Teorema binomial: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Gombang (bicara | kontrib)
k memindahkan Teorema Binomial ke Teorema binomial: kapitalisasi
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(45 revisi perantara oleh 27 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Berkas:Pascal's triangle 5.svg|ka|jmpl|200px|[[Koefisien binomial]] dapat dilihat pada [[segitiga Pascal]] dimana setiap entri adalah hasil penjumlahan dua angka di atasnya.]]
Dalam [[matematika]], '''teorema binomial''' adalah [[rumus]] penting yang memberikan ekspansi [[pangkat (matematika)|pangkat]] dari penjumlahan. Versi paling sederhana menyatakan bahwa:
 
Dalam [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[teorema]] yang menjelaskan mengenai pengembangan [[eksponen]] dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup> menjadi sebuah [[penjumlahan]] dari suku-suku dengan bentuk ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, dimana eksponen ''b'' dan ''c'' adalah [[bilangan asli|bilangan bulat non negatif]] dengan {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}}, dan [[koefisien]] ''a'' dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada ''n'' dan ''b''. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,
 
:<math>(x+y)^n=4 \sum_{k;=\; x^4 y^0} \,+\, 4 x^n{n3y \choose,+\, 6 k}x^{n-k}2 y^{k}2 \quad,+\quad, 4 x y^3 \quad(1),+\, x^0y^4.</math>
:<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>
 
Koefisien ''a'' pada suku ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> dikenal sebagai [[koefisien binomial]] <math>\tbinom nb</math> atau <math>\tbinom nc</math> (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi ''n'' dan ''b'' dapat disusun membentuk [[segitiga Pascal]]. Angka-angka ini juga muncul dalam [[kombinatorika]], dimana <math>\tbinom nb</math> menunjukkan banyaknya [[kombinasi]] yang berbeda dari [[unsur (matematika)|unsur]] ''b'' yang dapat dipilih dari suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] dengan unsur sebanyak ''n''.
Untuk setiap bilangan [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] ''x'' dan ''y'', serta semua [[bilangan bulat]] taknegatif ''n''. [[Koefisien binomial]] yang muncul dalam persamaan (1) dapat didefinisikan dalam bentuk fungsi [[faktorial]] ''n''!:
:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.</math>
 
== Sejarah ==
Sebagai contoh, untuk 2 ≤ ''n'' ≤ 5:
Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>
:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>
:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,</math>
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,</math>
 
Abad ke-4 SM [[[[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]]]] [[Euklides]] menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen&nbsp;2.<ref name=wolfram>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=Binomial Theorem|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|url=http://www.jstor.org/pss/2305028|title=The Story of the Binomial Theorem|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly|volume=56|issue=3|date=1949|pp=147–157|doi=10.2307/2305028}}</ref> Ada bukti bahwa teorema binomial untuk [[kubus]] telah diketahui pada abad ke-6 di [[India]].<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
{{math-stub}}
 
Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih ''k'' objek dari ''n'' tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah ''Chandaḥśāstra'' karya penulis Hindu, [[Pingala]] (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.<ref name=Chinese>{{cite book|title=A history of Chinese mathematics |author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer|year=1987}}</ref>{{rp|230}} Seorang peneliti bernama [[Halayudha]] dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai [[segitiga Pascal]].<ref name=Chinese /> Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan <math>\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=The roots of combinatorics|journal=Historia Math. |volume=6 |date=1979 |issue=2|pp=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0}}</ref> dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 ''Lilavati'' karya [[Bhāskara II|Bhaskara]].<ref name="Biggs" />
[[ar:نظرية ذات الحدين]]
 
[[bn:দ্বিপদী উপপাদ্য]]
Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] abad ke-11, [[Al-Karaji]], yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> Ia juga memberikan [[pembuktian matematika]] dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari [[induksi matematika]].<ref name=Karaji /> Penyari dan matematikawan Persia [[Umar Khayyām]] mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.<ref name="Coolidge" /> Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama [[Yang Hui]]<ref>{{cite web
[[bs:Binomni teorem]]
| last = Landau
[[bg:Нютонов бином]]
| first = James A.
[[ca:Binomi de Newton]]
| title = Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle
[[cs:Binomická věta]]
| work = Archives of Historia Matematica
[[de:Binomischer Lehrsatz]]
| format = mailing list email
[[en:Binomial theorem]]
| accessdate = 2007-04-13
[[es:Teorema del binomio]]
| date = 1999-05-08
[[eo:Binomo de Newton]]
| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
[[fa:بسط دو جمله‌ای]]
| archive-date = 2021-02-24
[[fr:Formule du binôme de Newton]]
| archive-url = https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
[[ko:이항정리]]
| dead-url = yes
[[hi:द्विपद प्रमेय]]
}}</ref> dan [[Zhu Shijie]].<ref name="Coolidge" /> Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan [[Jia Xian]], meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.<ref name=Chinese />{{rp|142}}
[[it:Teorema binomiale]]
 
[[he:הבינום של ניוטון]]
== Pernyataan teorema ==
[[lt:Binomo formulė]]
Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk
[[hu:Binomiális tétel]]
:<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
[[nl:Binomium van Newton]]
</math>
[[ja:二項定理]]
 
