Wikipedia

Fungsi kuintik: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.339 suntingan
pbtj, akan dilanjutkan besok
Putrianh (bicara | kontrib)
40 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(10 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{terjemah}}{{short description|Fungsi polinomial derajat 5}}
[[Berkas:Quintic polynomial.svg|thumb|right|233px|Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat [[titik kritis (matematika)|titik kritis]].]]
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk<math display="block">g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], danserta <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.▼
Dalam [[aljabar]], '''fungsi kuintik''' adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] berbentuk
 
Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].▼
:<math>g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,</math>
 
Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:<math display="block">ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>▼
▲dengan <math>a,b,c,d,e,f</math> merupakan anggota dari [[Lapangan (matematika)|lapangan]], Anggota tersebut secara umum berupa [[bilangan rasional]], [[bilangan real]] ataupun [[bilangan kompleks]], dan <math>a</math> bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah [[polinomial]] dengan [[Derajat polinomial|derajat]] lima.
 
Memecahkan [[persamaan kuintik]] dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan [[teorema Abel–Ruffini]].▼
▲Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti [[fungsi kubik]] normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah [[Maxima dan minima|maksimum lokal]] dan satu buah minimum lokal tambahan. [[Turunan]] dari fungsi kuintik adalah [[fungsi kuartik]].
 
▲Dengan menetapkan {{math|''g''(''x'') {{=}} 0}}, dan mengasumsi bahwa {{math|''a'' ≠ 0}}, akan menghasilkan '''persamaan kuintik''' dalam bentuk:
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0.\,</math>
▲Memecahkan persamaan kuintik dalam bentuk [[Akar ke-n|akar]] adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuartik]]. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan [[teorema Abel–Ruffini]].
 
== Mencari akar dari persamaan kuintik ==
Baris 17 ⟶ 12:
Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], [[persamaan kubik]] dan [[persamaan kuadrtik|persamaan kuartik]] selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan [[faktorisasi]] dan kemudian diubah menjadi [[Akar ke-n|akar]], tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai [[Ekspresi aljabar|ekspresi]] akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai [[teorema Abel–Ruffini]], yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x'' + 1 {{=}} 0}} tidak dapat diubah menjadi ekspresi [[Akar ke-n|radikal]].
 
Ada beberapa persamaan kuintik yang dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi akar. Akan tetapi, solusi tersebut umumnya terlalu rumit untuk digunakan pada praktikpraktiknya. Sebagai gantinya, aproksimasi numerik dihitung menggunakan [[algoritma pencarian akar#Menemukan akar polinomial|algoritma pencarian akar untuk polinomial]].
 
== Persamaan kuintik yang terpecahkan ==
 
Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar., Ini termasukdan persamaan kuintiktersebut yangdidefinisikan ditentukan olehdengan polinomial yang [[polinomial tak tersederhanakan|dapat direduksitersederhanakan]], seperti {{math|''x''<sup>5</sup> − ''x''<sup>4</sup> − ''x'' + 1 {{=}} (''x''<sup>2</sup> + 1)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<sup>2</sup>}}. MisalnyaSebagai contoh, sudahpersamaan<math display="block">x^5-x-r=0</math>telah ditampilkandiperlihatkan<ref>Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", ''Fibonacci Quarterly'' 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230417160819/https://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf |date=2023-04-17 }}</ref> thatmempunyai solusi dalam ekspresi akar [[jika dan hanya jika]] persamaan tersebut mempunyai solusi [[bilangan bulat]] atau <math>r</math> bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.
 
