Bilangan prima: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8 |
kTidak ada ringkasan suntingan |
||
| (38 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Primes-vs-composites.svg|al=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but prime numbers cannot|jmpl|Bilangan komposit dapat disusun menjadi [[persegi panjang]], sedangkan bilangan prima tidak dapat.]]
'''Bilangan prima''' adalah [[bilangan asli]] lebih dari 1 yang bukan [[Hasilkali (matematika)|hasilkali]] dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut [[bilangan komposit]]. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai <math>1 \times 5</math> atau <math>5 \times 1</math>, sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasil kalinya (<math>2 \times 2</math>), dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari [[teori bilangan]] karena melibatkan [[teorema dasar aritmetika]]: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal [[Hingga (matematika)|hingga]] urutannya.
Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut '''primalitas'''. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan <math>n</math>, disebut [[pembagian percobaan]]. Metode ini menguji apakah <math>n</math> kelipatan dari suatu bilangan bulat antara <math>2</math> dan <math>\sqrt{n}</math>. Algoritma lebih cepatnya adalah [[uji primalitas Miller–Rabin]], algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan [[uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena]], algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam [[waktu polinomial]], namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti [[bilangan Mersenne]]. Hingga pada Desember 2018, [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] merupakan [[bilangan prima Mersenne]] dengan 24.862.048 [[digit]].<ref>{{Cite web|title=51st Known Mersenne Prime Discovered|url=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html|website=www.mersenne.org|access-date=21 Desember 2018}}</ref>
Sekitar 300 SM, [[Teorema Euklides|Euklides]] menjelaskan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Tidak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Akan tetapi, sebaran bilangan prima dalam jumlah bilangan asli yang sangat banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada [[teorema bilangan prima]], yang dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan bilangan terbesar yang dipilih secara acak menjadi bilangan prima [[Kesebandingan (matematika)|berbanding]] terbalik dengan jumlah digitnya, yaitu [[logaritma]].
Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan [[konjektur bilangan prima kembar]], menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan [[Teori bilangan analitik|analitik]] atau bilangan [[Teori bilangan aljabar|aljabar]]. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam [[teknologi informasi]], seperti [[kriptografi kunci publik]], yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam [[aljabar abstrak]], objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya [[elemen bilangan prima]] dan [[ideal bilangan prima]].
==
[[Bilangan asli]] (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika dan hanya jika bilangan asli itu lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut [[bilangan komposit]].<ref>{{Cite book|last=Cahyo|first=Dhea Arokhman Yusufi|date=2020-05-10|url=https://books.google.com/books?id=OJriDwAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA18&dq=definisi+bilangan+prima&hl=id|title=Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach|publisher=Math Heuristic|pages=18|language=id|url-status=live}}</ref> Dengan kata lain, <math>n</math> dikatakan bilangan prima jika terdapat <math>n</math> benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.<ref>{{Cite book|last=Henderson|first=Anne|date=2014-06-20|url=https://books.google.co.id/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide|publisher=Routledge|isbn=978-1-136-63662-2|pages=62|language=en|url-status=live}}</ref> Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan <math>n</math> titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.<ref>{{Cite book|last=Adler|first=Irving|date=1960|url=http://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle|title=The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space|publisher=New York, Golden Press|others=Internet Archive}}</ref> Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;<ref>{{Cite book|last=Lawrence S. Leff|date=2000|url=http://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0|title=Barron's math workbook for the SAT I|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-0768-9|others=Internet Archive}}</ref> karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.
[[Berkas:Prime_number_Cuisenaire_rods_7.png|jmpl|260x260px|Gambaran melalui [[batang Cuisenaire]] bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena 2, 3, 4, 5, atau 6 yang tidak dapat membagi 7 secara merata.]]
[[Pembagi]] bilangan asli <math>n</math> adalah bilangan asli yang membagi <math>n</math> sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika <math>n</math> memiliki pembagi lain, maka <math>n</math> bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri.<ref>[[Underwood Dudley|Dudley, Underwood]] (1978). "[https://books.google.co.id/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA10&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Section 2: Unique factorization]". ''[[iarchive:elementarynumber00dudl 0/page/10/mode/2up|Elementary number theory]]'' (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. [[iarchive:elementarynumber00dudl 0/page/10/mode/2up|10]]. ISBN 978-0-7167-0076-0.</ref> Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: <math>n</math> adalah bilangan prima jika <math>n</math> lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan <math>2,3,\dots,n-1</math> yang membagi <math>n</math> sama rata.<ref>[[Waclaw Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1988). ''[https://books.google.co.id/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA113&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Elementary Theory of Numbers]''. North-Holland Mathematical Library. '''31''' (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.</ref>
Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):<ref name="ziegler2">{{cite journal|last=Ziegler|first=Günter M.|author-link=Günter M. Ziegler|year=2004|title=The great prime number record races|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=51|issue=4|pages=414–416|mr=2039814}}</ref>
: 1,[[2 (angka)|2]], [[3 (angka)|3]], [[5 (angka)|5]], [[7 (angka)|7]], [[11 (angka)|11]], [[13 (angka)|13]], [[17 (angka)|17]], [[19 (angka)|19]], [[23 (angka)|23]], [[29 (angka)|29]], [[31 (angka)|31]], [[37 (angka)|37]], [[41 (angka)|41]], [[43 (angka)|43]], [[47 (angka)|47]], [[53 (angka)|53]], [[59 (angka)|59]], [[61 (angka)|61]], [[67 (angka)|67]], [[71 (angka)|71]], [[73 (angka)|73]], [[79 (angka)|79]], [[83 (angka)|83]], [[89 (angka)|89]], [[97 (angka)|97]] {{OEIS|A000040}}.
