Wikipedia

Fungsi trigonometri: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Akuindo (bicara | kontrib)
44.367 suntingan
DarrelQM (bicara | kontrib)
77 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(31 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Trigonometri}}
{{anchor|cos|tan|cot|sec|csc}}
[[Berkas:Academ Base of trigonometry.svg|jmpl|300x300px|Dasar trigonometri mengatakan bahwa jika dua [[segitiga siku-siku]] mempunyai [[sudut lancip]] yang sama, maka segitiga dikatakan [[Kesebangunan|sebangun]] sehingga panjang sisinya [[Kesebandingan (matematika)|sebanding]].]]
{{Dalam perbaikan}}
Dalam [[matematika]], '''fungsi trigonometri''' merupakan [[fungsi real]] yang mengaitkan sudut dari [[Segitiga siku|segitiga bersiku]] dengan perbandingan antara dua sisi segitiga. Fungsi ini memiliki penerapan yang sangat luas dalam bidang sains terkait dengan [[geometri]] (misalnya navigasi, [[geodesi]], [[mekanika benda langit]], [[mekanika zat padat]], dan cabang lainnya). Fungsi ini merupakan contoh [[fungsi periodik]] paling sederhana, dan juga memiliki penerapan yang sangat luas dalam mempelajari fenomena periodik melalui [[analisis Fourier]].
[[Berkas:Academ Base of trigonometry.svg|thumb|300px|upright=2|Dasar trigonometri: jika dua [[segitiga siku-siku]] sama dengan [[Jenis sudut|sudut lancip]], mereka [[Kesamaan (geometri)|serupa]], sehingga panjang sisinya [[Proporsionalitas (matematika)|proporsional]]. Proportionality [[constant (mathematics)|constant]]s are written within the image: {{math|sin ''θ''}}, {{math|cos ''θ''}}, {{math|tan ''θ''}}, where {{mvar|θ}} is the common measure of five acute angles.]]
'''Fungsi trigonometrik''' adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.
 
Fungsi trigonometri seperti '''[[Sinus (trigonometri)|sinus]]''', '''[[kosinus]]''', dan '''tangen''' merupakan fungsi yang paling sering dipakai dalam [[matematika modern]]; sedangkan fungsi [[Perkalian invers|inversnya]] seperti '''kosekan''', '''sekan''', dan '''kotangen''' jarang dipakai. Masing-masing keenam fungsi tersebut mempunyai [[fungsi invers]] yang sama dan sejalan di antara [[fungsi hiperbolik]].
[[Berkas:Rtriangle.svg|200px|ka]]
 
Definisi fungsi trigonometri terlama, yang berkaitan dengan segitiga bersudutkan siku-siku, hanya mendefinisikannya untuk [[sudut lancip]]. Secara geometris, fungsi sinus dan kosinus seringkali dapat diperluas menjadi fungsi yang mempunyai [[Domain fungsi|domain]] yang mengandung seluruh [[garis bilangan real]], maka domain fungsi lainnya adalah garis bilangan real dengan setiap titik terpencilnya hilang. Definisi modern yang mengekspresikan fungsi trigonometri sebagai [[deret takhingga]] atau sebagai penyelesai dari [[persamaan diferensial]], memungkinkan perluasan domain dari fungsi sinus dan kosinus menjadi domain yang mengandung seluruh [[bidang kompleks]], dan domain dari fungsi trigonometri lain menjadi domain mengandung bidang kompleks dengan setiap titik terpencilnya hilang.
Fungsi trigonometrik diringkas di tabel di bawah ini. Sudut <math>\theta</math> adalah sudut yang diapit oleh sisi miring dan sisi samping—sudut A pada gambar di samping, a adalah sisi depan, b adalah sisi samping, dan c adalah sisi miring:
<!--{| class=wikitable style="margin-left:1em"
! style="text-align:left" | '''Fungsi'''
! style="text-align:left" | '''Singkatan'''
! style="text-align:left" | '''Deskripsi'''
! style="text-align:left" | '''Identitas (memggunakan [[radian]])'''
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Sinus]]'''
| sin
| <math>\frac {\textrm{a}} {\textrm{c}} </math>
| <math>\sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}\,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Kosinus]]'''
| cos
| <math>\frac {\textrm{b}} {\textrm{c}} </math>
| <math>\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Tangen]]'''
| tan (atau&nbsp;tg)
|align=center| <math>\frac {\textrm{a}} {\textrm{b}} </math>
| <math>\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Kotangen]]'''
| cot (atau&nbsp;ctg atau&nbsp;ctn)
|align=center| <math>\frac {\textrm{b}} {\textrm{a}} </math>
| <math>\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Sekan]]'''
| sec
| <math>\frac {\textrm{c}} {\textrm{b}} </math>
| <math>\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} \,</math>
|- style="background-color:#FFFFFF"
| '''[[Kosekan]]'''
| csc (atau&nbsp;cosec)
| <math>\frac {\textrm{c}} {\textrm{a}} </math>
| <math>\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} \,</math>
|}-->
 