Karena penyelesaianPenyelesaian persamaan kuintik yangtersederhanakan dapatdisederhanakan direduksisecara segeralangung berkurangagar menjadimembentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih rendahkecil, hanyasehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. yangKarena dipertimbangkan di sisa bagian iniitu, dan istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, ''' kuintikKuintik terpecahkan ''' ({{Lang-en|solvable quintic}}) adalah polinomial kuintik tak tereduksitersederhanakan yang akarnya dapat diekspresikandinyatakan dalam bentukekspresi akar..▼
:<math>x^5-x-r=0</math>
 
Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial yang lebih umum padadengan derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. MenerapkanKetika menerapkan teknik initersebut, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah setiapsebarang persamaan kuintik tertentuterselesaikan (dapat dipecahkandiselesaikan).<ref>A. Cayley. ''Pada"On persamaana bantunew baruauxiliary dalamequation teoriin persamaanthe theory of equation of the ordefifth lima''order", Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria initersebut adalahmenjelaskan sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>▼
memiliki solusi dalam radikal jika dan hanya jika memiliki solusi integer atau '' r '' adalah salah satu dari ± 15, ± 22440, atau ± 2759640, dalam hal ini polinomnya dapat direduksi.
 
Diberikan persamaan<math display="block"> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math> maka [[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan persamaan kuintik (yaitudengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan <math display="block"> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>dengan<math display="block">\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\▼
▲Karena penyelesaian persamaan kuintik yang dapat direduksi segera berkurang menjadi penyelesaian polinomial derajat yang lebih rendah, hanya persamaan kuintik tak tersederhanakan yang dipertimbangkan di sisa bagian ini, dan istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Dengan demikian, ''' kuintik terpecahkan ''' adalah polinomial kuintik tak tereduksi yang akarnya dapat diekspresikan dalam bentuk akar..
 
▲Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan polinomial yang lebih umum pada derajat yang lebih tinggi, [[Évariste Galois]] mengembangkan teknik yang memunculkan [[teori grup]] dan [[teori Galois]]. Menerapkan teknik ini, [[Arthur Cayley]] menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah setiap kuintik tertentu dapat dipecahkan.<ref>A. Cayley. ''Pada persamaan bantu baru dalam teori persamaan orde lima'', Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).</ref> Kriteria ini adalah sebagai berikut.<ref>Formulasi hasil Cayley ini diambil dari Lazard (2004) paper.</ref>
 
Diberikan persamaan
:<math> ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,</math>
▲[[transformasi Tschirnhaus]] {{math|''x'' {{=}} ''y'' − {{sfrac|''b''|5''a''}}}}, yang menekan kuintik (yaitu, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan
 
:<math> y^5+p y^3+q y^2+r y+s=0</math>,
 
dimana
 
:<math>\begin{align}p &= \frac{5ac-2b^2}{5a^2}\\
q &= \frac{25a^2d-15abc+4b^3}{25a^3}\\
r &= \frac{125a^3e-50a^2bd+15ab^2c-3b^4}{125a^4}\\
s &= \frac{3125 a^4f-625a^3 be+125a^2b^2 d-25ab^3 c+4 b^5}{3125a^5}\end{align}</math>
 
Kedua persamaan kuintik dapatdi atas diselesaikanterselesaikan dengan akar jika dan hanya jika keduanyakedua persamaan tersebut dapat difaktorisasikandifaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial. {{math|''P''<sup>2</sup> − 1024''z''Δ}}, yang bernama '' resolventresolven Cayley '', memilikimempunyai akar rasional di {{mvar | z}}, didengan<math manadisplay="block">
{}P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4) - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4 + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq▼
 
</math>dan <math display="block">\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2-1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2+2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
:<math>
</math>Hasil Cayley memungkinkan kitaseseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik dapattersebut dipecahkanterpecahkan. Jika demikian, menemukanmaka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkanmencari akar dalam istilahekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolventresolven Cayley.▼
P =z^3-z^2(20r+3p^2)- z(8p^2r - 16pq^2- 240r^2 + 400sq - 3p^4)
</math>
::<math>
▲{} - p^6 + 28p^4r- 16p^3q^2- 176p^2r^2- 80p^2sq + 224prq^2- 64q^4
</math>
::<math>
{} + 4000ps^2 + 320r^3- 1600rsq
</math>
 
dan
 
:<math>\Delta=-128p^2r^4+3125s^4-72p^4qrs+560p^2qr^2s+16p^4r^3+256r^5+108p^5s^2
</math>
::<math>
{} -1600qr^3s+144pq^2r^3-900p^3rs^2+2000pr^2s^2-3750pqs^3+825p^2q^2s^2
</math>
::<math>
{} +2250q^2rs^2+108q^5s-27q^4r^2-630pq^3rs+16p^3q^3s-4p^3q^2r^2.
</math>
 
