Topologi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Perubahan kosmetik tanda baca |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (14 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 9:
Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam topologi adalah:
* [[Topologi umum|Topologi titik-himpunan]], yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah [[Ruang kompak|kekompakan]] dan [[
* [[Topologi aljabar]], yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homologi
* [[Topologi geometris]] yang terutamanya mengkaji keragaman dan pembenamannya di keragaman lainnya.
Beberapa bidang yang paling aktif, seperti topologi dimensi rendah dan teori grafik, tidak muat dengan rapi dalam pembagian ini.
==Motivasi==
Wawasan yang memotivasi di balik topologi adalah bahwa beberapa masalah geometris tidak bergantung pada bentuk pasti dari objek yang terlibat, melainkan pada cara mereka disatukan. Contohnya, persegi dan lingkaran memiliki banyak sifat yang sama: keduanya adalah objek satu dimensi (dari sudut pandang topologi) dan keduanya memisahkan bidang menjadi dua bagian, bagian di dalam dan bagian luar.
Dalam salah satu makalah pertama di topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rute melalui kota Königsberg (sekarang [[Kaliningrad]]) yang akan melintasi ketujuh jembatannya tepat satu kali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jembatan atau jarak satu sama lain, tetapi hanya pada properti konektivitas: jembatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tepi sungai mana. Masalah [[Tujuh Jembatan Königsberg]] ini menyebabkan cabang matematika yang dikenal sebagai [[teori graf]].
{{multiple image
| width = 200
| image1 = Mug and Torus morph.gif
| image2 = Spot the cow.gif
| footer = Deformasi kontinu (sejenis homeomorfisme) cangkir menjadi donat (torus) dan sapi menjadi bola
}}
Serupa dengan itu, [[teorema bola berbulu]] dari topologi aljabar mengatakan bahwa "seseorang tidak dapat menyisir rambut hingga rata pada bola berbulu tanpa membuat [[jilatan rambut]]." Fakta ini langsung meyakinkan bagi kebanyakan orang, meskipun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahwa tidak ada [[Medan vektor|medan vektor singgung]] kontinu tak menghilang pada bola. Seperti dengan '' Jembatan Königsberg '', hasilnya tidak bergantung pada bentuk bola; ini berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, selama tidak ada lubang.
Untuk menangani masalah ini yang tidak bergantung pada bentuk objek yang tepat, kita harus jelas tentang properti apa yang diandalkan oleh masalah ini {{em|do}}. Dari kebutuhan ini muncullah pengertian homeosfier. Ketidakmungkinan menyeberangi setiap jembatan hanya sekali berlaku untuk setiap susunan jembatan yang bersifat homeomorfik dengan yang ada di Königsberg, dan teorema bola berbulu berlaku untuk setiap ruang yang homeomorfik untuk sebuah bola.
Secara intuitif, dua ruang bersifat homeomorfik jika yang satu dapat berubah bentuk menjadi yang lain tanpa memotong atau merekatkan. Lelucon tradisional adalah bahwa ahli topologi tidak dapat membedakan cangkir kopi dari donat, karena donat yang cukup lentur dapat dibentuk kembali menjadi cangkir kopi dengan membuat lesung pipit dan secara bertahap memperbesarnya, sambil mengecilkan lubang menjadi pegangan.<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=SHBj2oaSALoC&pg=PA204|title=Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems|last1=Hubbard|first1=John H.|last2=West|first2=Beverly H.|publisher=Springer|year=1995|isbn=978-0-387-94377-0|series=Texts in Applied Mathematics|volume=18|page=204}}</ref>
Homeomorfisme dapat dianggap sebagai [[Homeomorfisme|kesetaraan topologis]] yang paling dasar. Lainnya adalah [[kesetaraan homotopi]]. Ini lebih sulit untuk dijelaskan tanpa teknis, tetapi gagasan dasarnya adalah bahwa dua benda adalah setara homotopi jika keduanya dihasilkan dari "meremas" benda yang lebih besar.