== Notasi ==
== Definisi segitiga siku-siku ==
Fungsi trigonometri biasanya menyingkatkan namanya menggunakan tiga huruf, contohnya: [[Sinus (trigonometri)|sinus]] disingkat "sin", [[kosinus]] "cos", [[tangen]] disingkat "tan", [[sekan]] disingkat "sec", [[kosekan]] disingkat "csc",{{Efn|Kosekan terkadang juga disingkat dengan lima huruf, yaitu "cosec".}} dan [[kotangen]] disingkat "cot". Terlebih lagi, fungsi trigonometri juga menggunakan [[Fungsi (matematika)#Notasi fungsional|notasi fungsional]], misalnya {{math|sin(''x'')}}. Tanda kurung wajib digunakan karena dapat menimbulkan kebingungan. Sebagai contohnya seperti fungsi <math>\sin x+y</math> dapat dipandang sebagai <math>\sin (x)+y</math> atau juga dapat dipandang sebagai <math>\sin (x+y)</math>.
[[Berkas:Trigonometry triangle.svg|right|200px|thumb|Segitiga siku-siku selalu mencakup pada 90° ({{sfrac|{{pi}}|2}} radian) sudut, hal ini berlabel ''C''. Sudut ''A'' dan ''B'' dapat bervariasi. Fungsi trigonometri menentukan hubungan antara panjang sisi dan sudut dalam segitiga siku-siku.]]
[[Berkas:TrigFunctionDiagram.svg|thumb|Plot dari enam fungsi trigonometri, lingkaran satuan, dan garis untuk sudut {{math|1=θ = 0.7}} radian. Poinnya diberikan pada label {{color|#A00|1}}, {{color|#00A|Sec(θ)}}, {{color|#0A0|Csc(θ)}} mewakili panjang ruas garis dari titik asal ke titik tersebut. {{color|#A00|Sin(θ)}}, {{color|#00A|Tan(θ)}}, dan {{color|#0A0|1}} adalah ketinggian ke garis mulai dari {{mvar|x}}-sumbu, sementara {{color|#A00|Cos(θ)}}, {{color|#00A|1}}, dan {{color|#0A0|Cot(θ)}} adalah panjang di sepanjang {{mvar|x}}-sumbu dimulai dari asalnya.]]
 
Tidak seperti notasi fungsi lainnya, [[bilangan bulat positif]] yang muncul sebagai superskrip setelah simbol fungsi, bukan dinyatakan sebagai perpangkatan terhadap [[komposisi fungsi]], melainkan dinyatakan sebagai perkalian teriterasi. Sebagai contoh, <math>\sin^2 x</math> dan <math>\sin^2 (x)</math> berarti <math>\sin(x) \sin(x)</math>, bukan <math>\sin(\sin x)</math>.
''Pada bagian tersebut, huruf yang besar dengan bentuk sama menunjukkan titik puncak segitiga dan ukuran sudut yang sesuai; huruf kecil yang sama menunjukkan tepi segitiga dan panjangnya.''
 
