Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
perbaikan gaya bahasa
Kth Mariachi (bicara | kontrib)
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(10 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|ModuloPerhitungan komputasisisa pembagian dengan sebuah bilangan bulat tetap}}
[[Berkas:Clock group.svg|thumb|250px|right|Pengatur waktu pada jam ini menggunakan aritmatikaaritmetika modulo 12.]]
 
Dalam [[matematika]] dan khususnya pada [[teori bilangan aljabar]], '''aritmetika modular''' adalah metode [[aritmetika]] untuk menyelesaikan permasalahan mengenai [[bilangan bulat]]. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada [[sistem 12-jam]], di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan {{nowrap|7 + 8 {{=}} 15}}. Namun karena jam "berulang" setiap 12 jam, angka 15 "sama dengan" angka 3; ini adalah contoh ''aritmetika modulo'' 12.
 
Walau sudah dipelajari sejak kuno, sejarawan umumnya mengasosiasikan kemunculan aritmetika modular dengan tahun 1801, tahun publikasi buku ''[[Disquisitiones Arithmeticae]] '' karya [[Carl Friedrich Gauss]]. Pendekatan yang ia gunakan mempermudah penjelasan [[Konjektur|konjektur-konjektur]] terkenal, dan menyederhanakan bukti-bukti penting. Implikasi karya Gauss juga ditemukan pada bidang selain [[teori bilangan]], seperti [[aljabar]] dan [[geometri]].
Baris 18:
[[Qin Jiushao]] (1202-1261) mengembangkan [[teorema sisa Cina]] dalam [[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab|risalah matematika yang ia tulis]]. Materi pada risalah tesebut sangat dalam; membahas sistem kekongruenan linear pada kasus [[Operasi modulus|modulus-modulus]] pada sistem tidak saling koprima. [[George Sarton]] menyatakan bahwa karyanya pada sistem kekongruenan melebihi [[Leonhard Euler]] dan [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]].<ref>{{Cite book|last=Chen|first=Joseph C. Y.|date=1996-03-01|url=https://books.google.co.id/books?id=2Wxj0SW9hBgC&pg=PA224&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Early Chinese Work in Natural Science: A Re-examination of the Physics of Motion, Acoustics, Astronomy and Scientific Thoughts|location=|publisher=Hong Kong University Press|isbn=978-962-209-385-0|pages=224|language=en|url-status=live}}</ref> Namun, karya Qin Jiushao tidak tedengar di luuar Cina sebelum abad ke-20. Karyanya ditemukan ulang oleh sejarawan [[Joseph Needham]]. Di sisi lain, kemiripan notasi yang digunakan di Arab dan Cina mengusulkan ada kontak yang terjadi pada periode-periode sebelumnya.<ref>{{Cite journal|last=Chemla|first=Karine|date=1994|title=Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction|url=|journal=Arabic Sciences and Philosophy|volume=4|issue=2|pages=207-266|doi=}}</ref>
 
[[India]] juga memiliki tradisi kuat dalam aritmetika. [[Aryabhata]] (476 - 550) secara sistematik mencari solusi bilangan bulat dari persamaan linear dengan dua variabel dan koefisien bilangan bulat. Algoritmanya dirujuk sebagai "Kuttaka" pada bukunya ''Âryabhatîya.''<ref>Agathe Keller. [http://halshs.ccsd.cnrs.fr/docs/00/04/96/19/PDF/Analyse.pdf Un commentaire indien du VIIème siècle, Bhâskara et le ganitapada de l’aryabhatiya. Histoire, Philosophie et Sociologie des sciences]. [[Universitas de Paris (2019)|Université Paris 7 - Denis Diderot]], 2000. Français. ffhalshs-00006349f</ref> Persamaan Diofantin derajat dua dipelajari [[Brahmagupta]] (598 - 668).<ref>{{Cite book|last=Sarasvati|first=S. S. Prakash|date=1986|url=|title=A critical study of Brahmagupta and his works|location=Delhi|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> Pada abad ke-12, [[Bhāskara II]] menyempurnakan [[metode Chakravala]].
 
