Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi

▲[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinom dengan derajat 5, dengan 3 nol nyata (akar) dan 4 [[titik kritis (matematika)|titik kritis]].]]

▲Karena mereka memiliki derajat ganjil, fungsi kuintik normal tampak serupa dengan [[fungsi kubik]] normal ketika digambarkan, kecuali mereka mungkin memiliki tambahan [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan minimum lokal masing-masing. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].

▲Memecahkan persamaan kuintik dalam istilah akar adalah masalah utama dalam aljabar dari abad ke-16, ketika [[persamaan kubik|kubik]] dan [[persamaan kuartik]] diselesaikan, sampai paruh pertama abad ke-19, ketika ketidakmungkinan solusi umum seperti itu dibuktikan dengan [[Teorema Abel–Ruffini]].

▲== Menemukan akar dari persamaan kuintik ==

▲Memecahkan [[Persamaan linier|linier]], [[Persamaan kuadrat|kuadrat]], [[Persamaan kubik|kubik]] dan [[persamaan kuadrtik|kuartik]] s dengan [[faktorisasi]] menjadi [[ekspresi radikal]] selalu bisa dilakukan, tidak peduli apakah akarnya rasional atau irasional, nyata atau kompleks; ada rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Namun, tidak ada [[ekspresi aljabar]] (yaitu, dalam istilah akar) untuk solusi persamaan kuintik umum di atas rasio; Pernyataan ini dikenal sebagai [[Teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali ditegaskan pada tahun 1799 dan dibuktikan sepenuhnya pada tahun 1824. Hasil ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Contoh kuintik yang akarnya tidak dapat diekspresikan dalam akar adalah {{math|''x''⁵ − ''x'' + 1 {{=}} 0}}. Kuintik ini dalam [[rumus kenormalan Bring–Jerrard]].

▲Beberapa kuintik dapat diselesaikan dengan istilah radikal. Namun, solusi tersebut umumnya terlalu kompleks untuk digunakan dalam praktik. Sebaliknya, pendekatan numerik dihitung menggunakan [[algoritma pencarian akar#Menemukan akar polinomial|algoritma pencarian akar untuk polinomial]].

▲Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar. Ini termasuk persamaan kuintik yang ditentukan oleh polinomial yang [[polinomial tak tersederhanakan|dapat direduksi]], seperti {{math|''x''⁵ − ''x''⁴ − ''x'' + 1 {{=}} (''x''² + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)²}}. Misalnya, sudah ditampilkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf</ref> that

▲Karena penyelesaian persamaan kuintik yang dapat direduksi segera berkurang menjadi penyelesaian polinomial derajat yang lebih rendah, hanya persamaan kuintik tak tersederhanakan yang dipertimbangkan di sisa bagian ini, dan istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, ''' kuintik terpecahkan ''' adalah polinomial kuintik tak tereduksi yang akarnya dapat diekspresikan dalam bentuk akar..

▲Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan polinomial yang lebih umum pada derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Menerapkan teknik ini, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah setiap kuintik tertentu dapat dipecahkan.<ref>A. Cayley. ''Pada persamaan bantu baru dalam teori persamaan orde lima'', Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria ini adalah sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>

▲[[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan kuintik (yaitu, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan

▲{} - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4

▲Hasil Cayley memungkinkan kita untuk menguji apakah kuintik dapat dipecahkan. Jika demikian, menemukan akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkan akar dalam istilah radikal yang melibatkan koefisien kuintik dan akar rasional dari resolvent Cayley.

▲Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] mendemonstrasikan bahwa quintics dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (juga dikenal sebagai [[Bring radikal]] s), akar asli unik dari {{math|''t''⁵ + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan riil {{math|''a''}}. Pada tahun 1858 [[Charles Hermite]] menunjukkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam istilah [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] yang terkait, menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal untuk menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]], menggunakan [[teori grup]], mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk mendapatkan hasil Hermite, seperti yang telah [[Francesco Brioschi]]. Belakangan, [[Felix Klein]] menemukan metode yang menghubungkan kesimetrian [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang ditampilkan dalam solusi Hermite, memberikan penjelasan mengapa fungsi tersebut harus muncul, dan mengembangkan solusinya sendiri dalam istilah [[fungsi hipergeometrik umum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena serupa terjadi dalam derajat {{math | 7}} ([[persamaan septik]] s) dan {{math | 11}}, seperti yang dipelajari oleh Klein dan dibahas di {{slink|Simetri Icosahedral|Geometri terkait}}.

▲Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi di mana massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

▲Lebih tepatnya, lokasi ''L''₂ dan ''L''₁ adalah solusi untuk persamaan berikut, di mana gaya gravitasi dua massa pada sepertiga (misalnya, Matahari dan Bumi pada satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di ''L''₂ dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] pada ''L''₁) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

▲Memecahkan dua hasil kuintik ini {{math|1=''r'' = 1.501 x 10⁹ ''m''}} for ''L''₂ dan {{math|1=''r'' = 1.491 x 10⁹ ''m''}} untuk ''L''₁. [[Daftar objek di titik Lagrangian|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] ''L''₂ dan ''L''₁ biasanya diberikan sejauh 1,5 juta km dari Bumi.