Eksponen <math>{-1}</math> biasanya dipakai untuk menyatakan [[fungsi invers]], bukan [[invers perkalian]]. Sebagai contoh, <math>\sin^{-1}x</math> dan <math>\sin^{-1}(x)</math> menyatakan [[fungsi invers trigonometri]], dan notasi tersebut dapat ditulis pula sebagai <math>\arcsin x</math>. Persamaan <math>\theta = \sin^{-1}x</math> menyiratkan <math>\sin \theta = x</math>, bukan <math>\theta \cdot \sin x = 1</math>. Pada kasus tersebut, superskrip ''dapat'' dipandang untuk menyatakan [[fungsi teriterasi|fungsi yang berulang]], tetapi superskrip yang bernilai negatif selain <math>{-1}</math> jarang dipakai.
Diberikan [[sudut akut]] pada nilai {{mvar|A}} = {{mvar|θ}} dari sebuah [[segitiga siku-siku]] dan [[sisi miring]] pada nilai {{mvar|h}} adalah sisi yang menghubungkan dua sudut lancip. Sisi {{mvar|b}} berdekatan dengan {{mvar|θ}} adalah sisi segitiga yang menghubungkan nilai {{mvar|θ}} ke sudut kanan. Sisi ketiga {{mvar|a}} dikatakan ''nilai berlawanan'' dengan nilai {{mvar|θ}}.
 
== Definisi segitiga bersiku ==
Jika sudut pada nilai {{mvar|θ}} akan diberikan nilai maka semua sisi segitiga siku-siku ditentukan dengan baik hingga faktor skala. Hal tersebut berarti bahwa perbandingan dua panjang sisi mana pun hanya bergantung pada {{mvar|θ}}. Jadi, enam rasio tersebut mendefinisikan enam fungsi pada nilai {{mvar|θ}}, merupakan salah satu fungsi trigonometri. Lebih tepatnya, enam fungsi trigonometri adalah:<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=APP-2, APP-3}}</ref>
[[Berkas:TrigonometryTriangle.svg|jmpl|Dalam segitiga siku-siku {{Math|''BAC''}}, ketiga fungsi trigonometri dari sudut {{Math|''A''}} dinyatakan sebagai: {{math|1=sin ''A'' = {{sfrac|''a''|''c''}}}}, {{math|1=cos ''A'' = {{sfrac|''b''|''c''}}}}, dan {{math|1=tan ''A'' = {{sfrac|''a''|''b''}}}}.]]
 
[[Berkas:TrigFunctionDiagram.svg|jmpl|Plot dari enam fungsi trigonometri, lingkaran satuan, dan sebuah garis yang membentuk sudut dengan sumbu-{{mvar|x}} sebesar {{math|1=''θ'' = 0,7 rad}}.Pada plot tersebut, terdapat titik-titik yang dilabeli {{color|#D00|1}}, {{color|#02D|Sec(''θ'')}}, {{color|#0D1|Csc(''θ'')}} mewakili panjang ruas garis yang ditarik dari titik asal ke titik tersebut. Titik-titik seperti {{color|#D00|Sin(''θ'')}}, {{color|#02D|Tan(''θ'')}}, dan {{color|#0D1|1}} merupakan panjang garis yang ditarik dari sumbu-{{mvar|x}}, sedangkan titik seperti {{color|#D00|Cos(''θ'')}}, {{color|#02D|1}}, dan {{color|#0D1|Cot(''θ'')}} merupakan panjang di sekitar sumbu-{{mvar|x}} yang ditarik dari titik asal.]]
;sinus: <math>\sin \theta= \frac a h = \frac \mathrm{opposite}\mathrm{hypotenuse}</math>
Jika sudut lancip dinyatakan sebagai {{mvar|θ}}, maka setiap sudut siku-siku yang mempunyai sudut {{mvar|θ}} dikatakan [[Kesebangunan (geometri)|sebangun]] terhadap satu sama lain; dalam artian, perbandingan dari setiap dua panjang sisinya hanya bergantung pada {{mvar|θ}}. Jadi, keenam perbandingan tersebut mendefinisikan enam fungsi trigonometri dari {{mvar|θ}}. Definisi berikut mengatakan bahwa [[hipotenusa]] (sisi miring) merupakan panjang dari sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, sisi depan merupakan panjang sisi yang berhadap dari sudut {{mvar|θ}}, dan sisi samping merupakan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut {{mvar|θ}} dan sudut siku-siku.<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|pp=APP-2, APP-3}}</ref><ref>{{Cite web|title=Sine, Cosine, Tangent|url=https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=29 August 2020|archive-date=2023-06-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20230630135422/https://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html|dead-url=no}}</ref>
;kosinus: <math>\cos \theta= \frac b h = \frac \mathrm{adjacent}\mathrm{hypotenuse}</math>
{|
;tangen: <math>\tan \theta= \frac a b = \frac \mathrm{opposite}\mathrm{adjacent}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
;koseken: <math>\csc \theta= \frac h a = \frac \mathrm{hypotenuse}\mathrm{opposite}</math>
; sinus
;seken: <math>\sec \theta= \frac h b = \frac \mathrm{hypotenuse}\mathrm{adjacent}</math>
;kotangen: <math>\cotsin \theta= \frac b a = \frac \mathrm{adjacentdepan}\mathrm{oppositemiring}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
 