Masa [[Ilmu pengetahuan Islam abad pertengahan|Islam abad pertengahan]] memegang peran ganda dalam perkembangan aritmetika: menggabungkan pengetahuan yang didapatkan di Yunani, India, Cina, dan Eropa,<ref>{{Cite book|last=Pinès|first=Shlomo|date=1986|url=|title=Studies in Arabic versions of Greek texts and in Medieval science.|location=Leiden|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> dan menciptakan penemuan baru. Hal ini termasuk studi mengenai sifat dari himpunan bilangan, seperti [[Bilangan prima|prima]], [[Bilangan sempurna|sempurna]], ramah (''amicable''), dan [[Bilangan poligonal|poligonal]].<ref name=":1">{{Cite book|date=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/317446627|title=L'âge d'or des sciences arabes : exposition présentée à l'Institut de monde arabe, Paris, 25 octobre 2005-19 mars 2006|location=[Arles]|publisher=Actes Sud|isbn=2-7427-5672-8|others=Alaoui, Brahim., Institut du monde arabe (France)|oclc=317446627}}</ref> Dalam konteks ini, Qusta bin Lûqâ melakukan terjemahan parsial buku ''[[Arithmetica]]'' milik [[Diofantos|Diofantos dari Alexandria]], di akhir abad ke-9.<ref name=":1" /> Pada masa yang sama, Al-Hajjaj menerjemahkan ''Elemen'' milik Euclid.<ref>{{Cite book|last=Berggren|first=John Lennart|date=1986|url=https://archive.org/details/episodesinmathem0000berg|title=Episodes in the Mathematics of Medieval Islam|location=|publisher=Springer|isbn=|pages=[https://archive.org/details/episodesinmathem0000berg/page/70 70]-71|url-status=live}}</ref> Koleganya, [[Al-Khwarizmi|Al-Kharizmi]] (sekitar 783 - 850), menulis buku mengenai numerisasi. Terjemahan bahasa Latin dari buku ini adalah ''Algoritmi de numero Indorum''.<ref>{{Cite journal|last=Crossley|first=John|last2=Henry|first2=Alan|date=1990|title=Thus Spake al-Khwārizimī: A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms. li.vi.5|url=|journal=Historia Mathematica|volume=17|issue=|pages=103-131|doi=}}</ref> [[Tsabit bin Qurrah]] (836-901) mempelajari bilangan ''amicable'' dan bilangan sempurna.<ref>{{Cite book|last=Carmody|first=Francis J.|date=1941|url=|title=Thabit b. Qurra, Four Astronomical Tracts in Latin|location=Berkeley|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref> [[Ibnu Haitham]] (965 - 1039) melanjutkan hasil kerjanya dan menemukan [[teorema Wilson]].<ref>{{Cite journal|last=Rashed|first=Roshdi|date=1980|title=Ibn al-haytham et le théorème de Wilson|url=|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=22|issue=4|pages=305-321|doi=}}</ref>
 
=== Perkembangan di Eropa ===
Baris 26:
Pada tahun 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac <!-- Mungkin ada alih bahasa yang lebih baik, dari nama orang ini? -->menerjemahkan buku Diofantos ke bahasa Latin, yang memicu ketertarikan matematikawan saat itu. [[Pierre de Fermat]] banyak memberikan pernyataan matematika, tiga yang terkenal adalah [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir]]-nya, teorema jumlah dua persegi, dan [[Teorema kecil Fermat|teorema kecil]]-nya. [[Marin Mersenne]] mencari [[Bilangan prima Mersenne|bilangan prima yang mememiliki sifat unik]]. Fermat berkorespodensi dengannya, menulis [terjemahan] "Jika saya mengetahui alasan fundamental mengapa 3, 5, 7, 17, 257, 65537, ..., adalah bilangan prima, sepertinya saya akan menemukan hal yang sangat indah dalam masalah ini, karena saya sudah menemukan hal hebat yang saya bagikan kepadamu saat ini".<ref>Fermat, ''Korespodensi'', sebuah surat kepada Marin Mersenne, 25 Desember 1640.</ref> Bilangan tersebut dikenal sebagai [[bilangan Fermat]], walau sifat keprimaannya bilangan-bilangan tersebut ternyata hanya tebakan yang keliru dari Fermat. [[René Descartes|Rene Descartes]] melakukan penelitian tanpa hasil, dalam membuktikan jika sisa pembagian [[bilangan prima]] dengan 8 bernilai 1 atau 3, bilangan prima tersebut dapat ditulis dalam bentuk <math>x^2+2y^2</math>.
 
=== <!-- Perkembanga===Perkembangan metode yang digunakan=== --> ===
 
=== Kontribusi Carl Friedrich Gauss ===
Baris 36:
Aritmetika modular awalnya diterapkan kepada bilangan bulat, lalu ke polinomial, dilanjutkan kepada himpunan bilangan baru yang sekarang disebut dengan [[bilangan Gaussian]].
 
Semua persamaan Diofantin Fermat sudah terselesaikan saat ini, kecuali untuk teorema terakhirnya. Beberapa konjektur baru muncul. Sebagai contoh, jika ''a'' dan ''b'' saling [[Koprima (bilangan)|koprima]], apakah barisan aritmetika dengan nilai awal ''a'' dan kelipatan ''b'' memiliki bilangan prima, jika iya berapa banyak? Gauss dan matematikawan lain seperti Legendre berhipotesis bahwa ada takhingga prima di barisan tersebut, namun mereka tidak mampu membuktikannnya.
 