{| class="wikitable" border=1
|+ Kelas persamaan alfabet Latin dalam font sans-serif
|-
! Homeomorfisme
! Kesetaraan homotopi
|-
| style="vertical-align: top" | [[Gambar:alphabet homeo.png|270px|alt={A,R} {B} {C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z}, {D,O} {E,F,T,Y} {H,K}, {P,Q} {X}]]
| style="vertical-align: top" | [[Gambar:alphabet homotopy.png|300px|alt={A,R,D,O,P,Q} {B}, {C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z}]]
|}
Pengantar [[latihan (matematika)|latihan]] adalah untuk mengklasifikasikan huruf besar dari [[alfabet bahasa Indonesia]] menurut persamaan homeomorfisme dan homotopi. Hasilnya tergantung pada font yang digunakan, dan apakah goresan yang membentuk huruf memiliki ketebalan atau kurva ideal tanpa ketebalan. Gambar di sini menggunakan font [[sans-serif]] [[Myriad]] dan diasumsikan terdiri dari kurva ideal tanpa ketebalan. Kesetaraan homotopi adalah hubungan yang lebih kasar daripada homeomorfisme; kelas kesetaraan homotopy dapat berisi beberapa kelas homeomorfisme. Kasus sederhana persamaan homotopi yang dijelaskan di atas dapat digunakan di sini untuk menunjukkan dua huruf yang setara homotopi. Misalnya, OF pas di dalam P dan ekor P bisa dijepit ke bagian "lubang".
Kelas homeomorfisme adalah:
* tidak ada lubang yang sesuai dengan C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, dan Z;
* tidak ada lubang dan tiga ekor yang sesuai dengan E, F, T, dan Y;
* tidak ada lubang dan empat ekor sesuai dengan X;
* satu lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan D dan O;
* satu lubang dan satu ekor sesuai dengan P dan Q.;
* satu lubang dan dua ekor sesuai dengan A dan R;
* dua lubang dan tidak ada ekor yang sesuai dengan B; dan
* batang dengan empat ekor sesuai dengan H dan K; "bar" pada '' K '' hampir terlalu pendek untuk dilihat.
Kelas homotopi lebih besar, karena ekornya dapat terjepit ke bawah sampai suatu titik. Mereka:
* satu lubang,
* dua lubang, dan
* tidak ada lubang.
Untuk mengklasifikasikan huruf dengan benar, kita harus menunjukkan bahwa dua huruf di kelas yang sama adalah setara dan dua huruf di kelas yang berbeda tidak setara. Dalam kasus homeomorfisme, ini dapat dilakukan dengan memilih titik dan menunjukkan penghapusannya memutus huruf secara berbeda. Misalnya, X dan Y tidak homeomorfik karena menghilangkan titik tengah X menyisakan empat buah; titik apa pun di Y yang sesuai dengan titik ini, penghapusannya dapat menyisakan paling banyak tiga bagian. Kasus kesetaraan homotopi lebih sulit dan membutuhkan argumen yang lebih rumit yang menunjukkan invari aljabar, seperti [[grup fundamental]], berbeda pada kelas yang seharusnya berbeda.
Topologi huruf memiliki relevansi praktis dalam [[stensil]] [[tipografi]]. Contohnya, [[Braggadocio (jenis huruf)|Braggadocio]] stensil font dibuat dari satu bahan yang terhubung.
==Sejarah==
[[Gambar:Konigsberg bridges.png|thumb|right|240px|[[Tujuh Jembatan Königsberg]] adalah masalah yang diselesaikan oleh Euler.]]
Topologi, sebagai disiplin matematika yang terdefinisi dengan baik, berasal dari awal abad kedua puluh, tetapi beberapa hasil terisolasi dapat ditelusuri kembali beberapa abad.<ref name=Croom7>{{harvnb|Croom|1989|page=7}}</ref> Diantaranya adalah beberapa pertanyaan dalam geometri yang diselidiki oleh [[Leonhard Euler]]. Makalah tahun 1736 tentang [[Tujuh Jembatan Königsberg]] dianggap sebagai salah satu aplikasi praktis pertama topologi.<ref name=Croom7 /> Pada tanggal 14 November 1750, Euler menulis kepada seorang temannya bahwa dia telah menyadari pentingnya '' tepi '' dari sebuah [[polihedron]]. Hal ini menyebabkan [[Karakteristik Euler|rumus polihedron]], {{math|1=''V'' − ''E'' + ''F'' = 2}} (dimana {{mvar|V}}, {{mvar|E}}, dan {{mvar|F}} masing-masing menunjukkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron). Beberapa otoritas menganggap analisis ini sebagai teorema pertama, yang menandakan kelahiran topologi.<ref>{{harvnb|Richeson|2008|page=63}}; {{harvnb|Aleksandrov|1969|page=204}}</ref>