; kosekan
Dalam segitiga siku-siku, hasil penjumlahan dari dua sudut lancip adalah sudut siku-siku, yaitu 90° atau <math display="inline">\frac \pi 2</math> pada [[radian]].
: <math>\csc \theta = \frac \mathrm{miring}\mathrm{depan}</math>
 
{| class="wikitable sortable"
|+ Ringkasan hubungan antara fungsi trigonometrik<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=APP-7}}</ref>
|-
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
! rowspan=2 | Fungsi
; kosinus
! rowspan=2 | Singkatan
: <math>\cos \theta = \frac \mathrm{samping}\mathrm{miring}</math>
! rowspan=2 | Deskripsi
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
! colspan=2 | [[Daftar identitas trigonometrik|Hubungan antara trigonometrik]]
; sekan
: <math>\sec \theta = \frac \mathrm{miring}\mathrm{samping}</math>
|-
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
! Menggunakan nilai [[radian]]
; tangen
! Menggunakan nilai [[Derajat (sudut)|derajat]]
: <math>\tan \theta = \frac \mathrm{depan}\mathrm{samping}</math>
| style="padding-left: 2em; padding-right: 2em; " |
; kotangen
: <math>\cot \theta = \frac \mathrm{samping}\mathrm{depan}</math>
|}
Dalam segitiga siku-siku, jumlah dari dua sudut lancip sama dengan sudut siku-siku, yaitu {{math|90°}} atau {{math|{{sfrac|''π''|2}}}} [[radian]]. Karena itu, <math>\sin(\theta)</math> dan <math>\cos(90^\circ - \theta)</math> mewakili perbandingan yang sama sehingga menjadi sama. Identitas dan kaitan antara fungsi trigonometri lainnya yang sejalan diringkas dalam tabel berikut.
[[Berkas:Periodic sine.svg|jmpl|'''Gambar atas:''' Fungsi trigonometri {{math|sin ''θ''}} untuk sudut {{math|''θ''}}, {{math|{{pi}} − ''θ''}}, {{math|{{pi}} + ''θ''}}, dan {{math|2{{pi}} − ''θ''}} dalam empat kuadran.<br><br>'''Gambar bawah:''' Perbandingan grafik fungsi dengan sudut sinus. Sudut-sudut dari panel di atas diidentifikasi]]
{| class="wikitable sortable"
|+Ringkasan mengenai kaitan antara fungsi trigonometri<ref>{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=APP-7}}</ref>
! rowspan="2" |Fungsi
! rowspan="2" |Penjelasan
! colspan="2" |[[Daftar identitas trigonometri|Kaitan]]
|-
!dalam bentuk [[radian]]
! sinus
!dalam bentuk [[Derajat (satuan sudut)|derajat]]
| sin
|align=center|{{sfrac|berlawanan|sisi\ miring}}
| <math>\sin \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}</math>
| <math>\sin x = \cos\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\csc x}</math>
|-
!sinus
! kosinus
| align="center" |{{math|{{sfrac|depan|miring}}}}
| cos
|<math>\sin \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}</math>
|align=center|{{sfrac|sisi\ depan|sisi\ miring}}
| <math>\cossin \thetax = \sincos\left(90^\frac{\pi}{2}circ - \thetax \right) = \frac{1}{\seccsc \thetax}\,</math>
| <math>\cos x = \sin\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\sec x}\,</math>
|-
!kosinus
! tangen
| align="center" |{{math|{{sfrac|samping|miring}}}}
| tan (or&nbsp;tg)
|<math>\cos \theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\,</math>
|align=center|{{sfrac|berlawanan|sisi\ depan}}
| <math>\tancos \thetax = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot\left(90^\frac{\pi}{2}circ - \thetax \right) = \frac{1}{\cotsec x}\theta} ,</math>
| <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \cot\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\cot x} </math>
|-
!tangen
! kotangen
| align="center" |{{math|{{sfrac|depan|samping}}}}
| cot (or&nbsp;cotan or&nbsp;cotg or&nbsp;ctg or&nbsp;ctn)
|<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} </math>
|align=center|{{sfrac|sisi\ depan|berlawanan}}
| <math>\cottan \thetax = \frac{\cossin \thetax}{\sincos \thetax} = \tancot\left(90^\frac{\pi}{2}circ - \thetax \right) = \frac{1}{\tancot \thetax} </math>
| <math>\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \tan\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\tan x} </math>
|-
!kotangen
! sekan
| align="center" |{{math|{{sfrac|samping|miring}}}}
| sec
|<math>\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} </math>
|align=center|{{sfrac|sisi\ miring|sisi\ depan}}
| <math>\seccot \thetax = \csc\left(\frac{\picos x}{2\sin x} -= \thetatan\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\costan \thetax} </math>
| <math>\sec x = \csc\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\cos x} </math>
|-
!sekan
! kosekan
| align="center" |{{math|{{sfrac|miring|samping}}}}
| csc (or&nbsp;cosec)
|<math>\sec \theta = \csc\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cos \theta} </math>
|align=center|{{sfrac|sisi\ miring|berlawanan}}
| <math>\cscsec \thetax = \seccsc\left(90^\frac{\pi}{2}circ - \thetax \right) = \frac{1}{\sincos \thetax} </math>
|-
| <math>\csc x = \sec\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\sin x} </math>
!kosekan
| align="center" |{{math|{{sfrac|miring|depan}}}}
|<math>\csc \theta = \sec\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sin \theta} </math>
|<math>\csc x = \sec\left(90^\circ - x \right) = \frac{1}{\sin x} </math>
|}
[[Berkas:Periodic sine.PNG|thumb|'''Daftar:''' Fungsi trigonometrik <!--{{math|sin θ}} for selected angles {{math|θ}}, {{math|{{pi}} − θ}}, {{math|{{pi}} + θ}}, and {{math|2{{pi}} − θ}} in the four quadrants.<br>'''Bottom:''' Graph of sine function versus angle. Angles from the top panel are identified.-->]]
 
