Abstraksi (matematika): Perbedaan antara revisi

Banyak wilayahcabang matematika dimulai dengan penelaahan masalah-masalah dunia nyata, sebelum aturan-aturan dan konsep-konsepnya diidentifikasi dan didefinisikan sebagai [[struktur abstrak]]. Misalnya, [[geometri]] bermula dari perhitungan jarak dan luas di dunia nyata; [[statistika]] bermula dari perhitungan peluang di dalam [[judi|perjudian]]; dan [[aljabar]] bermula dengan metode penyelesaian masalah-masalah [[aritmetika]].

Abstraksi adalah proses yang sinambung di dalam matematika dan pengembangan bersejarah dari banyak topik matematika yang memamerkan kemajuan dari hal yang konkret ke hal yang abstrak. Sebagai contoh, pengembangan bernilai sejarah dari geometri adalah; langkah pertama di dalam abstraksi geometri dibuat oleh orang [[Yunani Kuno|Yunani kuno]], dengan [[Elemen Euklides]] menjadi dokumentasi terdini dari aksioma-aksioma geometri bidang—meskipun [[Proclus]] berpendapat bahwa aksiomatisasi yang lebih dini dilakukan oleh [[Hippocrates dari Chios]].<ref>{{Cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Proclus_history_geometry.html |title=Ikhtisar Proclus |access-date=2010-01-25 |archive-date=2015-09-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150923114020/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Proclus_history_geometry.html |dead-url=yes }}</ref> Pada abad ke-17, [[Rene Descartes|Descartes]] memperkenalkan [[koordinat Kartesian]] yang mengikuti pengembangan [[geometri analitis]]. Langkah-langkah yang lebih jauh mengenai abstraksi dilakukan oleh [[Nikolai Lobachevsky|Lobachevsky]], [[János Bolyai|Bolyai]], [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Riemann]], dan [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] yang memperumum konsep-konsep geometri untuk mengembangkan [[Geometrigeometri non-EuclidEuklides]]. Kemudian pada abad ke-19, para matematikawan memperumum geometri lebih luas lagi, mengembangkan wilayahcabang-wilayahcabang itu sebagai geometri pada dimensi ''n'', [[geometri projektif]], [[geometri afin]], dan [[geometri hingga]]. Akhirnya "[[Program Erlangen]]" karya [[Felix Klein]] mengidentifikasi tema-tema geometri ini, medefinisikan tiap-tiap mereka sebagai penelaahan sifat-sifat invarian di bawah grup-grup simetri yang diberikan. Jenjang abstraksi ini menyibak keterkaitan yang mendalam di antara geometri dan [[aljabar abstrak]].

Dua wilayahcabang paling abstrak dari matematika modern adalah [[teori kategori]] dan [[teori model]].