[[no:Binomialformelen]]
dimana setiap <math> \tbinom nk </math> adalah bilangan bulat positif tertentu yang dikenal sebagai [[koefisien binomial]]. Rumus ini dikenal juga sebagai '''rumus binomial''' atau '''identitas binomial'''. Dengan menggunakan [[penjumlahan|notasi penjumlahan]], rumus itu dapat ditulis
[[km:ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា]]
:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
[[pl:Dwumian Newtona]]
</math>
[[pt:Binómio de Newton]]
Ekspresi akhir mengikuti ekspresi sebelumnya dengan cara menukar letak ''x'' dan ''y'' dari ekspresi pertama, dan dengan perbandingan keduanya diketahui bahwa urutan koefisien binomial dalam rumus tersebut adalah simetris.
[[ru:Бином Ньютона]]
 
[[simple:Binomial expansion]]
Sebuah varian sederhana dari rumus binomial diperoleh dengan [[perubahan variabel|mensubstitusi]] ''y'' dengan 1, sehingga hanya terdapat satu [[variable (matematika)|variabel]]. Dengan bentuk ini, rumus akan menjadi
[[sk:Binomická veta]]
:<math>(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math>
[[sv:Binomialsatsen]]
 
[[th:ทฤษฎีบททวินาม]]
atau ekuivalen
[[vi:Định lý nhị thức]]
:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>
[[tr:Binom açılımı]]
 
[[uk:Біном Ньютона]]
== Contoh ==
[[ur:دو رقمی مسلئہ اثباتی]]
[[Berkas:Pascal triangle small.png|jmpl|ka|300px|Segitiga Pascal]]
[[zh:二项式定理]]
Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' [[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]
 
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
 
Koefisien binomial 1, 2, 1 muncul dalam pengembangan ini sesuai dengan baris ketiga dari segitiga Pascal. Koefisien tingkat yang lebih tinggi dari ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' sesuai dengan baris selanjutnya dari segitiga itu:
 
:<math>
\begin{align}
\\[8pt]
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}
</math>
Perhatikan bahwa:
# Eksponen dari <math>x</math> menurun hingga mencapai 0 (<math>x^0=1</math>) dengan nilai awal adalah n (n pada <math>(x+y)^n</math>).
# Eksponen dari <math>y</math> naik dari 0 (<math>y^0=1</math>) hingga mencapai n (juga n pada <math>(x+y)^n</math>).
# Baris ke-n pada segitiga Pascal akan menjadi koefisien binomial yang dikembangkan (perhatikan bahwa puncaknya adalah baris 0).
# Untuk setiap baris, jumlah semua unsur (yaitu jumlah dari koefisien) sama dengan <math>2^n</math>.
# Untuk setiap baris, banyaknya unsur sama dengan <math>n+1</math>.
 
Teorema binomial dapat diterapkan ke eksponen dari binomial apapun. Contohnya,
 
:<math>\begin{align}
(x+4)^3 &= x^3 + 3x^2(4) + 3x(4)^2 + 4^3 \\
&= x^3 + 12x^2 + 48x + 64.\end{align}</math>
 
Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan rumus {{math|1=(''x'' − ''y'')<sup>''n''</sup> = (''x'' + (−''y''))<sup>''n''</sup>}}. Rumus ini memberikan pengaruh berubahnya tanda pada setiap suku yang jika dikembangkan:
:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>
 
=== Penjelasan geometris ===
[[Berkas:binomial expansion visualisation.svg|jmpl|300px|Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4]]
Untuk setiap ''a'' dan ''b'' bernilai positif, teorema binomial dengan ''n''&nbsp;=&nbsp;2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi ''a'', sebuah bujur sangkar dengan sisi ''b'', dan dua [[persegi panjang]] dengan sisi ''a'' dan ''b''. Dengan ''n''&nbsp;=&nbsp;3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi ''a'', sebuah kubus dengan sisi ''b'', tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''a''×''b'', dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''b''×''b''.
 
Dalam [[kalkulus]], gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa [[turunan]] <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the ''n''-Cube | doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| publisher = Mathematical Association of America| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004 | pmid = | pmc =| postscript = , [http://nbarth.net/math/papers/barth-01-cavalieri.pdf salinan penulis], [http://nbarth.net/math/papers/ penjelasan dan sumber lebih lanjut]}}</ref> jika ditentukan <math>a=x</math> dan <math>b=\Delta x,</math> dengan menginterpretasi ''b'' sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam ''a,'' maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi ''n'', <math>(x+\Delta x)^n,</math> dengan suku koefisien linearnya (dalam <math>\Delta x</math>) adalah <math>nx^{n-1},</math> wilayah dengan ''n'' permukaan, dimensi masing-masing <math>(n-1):</math>
:<math>(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \tbinom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – <math>(\Delta x)^2</math> dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> yang diinterpretasikan sebagai
:"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi ''n'' bervariasi pada rentang ''n'' dari permukaannya yang berdimensi <math>(n-1)</math>".
 
{{clear}}
 
== Catatan ==
{{reflist}}
 
== Referensi ==
{{refbegin}}
* {{cite journal|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
* {{cite journal
|last1 = Barth
|first1 = N. R.
|title = Computing Cavalieri's quadrature formula by a symmetry of the n-cube
|journal = The American Mathematical Monthly
|volume = 111
|issue = 9
|pages = 811–813
|year = 2004
|doi = 10.2307/4145193
}}
* {{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_505|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=[https://archive.org/details/concretemathemat00grah_505/page/n166 153]–256|chapter=(5) Binomial Coefficients|isbn=0-201-55802-5|oclc=17649857}}
{{refend}}
 
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Aljabar]]