Akar fungsi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 8 November 2017 17.45 sunting Danu Widjajanto (bicara \| kontrib) Peninjau 146.176 suntingan Nullstelle		Revisi terkini sejak 12 Maret 2024 16.45 sunting balikkan Kim Nansa (bicara \| kontrib) 3.274 suntingan Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(13 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{periksa terjemahan\|1=en\|2=Zero of a function}}{{short description\|Elemen domain yang nilai fungsinya nol}} {{redirect\|Akar polinomial\|cara menemukan akar persamaan\|Metode pencarian akar\|sifat lanjutan\|Sifat akar polinom}} {{redirect\|Akar dari sebuah fungsi \| setengah iterasi dari sebuah fungsi\|Akar kuadrat fungsional}} {{Css Image Crop \|Image = X-intercepts.svg \|bSize = 300 \|cWidth = 300 \|cHeight = 110 \|oLeft = 0 \|oTop = 100 \|Location = right \|Description = Grafik fungsi cos(''x'') pada domain <math>\scriptstyle{[-2\pi,2\pi]}</math>. ''x'' ditandai dengan warna merah. Akar fungsi di dalam grafik ini adalah ''x''=<math>\scriptstyle\frac{-3\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{-\pi}{2}</math>, <math>\scriptstyle\frac{\pi}{2}</math> dan <math>\scriptstyle\frac{3\pi}{2}</math>.}} Dalam ~~bidang~~ [[matematika]], '''akar ~~suatu~~ fungsi''' atau '''nilai-nilai nol fungsi''<ref>{{Cite book\|last=Rinaldi Munir\|date=2015\|title=Metode Numerik\|location=Bandung\|publisher=Informatika\|url-status=live}}</ref>''''' adalah nilai ~~input~~ ''x'' di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0).<ref name="Foerster">{{cite book \| last = Foerster \| first = Paul A. \| title = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition \| edition = Classics \| year = 2006 \| page = 535 \| publisher = [[Prentice Hall]] \| location = Upper Saddle River, NJ \| url = https://www.amazon.com/Algebra-Trigonometry-Functions-Applications-Prentice/dp/0131657100 \| isbn = 0-13-165711-9}}</ref> Dalam kata lain: :{{math\|1=''f''(''x'') = 0.}} '''Akar''' dari sebuah [[polinomial]] adalah nol dari [[fungsi polinomial]] yang sesuai.<ref name=":0">{{Cite web\|title=Algebra - Zeroes/Roots of Polynomials\|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/ZeroesOfPolynomials.aspx\|website=tutorial.math.lamar.edu\|access-date=2019-12-15}}</ref> [[Teorema dasar aljabar]] ~~mengatakan~~menyatakan bahwa setiap [[polinomial\|sukubanyak]] yang bukan nol memiliki paling ~~tidak~~akar ~~satu~~riil paling banyak sama dengan [[Derajat polinomial\|derajat]] sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial ''f'' berderajat dua yang didefinisikan sebagai ~~berikut~~<math display="inline">f(x)=x^2-5x+6</math> memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena: :<math>f(x2) =x 2^2 -5x 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {dan} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math> ~~memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:~~ ~~:<math>f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0 \quad \textstyle{\rm {and} }\quad f(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0.</math>~~ Untuk mencari akar suatu [[fungsi polinomial]], diperlukan metode [[aproksimasi]] (seperti [[metode Newton]]). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan [[aljabar]]. Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat-<math> x </math> titik perpotongan [[Grafik fungsi\|grafik]] dengan [[Sistem koordinat Cartesius\|sumbu-''x'']]. == Solusi persamaan == Setiap [[persamaan]] dalam [[tidak diketahui (matematika)\|tidak diketahui]] <math> x </math> dapat ditulis ulang sebagai :<math>f(x)=0</math> dengan mengelompokkan kembali semua suku di sisi kiri. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut adalah persis nol dari fungsi <math> f </math>. Dengan kata lain, "nol fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan studi tentang fungsi nol persis sama dengan studi solusi. == Akar polinomial == {{main\|Sifat dari akar polinom}} Setiap polinom nyata ganjil [[Derajat polinomial\|derajat]] memiliki bilangan ganjil dari akar nyata (menghitung [[Multiplisitas (matematika)#Keragaman dari sebuah akar polinomial\|multiplisitas]]); demikian pula, polinomial nyata dengan derajat genap harus memiliki bilangan genap dari akar nyata. Akibatnya, polinomial ganjil nyata harus memiliki setidaknya satu akar nyata (karena [[bilangan bulat]] ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memiliki. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada [[teorema nilai tengah]]: karena fungsi polinomial adalah [[Fungsi kontinu\|kontinu]], nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk [[Fungsi ganjil dan genap\|fungsi ganjil]]). === Teorema dasar aljabar === {{main\|Teorema dasar aljabar}} Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat <math> n </math> memiliki <math> n </math> akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar non-nyata dari polinomial dengan koefisien nyata berasal dari pasangan [[konjugasi kompleks\|konjugasi]].<ref name="Foerster" /> [[Rumus Vieta]] menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya. == Himpunan nol == Dalam berbagai bidang matematika, '''himpunan nol''' dari sebuah [[fungsi (matematika)\|fungsi]] adalah himpunan dari semua nolnya. Lebih tepatnya, jika <math>f:X\to\mathbb{R}</math> adalah [[fungsi bernilai nyata]] (atau, lebih umum, fungsi yang mengambil nilai di beberapa [[grup Abelian\|grup aditif]]), himpunan nolnya adalah <math>f^{-1}(0)</math>, [[galeri invers]] dari <math>\{0\}</math> in <math>X</math>. Istilah '' himpunan nol '' umumnya digunakan ketika ada banyak angka nol yang tak terhingga, dan mereka memiliki beberapa [[topologi\|sifat topologi]] yang tidak sepele. Misalnya, [[level set]] dari sebuah fungsi <math> f </math> adalah himpunan nol dari <math>f-c</math>. '''Himpunan Cozero''' dari <math> f </math> adalah [[komplemen (teori himpunan)\|komplemen]] dari himpunan nol <math> f </math> (mis., bagian dari <math> X </math> di mana <math> f </math> bukan nol). === Aplikasi === Dalam [[geometri aljabar]], definisi pertama dari [[variasi aljabar]] adalah melalui himpunan nol. Secara khusus, sebuah [[set aljabar affine]] adalah [[set intersection\|intersection]] dari himpunan nol beberapa polinomial, dalam [[gelanggang polinomial]] <math>k\left[x_1,\ldots,x_n\right]</math> di atas [[bidang (matematika)\|bidang]]. Dalam konteks ini, himpunan nol terkadang disebut '' lokus nol ''. Dalam [[Analisis matematika\|analisis]] dan [[geometri]], setiap [[himpunan tertutup]] dari <math>\mathbb{R}^n</math> adalah himpunan nol dari [[fungsi mulus]] yang ditentukan di semua <math>\mathbb{R}^n</math>. Ini meluas ke setiap [[lipatan halus]] sebagai akibat wajar dari [[parakompak]]. <!-- Ada tumpang tindih yang jelas antara paragraf ini dan paragraf berikutnya, tetapi dibutuhkan seseorang yang lebih berpengalaman untuk menggabungkan keduanya. --> Dalam [[geometri diferensial]], himpunan nol sering digunakan untuk menentukan [[berjenis]]. Kasus khusus yang penting adalah kasus di mana <math> f </math> adalah [[fungsi mulus]] dari <math>\mathbb{R}^p</math> ke <math>\mathbb{R}^n</math>. Jika nol adalah [[nilai reguler]] dari <math> f </math>, maka himpunan nol dari <math> f </math> adalah banyak dimensi <math>m=p-n</math> by the [[Perendaman (matematika)#Bentuk normal lokal\|teorema nilai reguler]]. Misalnya, unit <math> m </math> [[bola (matematika)\|bola]] pada <math>\mathbb{R}^{m+1}</math> adalah himpunan nol dari fungsi nilai riil <math>f(x)=\Vert x \Vert^2-1</math>. == Lihat pula == * [[Teorema Marden]] * [[Algoritme pencarian root]] * [[Konjektur Sendov]] * [[Lenyap tak terbatas]] * [[Nol persilangan]] * [[Nol dan kutub]] == Referensi == Baris 16 ⟶ 57: == Bacaan lanjut == * {{MathWorld \|title=Root \|urlname=Root}} * {{MathWorld \|title=Root \|urlname=Root}} {{Authority control}} [[Kategori:Matematika dasar]] ~~{{matematika-stub}}~~ [[Kategori:~~Matematika~~Fungsi matematika]] [[Kategori:0 (angka)]]