Tidak ada [[bilangan genap]] <math>n</math> yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali <math display="inline">2 \times \frac{n}{2}</math>. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah [[bilangan ganjil]], dan bilangan tersebut disebut ''bilangan prima ganjil''.<ref>{{Cite book|last=Stillwell|first=John|date=1997-10-30|url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA9|title=Numbers and Geometry|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-98289-2|pages=9|language=en|url-status=live}}</ref> Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.<ref>[[Waclaw Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1964). ''[[iarchive:selectionproblem00sier|A Selection of Problems in the Theory of Numbers]]''. New York: Macmillan. hlm. [[iarchive:selectionproblem00sier/page/n37|40]]. MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0170843 0170843].</ref>
Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan <math>\mathbf{P}</math><ref>{{Cite book|last=Nathanson|first=Melvyn B.|date=2008-01-11|url=https://books.google.co.id/books?id=sE7lBwAAQBAJ&pg=PP10&redir_esc=y|title=Elementary Methods in Number Theory|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-22738-2|language=en}}</ref> atau <math>\mathbb{P}</math>.<ref>{{Cite book|last=Faticoni|first=Theodore G.|date=2012-04-23|url=https://books.google.co.id/books?id=I433i_ZGxRsC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-24382-4|pages=44|language=en|url-status=live}}</ref>
==Sejarah==
[[Berkas:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|thumb|[[Papirus Matematika Rhind]]|alt=Papirus Matematika Rhind]]
[[Papirus Matematika Rhind]] dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki perluasan [[pecahan Mesir]] dalam bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit.<ref>Bruins, Evert Marie, review in ''Mathematical Reviews'' of {{cite journal | last = Gillings | first = R.J. | doi = 10.1007/BF01307175 | journal = Archive for History of Exact Sciences | mr = 0497458 | pages = 291–298 | title = The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it? | volume = 12 | issue = 4 | year = 1974| s2cid = 121046003 }}</ref> Namun, catatan sejarah pertama kali yang mempelajari bilangan prima dengan eksplisit berasal dari [[matematika Yunani kuno]].. ''[[Elemen Euklides|Elemen]]'' dari [[Euklides]] (300 SM) membuktikan [[bilangan prima tak-hingga]] dan [[teorema dasar aritmetika]], dan menunjukkan cara membuat [[bilangan sempurna]] dari [[prima Mersenne]].<ref name="stillwell-2010-p40">{{cite book|title=Mathematics and Its History|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=John|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|edition=3rd|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|page=40|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA40}}</ref> Penemuan Yunani lainnya yaitu [[tapis Eratosthenes]] masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.<ref name="pomerance-sciam">{{cite journal|title=The Search for Prime Numbers|first=Carl|last=Pomerance|author-link=Carl Pomerance|journal=[[Scientific American]]|volume=247|issue=6|date=December 1982|pages=136–147|jstor=24966751|doi=10.1038/scientificamerican1282-136|bibcode=1982SciAm.247f.136P}}</ref><ref name="mollin">{{cite journal | last = Mollin | first = Richard A. | doi = 10.2307/3219180 | issue = 1 | journal = Mathematics Magazine | mr = 2107288 | pages = 18–29 | title = A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers) | volume = 75 | year = 2002| jstor = 3219180 }}</ref>
Sekitar 1000 M, matematikawan [[Matematika dalam Islam abad pertengahan|Islam]] [[Ibn al-Haytham]] (Alhazen) menemukan [[teorema Wilson]] dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan <math>n</math> yang membagi rata <math>(n-1)!+1</math>. Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham|mode=cs1}}</ref> Matematikawan Islam lainnya, [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi]] mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga [[akar kuadrat]] dari bilangan terbesar yang akan diuji. [[Fibonacci]] membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. ''[[Liber Abaci]]'' (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan [[pembagian percobaan]] untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.<ref name="mollin"/>
Pada 1640, [[Pierre de Fermat]] menyatakan [[teorema kecil Fermat]] tanpa bukti, yang kemudian dibuktikan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] dan [[Leonhard Euler|Euler]].<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45]</ref> Fermat juga menyelidiki primalitas dari [[bilangan Fermat]] <math>2^{2^n}+1</math>,<ref>{{cite book|title=How Euler Did Even More|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2014|isbn=978-0-88385-584-3|page=42|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref> dan [[Marin Mersenne]] mempelajari [[prima Mersenne]], bilangan prima dari bentuk <math>2^p-1</math> dengan <math>p</math> sendiri adalah bilangan prima.<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-421171-1|page=369|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref> Dalam surat tahun 1742 untuk Euler, [[Christian Goldbach]] merumuskan [[konjektur Goldbach]], bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{cite book|title=Goldbach Conjecture|edition=2nd|volume=4|series=Series In Pure Mathematics|first=Wang|last=Yuan|publisher=World Scientific|year=2002|isbn=978-981-4487-52-8|page=21|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref> Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini disebut [[teorema Euklides–Euler]]) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne.<ref name="stillwell-2010-p40"/> Ia memperkenalkan metode dari [[analisis matematis]] ke cabang ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan [[kedivergenan jumlah timbal-balik bilangan prima]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>.<ref>{{cite book|last=Narkiewicz|first=Wladyslaw|year=2000|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|publisher=Springer|isbn=978-3-540-66289-1|series=Springer Monographs in Mathematics|page=11|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref> Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika <math>x</math> menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga <math>x</math> [[Analisis asimptotik|asimptotik]] ke <math>\tfrac{x}{\log x}</math>, dimana <math>\log x</math> melambangkan [[logaritma natural]] dari <math>x</math>. Versi lemah [[postulat Bertrand]] yang mengatakan bahwa untuk setiap <math>n > 1</math>, terdapat bilangan prima di antara <math>n</math> dan <math>2n</math>, dibuktikan oleh [[Pafnuty Chebyshev]] pada tahun 1852.<ref>{{cite journal|last=Tchebychev|first=P.|author-link=Pafnuty Chebyshev|year=1852|title=Mémoire sur les nombres premiers.|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf|journal=Journal de mathématiques pures et appliquées|series=Série 1|language=fr|pages=366–390}}. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854</ref> Gagasan [[Bernhard Riemann]] dalam [[On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude|makalahnya tahun 1859 tentang fungsi zeta]] menggambarkan sebuah garis besar dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan [[hipotesis Riemann]] masih belum terpecahkan, namun garis besar Riemann diselesaikan oleh [[Jacques Hadamard|Hadamard]] dan [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] pada tahun 1896, dan hasilnya saat ini dikenal sebagai [[teorema bilangan prima]].<ref>{{cite book|last=Apostol|first=Tom M.|year=2000|title=Number Theory|location=Basel|publisher=Birkhäuser|editor1-last=Bambah|editor1-first=R.P.|series=Trends in Mathematics|pages=1–14|contribution=A centennial history of the prime number theorem|mr=1764793|author-link=Tom M. Apostol|editor2-last=Dumir|editor2-first=V.C.|editor3-last=Hans-Gill|editor3-first=R.J.|contribution-url=https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1}}</ref> Hasil penting lainnya pada abad ke-19 adalah [[teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]], [[barisan aritmetika]] pasti memuat tak berhingga banyaknya bilangan prima.<ref>{{cite book|last=Apostol|first=Tom M.|year=1976|title=Introduction to Analytic Number Theory|location=New York; Heidelberg|publisher=Springer-Verlag|pages=146–156|contribution=7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions|mr=0434929|author-link=Tom M. Apostol|contribution-url=https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146}}</ref>