== RadianPerbandingan versusradian dengan derajat ==
Dalam penerapan geometri, argumen fungsi trigonometri umumnya merupakan ukuran [[sudut]]. Setiap [[sudut]] biasanya diukur dan satuan konvensional berupa [[Derajat (satuan sudut)|derajat]]. Sebagai contoh, sudut siku-siku ditulis 90° dan putaran penuh ditulis 360°.{{Efn|Satuan konvensional ini khususnya dipakai dalam [[matematika elementer]].}}
{{Unreferenced|section|date=August 2020}}
 
Dalam aplikasi geometris, argumen fungsi trigonometri umumnya adalah ukuran pada [[sudut]]. Untuk tujuan setiap [[satuan sudut]] adalah sudut yang paling sering diukur
Namun dalam [[kalkulus]] dan [[analisis matematika]], fungsi trigonometri umumnya dipandang lebih abstrak sebagai fungsi [[Bilangan real|real]] ataupun [[Bilangan kompleks|kompleks]], bukan sudut. Bahkan fungsi sepeti '''sin''' dan '''cos''' dapat didefinisikan untuk semua bilangan kompleks dalam bentuk [[fungsi eksponensial]] melalui deret pangkat,<ref name=":0">{{Cite book|last=Rudin, Walter, 1921–2010|url=https://www.worldcat.org/oclc/1502474|title=Principles of mathematical analysis|location=New York|isbn=0-07-054235-X|edition=Third|oclc=1502474|access-date=2022-08-18|archive-date=2020-01-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20200123033536/https://www.worldcat.org/title/principles-of-mathematical-analysis/oclc/1502474|dead-url=no}}</ref> atau dapat didefinisikan sebagai penyelesaian nilai awal khusus terhadap [[persamaan diferensial]] (lihat [[Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 15#Definisi trigonometri melalui persamaan diferensial|dibawah]]).<ref>{{Cite journal|last=Diamond|first=Harvey|date=2014|title=Defining Exponential and Trigonometric Functions Using Differential Equations|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.4169/math.mag.87.1.37|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=87|issue=1|pages=37–42|doi=10.4169/math.mag.87.1.37|issn=0025-570X|s2cid=126217060}}</ref> Definisi tersebut tidak mengacu pada gagasan dalam geometri. Adapun empat fungsi lainnya seperti '''tan''', '''cot''', '''sec''', dan '''csc''' dapat didefinisikan sebagia hasil-bagi dan timbal balik dari '''sin''' dan '''cos''', kecuali ketika nol muncul di penyebut. Untuk argumen real, hal ini dapat dibuktikan bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi geometri elementer ''jika argumennya dipandang sebagai sudut yang dinyatakan dalam bentuk radian''.<ref name=":0" /> Lebih lanjut, definisi tersebut memberikan hasil dalam bentuk yang sederhana untuk [[turunan]] dan [[integral taktentu]] dari fungsi trigonometri.<ref name=":1">{{Cite book|last=Spivak|first=Michael|year=1967|title=Calculus|publisher=Addison-Wesley|pages=256–257|chapter=15|lccn=67-20770}}</ref> Jadi dalam cabang selain geometri elementer, radian dipandang sebagai satuan alami dalam matematika untuk menjelaskan ukuran setiap sudut.
 