Kontribusi lebih lanjut dibuat oleh [[Augustin-Louis Cauchy]], [[Ludwig Schläfli]], [[Johann Benedict Listing]], [[Bernhard Riemann]] dan [[Enrico Betti]].<ref name="Richeson">Richeson (2008)</ref> Listing memperkenalkan istilah "Topologie" dalam '' Vorstudien zur Topologie '', ditulis dalam bahasa Jerman asalnya, pada tahun 1847, setelah menggunakan kata tersebut selama sepuluh tahun dalam korespondensi sebelum kemunculan pertamanya dalam prin.<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848</ref> Bentuk [[bahasa Inggris]] "topologi" digunakan pada tahun 1883 dalam obituari Listing di jurnal [[Nature (journal)|''Nature '']] untuk membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana geometri kuantitatif.<ref>{{cite journal|doi=10.1038/027316a0|title=Johann Benedict Listing (obituary)|url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1883-02-01_27_692/page/316|date=1 February 1883|last1=Tait|first1=Peter Guthrie|journal=Nature|volume=27|issue=692|pages=316–317|bibcode=1883Natur..27..316P|doi-access=free}}</ref>
Pekerjaan mereka dikoreksi, dikonsolidasikan, dan sangat diperluas oleh [[Henri Poincaré]]. Pada tahun 1895, ia menerbitkan makalah terobosannya tentang '' [[Situs Analisis (makalah)|Analisis Situs]]'', yang memperkenalkan konsep yang sekarang dikenal sebagai [[homotopi]] dan [[Homologi (matematika)|homologi]], yang sekarang dianggap sebagai bagian dari [[topologi aljabar]].<ref name="Richeson"/>
{| class="wikitable sortable"
|+ Karakteristik topologi lipatan-2 tertutup<ref name="Richeson" />
|-
! rowspan=2 | Manifold !! rowspan=2 |[[Karakteristik Euler|Bilangan Euler]]!! rowspan="2" |[[Orientabilitas]]!! colspan="3" |[[Bilangan Betti]]!! rowspan="2" |[[Homologi (matematika)|Koefisien torsi]] (1-dim)
|-
! style="width:3em;" | b<sub>0</sub>!! b<sub>1</sub>!! style="width:3em;" | b<sub>2</sub>
|-
| [[Bola (geometri)|Bola]] || 2 || Orientable || 1 || 0 || 1 || tidak ada
|-
| [[Torus]] || 0 || Orientable || 1 || 2 || 1 || tidak ada
|-
| Torus berlubang || −2 || Orientable || 1 || 4 || 1 || tidak ada
|-
| {{mvar|g}}-torus berlubang ([[Genus (topologi)|genus]] {{mvar|g}}) || {{math|2 − 2''g''}} || Orientable || 1 || {{math|2''g''}} || 1 || tidak ada
|-
| [[Bidang proyektif]] || 1 || Tidak berorientasi || 1 || 0 || 0 || 2
|-
| [[Botol Klein]] || 0 || Tidak berorientasi || 1 || 1 || 0 || 2
|-
| Bola dengan {{mvar|c}} [[lintas topi]] ({{math|''c'' > 0}}) || {{math|2 − ''c''}} || Tidak berorientasi || 1 || {{math|''c'' − 1}} || 0 || 2
|-
| 2 Manifold dengan lubang {{mvar|g}}<br />dan {{mvar|c}} topi silang ({{math|''c'' > 0}}) || {{math|2 − (2''g'' + ''c'')}} || Non-orientable || 1 || {{math|(2''g'' + ''c'') − 1}} || 0 || 2
|}
Menyatukan pekerjaan pada ruang fungsi [[Georg Cantor]], [[Vito Volterra]], [[Cesare Arzelà]], [[Jacques Hadamard]], [[Giulio Ascoli]] dan lainnya, [[Maurice Fréchet]] memperkenalkan [[ruang metrik]].<ref>{{cite book |last=Fréchet |first=Maurice |title=Sur quelques points du calcul fonctionnel |work=PhD dissertation |year=1906 |oclc=8897542 }}</ref> Sebuah ruang metrik sekarang dianggap sebagai kasus khusus dari ruang topologi umum, dengan setiap ruang topologi tertentu berpotensi menimbulkan banyak ruang metrik yang berbeda. Pada tahun 1914, [[Felix Hausdorff]] menciptakan istilah "ruang topologis" dan memberikan definisi untuk apa yang sekarang disebut [[ruang Hausdorff]].<ref>Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)</ref> Saat ini, ruang topologi adalah sedikit generalisasi dari ruang Hausdorff, diberikan pada tahun 1922 oleh [[Kazimierz Kuratowski]].<ref>{{harvnb|Croom|1989|page=129}}</ref>
Topologi modern sangat bergantung pada gagasan teori himpunan, yang dikembangkan oleh Georg Cantor di akhir abad ke-19. Selain menetapkan ide-ide dasar teori himpunan, Cantor mempertimbangkan himpunan titik dalam [[ruang Euklides]] sebagai bagian dari studinya tentang [[deret Fourier]]. Untuk perkembangan lebih lanjut, lihat [[Topologi umum|topologi himpunan-titik]] dan topologi aljabar.
