Grup Lie: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
k Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (9 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Grup yang juga berjenis berbeda dengan operasi grup yang lancar}}
{{Grup Lie}}{{Periksa terjemahan|en|Lie group}}{{Teori grup sidebar}}
{{confuse|Grup tipe Lie}}
Dalam [[matematika]], '''grup Lie''' ({{IPAc-en|l|iː}} "Lee") adalah [[grup (matematika)|grup]] yang merupakan [[lipatan berjenis]]. [[Lipatan]] adalah ruang lokal [[ruang Euklides]], sedangkan grup mendefinisikan abstrak, konsep umum perkalian dan pengambilan invers (pembagian). Menggabungkan dua ide ini, kita akan mendapatkan [[grup kontinu]] dimana poin dikalikan secara kebersamaan dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai penambahan, perkalian, dan pengambilan invers didefinisikan sebagai halus (terdiferensiasi), maka kita mendapatkan rumus grup Lie.
Baris 18 ⟶ 17:
Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik. Di sini, [[grup Lie wakilan|wakilan]] dari grup Lie atau [[aljabar Lie wakilan|aljabar Lie]] sangat penting untuk penggunaannya. Teori representasi [[Fisika partikel dan teori wakilan|digunakan secara luas dalam fisika partikel]]. Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan [[grup rotasi 3D|grup rotasi S(3)]] atau [[grup rotasi 3D#Koneksi antara SO(3) dan SU(2)|penutup ganda SU(2)]], [[Koefisien Clebsch–Gordan untuk SU(3)#Representasi dari grup SU.283.29|grup satuan khusus SU(3)]] dan [[Teori wakilan dalam grup Poincaré|grup Poincaré]].
Pada tingkat "global", setiap grup Lie [[grup aksi (matematika)|aksi]] pada objek geometris, yaitu [[lipatan Riemannian|Riemannian]] atau [[lipatan simplektis]], aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan [[struktur aljabar]] yang banyak. Adanya simetri kontinu yang diekspresikan melalui [[grup Lie aksi]] pada lipatan menempatkan batasan yang kuat pada geometrinya dan memfasilitasi [[analisis global|analisis]] pada lipatan. Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam [[teori wakilan]].
Pada 1940-an-1950-an, [[Ellis Kolchin]], [[Armand Borel]], dan [[Claude Chevalley]] menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori [[grup aljabar]] yang ditentukan melalui sembarang [[medan (matematika)|medan]]. Wawasan ini membuka kemungkinan baru dalam aljabar murni, dengan memberikan konstruksi seragam untuk sebagian besar [[grup sederhana hingga]] serta dalam [[geometri aljabar]]. Teori [[bentuk automorfik]], cabang penting dari [[teori bilangan]] modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama [[gelanggang Adele]]; [[bilangan p-adik]] grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.
Baris 40 ⟶ 39:
=== Konsep terkait ===
'''[[Grup Lie kompleks]]''' didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan [[lipatan kompleks]] yang sebenarnya (contoh: <math>\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})</math>), dan menggunakan alternatif [[Ruang metrik
[[Masalah kelima Hilbert]] menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952 matematikawan [[Andrew Gleason|Gleason]], [[Deane Montgomery|Montgomery]] dan [[Leo Zippin|Zippin]] menunjukkan bahwa jika ''G'' adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada ''G'' yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula [[Konjektur Hilbert–Smith]]). Jika lipatan dasar yang berdimensi tak hingga (misalnya, [[lipatan Hilbert]]), maka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak [[grup tipe Lie|grup Lie di atas bidang hingga]], dan memberikan sebagian besar contoh [[grup sederhana hingga]].
Baris 52 ⟶ 51:
Maka ''grup Lie'' didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung. Menunjukkan definisi topologi ekuivalen dengan yang biasa bersifat teknis (dan pembaca pemula harus melewatkan yang berikut) tetapi dilakukan sebagai berikut:
# Diberikan grup Lie '' G '' dalam arti berjenis biasa, [[korespondensi grup Lie–aljabar Lie]] (atau versi [[teorema ketiga Lie]]) membentuk subgrup Lie terbenam <math>G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math> maka <math>G, G'</math> dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal. Oleh karena itu, ''G'' memenuhi definisi topologi di atas.