Ketika satuan yang dipakai adalah [[radian]], maka sudut dinyatakan sebagai panjang [[Busur (geometri)|busur]] dari [[lingkaran satuan]] yang berhadapan dengannya. Sebagai contoh, sudut yang berhadapan dengan busur dengan panjang 1 di lingkaran satuan adalah 1 rad (≈ 57,3°), dan [[Putaran (sudut)|putaran]] penuh (360°) sama dengan 2{{pi}} (≈ 6,28) rad. Untuk bilangan real {{Math|''x''}}, notasi {{Math|sin ''x''}}, {{Math|cos ''x''}}, dst. mengacu pada nilai dari fungsi trigonometri yang dihitung pada sudut ''{{Math|''x''}}'' rad. Jika satuan yang dimaksud adalah derajat, maka tanda derajat harus diperlihatkan secara eksplisit (sebagai contoh, {{Math|sin ''x''°}}, {{Math|cos ''x''°}}, dsb.). Dengan menggunakan notasi yang standar, argumen dari {{Math|''x''}} untuk fungsi trigonometri memenuhi kaitan dari rumus
 
: <math>x = \left(\frac{180x}{\pi}\right)^\circ,</math>
 
sehingga, sebagai contoh, {{Math|1=sin ''{{pi}}'' = sin 180°}} ketika {{math|1=''x'' = {{pi}}}}. Dalam cara ini, simbol derajat dapat dipandang sebagai sebuah konstanta matematika, sehingga {{math|1= 1° = {{sfrac|1={{pi}}|2=180}} ≈ 0,0175}}.
 
== Definisi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan ==
[[Berkas:Unit Circle Definitions of Six Trigonometric Functions.svg|jmpl|300x300px|Pada gambar, ada enam fungsi trigonometri bersudutkan sembarang {{math|''θ''}} yang diwakili sebagai [[Sistem koordinat Kartesius|koordinat Cartesius]] dari titik yang dikaitkan dengan [[lingkaran satuan]]. Masing-masing ordinat {{math|A}}, {{math|B}} dan {{math|D}} merupakan nilai dari {{math|sin ''θ''}}, {{math|tan ''θ''}} dan {{math|csc ''θ''}}, sedangkan masing-masing absis dari {{math|A}}, {{math|C}} dan {{math|E}} merupakan nilai {{math|cos ''θ''}}, {{math|cot ''θ''}} dan {{math|sec ''θ''}}.]]
Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai [[Sistem koordinat Kartesius|nilai dari titik koordinat]] di [[bidang Euklides]] yang berkaitan dengan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berpusat di titik asal {{math|O}} dari koordinat sistem, yaitu [[lingkaran satuan]]. Sedangkan [[Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 15#Definisi segitiga bersiku|definisi segitiga bersiku]] yang memungkinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut di antara {{math|0}} dan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> [[radian]] {{math|(90°),}} maka definisi lingkaran satuan memungkinkan bahwa domain dari fungsi trigonometri diperluas untuk semua bilangan real positif dan negatif.
 