== Definisi ==
Baris 27 ⟶ 114:
Akan tetapi, tidaklah mungkin untuk mendeformasi bola menjadi lingkaran oleh transformasi bikontinu satu-satu. Dimensi adalah sifat topologi. Dalam makna, sifat topologi adalah sifat bentuk yang lebih mendalam.
== Konsep
=== Topologi terhadap
{{main|Ruang topologi}}
Istilah '''topologi''' juga dipakai untuk sebuah ide matematis yang sangat pokok dalam sebuah cabang matematika yang disebut topologi. Secara sederhana, sebuah topologi memberikan deskripsi bagaimana anggota-anggota dalam sebuah himpunan saling terkait secara spasial (misal kedekatan antara 2 titik). Himpunan yang sama dapat pula diberikan topologi yang berbeda. Misalkan, [[garis bilangan real]], [[bidang kompleks]], dan [[himpunan Kantor|himpunan Cantor]] dapat dianggap sebagai himpunan yang sama tetapi dengan topologi yang berbeda-beda (ketiganya memiliki [[kardinalitas]] yang sama).
Secara formal, misalkan ''X'' sebuah himpunan dan ''τ'' adalah keluarga subhimpunan dari ''X''. Maka ''τ'' disebut topologi terhadap ''X'' jika:
# [[Himpunan kosong]] dan ''X'' adalah anggota dari ''τ''.<math>\emptyset,X \in \tau</math>
# [[Gabungan (teori himpunan)|Gabungan]] anggota-anggota dari ''τ'' dengan jumlah sembarang adalah anggota dari ''τ''.<math> \forall \mathcal{A} \subset \tau: \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A \in \tau </math>
# [[Irisan Teori Himpunan|Irisan]] anggota-anggota dari ''τ'' yang jumlahnya berhingga adalah anggota dari ''τ''.<math>\forall n\in\mathbb{N},\forall A_1,A_2,\ldots,A_n \in \tau: \bigcap_{i=1}^nA_i \in \tau </math>
Jika ''τ'' adalah topologi terhadap ''X'' maka pasangan (''X'', ''τ'') disebut [[ruang topologi]].
Anggota dari ''τ'' disebut [[himpunan terbuka]] di dalam ''X''. Sebuah subhimpunan ''A'' dari ''X'' disebut [[Himpunan tertutup|tertutup]] jika komplemennya ada di dalam ''τ'' (komplemennya terbuka, X ∖ ''A'' ϵ ''τ''). Sebuah subhimpunan dari ''X'' dapat merupakan himpunan terbuka, tertutup, terbuka dan tertutup, atau tidak kedua-duanya. Himpunan kosong dan ''X'' sendiri masing-masing selalu tertutup dan terbuka. Sebuah subhimpunan ''N(x)'' dari ''X'' yang merupakan superhimpunan dari sebuah himpunan terbuka ''U'' yang memiliki sebagai salah satu anggotanya adalah ''x'' disebut [[
=== Homeomorfisme ===
{{main|Homeomorfisme}}
Dalam bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi (dari bahasa Yunani, ''homeos'' = identik dan ''morphe'' = bentuk) adalah isomorfisme khusus antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi. Dua ruang dengan homeomorfisme antara mereka disebut homeomorfis. Dari tinjauan topologi mereka adalah sama. Pengertian isomorfisme sendiri adalah kemiripan yang tampak antara dua makhluk yang sebenarnya memiliki asal-usul berbeda dan kelas yang berbeda.
Secara kasar dapat dikatakan, ruang topologi adalah objek geometri dan homeomorfisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek bentuk baru. Jadi persegi dan lingkaran adalah homeomorfis. Dalam tinjauan topologi, cangkir bergagang satu dan kue donat adalah sama.
=== Sifat-sifat
Dalam topologi dan bidang matematika terkait, sifat topologi atau invarian topologi adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorfisme. Jika diberikan dua ruang topologi ''X'' dan ''Y'' dan homeomorfisme ''f'' antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan ''A'' dari ''X'' berlaku [[jika dan hanya jika]] ia berlaku untuk ''f(A)''.