Aritmetika modular juga semakin diperkaya. Dirichlet, seorang siswa Gauss membuktikan teorema ''aritmetic progression''<ref>{{Cite journal|last=Dirichlet|first=|date=1840|title=Recherches de diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres|url=|journal=Journal de Crelle|volume=21|issue=|pages=|doi=}}</ref> dengan mengembangkan konsep [[Karakter Dirichlet|karakter]], sekaligus memberi dasar formal untuk ilmu [[teori bilangan analitik]]. <!-- belum semuanya dialihbahasakan -->
Baris 51:
{{See also|teori informasi}}
[[Berkas:P-MMX.JPG|jmpl|[[Pentium|Prosesor Pentium]] berisi perintah aritmetika dan unit logika yang didasarkan pada aritmetika modular.]]
Kriptografi bukan satu-satunya bidang yang menggunakan istilah "aritmetika modular". Bidang ilmu [[teori informasi]] muncul pada akhir [[Perang Dunia II]]. Dalam kepemimpinan [[Claude Shannon]], bidang tersebut menjadi cabang dari [[matematika terapan]].<ref>{{Cite journal|last=Shannon|first=Claude|date=1948|title=A Mathematical Theory of Communications|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=27|issue=|pages=379-428 dan 623-656|doi=}}</ref> Walau kerahasiaan adalah salah satu topik diskusi, reabilitas (keandalan) juga menjadi tema utama bidang tersebut. [[Richard Hamming]] membuat algoritma pertama pada tahun 1950.<ref>{{Cite journal|last=Hamming|first=Richard|date=1950|title=Error Detecting and Correcting Codes|url=|journal=Bell System Techical Journal|volume=29|issue=|pages=150-163|doi=}}</ref> Sekali lagi, modulus bilangan buat digunakan teknik kodingpengkodean sederhana seperti ''checksum''. Pada tahun 1960, [[Kode siklik|kodingpengkodean]] yang lebih kuat dikembangkan, didasarkan pada polinomal dengan koefisien atas ''finite field''.<ref>{{Cite journal|last=Bose|first=Raj Chandra|last2=Ray-Chaudhuri|first2=D. K.|date=1960|title=On a class of error-correcting. Binary group codes|url=|journal=Information Control|volume=3|issue=|pages=68-79|doi=}}</ref> Aritmetika yang digunakan untuk objek tersebut umumnya menggunakan kata "modular".
 
[[Ilmu komputer]] menjadi kajian akademik pada awal tahun 1960.<ref>{{Cite book|last=Denning|first=Peter J.|date=2000|url=https://web.archive.org/web/20060525195404/http://www.idi.ntnu.no/emner/dif8916/denning.pdf|title=Computer Science: The Discipline|location=|publisher=|isbn=|series=Encyclopedia of Computer Science|pages=|url-status=live|access-date=2021-02-09|archive-date=2006-05-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20060525195404/http://www.idi.ntnu.no/emner/dif8916/denning.pdf|dead-url=unfit}}</ref> Batasan tak terhindarkan dari struktur [[prosesor]] mengharuskan bilangan direpresentasikan dalam bentuk bit yang terbatas; menjustifikasi penggunaan modulo. Istilah "aritmetika modular" sering muncul, kita bahkan dapat menemukan [[bilangan Gaussian]] atau polinomial, sebagai contoh, untuk kalkulasi bilangan bulat berukuran besar.
 
Teknik yang dikembangkan untuk kriptografi, [[teori kodingkode]], dan aritmetika komputer, didasarkan pada konsep yang sama, memberikan suatu kesatuan di matematika terkait teori informasi.
 
== Objek dengan aritmetika modular ==
Baris 61:
=== Kekongruenan bilangan bulat ===
{{See also|operasi modulus}}
Penerapan aritmetika modular tertua ada pada [[Bilanganbilangan bulat]]. {{Setelah menetapkan sebuah bilangan bulat <math|''>n'' > 1}}</math>, yang disebut dengan'' 'modulus'', kekongruenan modulo '',n'' dilakukan dengan melakukan perhitungan terhadap sisa hasil pembagian bilangan-bilangan terhadap ''n''. duaDua bilangan bulat dikatakan '''kongruen''' modulo {{mvar | n}}, jika selisih kedua bilangan tersebut merupakan kelipatan{{mvar | n}} adalah [[pembagian]] dari perbedaannya (yaitu, jika ada bilangan bulat {{math | '' k ''}} sehingga {{math|1=''a'' − ''b'' = ''kn''}}).
 