Beberapa matematikawan telah melakukan [[uji primalitas]] untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode yang membatasi bentuk bilangan khusus di antaranya [[uji Pépin]] untuk bilangan Fermat (1877),<ref>{{cite book|last=Chabert|first=Jean-Luc|year=2012|url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261|title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|publisher=Springer|isbn=978-3-642-18192-4|page=261}}</ref> [[teorema Proth]] (sekitar 1878),<ref>{{cite book|last=Rosen|first=Kenneth H.|year=2000|title=Elementary Number Theory and Its Applications|url=https://archive.org/details/elementarynumber0000rose_q4e9|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-87073-2|edition=4th|page=[https://archive.org/details/elementarynumber0000rose_q4e9/page/342 342]|contribution=Theorem 9.20. Proth's Primality Test}}</ref> [[uji primalitas Lucas–Lehmer]] (berasal dari 1856), dan [[uji primalitas Lucas]] rampat.<ref name="mollin2">{{cite journal|last=Mollin|first=Richard A.|year=2002|title=A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)|journal=Mathematics Magazine|volume=75|issue=1|pages=18–29|doi=10.2307/3219180|jstor=3219180|mr=2107288}}</ref>
Sejak tahun 1951, semua [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] telah ditemukan menggunakan uji ini pada [[komputer]].{{efn|Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.<ref>{{cite book|title=The Once and Future Turing|first1=S. Barry|last1=Cooper|first2=Andrew|last2=Hodges|publisher=Cambridge University Press|year=2016|isbn=978-1-107-01083-3|pages=37–38|url=https://books.google.com/books?id=h12cCwAAQBAJ&pg=PA37}}</ref>}} Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui [[Great Internet Mersenne Prime Search]] dan proyek [[komputasi distribusi]] lainnya.<ref name="ziegler2" /><ref>{{harvnb|Rosen|2000}}, hal. 245.</ref> Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa penerapan diluar [[matematika murni]],{{efn|name="pure"|Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan [[Ernst Kummer]] menyukai [[bilangan ideal]] miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",<ref>{{cite book|title=Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|first=Albert H.|last=Beiler|year=1999|publisher=Dover|orig-year=1966|isbn=978-0-486-21096-4|page=2|url=https://books.google.com/books?id=NbbbL9gMJ88C&pg=PA2|oclc=444171535}}</ref> bahkan Katz menulis bahwa [[Edmund Landau]] yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "''loathed practical applications of mathematics''" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti [[geometri]] yang telah terbukti berguna.<ref>{{cite journal | last = Katz | first = Shaul | doi = 10.1017/S0269889704000092 | issue = 1–2 | journal = Science in Context | mr = 2089305 | pages = 199–234 | title = Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem | volume = 17 | year = 2004| s2cid = 145575536 }}</ref>}} sekitar tahun 1970-an ketika [[kriptografi kunci publik]] dan [[RSA (sistem kripto)|RSA]] sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.<ref name="ent-7">{{cite book|title=Elementary Number Theory|series=Textbooks in mathematics|first1=James S.|last1=Kraft|first2=Lawrence C.|last2=Washington|publisher=CRC Press|year=2014|isbn=978-1-4987-0269-0|page=7|url=https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA7}}</ref>
Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan.<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{cite book|title=Secret History: The Story of Cryptology|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|page=468|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468}}</ref><ref>{{cite book|title=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|volume=11|series=Dolciani mathematical expositions|first1=Victor|last1=Klee|author1-link=Victor Klee|first2=Stan|last2=Wagon|author2-link=Stan Wagon|publisher=Cambridge University Press|year=1991|isbn=978-0-88385-315-3|page=224|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224}}</ref> Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan [[teorema Green-Tao]] (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 [[Yitang Zhang]] bahwa memiliki banyak [[uji celah prima]] ketakhinggaan.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, pp. 18, 47.</ref>
=== Primalitas dari 1 ===
Hampir seluruh matematikawan Yunani kuno bahkan tidak menganggap 1 sebagai bilangan,<ref name="crxk-342">{{cite journal|last1=Caldwell|first1=Chris K.|last2=Reddick|first2=Angela|last3=Xiong|first3=Yeng|last4=Keller|first4=Wilfrid|year=2012|title=The history of the primality of one: a selection of sources|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html|journal=[[Journal of Integer Sequences]]|volume=15|issue=9|page=Article 12.9.8|mr=3005523}} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{cite book|last=Tarán|first=Leonardo|year=1981|url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35|title=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary|publisher=Brill|isbn=978-90-04-06505-5|series=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy|volume=39|pages=35–38}}</ref> sehingga mereka tidak menganggap primalitas. Beberapa matematikawan pada kala ini juga menganggap bilangan prima adalah subpembagian bilangan ganjil, sehingga mereka menganggap 2 bukanlah bilangan prima. Namun, Euklides dan sebagian besar matematikawan Yunani lainnya menganggap 2 sebagai bilangan prima. Sebagian besar [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Islam pada abad pertengahan]] mengikuti pandangan matematikawan Yunani bahwa 1 bukanlah sebuah bilangan.<ref name="crxk-342" /> Pada masa abad pertengahan dan masa Reinsans, para matematikawan mulai memperlakukan 1 sebagai bilangan, dan ada pula dari mereka memperlakukan 1 sebagai bilangan prima pertama.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.</ref> Dalam suratnya untuk [[Leonhard Euler]] pada pertengahan abad ke-18, [[Christian Goldbach]] menganggap 1 sebagai bilangan prima<u>;</u> namun Euler tidak.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, p. 15.</ref> Pada abad ke-19, banyak para matematikawan masih menganggap 1 sebagai bilangan prima,<ref name="cx">{{cite journal|last1=Caldwell|first1=Chris K.|last2=Xiong|first2=Yeng|year=2012|title=What is the smallest prime?|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf|journal=[[Journal of Integer Sequences]]|volume=15|issue=9|page=Article 12.9.7|mr=3005530}}</ref> dan yang memuat 1 sebagai daftar bilangan prima terus diterbitkan hingga tahun 1956.<ref>{{cite book|last=Riesel|first=Hans|year=1994|url=https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36|title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization|location=Basel, Switzerland|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-3743-9|edition=2nd|page=36|doi=10.1007/978-1-4612-0251-6|mr=1292250|author-link=Hans Riesel}}</ref><ref name="cg-bon-129-1303">{{cite book|last1=Conway|first1=John Horton|last2=Guy|first2=Richard K.|year=1996|url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw|title=The Book of Numbers|location=New York|publisher=Copernicus|isbn=978-0-387-97993-9|pages=[https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129 129–130]|doi=10.1007/978-1-4612-4072-3|mr=1411676|author1-link=John Horton Conway|author2-link=Richard K. Guy|url-access=registration}}</ref>
