Wikipedia

Grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.164 suntingan
→‎Referensi: perbarui referensi
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan aplikasi seluler Suntingan aplikasi Android
(11 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{under construction}}
[[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|right|Manipulasi dari [[Kubus Rubik]] membentuk [[Grup Kubus Rubik]].]]
Dalam [[matematika]], '''grup''' adalah suatu [[himpunan]], beserta satu [[operasi biner]], seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut ''aksioma grup''. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut [[teori grup]].
 
Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, [[bilangan rasional]], bilangan riil, dan [[bilangan kompleks]] terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.
 
Asal usul teori grup berawal dari kerja [[Evariste Galois]] (1830), yang berkaitan dengan masalah [[persamaan aljabar]] yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori [[bentuk kuadrat]].
 
== Definisi dan ilustrasi ==
Baris 22 ⟶ 21:
|align = right
|width=33%
|quote=Aksioma untuk grup pendekitu sederhana dan alamisangat jelas... Namun harus bagaimanatetapi di balik semua aksioma initersebut adalahterdapat [[Grup monster|grup monster sederhana]], objek matematika sangat luar biasa, yang tampaknya tergantungsuka bergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.
|source=[[Richard Borcherds]] dalam ''Matematikawan: Pandangan Luar dari Dunia Batin'' <ref>{{Citation |last=Cook |first=Mariana R. |year=2009 |title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World ''{{sfn|publisher=Princeton University Press Cook|location=Princeton, N.J. 2009|pagep=24 | isbn=9780691139517 |url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 }}</ref>
}}
 
Baris 166 ⟶ 165:
Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah [[teori bilangan]]. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya [[Carl Friedrich Gauss]] yang berjudul ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798). [[Leopold Kronecker]] juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail.{{sfn|Kleiner|1986|p=204}} Pada tahun 1847, [[Ernst Kummer]] mencoba membuktikan [[Teorema Terakhir Fermat]] dengan mengembangkan [[grup kelas|grup yang menjelaskan faktorisasi]] menjadi [[bilangan prima]].{{sfn|Wussing|2007|loc=§I.3.4}}
 
Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik [[Camille Jordan]] yang berjudul ''{{lang|fr|Traité des substitutions et des équations algébriques}}'' (1870).{{sfn|Jordan|1870}} [[Walther von Dyck]] (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (''generator'') dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak".{{sfn|von Dyck|1882}} Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik [[Ferdinand Georg Frobenius]] dan [[William Burnside]] yang membahas tentang [[teori representasi]] dari grup terhingga, karya [[Richard Brauer]] yang membahas tentang [[teori representasi modular]] dan karya milik [[Issai Schur]].{{sfn|Curtis|2003}} Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah [[grup kompak lokal]] (''locally compact group'') dikaji oleh [[Hermann Weyl]], [[Élie Cartan]] dan banyak matematikawan lainnya.{{sfn|Mackey|1976}} Pasangan teorinya, teori [[grup aljabar]], dikembangkan oleh [[Claude Chevalley]] di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh [[Armand Borel]] dan [[Jacques Tits]].{{sfn|Borel|2001}}
 
== Konsekuensi elementer dari aksioma grup ==
Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam ''teori grup elementer''.<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pp. 4–5|nb = yes}}</ref> Sebagai contoh, aplikasipenerapan aksioma asosiatif yang [[Induksi matematika|berulang]] menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu dari<math aksiomadisplay="block">a asosiatif\cdot menunjukkanb bahwa\cdot ketidakjelasanc = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>memperumum lebih dari tiga faktor. Karena notasi tersebut menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja di suku-suku tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.{{sfn|Ledermann|1973|loc=§I.1|p=3}}
:''a'' &sdot; ''b'' &sdot; ''c'' = (''a'' &sdot; ''b'') &sdot; ''c'' = ''a'' &sdot; (''b'' &sdot; ''c'')
menggeneralisasi lebih dari tiga faktor. Karena ini menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja dalam serangkaian istilah tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Ledermann|year = 1973|loc = §I.1, p. 3}}</ref>
 
Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan dari [[Elemen identitas|identitas kiri]] dan [[elemenElemen invers kiri|invers kiri]]. KeduanyaBerdasarkan <nowiki>''aksioma sepihak''</nowiki> ini, dapat ditampilkandibuktikan sebagaibahwa duaidentitas sisikiri juga merupakan identitas kanan, makadan definisibegitupula untuk invers kiri yang dihasilkanjuga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, setaraaksioma dengantersebut definisitidak dimenjadi ataslemah.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 7}}</ref>
 