▲Hasil Cayley memungkinkan kita untuk menguji apakah kuintik dapat dipecahkan. Jika demikian, menemukan akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mengungkapkan akar dalam istilah radikal yang melibatkan koefisien kuintik dan akar rasional dari resolvent Cayley.
 
Pada tahun 1888, [[George Paxton Young]]<ref>George Paxton Young. ''Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients'' ''American Journal of Mathematics'' '''10''' (1888), 99–130 [https://www.jstor.org/pss/2369502 at JSTOR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230726135131/https://www.jstor.org/stable/2369502 |date=2023-07-26 }}</ref> describedmenjelaskan howcara tomenyelesaikan solvesuatu apersamaan solvablekuintik quinticterselesaikan equation,tanpa withoutmenyediakan providingrumus anyang expliciteksplisit. formula;Rumus [[Danieltersebut Lazard]]ditulis wrotedalam outtiga ahalaman three-pageoleh formula[[Daniel (Lazard (2004))]].<ref>{{harvtxt|Lazard|2004|p=207}}</ref><!--
<!--
===Quintics in Bring–Jerrard form===
 
Baris 211 ⟶ 173:
Analogously to [[cubic equation]]s, there are solvable quintics which have five real roots all of whose solutions in radicals involve roots of complex numbers. This is ''[[casus irreducibilis]]'' for the quintic, which is discussed in Dummit.<ref>David S. Dummit [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics]</ref>{{rp|p.17}} Indeed, if an irreducible quintic has all roots real, no root can be expressed purely in terms of real radicals (as is true for all polynomial degrees that are not powers of 2).
-->
== Solusi selain dalam ekspresi akar ==
 
Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] mendemonstrasikanmemperlihatkan bahwa quinticspersamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (atau juga dikenal sebagai [[Bring radikal Bring]] s), sebuah akar asli unikreal dari persamaan {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan riilreal {{math|''a''}}. Pada tahun 1858, [[Charles Hermite]] menunjukkanmemperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam istilah [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] yang terkaitiringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal untukdalam menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]], dan [[Francesco Brioschi]] menggunakan [[teori grup]], dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk mendapatkanmemperoleh hasil Hermite, seperti yang telah [[Francesco Brioschi]]. Belakangan, [[Felix Klein]] kemudian menemukan metode yang menghubungkanmengaitkan kesimetriansimetri dari [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang ditampilkandipakai dalam solusi Hermite,; memberikanmenjelaskan penjelasan mengapaalasan fungsi tersebut harus munculdipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dalamdengan istilahmenggunakan [[Fungsi hipergeometrik rampat|fungsi hipergeometrik umumdiperumum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena yang serupa terjadi dalam derajatpersamaan {{math |berderajat 7}} (atau [[persamaan septik]] s) dan {{mathpersamaan |berderajat 11}}, seperti yang dipelajari olehsaat Klein dan dibahas di {{slink|Simetri Icosahedral|Geometri terkait}}mempelajarinya.<!--▼
== Di luar radikal ==
 