Jika definisi bilangan prima mengatakan bahwa 1 adalah bilangan prima, maka banyak pernyataan yang melibatkan bilangan prima akan ditulis ulang dalam cara yang aneh. Sebagai contoh, teorema dasar aritmetika akan perlu ditulis ulang dalam bentuk faktorisasi menjadi bilangan prima lebih besar dari 1, karena setiap bilangan mempunyai banyak kelipatan dengan jumlah salinan dari 1 yang berbeda.<ref name="cx" /> Mirip dengan contoh sebelumnya, [[saringan Eratosthenes]] tidak akan bekerja dengan benar jika saringan tersebut memperlakukan 1 sebagai sebuah bilangan prima, karena saringan Eratosthenes akan mengeliminasi semua kelipatan 1 (yaitu semua bilangan lainnya) dan memberikan hasil hanya satu bilangan saja, yaitu 1.<ref name="cg-bon-129-1303" /> Ada beberapa sifat bilangan prima lebih teknis yang juga tidak berlaku untuk 1, sebagai contoh rumus [[fungsi phi Euler]] atau [[fungsi jumlah pembagi]] berbeda untuk bilangan prima dengan 1 yang didefinisikan sebagai bilangan prima.<ref>For the totient, see {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 p. 245]. For the sum of divisors, see {{cite book|last=Sandifer|first=C. Edward|year=2007|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59|title=How Euler Did It|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-563-8|series=MAA Spectrum|page=59}}</ref> Pada awal abad ke-20, para matematikawan mulai menyetujui bahwa 1 tidak ditulis sebagai bilangan prima, melainkan dikategorikan istimewa sebagai "[[Satuan (teori gelanggang)|satuan]]".<ref name="cx" />
== Sifat-sifat dasar ==
=== Faktorisasi tunggal ===
{{Main|Teorema dasar aritmetika}}
Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut ''faktorisasi bilangan prima''. Misalnya:
: <math>\begin{align}
34886 &= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 149 \\
&= 2 \cdot 3^2 \cdot 13 \cdot 149
\end{align}</math>
Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut ''faktor bilangan prima''. Faktor bilangan prima yang sama seringkali muncul lebih dari satu. Contoh di atas memiliki dua salinan faktor bilangan prima <math>3</math>. Ketika sebuah bilangan prima sering muncul berkali-kali, [[eksponen]] dapat dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, dalam menulis hasil kali di atas, yakni pada barisan kedua, <math>3^2</math> dilambangkan sebagai tiga pangkat dua.
Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari ''teorema dasar aritmetika''.<ref>{{cite book|last=Smith|first=Karl J.|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=Di0HyCgDYq8C&pg=PA188|title=The Nature of Mathematics|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-538-73758-6|edition=12th|page=188}}</ref> Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA16 Section 2, Theorem 2, p. 16]; {{cite book|last=Neale|first=Vicky|year=2017|title=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|title-link=Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-109243-5|at=[https://books.google.com/books?id=T7Q1DwAAQBAJ&pg=PA107 p. 107]|author-link=Vicky Neale}}</ref> Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma [[faktorisasi bilangan bulat]], hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.<ref>{{cite book|last=du Sautoy|first=Marcus|year=2003|url=https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa|title=The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics|publisher=Harper Collins|isbn=978-0-06-093558-0|page=[https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa/page/23 23]|author-link=Marcus du Sautoy|url-access=registration}}</ref>
Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui [[lema Euklides]]: Jika <math>p</math> bilangan prima dan <math>p</math> membagi hasil kali <math>ab</math> (dimana <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat), maka <math>p</math> membagi <math>a</math> atau <math>p</math> membagi <math>b</math> (atau membagi keduanya).<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{cite book|last=Higgins|first=Peter M.|year=1998|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77|title=Mathematics for the Curious|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-150050-3|pages=77–78}}</ref> Sebaliknya, jika <math>p</math> memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya (<math>p</math> selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka <math>p</math> haruslah bilangan prima.<ref>{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|year=2000|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-011584-3|edition=2nd|at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>
=== Ketakterhinggaan ===
{{Main|Teorema Euklides}}
Ada [[Tak hingga|tak berhingga]] banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno [[Euklides]]. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti [[Analisis matematika|analitik]] oleh [[Leonhard Euler|Euler]], [[Bilangan Fermat#Sifat-sifat dasar|bukti]] [[Christian Goldbach|Goldbach]] berdasarkan [[bilangan Fermat]],<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0722.pdf Letter] in [[Latin]] from Goldbach to Euler, July 1730.</ref> [[Bukti Furstenberg tentang ketakterhinggaan bilangan prima|bukti Furstenberg melalui topologi umum]],<ref>{{Cite journal|last1=Furstenberg|first1=Harry|year=1955|title=On the infinitude of primes|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=62|issue=5|pages=353|doi=10.2307/2307043|jstor=2307043|mr=0068566|author1-link=Hillel Furstenberg}}</ref> dan bukti elegan [[Ernst Kummer|Kummer]].<ref>{{cite book|last1=Ribenboim|first1=Paulo|year=2004|url=https://books.google.com/books?id=SvnTBwAAQBAJ&pg=PA5|title=The little book of bigger primes|location=Berlin; New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-20169-6|page=4|author1-link=Paulo Ribenboim}}</ref>
[[Teorema Euler|Bukti Euler]]<ref>[[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']], Book IX, Proposition 20. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html David Joyce's English translation of Euclid's proof] or {{cite book|last=Williamson|first=James|year=1782|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=umn.31951000084215o;view=1up;seq=95|title=The Elements of Euclid, With Dissertations|location=Oxford|publisher=[[Clarendon Press]]|page=63|oclc=642232959}}</ref> menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima [[Himpunan hingga|terhingga]] belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah <math>1</math>. Jikalau terdiri dari bilangan prima <math>p_1,p_2,\ldots, p_n</math>, maka
: <math> N = 1 + p_1\cdot p_2\cdots p_n </math>.
Menurut teorema dasar aritmetika, <math>N</math> memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.
: <math> N = p'_1\cdot p'_2\cdots p'_m </math>
<math>N</math> dibagi habis secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi <math>N</math> mempunyai sisa yaitu satu ketika dibagi oleh suatu bilangan prima pada daftar tertentu sehingga tidak ada faktor bilangan prima <math>N</math> yang terdapat pada daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.
Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut [[bilangan Euklides]].<ref>{{cite book|last=Vardi|first=Ilan|year=1991|title=Computational Recreations in Mathematica|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-52989-0|pages=82–89}}</ref> Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,
: <math>1+\big(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\big) = 30031 = 59\cdot 509</math>,
adalah bilangan komposit.