=== KeunikanKetunggalan dari elemen identitas ===
Aksioma grup menyiratkanmengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah uniktunggal: Jikajika ''<math>e''</math> dan ''<math>f'' </math>adalah elemen identitas dari suatu grup, maka ''<math>e'' = ''e'' &sdot;\cdot ''f'' = ''f''</math>. Oleh karena itu, kebiasaansangat lazim untuk membicarakanmembahas mengenai identitas.<ref name="lang2005">{{Harvard citationssfn|nb = yes|last = Lang|year = 2005|loc = §II.1, |p. =17}}</ref>
 
=== KeunikanKetunggalan dari invers ===
Aksioma grup menyiratkanmengimplikasikan bahwa kebalikaninvers (atau ''invers''kebalikan) dari setiap elemen adalah uniktunggal: Jikajika elemen grup ''<math>a''</math> memiliki ''<math>b''</math> dan ''<math>c''</math> yang sebagaimerupakan invers, maka
 
:{|
|''<math>b</math>'' ||<math>=</math>||''<math>b'' &sdot;\cdot ''e'' </math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''<math>e</math>'' adalah elemen identitas
|-
| ||<math>=</math>||''<math>b'' &sdot;\cdot (''a'' &sdot;\cdot ''c'') </math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''<math>c''</math> adalah invers dari ''<math>a''</math>, jadisehingga ''<math>e'' = ''a'' &sdot;\cdot ''c''</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>(''b'' &sdot;\cdot ''a'') &sdot;\cdot ''c'' </math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||denganberdasarkan sifat asosiatif, yang memungkinkan pengaturanpenyusunan ulang tanda kurung
|-
| ||<math>=</math>||''<math>e'' &sdot;\cdot ''c''</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''<math>b''</math> adalah invers dari ''<math>a''</math>, jadisehingga ''<math>b'' &sdot;\cdot ''a'' = ''e''</math>
|-
| ||<math>=</math>||''<math>c''</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| karena ''<math>e</math>'' adalah elemen identitas.
|}
 
Oleh karena itu, adalahsangat kebiasaanlazim untuk berbicaramembahas tentangmengenai ''kebalikaninvers'' dari suatu elemen.<ref name{{sfn|Lang|2005|loc=§II.1|p="lang2005"/>17}}
 
=== <span id="translation"></span>Pembagian ===
MengingatDiberikan elemen {{mvar|<math> a}} </math> dan {{mvar|<math> b}} </math> dari grup {{mvar|<math> G}} </math>, maka terdapat solusi uniktunggal <math> {{mvar|x}} di</math> dalam <math> {{mvar|G}} </math> untuk persamaan {{<math|1=''> a'' &sdot;\cdot ''x'' = ''b''}} </math>, yaitu {{math|''a''<supmath>−1 a^{-1} \cdot b </supmath> &sdot; ''b''}}. (Biasanya menghindari penggunaan notasi seperti <math>\tfrac{ b}{/a} </math> ataudihindari {{math|''b''/''a''}}, kecuali {{mvar|jika <math> G}} </math> adalah abelian, karena ambiguitasnotasi apakahtersebut artinyadapat berarti {{math|''a''<supmath>−1 a^{-1} \cdot b </supmath> &sdot; ''b''}} atau {{<math|''> b'' &sdot;\cdot ''a''<sup>−1^{-1}</supmath>}}.<ref>){{sfn|Artin |2018, |p. =40.</ref>}} Oleh karena itu, untuk setiap {{mvar|<math> a}} </math> dalam {{mvar|<math> G}} </math>, fungsinyafungsi {{<math|''> G'' →\to ''G''}} diberikan</math> olehyang {{memetakan <math|''> x'' ↦\to ''a'' &sdot;\cdot ''x''}} </math> adalah [[bijeksi|bijektif]]; itu disebut ''perkalian kiri dengan {{mvar|<math> a}} </math>'' atau ''translasi kiri olehdengan <math> {{mvar|a </math>''. Dengan cara yang serupa, diberikan <math> a </math> dan <math> b </math>, maka solusi tunggal untuk <math> x \cdot a = b </math> adalah <math> b \cdot a^{-1}} </math>. Untuk setiap <math> a </math>, fungsi elemen <math> a </math> dan <math> b </math> yang memetakan <math> x \to x \cdot a </math> adalah bijektif yang disebut ''perkalian kanan dengan <math> a </math>'' atau ''translasi kanan dengan <math> a </math>''.
 