▲Sekitar tahun 1835, [[George Jerrard|Jerrard]] mendemonstrasikan bahwa quintics dapat diselesaikan dengan menggunakan [[ultraradikal]] (juga dikenal sebagai [[Bring radikal]] s), akar asli unik dari {{math|''t''<sup>5</sup> + ''t'' − ''a'' {{=}} 0}} untuk bilangan riil {{math|''a''}}. Pada tahun 1858 [[Charles Hermite]] menunjukkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam istilah [[fungsi theta]] Jacobi dan [[fungsi modular eliptik]] yang terkait, menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal untuk menyelesaikan [[persamaan kubik]] melalui [[fungsi trigonometri]]. Di sekitar waktu yang sama, [[Leopold Kronecker]], menggunakan [[teori grup]], mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk mendapatkan hasil Hermite, seperti yang telah [[Francesco Brioschi]]. Belakangan, [[Felix Klein]] menemukan metode yang menghubungkan kesimetrian [[ikosahedron]], [[teori Galois]], dan fungsi modular eliptik yang ditampilkan dalam solusi Hermite, memberikan penjelasan mengapa fungsi tersebut harus muncul, dan mengembangkan solusinya sendiri dalam istilah [[fungsi hipergeometrik umum]].<ref>{{Harv|Klein|1888}}; a modern exposition is given in {{Harv|Tóth|2002|loc=Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}</ref> Fenomena serupa terjadi dalam derajat {{math | 7}} ([[persamaan septik]] s) dan {{math | 11}}, seperti yang dipelajari oleh Klein dan dibahas di {{slink|Simetri Icosahedral|Geometri terkait}}.
<!--
=== Solving with Bring radicals ===
{{main article|Bring radical}}
Baris 255 ⟶ 215:
See [[Bring radical]] for details on these solutions and some related ones.
-->
== Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa ==
Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi di manadengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.▼
 
Lebih tepatnya, lokasi ''L''<submath>2L_2</submath> dan ''L''<submath>1L_1</submath> adalah solusi untuk persamaan berikut, di manadengan [[Gravitasi|gaya gravitasi]] dua massaobjek padabermassa sepertigaterhadap objek ketiga (misalnyasebagai contoh, Matahari dan Bumi padaterhadap satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di ''L''<submath>2L_2</submath> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] padadi ''L''<submath>1L_1</submath>) memberikan [[gaya sentripetal]] satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:▼
== Aplikasi untuk mekanika angkasa ==
▲Memecahkan lokasi [[titik Lagrangian]] dari orbit astronomi di mana massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.
 
▲Lebih tepatnya, lokasi ''L''<sub>2</sub> dan ''L''<sub>1</sub> adalah solusi untuk persamaan berikut, di mana gaya gravitasi dua massa pada sepertiga (misalnya, Matahari dan Bumi pada satelit seperti [[Gaia probe|Gaia]] di ''L''<sub>2</sub> dan [[Observatorium Surya dan Heliosfer|SOHO]] pada ''L''<sub>1</sub>) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:
 
: <math>\frac{G m M_S}{(R \pm r)^2} \pm \frac{G m M_E}{r^2} = m \omega^2 (R \pm r)</math>
 
Tanda ± samamewakili denganmasing-masing ''L''<submath>2L_2</submath> anddan ''L''<submath>1L_1</submath>, masing-masing; '' <math>G ''</math> adalah [[konstanta gravitasi]], ''<math>\omega</math> ω ''adalah [[kecepatan sudut]], '' <math>r</math> ''adalah jarak satelit ke Bumi, '' <math>R ''</math> jarak Matahari ke Bumi (yaitu, [[sumbu semi-mayor]] orbit bumi), danserta ''<math>m''</math>, ''M<submath>EM_E</submath>'', dan ''M<submath>SM_S</submath>'' adalah massa masing-masing satelit, [[Bumi]], dan [[Matahari]].
 