ModuloKekongruenan kekongruenan {{mvar |modulo ''n}}'' adalah sebuah [[relasi kekongruenan]], artinya inikekongruenan adalah [[relasi ekuivalensi]] yang kompatibel dengan operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], dan [[perkalian]]. Modulo kekongruenanKekongruenan modulo{{mvar | n}} dilambangkan:
 
:<math>a \equiv b \pmod n.</math>
 
Tanda kurung berartimengartikan bahwa {{math|(mod ''n'')}} berlaku untuk seluruh persamaan, tidak hanya dikedua ruas kanan (di sini {{mvar | b}})persamaan. Notasi ini jangan disamakanberbeda dengan notasi {{math|''b'' mod ''n''}} (tanpa tanda kurung), yang mengacu pada [[operasi modulomodulus]]. Maka,Notasi {{math|''b'' mod ''n''}} menunjukkanmerujuk pada sebuah bilangan bulat unik {{mvar | <math>a}}</math> sehinggadengan {{<math|>0 \leq ''a'' < ''n''}}</math> dan memenuhi <math>a \equiv b \; (\text{mod}\; n)</math> (misalnyaDengan kata lain, sisa <math>b</math> jikaketika dibagi dengan <math>n</math><ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-12|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>).
 
Sebagai contoh, dalam modulus 12 seseorang dapat menyatakan bahwa <math>38 \equiv 14 \ \ (\text{mod}\ \ 12)</math>, karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}, yang merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa 2 yang sama, jikayakni 2, ketika dibagi dengan 12.
Hubungan kekongruenan dapat ditulis ulang sebagai
:<math>a = kn + b,</math>
secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, {{math | '' b ''}} tidak menjadi sisa dari pembagian {{math | '' a ''}} oleh {{math | '' n ''.}} Sebagai gantinya, pernyataan {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan {{math | '' n ''}} adalah,
:<math>a = pn + r,</math>
:<math>b = qn + r,</math>
dimana {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa umum. Dengan mengurangkan dua ekspresi ini, kami memulihkan hubungan sebelumnya:
:<math>a - b = kn,</math>
dengan menyetel {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
 
Himpunan dari{{math|&#123;… semua, [[Modular''a'' aritmatika− 2''n'', ''a'' − ''n'', ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', …&#Kelas125;}} kesesuaian|adalah himpunan semua bilangan bulat yang kongruen dengan ''a'' modulo ''n''. Himpunan ini disebut ''kelas kekongruenan]]'', ''kelas residu'', atau cukup dengan ''residu'' dari bilangan''a'' bulatmodulo untuk''n''; modulusdan dilambangkan dengan {{math | {{overline|''a''}}{{sub|'' n ''}}}}. disebutGauss berkontribusi dengan menganalisis struktur himpunan kelas kekongruenan ini, yang sekarang dikenal dengan '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display="inline">\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> NotasiNamunn, notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).
Contoh, Dalam modulus 12, seseorang dapat menyatakan bahwa:
 
[[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]] ini didefinisikan untuk '' n ''> 0 sebagai:
:<math>38 \equiv 14 \pmod {12}</math>
 
karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}, yang merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa 2 yang sama, jika dibagi 12.
 
Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:
 
:<math> \begin{align}
2 &\equiv -3 \pmod 5\\
-8 &\equiv 7 \pmod 5\\
-3 &\equiv -8 \pmod 5.
\end{align}</math>
 
=== Bilangan bulat modulo '' n '' ===
Himpunan dari semua [[Modular aritmatika#Kelas kesesuaian|kelas kekongruenan]] dari bilangan bulat untuk modulus {{math | '' n ''}} disebut '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display="inline">\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> Notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).
 
Himpunan ditentukan untuk '' n ''> 0 sebagai:
 
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{a}_n \mid a \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n{-}1}_n \right\}.</math>
 
Kami mendefinisikanOperasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> denganadalah analogi dari kekongruenan aturanbilangan berikutbulat:
(Maka {{math|''n'' {{=}} 0}}, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> bukan merupakan [[himpunan kosong]]; sebaliknya, [[isomorfisme|isomorfik]] menjadi <math>\mathbb{Z}</math>, maka {{math|{{overline|''a''}}{{sub|0}} {{=}} &#123;''a''&#125;}}.)
 
Kami mendefinisikan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> dengan aturan berikut:
 
* <math>\overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n</math>
Baris 107 ⟶ 83:
* <math>\overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n.</math>
 
MakaDalam hal ini, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> menjadiadalah [[gelanggang komutatif]]. Misalnya, di gelanggang <math>\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math>, makadapat ditulis
Verifikasi bahwa ini adalah definisi yang tepat menggunakan properti yang diberikan sebelumnya.
 
Maka, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> menjadi [[gelanggang komutatif]]. Misalnya, di gelanggang <math>\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math>, maka
:<math>\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{33}_{24}= \overline{9}_{24}</math>
seperti dalam aritmatikaaritmetika modular untuk sistem 24 jam.
 