Demikian pula, dengan {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}, solusi unik untuk {{math|1=''x'' &sdot; ''a'' = ''b''}} adalah {{math|''b'' &sdot; ''a''<sup>−1</sup>}}. Untuk setiap {{mvar|a}}, fungsinya {{math|''G'' → ''G''}} diberikan oleh {{math|''x'' ↦ ''x'' &sdot; ''a''}} adalah bijeksi yang disebut ''perkalian kanan dengan {{mvar | a}}'' atau ''translasi kanan dengan {{mvar|a}}''.
 
== Notasi grup ==
Suatu grup yang terdiri atas himpunan <math>G</math> dan operasi <math>*</math> dapat ditulis <math>(G,*)</math>.
 
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari [[perkalian]], dan operasi grup ditulis seperti perkalian (''notasi perkalian''):
* Kita menulis <math>a\cdot b</math>, atau bahkan <math>ab</math>, untuk <math>a*b</math>.
* Kita menulis <math>1</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur satuan''.
* Kita menulis <math>a^{-1}</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''kebalikan'' dari <math>a</math>.
 
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari [[penjumlahan]] dan ditulis seperti penjumlahan (''notasi penjumlahan''):
* Kita menulis <math>a + b</math> untuk <math>a * b</math> dan menyebutnya jumlah <math>a</math> dan <math>b</math>.
* Kita menulis <math>0</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur nol''.
* Kita menulis <math>-a</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''lawan'' dari <math>a</math>.
 
Biasanya, hanya [[grup abelian]] (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat ''noncommittal'', kita dapat menggunakan notasi (dengan <math>*</math>) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi <math>a^{-1}</math> sebagai invers dari <math>a</math>.
 
Bila <math>S</math> adalah sub himpunan dari <math>G</math> dan <math>x</math> unsur dari <math>G</math> maka dalam notasi perkalian <math>xS</math> merupakan himpunan dari semua hasil perkalian <math>xs</math> untuk <math>s</math> dalam <math>S</math> (dengan kata lain, <math>xS=\{xs | s\in S\}</math>). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi <math>Sx=\{sx | s\in S\}</math>, dan untuk dua sub himpunan <math>S</math> dan <math>T</math> dari <math>G</math> kita dapat menulis <math>ST</math> untuk <math>\{st | s\in S,t\in T\}</math>. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan <math>x+S,S+x,</math> dan <math>S+T</math> untuk masing-masing pasangan.
 
== Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup ==
=== Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan ===
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan <math>\mathbb{Z}</math> merupakan himpunan bilangan bulat, <math>\{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...\}</math> dan simbol <math>+</math> sebagai operasi [[penjumlahan]]. Dengan demikian, <math>(\mathbb{Z},+)</math> merupakan suatu grup.
 
Bukti:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat maka <math>a + b</math> juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah bilangan bulat maka <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>0</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>0 + a = a + 0 = a</math> (elemen identitas).
* Bila <math>a</math> sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat <math>b = -a</math> sedemikian sehingga <math>a + b = b + a = 0</math> (elemen invers).
 
Grup ini juga merupakan abelian, karena <math>a + b = b + a</math> (sifat komutatif).
 
Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.
 
=== Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian ===
Bilangan bulat terhadap [[perkalian]] yang dilambangkan dengan <math>\times</math>. Maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan sebuah grup. Alasannya:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat maka <math>a \times b</math> merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> bilangan bulat maka <math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>1</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>1 \times a = a \times 1 = a</math> (elemen identitas).
* Tetapi, bila <math>a</math> sebaramg bilangan bulat bukan <math>0</math> maka tidak ada bilangan bulat bukan <math>0</math> yang memenuhi <math>ab = ba = 1</math>. Sebagai contoh, misalkan <math>a = 2</math> maka berapapun <math>b</math> (bilangan bulat bukan <math>0</math>) maka <math>|ab| = |2b| > 1</math> (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).
 
Karena tidak semua elemen dari <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> mempunyai invers maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> sebuah [[monoid]] komutatif.
 
=== Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian ===
Misalkan <math>\mathbb{Q}</math> sebagai himpunan [[bilangan rasional]], yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan <math>\frac{a}{b}</math> dengan <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat dan <math>b</math> bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol <math>\times</math> Karena bilangan rasional [[0]] tidak memiliki invers untuk perkalian maka <math>(\mathbb{Q},\times)</math>, sebagaimana juga <math>(\mathbb{Z},\times)</math> bukan sebuah grup.
 
Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan <math>\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}</math>, yang mencakup setiap bilangan rasional ''kecuali'' nol maka <math>(\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}, \times)</math> merupakan grup abelian. Invers <math>\frac{a}{b}</math> adalah <math>\frac{b}{a}</math> dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.
 
Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari [[medan (matematika)|medan]]. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.
 
=== Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan ===
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan ''a'' adalah aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan ''b'' adalah aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.
 
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan ''xy'' untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan ''y'' kemudian lakukan ''x''” sehingga ''ab'' adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan ''e'' untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam [[permutasi]] dari himpunan tiga blok sebagai berikut:
* ''e'': MHB → MHB
* ''a'': MHB → HMB
* ''b'': MHB → MBH
* ''ab'': MHB → BMH
* ''ba'': MHB → HBM
* ''aba'': MHB → BHM
 
Perhatikan bahwa aksi ''aa'' akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan ''aa'' = ''e''.
Demikian pula,
* ''bb'' = ''e''
* (''aba'')(''aba'') = ''e'', dan
* (''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''.
Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.
 
Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,
* (''ab'')''a'' = ''a''(''ba'') = ''aba'', dan
* (''ba'')''b'' = ''b''(''ab'') = ''aba''.
 
Grup ini disebut [[grup simetri]] pada tiga huruf, atau S<sub>3</sub>. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh ''ab'' ≠ ''ba''). Karena S<sub>3</sub> dibangun dari aksi dasar ''a'' dan ''b'' maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {''a'',''b''} membangun S<sub>3</sub>.
 
Setiap grup dapat diungkapkan dalam [[grup permutasi]] seperti S<sub>3</sub>. Hasilnya merupakan [[Teorema Cayley]] dan dipelajari sebgai bagian dari subyek [[aksi grup]].
 
=== Contoh lanjutan ===
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.
 
== Teorema sederhana ==
* Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
* Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
* Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup ''a'' dan ''b'' dari grup <math>G</math>, hanya ada satu solusi ''x'' dalam <math>G</math> terhadap persamaan ''x'' * ''a'' = ''b'' dan hanya satu solusi ''y'' dalam <math>G</math> untuk persamaan ''a'' * ''y'' = ''b''.
* Ungkapan ''a<sub>1</sub>'' * ''a<sub>2</sub> * ... * ''a<sub>n</sub>'' tidak ambigu karena hasilnya akan sama di mana saja kita menempatkan tanda kurung.
* Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>.
 
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari [[teori grup elementer]].
 
=== Membuat grup baru dari suatu grup tertentu ===
* Jika himpunan bagian <math>H</math> dari grup <math>(G,*)</math>,
* Hasil kali dari dua grup <math>(G,*)</math> dan <math>(H, \times)</math> merupakan himpunan <math>G</math>x<math>H</math> dengan operasi (''g<sub>1</sub>'', ''h<sub>1</sub>'')(''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>2</sub>'') = (''g<sub>1'' * ''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>1</sub>'' × ''h<sub>2</sub>'').
* “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan subgrup perkalian yang diwakilkan oleh elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Jika anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
* Grup tertentu <math>G</math> dan sebuah [[subgrup normal]] <math>N</math>, maka [[grup kuosien]] adalah himpunan dari kohimpunan dari <math>G / N</math> terhadap operasi (''g''<math>N</math>)(''h''<math>N</math>) = ''gh''<math>N</math>.
 