Misalkan <math>\mathcal L</math> adalah [[Sinar (geometri)|sinar]] yang didapatkan dengan memutarnya setengah sudut positif {{mvar|θ}} dari sumbu-{{math|''x''}} (putarannya berlawanan [[arah jarum jam]] untuk <math>\theta > 0,</math> dan searah jarum jam untuk <math>\theta < 0</math>). Sinar ini memotong lingkaran satuan di titik <math>\mathrm{A} = (x_\mathrm{A},y_\mathrm{A}).</math> Sinar <math>\mathcal L,</math> jika perlu diperpanjang [[Garis (geometri)|garisnya]], memotong garis persamaan <math>x=1</math> di titik <math>\mathrm{B} = (1,y_\mathrm{B}),</math> dan garis persamaan <math>y=1</math> di titik <math>\mathrm{C} = (x_\mathrm{C},1).</math> [[Garis singgung|Garis yang menyinggung]] lingkaran satuan di titik {{math|A}} dikatakan [[Tegak lurus|tegaklurus]] terhadap <math>\mathcal L,</math> serta memotong sumbu-{{math|''y''}} di titik <math>\mathrm{D} = (0,y_\mathrm{D})</math> dan sumbu-{{math|''x''}} di titik <math>\mathrm{E} = (x_\mathrm{E},0).</math> [[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat]] dari titik tersebut yang memberikan nilai dari semua fungsi trigonometri untuk setiap nilai real sebarang {{mvar|θ}}, dapat dicari sebagai berikut.
Saat menggunakan fungsi trigonometri dalam [[kalkulus]], argumennya umumnya bukan sudut, melainkan [[bilangan real]]. Dalam hal ini, lebih cocok untuk mengungkapkan argumen trigonometri pada unit: radian adalah sudut yang membatasi panjang busur {{val|1}} di lingkaran unit. Dengan demikian, [[putaran (sudut)|belokan]] lengkap adalah sudut dari {{math|2''{{pi}}''}} radian.
 
Fungsi trigonometri {{math|cos}} didefinisikan sebagai nilai koordinat-{{Math|''x''}} dari titik {{math|A}}, sedangkan fungsi trigonometri {{math|sin}} didefinisikan sebagai nilai koordinat-{{Math|''y''}} dari titik {{math|A}}.
Keuntungan besar radian adalah banyak rumus yang jauh lebih sederhana saat menggunakannya, biasanya semua rumus yang berhubungan dengan [[turunan]] dan [[integral]].
 
: <math>\cos \theta = x_\mathrm{A} \quad</math> and <math>\quad \sin \theta = y_\mathrm{A}.</math><ref>{{Cite web|last=Bityutskov|first=V.I.|date=7 February 2011|title=Trigonometric Functions|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|website=Encyclopedia of Mathematics|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231821/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|archive-date=29 December 2017|access-date=29 December 2017|url-status=live}}</ref>
== Definisi lingkaran unit ==
[[Berkas:Unit Circle Definitions of Six Trigonometric Functions.png|thumb|300x300px|Dalam ilustrasi ini, enam fungsi trigonometri dari sudut sembarang {{math|''θ''}} direpresentasikan sebagai [[koordinat kartesius]] dari titik-titik yang terkait dengan [[lingkaran unit]]. Koordinat dari {{math|A}}, {{math|B}} dan {{math|D}} adalah {{math|sin ''θ''}}, {{math|tan ''θ''}} dan {{math|csc ''θ''}}, masing-masing, sedangkan absis dari {{math|A}}, {{math|C}} dan {{math|E}} adalah {{math|cos ''θ''}}, {{math|cot ''θ''}} dan {{math|sec ''θ''}}, masing-masing.]]
[[Berkas:trigonometric function quadrant sign.svg|thumb|<!--Tanda fungsi trigonometri di setiap kuadran. Mnemonik tersebut "'''t''' '''s'''ins '''t'''eachers (are) '''c'''razy" lists the functions which are positive from quadrants I to IV.<ref name="Heng"/> This is a variation on the mnemonic "[[All Students Take Calculus]]".-->]]
 