=== Rumus untuk bilangan prima ===
{{Main|Rumus untuk bilangan prima}}
Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada [[polinomial]] takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang ''hanya'' memakai nilai bilangan prima.<ref>[[Yuri Matiyasevich|Matiyasevich, Yuri V.]] (1999). "[https://books.google.co.id/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Formulas for prime numbers]". In [[Serge Tabachnikov|Tabachnikov, Serge]] (ed.). ''Kvant Selecta: Algebra and Analysis''. Vol. II. [[American Mathematical Society]]. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.</ref> Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada [[teorema Wilson]], dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.<ref>{{cite journal | last = Mackinnon | first = Nick | date = June 1987 | doi = 10.2307/3616496 | issue = 456 | pages = 113–114 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | title = Prime number formulae | volume = 71| jstor = 3616496 }}</ref> Adapula himpunan [[persamaan Diophantus]] dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima [[jika dan hanya jika]] sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Hal tersebut dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai ''positif'' adalah bilangan prima.<ref name="matiyasevich">{{cite book | last = Matiyasevich | first = Yuri V. | author-link = Yuri Matiyasevich | year=1999 | chapter = Formulas for prime numbers | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 | editor1-first=Serge | editor1-last = Tabachnikov | editor-link1=Sergei Tabachnikov| title = Kvant Selecta: Algebra and Analysis | volume = II | publisher = [[American Mathematical Society]] | isbn = 978-0-8218-1915-9 | pages=13–24}}</ref>
Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari [[teorema Mills]] dan teorema [[E. M. Wright|Wright]]. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real <math>A > 1</math> dan <math>\mu</math> sehingga
: <math>\left \lfloor A^{3^n} \right \rfloor</math> dan <math>\left\lfloor 2^{\cdots^{2^{2^\mu}}}\right\rfloor</math>
adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli <math>n</math> dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua.<ref>[[E.M. Wright|Wright, E.M.]] (1951). "A prime-representing function". ''[[The American Mathematical Monthly|American Mathematical Monthly]]''. '''58''' (9): 616–618. [[Pengenal objek digital|doi]]:[[doi:10.2307/2306356|10.2307/2306356]]. [[JSTOR]] [https://www.jstor.org/stable/2306356 2306356]</ref> <math>\lfloor \, \cdot \,\rfloor</math> merepresentasikan [[fungsi bilangan bulat terbesar]]. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai <math> A </math> atau <math> \mu </math>.
=== Pertanyaan terbuka ===
Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 hlm. vii].</ref> Salah satu masalah Landau adalah [[konjektur Goldbach]], yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap <math>n</math> lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107].</ref> Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga <math>n=4\cdot 10^{18}</math>.<ref>{{cite journal|last1=Oliveira e Silva|first1=Tomás|last2=Herzog|first2=Siegfried|last3=Pardi|first3=Silvio|year=2014|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1|mr=3194140|doi-access=free}}</ref> Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: [[teorema Vinogradov]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p. 239.</ref> [[teorema Chen]] yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan [[Bilangan semiprima|semiprima]] (hasil kali dari dua bilangan prima),<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref> serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.<ref>{{cite journal|last=Ramaré|first=Olivier|year=1995|title=On Šnirel'man's constant|url=https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0|journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa|volume=22|issue=4|pages=645–706|mr=1375315|access-date=2022-03-13|archive-date=2022-02-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20220209175544/http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0|dead-url=yes}}</ref> Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut [[teori bilangan aditif]].<ref>{{cite book|last=Rassias|first=Michael Th.|year=2017|url=https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6|title=Goldbach's Problem: Selected Topics|location=Cham|publisher=Springer|isbn=978-3-319-57912-2|page=vii|doi=10.1007/978-3-319-57914-6|mr=3674356}}</ref>
== Sifat-sifat analitik ==
[[Teori bilangan analitik]] adalah studi cabang [[teori bilangan]] yang berfokus mengenai [[fungsi kontinu]], [[limit]], [[Deret (matematika)|deret takhingga]], dan kaitan matematika tentang takhingga dan [[infinitesimal]].
Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu [[masalah Basel]]. Masalah ini menanyakan berapakah nilai dari deret takhingga <math>1+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{16}+\dots,</math> dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai nilai <math>\zeta(2)</math> (dimana <math>\zeta</math> adalah [[fungsi zeta Riemann]]). Fungsi ini sangat terkait erat dengan bilangan prima dan fungsi ini merupakan salah satu masalah yang belum terpecahkan yang sangat penting dalam matematika, [[hipotesis Riemann]]. Euler memperlihatkan bahwa <math display="inline">\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA205 Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208].</ref> Kebalikannya, <math>\tfrac{6}{\pi^2}</math>, merupakan probabilitas batas yang menyatakan bahwa dua bilangan acak dipilih secara seragam dari kisaran [[relatif prima]] yang besar (relatif prima berarti tidak memiliki kesamaan faktor).<ref>{{cite book|last1=Ogilvy|first1=C.S.|last2=Anderson|first2=J.T.|year=1988|url=https://books.google.com/books?id=efbaDLlTXvMC&pg=PA29|title=Excursions in Number Theory|publisher=Dover Publications Inc.|isbn=978-0-486-25778-5|pages=29–35|author1-link=C. Stanley Ogilvy}}</ref>
Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melalui [[teorema bilangan prima]], namun [[Rumus bilangan prima|rumus efisien bilangan prima ke-<math>n</math>]] belum diketahui. [[Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]], dalam bentuk dasar, mengatakan bahwa polinomial linear
: <math>p(n) = a + bn</math>
dengan <math>a</math> dan <math>b</math> saling relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima. Bentuk teorema yang lebih kuat mengatakan bahwa jumlah timbal balik dari nilai bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear yang berbeda dengan <math>b</math> yang sama kira-kira sama dengan perbandingan bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan bilangan prima dalam polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (untuk nilai-nilai bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.
=== Bukti analitik teorema Euklides ===
[[Bukti bahwa jumlah dari timbal-balik bilangan prima divergen|Bukti Euler yang mengatakan ada tak berhingga banyaknya bilangan prima]] meninjau jumlah dari [[Invers perkalian|timbal-balik]] bilangan prima,
: <math>\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 5 + \frac 1 7 + \cdots + \frac 1 p</math>.