== Catatan==
Baris 296 ⟶ 200:
== Kutipan ==
{{Reflist}}
 
 
== Referensi ==
Baris 310 ⟶ 213:
| year=2018
}}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{Citation |last=Cook |first=Mariana R. |year=2009 |title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, N.J. | isbn=978-0-691-13951-7 |url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 |accessdate=2021-04-09 |archive-date=2023-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230809114242/https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 |dead-url=no }}
* {{Citation | author-link=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied Group Theory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | year=1967}}, an elementary introduction.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |author-link1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract Algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
Baris 324 ⟶ 227:
{{refbegin|30em}}
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The status of the classification of the finite simple groups | url=https://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf | year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=51 | issue=7 | pages=736–740 | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2023-04-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230404065746/http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf | dead-url=no }}.
* {{Citation|title=Category Theory| last=Awodey|first=Steve|isbn=978-0-19-958736-0|year=2010|publisher=Oxford University Press}}
* {{Citation|title=Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers|first1=Florian|last1=Behler|first2=Mathias S.|last2= Wickleder|first3=Jens|last3=Christoffers|doi=10.3998/ark.5550190.p008.911|journal=Arkivoc|year=2014|volume=2015|issue=2|pages=64–75|doi-access=free}}
* {{citation |title=The Jahn–Teller Effect |first=Isaac |last=Bersuker |isbn=0-521-82212-2 |publisher=Cambridge University Press |year=2006 |url=https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers/page/2 }}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=https://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7 | doi-access=free | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2009-08-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090827060744/http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group Theory and Chemistry | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear Algebraic Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
Baris 337 ⟶ 240:
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
* {{citation |title=Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials |first=Martin T|last= Dove |page=265 |isbn=0-19-850678-3 |publisher=Oxford University Press |year=2003 }}.
* {{Citation| |last=Dudek |first=Wiesław A. |title=On some old and new problems in {{mvar|n}}<!-- not math so it appears correctly colored in the linked title -->-ary groups |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages= 15–36 |mr=1876783 |url=https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf |accessdate=2023-03-10 |archive-date=2021-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210726223722/https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf |dead-url=no }}.
* {{Citation|title=Stereochemistry of Organic Compounds|last1=Eliel|first1=Ernest|last2=Wilen|first2=Samuel|last3=Mander|first3=Lewis|year=1994 |isbn=978-0-471-01670-0 |publisher=Wiley}}
* {{citation | last = Ellis | first = Graham | contribution = 6.4 Triangle groups | doi = 10.1093/oso/9780198832973.001.0001 | isbn = 978-0-19-883298-0 | mr = 3971587 | pages = 441–444 | publisher = Oxford University Press | title = An Invitation to Computational Homotopy | year = 2019}}.
Baris 344 ⟶ 247:
* {{Citation| last = Goldstein | first = Herbert | author-link = Herbert Goldstein | year = 1980 | title = [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley Publishing | location = Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 | pages = 588–596}}.
* {{citation | last1=Gollmann | first1=Dieter | title=Computer Security | year=2011 | edition=2nd | publisher=John Wiley & Sons, Ltd. | location=West Sussex, England | isbn=978-0-470-74115-3 }}
* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | author-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002 | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2012-02-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120206155217/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Husain | first1=Taqdir | title=Introduction to Topological Groups | publisher=W.B. Saunders Company | location=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 | year=1966}}
* {{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142 | bibcode=1937RSPSA.161..220J| doi-access = free }}.
Baris 363 ⟶ 266:
* {{Citation | last1=Rosen | first1=Kenneth H. | title=Elementary Number Theory and its Applications | publisher=Addison-Wesley | edition=4th | isbn=978-0-201-87073-2 | mr=1739433 | year=2000}}.
* {{Citation| last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin | title = Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}.
* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An Introduction to Computational Group Theory | url=https://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=44 | issue=6 | pages=671–679 | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2022-12-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221231194958/http://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | mr=0450380 | year=1977 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}.
* {{Citation | last=Schwartzman | first=Steven | year=1994 | title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English | publisher=Mathematical Association of America | isbn=978-0-88385-511-9 }}.
Baris 383 ⟶ 286:
{{refbegin|30em}}
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860) }}.
* {{MacTutor | id=Development_group_theory | class=HistTopics | title = The development of group theory}}
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | author-link = Charles W. Curtis | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=von Dyck | year=1882 | first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies) | doi=10.1007/BF01443322 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 | s2cid=179178038 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | archive-date=2014-02-22 }}.
* {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1908 | language=fr | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2011-05-21 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110521005315/http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | dead-url=no }} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] | url=https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1870 | language=fr }}.
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | author-link=Israel Kleiner (mathematician) | title=The evolution of group theory: A brief survey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312 }}.
* {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | mr=0392459 | year=1973|language=de}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The Theory of Unitary Group Representations | publisher=[[University of Chicago Press]] | mr=0396826 | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906 | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2023-06-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230604193407/https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 | dead-url=no }}.
* {{Citation | last=Weyl | first=Hermann | author-link=Hermann Weyl |title=The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publisher=Dover |orig-year=1931 | year = 1950 | translator-first=H. P. |translator-last=Robertson | isbn = 978-0-486-60269-1}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | author-link=Hans Wussing | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_(matematika)"