Soal umum dalam topologi adalah memutuskan apakah dua ruang topologi homeomorfis atau tidak homeomorfis. Untuk membuktikan bahwa dua ruang adalah homeomorfis, cukup untuk menemukan sifat topologi yang tidak terbagi oleh mereka.
== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
{{cols|colwidth=21em}}
* [[Topologi ekuivalen]]
* [[Daftar topik topologi aljabar]]
* [[Daftar contoh dalam topologi umum]]
* [[Daftar topik topologi umum]]
* [[Daftar topik topologi geometris]]
* [[Daftar topik topologi]]
* [[Daftar publikasi dalam matematika#Topologi|Publikasi dalam topologi]]
* [[Topoisomer]]
* [[Daftar istilah topologi]]
* [[Geometri topologi]]
* [[Urutan topologis]]
* [[Topologi jaringan]]
{{colend}}
== Referensi ==
===Kutipan===
{{reflist}}
===Bibliografi===
* {{citation|last=Aleksandrov|first=P.S.|chapter=Chapter XVIII Topology|editor1-first=A.D.|editor1-last=Aleksandrov|editor2-first=A.N.|editor2-last=Kolmogorov|editor3-first=M.A.|editor3-last=Lavrent'ev|title=Mathematics / Its Content, Methods and Meaning|edition=2nd|publisher=The M.I.T. Press|year=1969|origyear=1956}}
* {{citation|last=Croom|first=Fred H.|title=Principles of Topology|year=1989|publisher=Saunders College Publishing|isbn=978-0-03-029804-2}}
* {{citation|last=Richeson|first= D.|authorlink= David Richeson |title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology|publisher=Princeton University Press|year=2008|title-link= Euler's Gem}}
==Bacaan lebih lanjut==
* [[Ryszard Engelking]], ''General Topology'', Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, {{isbn|3-88538-006-4}}.
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]; ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison–Wesley (1966).
* {{cite book
| last = Breitenberger
| first = E.
| year = 2006
| chapter = Johann Benedict Listing
| title = History of Topology
| editor-last = James
| editor-first = I.M.
| publisher = North Holland
| isbn = 978-0-444-82375-5
}}
* {{cite book
| last = Kelley
| first = John L.
| author-link = John L. Kelley
| year = 1975
| title = General Topology
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 978-0-387-90125-1
}}
* {{cite book
| last = Brown
| first = Ronald
| author-link = Ronald Brown (mathematician)
| year = 2006
| title = Topology and Groupoids
| url= http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html
| publisher = Booksurge
| isbn = 978-1-4196-2722-4
}} (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing [[van Kampen's theorem]], [[covering space]]s, and [[orbit space]]s.)
* [[Wacław Sierpiński]], ''General Topology'', Dover Publications, 2000, {{isbn|0-486-41148-6}}
* {{cite book
| last = Pickover
| first = Clifford A.
| author-link = Clifford A. Pickover
| year = 2006
| title = The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology
| publisher = Thunder's Mouth Press
| isbn = 978-1-56025-826-1
| url-access = registration
| url = https://archive.org/details/mbiusstripdrau00pick
}} (Provides a popular introduction to topology and geometry)
* {{citation|first=Michael C.|last=Gemignani|title=Elementary Topology|edition=2nd|year=1990|origyear=1967|publisher=Dover Publications Inc.|isbn=978-0-486-66522-1}}
== Pranala luar ==
{{Commons|Topology}}
{{Wikiquote}}
{{Wikibooks}}
* {{id}} [http://www.fisikanet.lipi.go.id/utama.cgi?artikel&1119934986&8 A brief of topology]
* {{Springer |title=Topology, general |id=p/t093200}}
* [http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/topoman/index.html Elementary Topology: A First Course] Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
* {{curlie|Science/Math/Topology}}
* [http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ The Topological Zoo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120204180857/http://www.geom.uiuc.edu/zoo/ |date=2012-02-04 }} at [[The Geometry Center]].
* [http://at.yorku.ca/topology/ Topology Atlas]
* [http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.htm Topology Course Lecture Notes] Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
* [https://web.archive.org/web/20090713073050/http://www.ornl.gov/sci/ortep/topology/defs.txt Topology Glossary]
* [http://www.ams.org/online_bks/hmath1/hmath1-whitney10.pdf Moscow 1935: Topology moving towards America], a historical essay by [[Hassler Whitney]].
{{Topologi | diperluas}}
{{Bidang matematika}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Topologi| ]]
[[Kategori:Struktur matematika]]
| |||