Euler memperlihatkan bahwa untuk suatu <math>x</math> [[bilangan real]] sembarang, terdapat bilangan prima <math>p</math> yang jumlahnya lebih besar dari <math>x</math>.<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 1.6, Theorem 1.13</ref> Bukti tersebut memperlihatkan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Karena jika terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka jumlahnya akan mencapai nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melalui setiap <u><math>x</math></u>. Laju pertumbuhan dari jumlah ini digambarkan melalui [[Teorema Mertens|teorema kedua Mertens]].<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.8, Theorem 4.12</ref> Bandingkan jumlah
: <math>\frac 1 {1^2} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} + \cdots + \frac 1 {n^2}</math>,
yang tidak naik menuju takhingga ketika <math>n</math> menuju takhingga (lihat [[masalah Basel]]). Ini berarti, bilangan prima sering kali muncul daripada bilangan asli yang dikuadratkan meskipun kedua himpunan adalah takhingga.<ref name="mtb-invitation">{{cite book|last1=Miller|first1=Steven J.|last2=Takloo-Bighash|first2=Ramin|year=2006|url=https://books.google.com/books?id=kLz4z8iwKiwC&pg=PA43|title=An Invitation to Modern Number Theory|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12060-7|pages=43–44}}</ref> [[Teorema Brun]] menyatakan bahwa jumlah timbal-balik [[bilangan prima kembar]],
: <math> \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots </math>,
adalah terhingga. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan [[bilangan prima kembar]], yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.<ref name="mtb-invitation" />
=== Jumlah bilangan prima di bawah batas tertentu ===
{{Main|Teorema bilangan prima|Fungsi penghitungan bilangan prima}}
[[Berkas:Prime-counting_relative_error.svg|jmpl|320x320px|[[Galat aproksimasi|Galat relatif]] dari <math>\tfrac{n}{\log n}</math> dan integral logaritmik <math>\operatorname{Li}(n)</math> merupakan aproksimasi [[fungsi penghitungan bilangan prima]]. Ketika <math>n</math> membesar, kedua galat relatif tersebut menurun ke nol, tetapi untuk integral logaritmik, konvergensi ke nol semakin cepat.]]
[[Fungsi penghitungan bilangan prima]] <math>\pi(n)</math> didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA6 hlm. 6].</ref> Contohnya, <math>\pi(11)=5</math>, karena ada lima bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti [[algoritma Meissel–Lehmer]] dapat menghitung nilai eksak <math> \pi(n) </math> lebih cepat daripada menulis setiap bilangan prima sampai dengan <math> n </math>. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa <math>\pi(n)</math> asimtotik dengan <math> \tfrac{n}{\log n} </math>. Teorema ini ditulis sebagai
: <math> \pi(n) \sim \frac{n}{\log n} </math>.
Ini berarti bahwa rasio <math>\pi(n)</math> terhadap pecahan di ruas kanan [[Deret konvergen|mendekati]] 1 ketika <math> n </math> menuju takhingga.<ref name="cranpom10">{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=RbEz-_D7sAUC&pg=PA10 p. 10].</ref> Teorema ini menyiratkan bahwa kemungkinan bilangan yang lebih kecil dari <math>n</math> yang dipilih secara acak adalah bilangan prima, kira-kira berbanding terbalik dengan jumlah digit <math>n</math>.<ref>{{cite book|last=du Sautoy|first=Marcus|year=2011|title=The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life|publisher=St. Martin's Press|isbn=978-0-230-12028-0|pages=50–52|contribution=What are the odds that your telephone number is prime?|author-link=Marcus du Sautoy|contribution-url=https://books.google.com/books?id=snaUbkIb8SEC&pg=PA50}}</ref> Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-<math>n</math> sebanding dengan <math>n\log n</math>,<ref>{{harvnb|Apostol|1976}}, Section 4.6, Theorem 4.7</ref> dan demikian bahwa ukuran rata-rata dari celah bilangan prima sebanding dengan <math>\log n</math>.<ref name="riesel-gaps">{{harvnb|Riesel|1994}}, "[https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA78 Large gaps between consecutive primes]", pp. 78–79.</ref> Pendekatan lebih akuratnya adalah <math>\pi(n)</math> sebanding dengan [[integral logaritmik Euler]]<ref name="cranpom10" />
: <math>\pi(n)\sim \operatorname{Li}(n) = \int_2^n \frac{\mathrm dt}{\log t}</math>.
=== Barisan aritmetika ===
{{main|Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika|Teorema Green–Tao}}
[[Arithmetic progression|Barisan aritmetika]] ialah barisan bilangan yang hingga maupun takhingga sehingga bilangan berurutan dalam barisan tersebut memiliki beda atau selisih yang sama.<ref>{{cite book|last1=Gelfand|first1=I.M.|last2=Shen|first2=Alexander|year=2003|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37|title=Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-3677-7|page=37|author1-link=Israel Gelfand}}</ref> Selisih barisan aritmetika disebut [[Arimetika modular|modulus]] barisan.<ref>{{cite book|last=Mollin|first=Richard A.|year=1997|url=https://books.google.com/books?id=Fsaa3MUUQYkC&pg=PA76|title=Fundamental Number Theory with Applications|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-3987-5|series=Discrete Mathematics and Its Applications|page=76}}</ref> Misalnya,
: <math> 3, 12, 21, 30, 39, ... </math>,
adalah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh modulus. Contoh di atas, sisanya adalah 3. Karena modulus adalah 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan begitu pula untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, barisan tersebut memiliki satu bilangan prima, yakni 3. Pada umumnya, barisan takhingga
: <math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>
dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari satu ketika sisa <math>a</math> dan modulus <math>q</math> relatif prima. Jika <math>a</math> dan <math>q</math> relatif prima, [[teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika]] mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/books?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Theorem 1.1.5, p. 12].</ref>{{Wide image|Prime numbers in arithmetic progression mod 9 zoom in.png|815px|Bilangan prima dalam barisan aritmetika merupakan modulo 9. Setiap baris dari pita horizontal yang tipis memperlihatkan salah satu dari sembilan barisan yang modulo 9 yang mungkin, dengan bilangan prima ditandai berwarna merah. Barisan bilangan yaitu 0, 3, atau 6 mod 9 memuat setidaknya satu bilangan prima (yaitu 3); sisa barisan bilangan yaitu 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 mempunyai tak berhingga banyaknya bilangan prima, dengan bilangan prima yang serupa pada masing-masing barisan|alt=Prime numbers in arithmetic progression mod 9.}}[[Teorema Green–Tao]] memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika hingga panjang sembarang yang hanya terdiri dari bilangan prima.<ref name="neale-18-472">{{harvnb|Neale|2017}}, hlm. 18, 47.</ref><ref>{{cite journal|last1=Green|first1=Ben|last2=Tao|first2=Terence|author2-link=Terence Tao|year=2008|title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|issue=2|pages=481–547|arxiv=math.NT/0404188|doi=10.4007/annals.2008.167.481|author1-link=Ben J. Green|s2cid=1883951}}</ref>
== Dalam aljabar abstrak ==
===Aritmetika modular dan medan berhingga===
{{Main|Aritmetika modular}}
[[Aritmetika modular]] memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> untuk bilangan asli <math>n</math> yang disebut modulus.
Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan <math>n</math>.<ref>{{harvtxt|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=VG9YBQAAQBAJ&pg=PA96 Proposisi 5.3], hal. 96.</ref> Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, pengurangan, atau perkalian bilangan bulat.<ref>{{cite book|title=Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields|volume=27|series=Pure and Applied Undergraduate Texts|first=Shahriar|last=Shahriari|author-link= Shahriar Shahriari |publisher=American Mathematical Society|year=2017|isbn=978-1-4704-2849-5|pages=20–21|url=https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA20}}</ref> Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan ''kongruensi'' dalam aritmetika modular:
<math>x</math> dan <math>y</math> adalah kongruen (ditulis <math>x\equiv y</math> mod <math>n</math>) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Teorema 3, hal. 28].</ref> Namun, dalam [[sistem bilangan]] ini, [[Pembagian (matematika)|pembagian]] dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima <math>7</math> sebagai modulus, pembagian dengan <math>3</math> adalah dimungkinkan: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math> karena kemungkinan [[menghapus penyebut]] dengan mengalikan kedua ruas dengan <math>3</math> diberikan rumus yang valid <math>2\equiv 9\bmod{7}</math>. Namun, dengan modulus komposit <math>6</math>, pembagian dengan <math>3</math> adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math>: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan <math>3</math> menyebabkan ruas kiri menjadi <math>2</math> sedangkan ruas kanan menjadi <math>0</math> atau <math>3 </math>. Dalam terminologi [[aljabar abstrak]], kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo [[Aritmetika|aritmatika]] modular bilangan prima membentuk [[medan (matematika)|medan]] atau [[medan berhingga]], sedangkan modulus lainnya hanya memberikan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] tetapi bukan sebuah medan.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 hal. 27–28].</ref>
Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, [[teorema kecil Fermat]] menyatakan bahwa jika <math>a\not\equiv 0</math> (mod <math>p</math>), maka <math>a^{p-1}\equiv 1</math> (mod <math>p</math>).<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.</ref> Menjumlahkan dari semua pilihan <math>a</math> diberikan persamaan
:<math>\sum_{a=1}^{p-1} a^{p-1} \equiv (p-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod p,</math>
valid jika <math>p</math> adalah bilangan prima.
[[Konjektur Giuga]] menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk <math>p</math> menjadi prima.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The property of Giuga, hal. 21–22.</ref>
[[Teorema Wilson]] menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat <math>p>1</math> adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[faktorial]] <math>(p-1)!</math> kongruen dengan <math>-1</math> mod <math>p</math>. Untuk {{nowrap|bilangan <math>\;n = r\cdot s\; </math>}} ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi {{mvar|n}} dan <math>(n-1)!</math>, dan jadi <math>(n-1)!\equiv -1 \pmod{n}</math> adalah hal mustahil.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, The theorem of Wilson, hal. 21.</ref>
===Bilangan ''p''-adik===
{{main|bilangan P-adik}}
[[urutan P-adik|Urutan <math>p</math>-adik]] <math>\nu_p(n)</math> dari sebuah bilangan bulat <math>n</math> adalah jumlah salinan dari <math>p</math> dalam [[faktorisasi prima]] dari <math>n</math>. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke [[bilangan rasional]] dengan mendefinisikan urutan <math>p</math>-adik dari pecahan <math>m/n</math> menjadi <math>\nu_p(m)-\nu_p(n)</math>. Nilai absolut <math>p</math>-adik <math>|q|_p</math> dari sembarang bilangan rasional <math>q</math> kemudian didefinisikan sebagai <math>|q|_p=p^{-\nu_p(q)}</math>. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut <math>p</math>-adik-nya akan membatalkan faktor <math>p</math> dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak <math>p</math>-adik-nya, nilai absolut <math>p</math>-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat <math>p</math> yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk [[medan lengkap]], bilangan rasional dengan jarak <math>p</math>-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda<!--[[bilangan P-adik|bilangan <math>p</math>-adik]]-->.<ref name="childress"/><ref>{{cite book | last1 = Erickson | first1 = Marty | last2 = Vazzana | first2 = Anthony | last3 = Garth | first3 = David | edition = 2nd | isbn = 978-1-4987-1749-6 | mr = 3468748 | page = 200 | publisher = CRC Press | location = Boca Raton, FL | series = Textbooks in Mathematics | title = Introduction to Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=QpLwCgAAQBAJ&pg=PA200 | year = 2016}}</ref>
Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan <math>p</math>-adik digeneralisasikan ke [[medan bilangan aljabar]] dan [[Penilaian (aljabar)|penilaian-penilaian]] tersebut (pemetaan tertentu dari Medan [[grup perkalian]] ke [[grup terurut total|grup aditif terurut total]] disebut juga sebagai urutan), [[Nilai absolut (aljabar)|nilai absolut]] (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),<ref name="childress">{{cite book | last = Childress | first = Nancy | doi = 10.1007/978-0-387-72490-4 | isbn = 978-0-387-72489-8 | mr = 2462595 | pages = 8–11 | publisher = Springer, New York | series = Universitext | title = Class Field Theory | url = https://books.google.com/books?id=RYdy4PCJYosC&pg=PA8 | year = 2009 }} Lihat pula hal. 64.</ref> dan tempat (ekstensi ke [[medan lengkap]] dimana medan yang diberikan adalah [[himpunan rapat]] disebut juga sebagai pelengkapan).<ref>{{cite book | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | isbn = 978-3-540-58655-5 | mr = 1344916 | page = [https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866/page/n56 43] | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | series = Classics in Mathematics | title = Basic Number Theory | url = https://archive.org/details/basicnumbertheor00weil_866 | url-access = limited | year = 1995}} Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti {{harvtxt|Childress|2009}} malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.</ref> Perluasan dari bilangan rasional ke [[bilangan real]], misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah [[nilai absolut]] biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi [[logaritma]] dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut [[teorema Ostrowski]], gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan <math>p</math>-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.<ref name="childress"/> [[Prinsip lokal-global]] memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.<ref>{{cite book | last = Koch | first = H. | doi = 10.1007/978-3-642-58095-6 | isbn = 978-3-540-63003-6 | mr = 1474965 | page = 136 | publisher = Springer-Verlag | location = Berlin | title = Algebraic Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=wt1sCQAAQBAJ&pg=PA136 | year = 1997| citeseerx = 10.1.1.309.8812 }}</ref>
=== Anggota bilangan prima dalam gelanggang ===
{{Main|Anggota bilangan prima|Anggota taktereduksi}}
[[Berkas:Gaussian_primes.png|jmpl|[[Bilangan prima Gauss]] dengan norma yang kurang dari 500]]
[[Gelanggang komutatif]] merupakan [[struktur aljabar]] dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti ''anggota bilangan prima'' dan ''anggota taktereduksi''. Sebuah anggota <math>p</math> dari sebuah gelanggang <math>R</math> dikatakan bilangan prima jika <math>p</math> adalah bilangan taknol, tidak mempunyai [[invers perkalian]] (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah [[Unit (teori gelanggang)|unit]]), dan memenuhi syarat berikut: jika <math>p</math> membagi hasil kali <math>xy</math> dari dua anggota <math>R</math>, maka <math>p</math> juga membagi setidaknya <math>x</math> ataupun <math>y</math>. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,
: <math>\{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .</math>
Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk [[domain faktorisasi tunggal]].<ref>{{cite book|last=Lauritzen|first=Niels|year=2003|url=https://books.google.com/books?id=BdAbcje-TZUC&pg=PA127|title=Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-53410-9|page=127|doi=10.1017/CBO9780511804229|mr=2014325}}</ref>
Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah [[bilangan bulat Gauss]] <math>\mathbb{Z}[i]</math>, gelanggang dari [[bilangan kompleks]] berbentuk <math>a+bi</math> dimana <math>i</math> menyatakan [[satuan imajiner]], <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai [[bilangan prima Gauss]]. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu <math>1+i</math> dan <math>1-i</math>. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss.<ref>{{harvnb|Lauritzen|2003}}, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.</ref> Contoh tersebut merupakan akibat dari [[teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat]], yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil <math>p</math> dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, <math>p=x^2+y^2</math>, dan demikian dapat difaktorkan sebagai <math>p=(x+iy)(x-iy)</math>, tepat ketika <math>p</math> kongruen dengan 1 mod 4.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297 Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301].</ref>
=== Ideal prima ===
{{Main|Ideal prima}}
Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang <math>a+b\sqrt{-5}</math> (untuk bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math>) angka <math>21</math> memiliki dua faktorisasi <math>21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})</math>, tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], sebuah [[himpunan bagian]] dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang.
