Bilangan prima: Perbedaan antara revisi

[[Bilangan asli]] (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika dan hanya jika bilangan asli itu lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut [[bilangan komposit]].<ref>{{Cite book|last=Cahyo|first=Dhea Arokhman Yusufi|date=2020-05-10|url=https://books.google.com/books?id=OJriDwAAQBAJ&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA18&dq=definisi+bilangan+prima&hl=id|title=Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach|publisher=Math Heuristic|pages=18|language=id|url-status=live}}</ref> Dengan kata lain, <math>n</math> dikatakan bilangan prima jika terdapat <math>n</math> benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.<ref>{{Cite book|last=Henderson|first=Anne|date=2014-06-20|url=https://books.google.co.id/books?id=uy-yGVRUilMC&pg=PA62&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide|publisher=Routledge|isbn=978-1-136-63662-2|pages=62|language=en|url-status=live}}</ref> Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan <math>n</math> titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.<ref>{{Cite book|last=Adler|first=Irving|date=1960|url=http://archive.org/details/giantgoldenbooko00adle|title=The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space|publisher=New York, Golden Press|others=Internet Archive}}</ref> Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;<ref>{{Cite book|last=Lawrence S. Leff|date=2000|url=http://archive.org/details/barronsmathworkb00leff_0|title=Barron's math workbook for the SAT I|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-0768-9|others=Internet Archive}}</ref> karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.

Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada [[polinomial]] takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang ''hanya'' memakai nilai bilangan prima.<ref>[[Yuri Matiyasevich|Matiyasevich, Yuri V.]] (1999). "[https://books.google.co.id/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Formulas for prime numbers]". In [[Serge Tabachnikov|Tabachnikov, Serge]] (ed.). ''Kvant Selecta: Algebra and Analysis''. Vol. II. [[American Mathematical Society]]. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.</ref> Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada [[teorema Wilson]], dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.<ref>{{cite journal | last = Mackinnon | first = Nick | date = June 1987 | doi = 10.2307/3616496 | issue = 456 | pages = 113–114 | journal = [[The Mathematical Gazette]] | title = Prime number formulae | volume = 71| jstor = 3616496 }}</ref> Adapula himpunan [[persamaan Diophantus]] dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima [[jika dan hanya jika]] sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Hal tersebut dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai ''positif'' adalah bilangan prima.<ref name="matiyasevich">{{cite book | last = Matiyasevich | first = Yuri V. | author-link = Yuri Matiyasevich | year=1999 | chapter = Formulas for prime numbers | chapter-url=https://books.google.com/books?id=oLKlk5o6WroC&pg=PA13 | editor1-first=Serge | editor1-last = Tabachnikov | editor-link1=Sergei Tabachnikov| title = Kvant Selecta: Algebra and Analysis | volume = II | publisher = [[American Mathematical Society]] | isbn = 978-0-8218-1915-9 | pages=13–24}}</ref>

<math>x</math> dan <math>y</math> adalah kongruen (ditulis <math>x\equiv y</math> mod <math>n</math>) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan <math>n</math>.<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA28 Teorema 3, hal. 28].</ref> Namun, dalam [[sistem bilangan]] ini, [[Pembagian (matematika)|pembagian]] dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima <math>7</math> sebagai modulus, pembagian dengan <math>3</math> adalah dimungkinkan: <math>2/3\equiv 3\bmod{7}</math> karena kemungkinan [[menghapus penyebut]] dengan mengalikan kedua ruas dengan <math>3</math> diberikan rumus yang valid <math>2\equiv 9\bmod{7}</math>. Namun, dengan modulus komposit <math>6</math>, pembagian dengan <math>3</math> adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk <math>2/3\equiv x\bmod{6}</math>: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan <math>3</math> menyebabkan ruas kiri menjadi <math>2</math> sedangkan ruas kanan menjadi <math>0</math> atau <math>3 </math>. Dalam terminologi [[aljabar abstrak]], kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo [[Aritmetika|aritmatika]] modular bilangan prima membentuk [[medan (matematika)|medan]] atau [[medan berhingga]], sedangkan modulus lainnya hanya memberikan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] tetapi bukan sebuah medan.<ref>{{harvnb|Shahriari|2017}}, [https://books.google.com/books?id=GJwxDwAAQBAJ&pg=PA27 hal. 27–28].</ref>

Dalam teori [[grup hingga]], [[teorema Sylow]] menyiratkan bahwa jika perpangkatan bilangan prima <math>p^n</math> membagi [[tingkat grup]], maka grup memiliki [[subgrup]] tingkat <math>p^n</math>. Menurut [[Teorema Lagrange (teori grup)|teorema Lagrange]], suatu grup tingkat bilangan prima adalah [[grup siklik]] dan menurut [[teorema Burnside]], suatu grup yang tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan [[grup terselesaikan]].<ref>Hall, Marshan (2018), ''[https://books.google.co.id/books?id=K8hEDwAAQBAJ&redir_esc=y The Theory of Groups]''. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Untuk teorema Sylow. lihat hlm. 43. Untuk teorema Lagrange, lihat hlm. 12. Untuk teorema Burnside, lihat hlm. 143.</ref>