik |volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |editor-link=:de:Eberhard Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard |author-link1=:de:Eberhard Zeidler |author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang |author-link3=Wolfgang Hackbusch |author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-link4=:de:Bernd Luderer |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |author-link8=Gert Wanka |author-last9=Hromkovič |author-first9=Juraj |author-link9=Juraj Hromkovič |author-last10=Gottwald |author-first10=Siegfried |author-link10=Siegfried Gottwald |publisher=[[Springer Spektrum]], [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] |location=Berlin / Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590<!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=2020-06-27 -->}} (xii+635 pages)</ref>
<!-- <ref name="Stibitz_1957">{{cite book |title=Mathematics and Computers |url=https://archive.org/details/mathematicscompu00stib |author-first1=George Robert |author-last1=Stibitz |author-link1=George Robert Stibitz |author-first2=Jules A. |author-last2=Larrivee |date=1957 |edition=1 |publisher=[[McGraw-Hill Book Company, Inc.]] |publication-place=New York, AS / Toronto, Kanada / London, Inggris |location=Underhill, Vermont, USA |lccn=56-10331 |page=[https://archive.org/details/mathematicscompu00stib/page/169 169]}} (10+228 halaman) (NB. Stibitz menggunakan tanda kurung bahkan dalam hubungannya dengan fungsi trigonometri (seperti <code>(cos
<ref name="Cajori_1929">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations |volume=2 |orig-year=March 1929 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, USA |date=1952 |edition=3rd|pages=108, 176–179, 336, 346 |isbn=978-1-60206-714-1 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |access-date=2016-01-18 }}</ref>
<!-- <ref name="Peirce_1852">{{cite book |author-first=Benjamin |author-last=Peirce |author-link=Benjamin Peirce |title=Curves, Functions and Forces |volume=I |edition=new |location=Boston, USA |date=1852 |page=203}}</ref>-->
| |||