=== Polinomial ===
{{Main|polinomial siklotomik}}
[[Berkas:Heptadecagone.jpg|jmpl|Konstruksi dengan penggaris dan jangka dari poligon reguler 17 sisi, dengan menggunakan teknik aritmatika modular.]]
Gauss menyadari aritmetika modular juga dapat diterapkan pada himpunan [[polinomial]] dengan koefisien [[bilangan pecahan]], karena himpunan tersebut memiliki penjumlahan, perkalian, dan pembagian Euklides. Kekongruenan pada himpunan ini didasarkan dari sisa hasil bagi Euklides sebuah polinomial dengan polinomial lain.
 
Gauss menerapkan pendekatan ini ke polinomial <math>x^n-1</math> dan menemukan [[Faktorisasi|faktor-faktor primitifnya]], yang disebut dengan ''polinomial siklotomik''. Hal ini digunakan untuk menemukan konstruksi penggaris dan jangka dari [[heptadekagon]], sebuah poligon reguler dengan 17 sisi. Namun, ia ragu untuk menganggap penerapan ini termasuk dalam aritmetika; ia menulis: "Teori pembagian pada lingkaran, atau pada poligon reguler ..., bukan bagian dari aritmetika dengan sendirinya, namun prinsipnya didapatkan dari aritmetika tingkat lanjut".<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] (<abbr>trad.</abbr> A.-C.-M. Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807), [ [[Disquisitiones Arithmeticae]] ], 1801</ref>
Kami menggunakan notasi <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> karena ini adalah [[gelanggang hasil bagi]] dari <math>\mathbb{Z}</math> oleh [[gelanggang ideal|ideal]] <math>n\mathbb{Z}</math>, satu set yang berisi semua bilangan bulat habis dibagi oleh {{math | '' n ''}}, di mana <math>0\mathbb{Z}</math> adalah [[himpunan singleton]] {{math|&#123;0&#125;}}. Jadi <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah [[Bidang (matematika)|bidang]] <math>n\mathbb{Z}</math> adalah [[ideal maksimal]] (yaitu, jika {{math | '' n ''}} adalah bilangan prima).
 
=== KelasBilangan kekongruenanaljabar ===
{{Main|Bilangan Gaussian}}
Seperti relasi kesesuaian lainnya, kekongruenan modulo {{math | '' n ''}} adalah [[relasi ekuivalensi]], dan [[ekuivalen]] dari bilangan bulat {{math | '' a ''}}, dilambangkan dengan {{math|{{overline|''a''}}{{sub|''n''}}}}, adalah himpunan {{math|&#123;… , ''a'' − 2''n'', ''a'' − ''n'', ''a'', ''a'' + ''n'', ''a'' + 2''n'', …&#125;}}. Himpunan ini, terdiri dari semua bilangan bulat yang kongruen dengan {{math|''a''}}&nbsp;modulo&nbsp;{{math|''n''}}, disebut '''kelas kekongruenan''', '''kelas residu''', atau hanya '''residu''' dari bilangan bulat {{math|''a''}} modulo&nbsp;{{math|''n''}}. Ketika modulus {{math | '' n ''}} diketahui dari konteksnya, residu ini dilambangkan {{math|[''a'']}}.
Pada kasus polinomial dengan koefisien bilangan bulat, sifat pembagian hanya berlaku untuk polinomial dengan koefisien derajat tersebesar bernilai 1 atau -1. Bagian ini membahas modulus berupa polinomial <math>X^2+1</math>, dengan struktur modular yang didapatkan masih bagian dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggangnya]]. Gelanggang ini berisi himpunan bilangan dalam bentuk <math>\alpha + i \beta</math>, dengan <math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> berupa bilangan bulat dan <math>i</math> berupa [[Bilangan imajiner|unit bilangan imajiner]], yang berkorespodensi dengan monomial <math>X</math>. Himpunan tersebut dikenal sebagai bilangan
 
=== Sistem residu ===
Setiap kelas residu modulo {{math | '' n ''}} dapat diwakili oleh salah satu anggotanya, meskipun biasanya mewakili setiap kelas residu dengan bilangan bulat nonnegatif terkecil yang termasuk dalam kelas<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Modular Arithmetic|url=https://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html|access-date=2020-08-12|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> (karena ini adalah sisa yang tepat yang dihasilkan dari pembagian). Dua anggota kelas residu yang berbeda modulo {{math | '' n ''}} adalah modulo tidak selaras {{math | '' n ''}}. Selain itu, setiap bilangan bulat milik satu dan hanya satu kelas residu modulo {{math | '' n ''}}.<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=90}}</ref>
 
Himpunan bilangan bulat {{math|&#123;0, 1, 2, …, ''n'' − 1&#125;}} disebut '''modulo sistem residu terkecil {{math |' 'n' '}}'''. Setiap rangkaian bilangan bulat {{math | '' n ''}}, tidak ada dua yang kongruen modulo {{math | '' n ''}}, disebut '''modulo sistem residu lengkap {{math |' 'n' '}}'''.
Baris 137 ⟶ 117:
*{5, 15}, karena modulo 4 sistem residu lengkap harus memiliki tepat 4 kelas residu yang tidak selaras.<!-- Contoh ini digunakan dalam sub-bagian berikut jadi jangan mengubahnya. -->
 