# Maka ''G'' sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear <math>G'</math> lokal isomorfik ke ''G''. Kemudian, dengan versi [[teorema subgrup tertutup]], <math>G'</math> adalah [[lipatan analitik-riil]] dan isomorfisme lokal, ''G'' memperoleh struktur lipatan ganda dekat [[elemen identitas]]. Maka ditunjukkan hukum grup ''G'' diberikan deret pangkat formal;<ref>Ini adalah pernyataan bahwa grup Lie adalah [[grup Lie formal]]. Untuk konsep terakhir, untuk saat ini, lihat F. Bruhat, [http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf Ceramah tentang Grup Lie dan Grup Wakilan Lokal] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809143834/http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr14.pdf|date=2023-08-09}}.</ref> jadi operasi grup adalah analitik-riil dan ''G'' adalah lipatan analitik-riil.
Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie. Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, ''topologi grup Lie'' dengan hukum grup menentukan geometri grup.
Baris 72 ⟶ 71:
=== Bukan contoh ===
Untuk contoh grup dengan elemen [[himpunan tak terhitung|tak terhitung]] yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu. Grup diberikan oleh
:<math>H = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) :\, \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right) :\, \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},</math>
Baris 95 ⟶ 94:
=== Contoh tambahan ===
* [[Grup uniter khusus#
* [[Grup Heisenberg]] adalah grup dimensi [[grup nilpoten|nilpoten]] menghubungkan <math>3</math> yang memainkan peran kunci dalam [[mekanika kuantum]].
* [[Gru0 Lorentz]] adalah grup Lie 6 dimensi dari [[isometri]] dari [[ruang Minkowski]].
Baris 112 ⟶ 111:
Beberapa contoh grup yang ''bukan'' grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak<!-- menurut konvensi, lipatan dihitung kedua jadi kita perlu mengecualikan himpunan yang tidak dihitung --> dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan [[topologi diskrit]]), adalah:
* Gugus berdimensi tak hingga merupakan grup aditif [[ruang vektor]] riil berdimensi tak hingga, atau ruang fungsi halus dari lipatan <math>X</math> ke grup Lie <math>G</math>, <math>C^\infty(X,G)</math>. Ini bukan grup Lie karena bukan lipatan "berdimensi-hingga".
* Beberapa [[grup total putusan]] merupakan [[grup Galois]] dengan ekstensi tak hingga bidang, atau grup aditif dari bilangan ''p''-adik. Ini bukan grup Lie karena ruang dasarnya bukan lipatan riil. Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie ''p''-adik". Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan [[
== Konsep dasar ==
Baris 160 ⟶ 159:
Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil <math>G</math> sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan <math>H</math> sebagai [[subgrup satu parameter]] dari ''lerengan irasional'', yaitu salah satu dalam ''G''. Maka grup Lie [[homomorfisme]] <math>\varphi:\mathbb{R}\to G</math> dengan <math> \mathrm{im}(\varphi) = H</math>. [[Penutupan (topologi)|penutupan]] dari <math>H</math> sebagai sub-torus <math>G</math>.
[[Peta eksponensial (teori Lie)
== Wakilan ==
{{main|Wakilan dari grup Lie}}
{{see also|Grup kompak#Teori wakilan dari grup Lie kompak terhubung|Wakilan aljabar Lie}}
Salah satu aspek penting dari studi grup Lie adalah wakilan, yaitu cara bertindak (secara linear) pada ruang vektor. Dalam fisika, grup Lie sering kali menyandikan kesimetrian sistem fisik. Cara menggunakan simetri ini untuk membantu menganalisis sistem
Kasus grup Lie kompak terhubung ''K'' (termasuk kasus SO(3) yang baru saja disebutkan) sangat mudah ditangani.<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Part III</ref> Dalam hal ini, setiap wakilan berdimensi-hingga dari ''K'' terurai sebagai jumlah langsung dari wakilan yang tidak direduksi. Wakilan yang tidak direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan oleh [[Hermann Weyl]]. [[Grup kompak#Teori wakilan dari grup Lie kompak yang terhubung|Klasifikasi]] adalah dalam istilah "bobot tertinggi" dari representasi. Klasifikasi ini terkait erat dengan [[Wakilan aljabar Lie#Klasifikasi wakilan berdimensi-hingga dari aljabar Lie|klasifikasi wakilan dari aljabar Lie semisederhana]].