''Ideal prima'' yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa [[ideal utama]] yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam [[aljabar komutatif]], [[teori bilangan|teori bilangan aljabar]] dan [[geometri aljabar]]. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke [[teorema Lasker–Noether]] disebutkan setiap ideal dalam [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang Noetherian|Noetherian]] sebagai perpotongan [[ideal prima]] yang merupakan generalisasi yang tepat dari [[prima kuasa]].<ref>{{cite book | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative Algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1| mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | at=Section 3.3| doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>
[[Spektrum gelanggang]] adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut.<ref>{{cite book | last = Shafarevich | first = Igor R. | author-link = Igor Shafarevich | doi = 10.1007/978-3-642-38010-5 | edition = 3rd | isbn = 978-3-642-38009-9 | mr = 3100288 | publisher = Springer, Heidelberg | title = Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds | year = 2013 | contribution = Definition of <math>\operatorname{Spec} A</math> | page = 5 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5}}</ref> [[Geometri aritmetika]] juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau [[Pemisah ideal prima dalam perluasan Galois|percabangan]] dari ideal prima ketika diangkat sebagai [[medan perluasan]], masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan [[peliput bercabang|percabangan dalam geometri]]. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam [[gelanggang bilangan bulat]] dari [[medan bilangan kuadrat]] dapat digunakan untuk penggunaan [[ketimbalbalikan kuadrat]], pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat.<ref>{{cite book | last = Neukirch | first = Jürgen | author-link = Jürgen Neukirch | doi = 10.1007/978-3-662-03983-0 | isbn = 978-3-540-65399-8 | location = Berlin | mr = 1697859 | publisher = Springer-Verlag | series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | title = Algebraic Number Theory | volume = 322 | year = 1999 | at = Section I.8, hal. 50}}</ref>
Upaya awal untuk membuktikan [[Teorema Terakhir Fermat]] menyebabkan pengenalan [[Ernst Kummer|Kummer]] dari [[prima regular]], bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada [[medan siklotomi|bilangan bulat siklotomi]].<ref>{{harvnb|Neukirch|1999}}, Bagian I.7, hal. 38</ref>
Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh [[teorema kerapatan Chebotarev]], yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.<ref>{{cite journal | last1 = Stevenhagen | first1 = P. | last2 = Lenstra | first2 = H.W., Jr. | author2-link = Hendrik Lenstra | doi = 10.1007/BF03027290 | issue = 2 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | mr = 1395088 | pages = 26–37 | title = Chebotarëv and his density theorem | volume = 18 | year = 1996| citeseerx = 10.1.1.116.9409 | s2cid = 14089091 }}</ref>
=== Teori grup ===
Dalam teori [[grup hingga]], [[teorema Sylow]] menyiratkan bahwa jika perpangkatan bilangan prima <math>p^n</math> membagi [[tingkat grup]], maka grup memiliki [[subgrup]] tingkat <math>p^n</math>. Menurut [[Teorema Lagrange (teori grup)|teorema Lagrange]], suatu grup tingkat bilangan prima adalah [[grup siklik]] dan menurut [[teorema Burnside]], suatu grup yang tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan [[grup terselesaikan]].<ref>Hall, Marshan (2018), ''[https://books.google.co.id/books?id=K8hEDwAAQBAJ&redir_esc=y The Theory of Groups]''. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Untuk teorema Sylow. lihat hlm. 43. Untuk teorema Lagrange, lihat hlm. 12. Untuk teorema Burnside, lihat hlm. 143.</ref>
==Catatan==
{{notelist}}
== Referensi ==
{{div col|colwidth=30em}}
{{reflist}}
{{div col end}}
==Pranala luar==
{{Sister project links|commons=Category:Prime numbers}}
* {{SpringerEOM|title=Prime number|id=p/p074530|mode=cs1}}
* Caldwell, Chris, The [[Prime Pages]] di [http://primes.utm.edu/ primes.utm.edu].
* {{In Our Time|Prime Numbers|p003hyf5}}
* [http://plus.maths.org/issue49/package/index.html Tambahan paket guru dan murid: bilangan prima] dari Plus, majalah matematika online gratis yang diproduksi oleh Millennium Mathematics Project di University of Cambridge.
===Generator dan kalkulator===
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/primefactorscalculator.htm Kalkulator faktor prima] bisa memfaktorkan bilangan bulat positif apa pun hingga 20 digit.
* [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Tes primalitas Online Cepat dengan faktorisasi] menggunakan Metode Kurva Elliptik (hingga angka seribu digit, memerlukan Java).
* [http://www.bigprimes.net/ Basis data bilangan prima terbesar]
* [http://www.primos.mat.br/indexen.html Bilangan Prima hingga 1 triliun] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210227001026/http://www.primos.mat.br/indexen.html |date=2021-02-27 }}
{{Authority control}}
{{Sistem Bilangan}}
{{Teori bilangan}}
{{Kelas pembagian}}
{{Kelas bilangan prima}}
{{Kelas bilangan asli}}
{{Portal bar|Matematika|Aritmetika}}
[[Kategori:Bilangan prima| ]]
[[Kategori:Urutan bilangan bulat]]
[[Kategori:Artikel yang mengandung bukti]]
| |||