==== Sistem residu berkurang ====
{{Main|Mengurangi sistem residu}}
[[Fungsi total Euler]] {{math|φ(''n'')}}, himpunan dari {{math|φ(''n'')}} bilangan bulat yang [[Coprime integers|relative prime]] menjadi {{math | '' n ''}} dan saling tidak selaras di bawah modulus {{math | '' n ''}} disebut '''modulo sistem residu tereduksi {{matematika | '' n ''}}'''.<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=85}}</ref> Himpunan {5,15} dari atas, misalnya, adalah turunan dari modulo 4 sistem residu tereduksi.
 
== Perkembangan teoritis ==
Dalam matematika, umum dijumpai sebuah konsep matematika yang dikembangkan dalam sebuah bidang, digunakan ulang pada bidang-bidang lain. Hal yang sama juga berlaku untuk aritmetika modular, yang membantu banyak bidang [[matematika murni]], seperti [[aljabar]] dan [[teori Galois]]. Namun, perkembangan-perkembangan berikut tidak dianggapkan sebagai kasus khusus dari aritmetika modular, karena digunakan bersama konsep-konsep lainnya.
 
=== Struktur hasil bagi ===
{{Main|relasi ekuivalensi}}
Dalam matematika modern, aritmetika modular diformalkan dengan menggunakan konsep ''Euclidean ring''. Konsep [[relasi ekuivalensi]] memungkinkan aritmetika modular diterapkan ke banyak [[struktur aljabar]]. Sebagai contoh, [[Grup hasil bagi|hasil bagi]] sebuah [[Grup (matematika)|grup]] dengan sebuah [[subgrup normal]], dengan menggunakan [[teorema Jordan-Holder]], adalah alat dasar untuk mengklasifikasikan [[grup hingga]]. Grup hasil bagi juga digunakan dalam [[topologi aljabar]] untuk mengelompokkan [[Lipatan (matematika)|lipatan]].
 
== Sifat kekongruenan bilangan bulat ==
{{See also|Relasi kekongruenan|Operasi modulus}}Hubungan kekongruenan bilangan bulat dapat ditulis sebagai
:<math>a = kn + b,</math>
yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, {{suku <math | '' >b</math> ''}}tersebut tidak menjadibukanlah sisa dari pembagian {{<math | '' >a ''}}</math> oleh {{<math>n</math>. |Dalam ''pengartian nyang ''.}}lebih Sebagai gantinyatepat, pernyataan {{<math|''>a'' \equiv ''b'' \ \ (\text{mod}\, ''n'')}}</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama jikaketika dibagi dengan {{math | '' n ''}} adalah, yakni
:<math>a = pn + r,</math>
:<math>b = qn + r,</math>
dengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa pembagian keduanya. Mengurangkan kedua ekspresi diatas, kita dapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
 
Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:
:<math> \begin{align}
2 &\equiv -3 \pmod 5\\
-8 &\equiv 7 \pmod 5\\
-3 &\equiv -8 \pmod 5.
\end{align}</math>
 
=== Sifat dasar ===
Baris 150:
Untuk sebarang nilai <math>a, b, c</math>. Lebih lanjut, operasi penjumlahan dan perkalian tetap berlaku pada relasi kekongruen modulo <math>n</math>. Jika <math>a_1, b_1, a_2, b_2 </math> memenuhi <math>a_1 \equiv b_1</math> dan <math>a_2 \equiv b_2</math>, maka <math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2</math> dan <math>a_1a_2 \equiv b_1b_2</math>. Hal ini juga menyebabkan beberapa operasi lain tetap berlaku:
* Penjumlahan skalar: <math>a+k \equiv b+k</math> dan <math>a-k \equiv b-k</math>
*[[Perkalian skalar]]: <math>ak \equiv bk</math>
* Perpangkatan: <math>a^k \equiv b^k</math>, untuk bilangan bulat non-negatif <math>k</math>
* Untuk polinomial <math>p(x)</math> dengan koefisien-koefisien bilangan bulat, berlaku <math>p(a) \equiv p(b)</math>
Baris 161:
 
