Gelanggang Boolean: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k fix |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], sebuah '''gelanggang Boolean''' ''R'' adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''x''<sup>2</sup> = ''x'' untuk semua ''x'' di ''R'',<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=200}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=130}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=46}}</ref> yaitu, gelanggang yang terdiri dari [[elemen idempoten (teori gelanggang)|elemen idempoten]].<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=25}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1975|p=268}}</ref> Contohnya adalah gelanggang dari [[aritmetika modular#Bilangan modulo n|bilangan bulat modulo 2]].
Setiap gelanggang Boolean menghasilkan [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]], dengan perkalian gelanggang yang sesuai dengan [[konjungsi logis|konjungsi]] atau [[bertemu (matematika)|bertemu]] ∧, dan penambahan ring ke [[eksklusif atau|disjungsi eksklusif]] atau [[perbedaan simetris]] (bukan [[logika disjungsi|disjungsi]] ∨,<ref>{{Cite web |url=https://math.stackexchange.com/q/1621618 |title=Salinan arsip |access-date=2021-07-02 |archive-date=2023-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230729212348/https://math.stackexchange.com/questions/1621618/disjunction-as-sum-operation-in-boolean-ring |dead-url=no }}</ref> dalam bentuk [[semigelanggang]]). Gelanggang Boolean dinamai menurut penemu aljabar Boolean, [[George Boole]].
== Notasi ==
Baris 13:
== Contoh ==
Salah satu contoh ring Boolean adalah [[himpunan kuasa]] dari sembarang himpunan ''X'', dimana penjumlahan pada ring adalah [[perbedaan simetris]], dan perkaliannya adalah [[irisan (teori himpunan)|irisan/persimpangan]]. Sebagai contoh lain, apabila mempertimbangkan himpunan semua [[himpunan hingga|hingga]] atau [[himpunan bagian]] kohingga dari ''X'', dengan perbedaan simetris dan irisan sebagai operasi. Lebih umum dengan operasi ini setiap [[medan himpunan]] adalah gelanggang Boolean. Dengan [[Teorema wakilan Stone untuk aljabar Boolean|teorema wakilan Stone]] setiap gelanggang Boolean isomorfik pada [[medan himpunan]] (sebagai gelanggang dengan operasi ini).
== Relasi dengan aljabar Boolean ==
Baris 28:
:¬''x'' = 1 ⊕ ''x''.
Operasi ini kemudian memenuhi semua [[aksioma]] untuk pertemuan, sambungan, dan melengkapi dalam [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]]. Jadi setiap gelanggang Boolean sebagai aljabar Boolean. Demikian pula, setiap aljabar Boolean sebagai gelanggang Boolean sebagai berikut:
:''xy'' = ''x'' ∧ ''y'',
Baris 44:
:''x'' ⊕ ''x'' = (''x'' ⊕ ''x'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''x''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x'' ⊕ ''x''
dan karena (''R'',⊕) adalah [[Grup Abelian|grup abelian]], apabila mengurangkan ''x'' ⊕ ''x'' dari kedua ruas persamaan ini, yang menghasilkan ''x'' ⊕ ''x'' = 0. Bukti serupa menunjukkan bahwa setiap gelanggang Boolean adalah [[komutatif]]:
:''x'' ⊕ ''y'' = (''x'' ⊕ ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''<sup>2</sup> = ''x'' ⊕ ''xy'' ⊕ ''yx'' ⊕ ''y''
Baris 88:
== Pranala luar ==
*John Armstrong, [http://unapologetic.wordpress.com/2010/08/04/boolean-rings Gelanggang Boolean] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221205124944/https://unapologetic.wordpress.com/2010/08/04/boolean-rings/ |date=2022-12-05 }}
{{Authority control}}
| |||