Dengan mempelajari wakilan satuan (secara umum berdimensi-tak-hingga) dari suatu grup Lie yang berubah-ubah (tidak kompak). Misalnya, untuk memberikan deskripsi eksplisit yang relatif sederhana tentang [[Teori wakilan SL2(R)|wakilan dari grup SL(2,R)]] dan [[klasifikasi Wigner
== Sejarah awal ==
Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal grup Lie (Hawkins, hal. 1), [[Sophus Lie]] menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup kontinu. Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori (''ibid''). Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan [[Felix Klein]]. Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872 di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya (''ibid'', hal. 2). Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884. Tetapi selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa (''ibid'', hal 76). Pada tahun 1884, matematikawan muda asal Jerman, [[Friedrich Engel (matematikawan)|Friedrich Engel]], datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang grup kontinu. Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893. Istilah ''groupes de Lie'' pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.<ref>{{cite journal
Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya. Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya [[Carl Gustav Jacobi]], pada teori [[persamaan diferensial parsial]] orde pertama dan pada persamaan [[mekanika klasik]]. Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, hal.43). ''Idée fixe'' Lie adalah pengembangan teori kesimetrian persamaan diferensial yang diselesaikan oleh [[Évariste Galois]] untuk persamaan aljabar: yaitu, untuk mengklasifikasikannya dalam teori grup. Lie dan matematikawan lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk [[fungsi khusus]] dan [[polinomial ortogonal]] cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup. Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori ''grup kontinu'', untuk melengkapi teori [[kelompok diskrit]] yang telah dikembangkan dalam teori [[bentuk modular]], di tangan [[Felix Klein]] dan [[Henri Poincaré]]. Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori [[persamaan diferensial]]. Pada model [[teori Galois]] dan [[persamaan polinomial]], konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari [[simetri]], seluruh luas [[persamaan diferensial biasa]]. Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi. Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, namun tidak mendominasi materi. Ada [[teori Galois diferensial]], tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori [[kuadratur (matematika)
Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan [[Bernhard Riemann]], pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein. Jadi tiga tema utama dalam matematika abad ke-19 digabungkan oleh Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari [[grup (matematika)
Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh [[Wilhelm Killing]], yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul ''Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen'' (''Komposisi grup transformasi hingga kontinu'') (Hawkins, hlm. 100). Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh [[Élie Cartan]], mengarah ke klasifikasi [[aljabar Lie setengah sederhana]], Teori Cartan tentang [[ruang simetris Riemannian
Pada tahun 1900 [[David Hilbert]] menantang ahli teori Lie dengan [[Masalah kelima Hilbert
Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara '' grup sangat kecil '' Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie.{{sfnp|Borel|2001}} Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh [[Claude Chevalley]].
Baris 194 ⟶ 193:
Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu [[grup sederhana|sederhana]], [[grup semisederhana|semi-sederhana]], [[grup berpenyelesaian|berpenyelesaian]], [[grup nilpoten|nilpoten]], [[grup abelian|abelian]], [[keterhubungan]], yaitu [[ruang terkoneksi|terkoneksi]] atau [[ruang terkoneksi sederhana|terhubung sederhana]], dan [[ruang kompak|kekompakan]].
Hasil utama pertama adalah [[dekomposisi Levi]] yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.
* [[Grup Lie kompak]] yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran '''S'''<sup>1</sup> dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan [[diagram Dynkin]] yang terhubung.
Baris 200 ⟶ 199:
* Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi. Seperti grup berpenyelesaian, grup nilpoten untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
* [[Grup Lie sederhana]] terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana. Misalnya, [[SL2(R)|SL(2, '''R''')]] sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama. Seluruhnya telah [[daftar grup Lie sederhana|diklasifikasikan]] (untuk kedua definisi).
* Grup Lie [[Grup semisederhana|Semisederhana]] adalah grup Lie yang aljabar Lie merupakan produk dari aljabar Lie sederhana.<ref>{{cite book |first=Sigurdur |last=Helgason |title=Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces |url=https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172 |location=New York |publisher=Academic Press |year=1978 |page=[https://archive.org/details/differentialgeom00helg_172/page/n145 131] |isbn=978-0-12-338460-7 }}</ref> Seluruhnya adalah perluasan utama dari produk grup Lie sederhana.