=== Invers perkalian ===
Tidak semua relasi kekongruenan modulo <math>n</math> memiliki [[invers perkalian]]. Eksistensi bilangan bulat <math>a^{-1}</math> (sehingga <math>aa^{-1} \equiv 1</math>) ada jika dan hanya jika <math>a</math> saling koprima dengan modulus <math>n</math>. Secara khusus, jika <math>p</math> adalah bilangan prima maka <math>a</math> (yang terletak diantara <math>0 < a < p</math>) akan selalu koprima dengan <math>p</math>. Dalam kasus ini, invers perkalian kekongruenan modulo <math>p</math> ada untuk semua bilangan yang tidak kongruen dengan nol. Bilangan bulat <math>a^{-1}</math> disebut'' [[invers perkalian modular]] ''dari {{mvar | <math>a}}</math> modulo {{<math|''>n''}}</math>. SifatBerikut beberapa sifat invers perkalian modular ditentukan oleh aturan berikut:
* Jika <math>a \equiv b</math> dan <math>a^{-1}</math> ada, maka berlaku <math>a^{-1} \equiv b^{-1} \pmod{n}</math>. Pada kasus <math>a= b</math>, hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan ketunggalan invers perkalian.
* Jika {{math|''a'' ≡ ''b'' (mod ''n'')}} dan {{math|''a''<sup>–1</sup>}}, maka {{math|''a''<sup>–1</sup> ≡ ''b''<sup>–1</sup> (mod ''n'')}} (kompatibilitas dengan pembalikan perkalian, dan jika {{math|1=''a'' = ''b''}}, modulo {{math | '' n ''}})
* Jika {{<math|''a>ax x''\equiv ≡ ''b'' (mod ''n'')}}</math> dan {{<math | '' >a ''^{-1}} koprima dengan {{</math> | '' n ''}}ada, maka solusi untuk kekongruenan linear initersebut diberikanadalah oleh {{<math|''>x'' \equiv ''a''<sup>–1^{-1}b</supmath>''b'' (mod ''n'')}}
 
Perkalian invers {{math|''x'' ≡ ''a''<sup>–1</sup> (mod ''n'')}} dapat dihitung secara efisien dengan menyelesaikan [[identitas Bézout|Persamaan Bézout]] <math> ax + ny = 1 </math> untuk <math> x, y </math>, menggunakan [[algoritme Euklides diperluas]].
 
PerkalianInvers perkalian invers {{<math|''>x'' \equiv ''a''<sup>–1^{-1} \pmod n</supmath> (mod ''n'')}} dapat dihitungcari secara efisien dengan menyelesaikanmenemukan nilai <math> x, y </math> pada [[identitas Bézout|Persamaan Bézout]] <math> ax + ny = 1 </math>; untuk <math> x, y </math>,dengan menggunakan [[algoritme Euklides diperluas]].
Secara khusus, jika {{math | '' p ''}} adalah bilangan prima, maka {{math | '' a ''}} coprima dengan {{math | '' p ''}} untuk {{math | '' a ''}} sehingga {{math|0 < ''a'' < ''p''}}; sehingga invers perkalian ada untuk semua {{math | '' a ''}} yang tidak kongruen dengan nol modulo {{math | '' p ''}}.
 
=== Sifat lain ===
Berikut daftar beberapa hasil lebih lanjut terkait hubungan kekongruenan:
Beberapa properti lanjutan dari hubungan kesesuaian adalah sebagai berikut:
* [[Teorema kecil Fermat]]: Jika {{math | '' p ''}} adalah bilangan prima danyang tidak membagi {{math | '' a ''}}, maka {{math|''a'' <sup>''p'' – 1</sup> ≡ 1 (mod ''p'')}}.
* [[Teorema Euler]]: Jika {{math | '' a ''}} dan {{math | '' n ''}} koprima, maka {{math|''a'' <sup>''φ''(''n'')</sup> ≡ 1 (mod ''n'')}}, dengan {{math | '' φ ''}} adalah [[fungsi total Euler]]
* Konsekuensi sederhana dari teorema kecil Fermat adalah jika {{math | '' p ''}} adalah bilangan prima, maka {{math|''a''<sup>−1</sup> ≡ ''a'' <sup>''p'' − 2</sup> (mod ''p'')}} adalah kebalikan perkalian dari {{math|0 < ''a'' < ''p''}}. Lebih umum lagi, dari teorema Euler, jika {{math | '' a ''}} dan {{math | '' n ''}} adalah koprima, maka {{math|''a''<sup>−1</sup> ≡ ''a'' <sup>''φ''(''n'') − 1</sup> (mod ''n'')}}.
Baris 186 ⟶ 184:
Dalam matematika teoretis, aritmatika modular adalah salah satu fondasi [[teori bilangan]], menyentuh hampir setiap aspek studinya, dan itu juga digunakan secara luas dalam [[teori grup]], [[teori gelanggang]], [[teori simpul]], dan [[aljabar abstrak]]. Dalam matematika terapan, ini digunakan dalam [[aljabar komputer]], [[kriptografi]], [[ilmu komputer]], [[kimia]] dan [[seni visual|visual]] dan seni [[musik]]al.
 