Menggunakan Hukum Ketiga Kepler <math display="inline">\omega^2=\frac{4 \pi^2}{P^2}=\frac{G (M_S+M_E)}{R^3}</math> dan mengaturmenyusun ulang semua istilahpartisipan persamaan menghasilkan kuintik:
 
: <math>a r^5 + b r^4 + c r^3 + d r^2 + e r + f = 0</math>
 
dengan <math>a = \pm (M_S + M_E)</math> , <math>b = + (M_S + M_E) 3 R</math> , <math>c = \pm (M_S + M_E) 3 R^2</math> , <math>d = + (M_E \mp M_E) R^3</math> (thusjadi ''<math>d'' = 0</math> foruntuk ''L''<submath>2L_2</submath>), <math>e = \pm M_E 2 R^4</math> , <math>f = \mp M_E R^5</math> .
 
Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan {{math|1=''r'' = 1.501 x 10<sup>9</sup> m}} untuk <math>L_2</math> dan {{math|1=''r'' = 1.491 x 10<sup>9</sup> m}} untuk <math>L_1</math>. [[Daftar objek di titik Lagrange|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] <math>L_2</math> dan <math>L_1</math> biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.
 
Jika massa dari objek yang lebih kecil (<math>M_E</math> jauh di bawah massa objek yang lebih besar (<math>M_S</math>), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta <math>L_1</math> dan <math>L_2</math> akan kurang lebih berada pada radius [[bola Hill]], sesuai dengan:
 
: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_E}{3 M_S}}</math>
 
Memecahkanyang duajuga hasilakan kuintik inimenghasilkan {{math|1=''r'' = 1.5015 x 10<sup>9</sup> ''m''}} for ''L''<sub>2</sub> dan {{math|1=''r'' = 1.491 x 10<sup>9</sup> ''m''}} untuk ''L''<sub>1</sub>.satelit [[Daftarpada objek di titik Lagrangian|Titik Lagrangian Matahari–Bumi]] ''L''<submath>2L_1</submath> dan ''L''<submath>1L_2</submath> biasanya diberikan sejauh 1,5 juta kmdalam darisistem Matahari-Bumi.
 
== Lihat pula ==
Baris 287 ⟶ 252:
* Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''ax'' + ''b''}}, ''American Mathematical Monthly'', Vol. 101 (1994), pp.&nbsp;986–992.
* Ian Stewart, ''Galois Theory'' 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. {{isbn|0-412-34550-1}}. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
* [[Jörg Bewersdorff]], ''Galois theory for beginners: A historical perspective'', [[American Mathematical Society]], 2006. {{isbn|0-8218-3817-2}}. Chapter 8 ({{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100331181637/http://www.ams.org/bookstore/pspdf/stml-35-prev.pdf|title=The solution of equations of the fifth degree|date=31 March 2010}}) gives a description of the solution of solvable quintics {{math|''x''<sup>5</sup> + ''cx'' + ''d''}}.
* Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 3, September 2003, pp.&nbsp;90–94.
* Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ''ACM SIGSAM Bulletin'', Vol. 37, No. 1, March 2003, pp.&nbsp;1–3.
* Daniel{{Cite book|last1=Lazard, "Solving quintics in radicals", in [[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], ''|first1=Daniel|year=2004|url=http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps|title=The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp.&nbsp;207–225, |location=Berlin, 2004, {{|isbn|=3-540-43826-2}},|editor1=[[Olav availableArnfinn atLaudal]]|pages=207&ndash;225|chapter=Solving {{webarchivequintics in radicals|editor2=[[Ragni Piene]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20050106213419/http://www.loria.fr/publications/2002/A02-R-449/A02-R-449.ps |archive-date=January 6, 2005 }}
* {{citation | title = Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli| first = Gábor | last = Tóth | year = 2002 }}
 
== Pranala luar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html Mathworld - Quintic Equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201023004530/https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html |date=2020-10-23 }} – more details on methods for solving Quintics.
* [http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf Solving Solvable Quintics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120307030156/http://www.emba.uvm.edu/~dummit/quintics/solvable.pdf |date=2012-03-07 }} – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
* [https://web.archive.org/web/20090226035640/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/143/tschirnhaus.pdf A method for removing all intermediate terms from a given equation] - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Fungsi_kuintik"