[[Komponen identitas]] dari setiap grup Lie adalah [[subgrup normal]] terbuka, dan [[grup hasil bagi]] adalah [[grup diskrit]]. Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat. Setiap grup Lie ''G'' diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut. Ditulis sebagai:
Baris 241 ⟶ 240:
== Referensi ==
* {{citation|author-link=John Frank Adams|first=John Frank|last= Adams|title=Lectures on Lie Groups|series=Chicago Lectures in Mathematics|isbn= 978-0-226-00527-0|year=1969|publisher=Univ. of Chicago Press|location=Chicago | mr=0252560}}.
*{{cite book|last1=Bäuerle|first1=G.G.A|last2=de Kerf|first2=E.A.|last3=ten Kroode|first3=A. P. E.|title=Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics|year=1997|series=Studies in mathematical physics|volume=7|editor1=A. van Groesen|editor2=E.M. de Jager|publisher=North-Holland|isbn=978-0-444-82836-1|url=http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582|via=[[ScienceDirect]]|url-access=subscription
*{{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the history of Lie groups and algebraic groups | url=https://books.google.com/books?isbn=0821802887 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-0288-5 | mr=1847105 | year=2001 | volume=21}}
* {{citation|first=Nicolas|last= Bourbaki|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras}}. Chapters
* {{citation|last=Chevalley|first=Claude|title=Theory of Lie groups|isbn=978-0-691-04990-8|year=1946|publisher=Princeton University Press|location=Princeton}}.
* [[P. M. Cohn]] (1957) ''Lie Groups'', Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
Baris 251 ⟶ 250:
* {{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition= 2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666|doi=10.1007/978-3-319-13467-3}}.
* F. Reese Harvey (1990) ''Spinors and calibrations'', [[Academic Press]], {{isbn|0-12-329650-1}}.
*{{Citation | last1=Hawkins | first1=Thomas | title=Emergence of the theory of Lie groups | url=https://books.google.com/books?isbn=978-0-387-98963-1 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | isbn=978-0-387-98963-1 | mr=1771134 | year=2000 | doi=10.1007/978-1-4612-1202-7| doi-access=free }} [https://www.jstor.org/stable/2695575 Borel's review] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190427090037/https://www.jstor.org/stable/2695575 |date=2019-04-27 }}
*{{Citation | last1=Helgason | first1=Sigurdur | author-link=Sigurður Helgason (mathematician) | title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2848-9 |mr=1834454 | year=2001 | volume=34 | doi=10.1090/gsm/034}}
* {{citation|last=Knapp|first=Anthony W.|author-link=Anthony Knapp|title=Lie Groups Beyond an Introduction|edition= 2nd|series=Progress in Mathematics|volume=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|year= 2002|isbn=978-0-8176-4259-4}}.
Baris 259 ⟶ 258:
*{{cite book |first=David H. |last=Sattinger |first2=O. L. |last2=Weaver |year=1986 |title=Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-96240-3 | mr=0835009 |doi=10.1007/978-1-4757-1910-9}}
* {{citation|author-link=J.-P. Serre|first=Jean-Pierre|last=Serre|title= Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University|series=Lecture notes in mathematics|volume= 1500|publisher=Springer|isbn= 978-3-540-55008-2|year=1965}}.
*{{cite book |author-link=John Stillwell |first=John |last=Stillwell |year=2008 |title=Naive Lie Theory |url=https://archive.org/details/naivelietheory0000stil |publisher=Springer |isbn=978-0387782140 |doi=10.1007/978-0-387-78214-0|series=Undergraduate Texts in Mathematics }}
* Heldermann Verlag [http://www.heldermann.de/JLT/jltcover.htm Journal of Lie Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230608104226/https://www.heldermann.de/JLT/jltcover.htm |date=2023-06-08 }}
*{{Citation | last1=Warner | first1=Frank W. | title=Foundations of differentiable manifolds and Lie groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York Berlin Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90894-6 |mr=0722297 | year=1983 | volume=94|doi=10.1007/978-1-4757-1799-0}}
* {{citation|first=Willi-Hans|last=Steeb|title=Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition | publisher=World Scientific Publishing | year=2007|isbn=978-981-270-809-0 | mr=2382250 | doi=10.1142/6515}}.
*[http://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230416100215/https://www2.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf |date=2023-04-16 }} Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
{{Authority control}}
| |||