Aplikasi yang sangat praktis adalah menghitung checksum dalam pengenal bilangan deret. Misalnya, [[Nomor Buku Standar Internasional]] (ISBN) menggunakan aritmatika modulo 11 (untuk 10 digit ISBN) atau modulo 10 (untuk ISBN 13 digit) untuk deteksi kesalahan. Demikian juga, [[Nomor Rekening Bank Internasional]] (IBAN), misalnya, menggunakan aritmatika modulo 97 untuk melihat kesalahan input pengguna di nomor rekening bank. Dalam kimia, digit terakhir dari [[nomor registrasi CAS]] (nomor pengenal unik untuk setiap [[senyawa kimia]]) adalah [[digit pemeriksa]], yang dihitung dengan mengambil digit terakhir dari dua bagian pertama [[Nomor CAS]] dikalikan 1, digit sebelumnya dikalikan 2, digit sebelumnya dikali 3 dll., menjumlahkan semua ini dan menghitung.
 
Dalam kriptografi, aritmatika modular secara langsung mendukung sistem [[Kriptografi kunci publik|kunci publik]] seperti [[RSA (algoritme)|RSA]] dan [[Pertukaran kunci Diffie–Hellman|Diffie–Hellman]], dan menyediakan [[finite field]] yang mendasari [[kurva elips]], dan digunakan dalam berbagai [[algoritma kunci simetris]] termasuk [[Standar Enkripsi Lanjutan]] (AES), [[Algoritma Enkripsi Data Internasional]] (IDEA), dan [[RC4]]. RSA dan Diffie–Hellman menggunakan [[eksponen modular]].
 
Dalam aljabar komputer, aritmatika modular biasanya digunakan untuk membatasi ukuran koefisien integer dalam penghitungan dan data menengah. Digunakan dalam [[faktorisasi polinomial]], masalah di mana semua algoritma efisien yang diketahui menggunakan aritmatika modular. Digunakan oleh implementasi yang paling efisien dari algoritma [[pembagi persekutuan terbesar polinomial]], eksak [[aljabar linear]] dan [[basis Gröbner]] di atas bilangan bulat dan [[bilangan rasional]]. Seperti yang diposting di [[Fidonet]] pada tahun 1980-an dan diarsipkan di [[Rosetta Code]], aritmatika modular digunakan untuk menyangkal [[konjektur jumlah pangkat Euler]] pada [[Sinclair QL]] [[mikrokomputer]] menggunakan hanya seperempat dari presisi integer yang digunakan oleh [[CDC 6600]] [[superkomputer]] untuk membantahnya dua dekade sebelumnya melalui [[pencarian brute force]].<ref>{{Cite web|title=Euler's sum of powers conjecture|url=https://rosettacode.org/wiki/Euler%27s_sum_of_powers_conjecture#QL_SuperBASIC|access-date=2020-11-11|website=rosettacode.org|language=en}}</ref>
 
Dalam ilmu komputer, aritmatika modular sering diterapkan dalam [[operasi bitwise]] dan operasi lain yang melibatkan lebar tetap, [[struktur data]] siklik. [[Operasi modulo]], seperti yang diterapkan di banyak [[bahasa pemrograman]] dan [[kalkulator]], adalah aplikasi aritmetika modular yang sering digunakan dalam konteks. Operator logika [[XOR]] menjumlahkan 2 bit, modulo 2.
Baris 299 ⟶ 297:
* [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. {{isbn|0-262-03293-7}}. Section 31.3: Modular arithmetic, pp.&nbsp;862–868.
* [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=3545 Anthony Gioia], ''Number Theory, an Introduction'' Reprint (2001) Dover. {{isbn|0-486-41449-3}}.
* {{cite book |last=Long |first=Calvin T. |year=1972 |title=Elementary Introduction to Number Theory |url=https://archive.org/details/elementaryintrod0000long_m1z0_2ndedi |edition=2nd |publisher=[[D. C. Heath and Company]] |location=Lexington |lccn=77171950}}
* {{cite book |last1=Pettofrezzo |first1=Anthony J. |last2=Byrkit |first2=Donald R. |year=1970 |title=Elements of Number Theory |url=https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett |url-access=registration |publisher=[[Prentice Hall]] |location=Englewood Cliffs |lccn=71081766}}
* {{cite book |last=Sengadir |first=T. |title=Discrete Mathematics and Combinatorics |year=2009 |publisher=Pearson Education India |location=Chennai, India |isbn=978-81-317-1405-8 |oclc=778356123}}
 
== Pranala luar ==
* {{springer|title=Congruence|id=p/c024850}}
* Dalam [https://web.archive.org/web/20060101075602/http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm modular art] artikel, seseorang dapat mempelajari lebih lanjut tentang aplikasi aritmatika modular dalam seni.
* An [https://web.archive.org/web/20160220061222/http://mersennewiki.org/index.php/Modular_arithmetic article] tentang aritmatika modular di wiki GIMPS