Dengan kisaran ({{Lang-en|range}}) <math>0 \le \theta \le \pi/2</math>, maka definisi ini bertepatan dengan definisi segitiga sudut siku-siku dengan mengambil segitiga siku-siku agar mempunyai jari-jari lingkaran satuan {{math|OA}} sebagai [[hipotenusa]]. Karena persamaan <math>x^2+y^2=1</math> berlaku untuk semua titik <math>\mathrm{P} = (x,y)</math> pada lingkran satuan, maka definisi kosinus dan sinus ini juga memenuhi [[identitas Pythagoras]].
Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai [[Sistem koordinat kartesius|nilai koordinat kartesius]] titik pada [[bidang Euklides]] yang terkait dengan [[lingkaran satuan]] yang merupakan [[lingkaran]] pada jari-jari salah satu yang berpusat di titik asal {{math|O}} dari sistem koordinat tersebut. Sedangkan [[# definisi segitiga siku-siku|definisi segitiga siku-siku]] mengizinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut antara nilai {{math|0}} dan <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> [[radian]] {{math|(90°),}} definisi lingkaran satuan memungkinkan untuk memperluas [[Domain suatu fungsi|domain]] dari fungsi trigonometri ke semua bilangan real positif dan negatif.
 
: <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.</math>
Memutar pada garis [[Garis (geometri)#Ray|ray]] dari suatu arah setengah positif pada sumbu ''x'' dengan suatu sudut {{mvar|θ}} ([[berlawanan arah jarum jam]] pada nilai <math>\theta > 0,</math> dan searah jarum jam untuk nilai <math>\theta < 0</math>) menghasilkan titik potong sinar ini (lihat gambar) dengan unit {{nowrap|lingkaran: <math>\mathrm{A} = (x_\mathrm{A},y_\mathrm{A})</math>,}} dan, dengan memperluas sinar ke garis jika perlu, dengan {{nowrap|line <math> \text{“}x=1\text{”}:\;\mathrm{B} = (x_\mathrm{B},y_\mathrm{B}),</math>}} dan dengan cara {{nowrap|garis pada <math> \text{“}y=1\text{”}:\;\mathrm{C} = (x_\mathrm{C},y_\mathrm{C}).</math>}} Garis singgung ke lingkaran satuan pada titik {{math|A}}, yang ortogonal terhadap sinar ini, memotong sumbu ''y''dan''x'' - dalam titik <math>\mathrm{D} = (0,y_\mathrm{D})</math> dan <math>\mathrm{E} = (x_\mathrm{E},0)</math>. Nilai koordinat titik-titik ini memberikan semua nilai yang ada dari fungsi trigonometri untuk nilai riil sembarang {{mvar|θ}} dengan cara berikut.
 
Selain kedua fungsi trigonometri di atas, fungsi lainnya dapat ditemukan di sepanjang lingkaran satuan
<!--The trigonometric functions {{math|cos}} and {{math|sin}} are defined, respectively, as the ''x''- and ''y''-coordinate values of point {{math|A}}, i.e.,
:<math>\cos \theta = x_\mathrm{A} \quad</math> and <math>\quad \sin \theta = y_\mathrm{A}.</math><ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|title=Trigonometric Functions|last=Bityutskov|first=V.I.|date=2011-02-07|website=Encyclopedia of Mathematics|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231821/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions|archive-date=2017-12-29|url-status=live|access-date=2017-12-29}}</ref>
 
: <math>\tan \theta = y_\mathrm{B} \quad</math> dan <math> \quad\cot \theta = x_\mathrm{C},</math>
In the range <math>0 \le \theta \le \pi/2</math> this definition coincides with the right-angled triangle definition by taking the right-angled triangle to have the unit radius {{math|OA}} as [[hypotenuse]], and since for all points <math>\mathrm{P} = (x,y)</math> on the unit circle the equation <math>x^2+y^2=1</math> holds, this definition of cosine and sine also satisfies the '''Pythagorean identity'''
: <math>\cos^2csc \theta+\sin^2 = y_\mathrm{D} \quad</math> dan <math> \quad\sec \theta =1 x_\mathrm{E}.</math>
 
Dengan menerapkan identitas Pythagoras dan metode bukti geometri, maka dapat diperlihatkan bahwa definisi ini bertepatan dengan definisi fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dalam bentuk fungsi sinus dan kosinus. Dengan kata lain,
The other trigonometric functions can be found along the unit circle as
:<math>\tan \theta = y_\mathrm{B} \quad</math> and <math> \quad\cot \theta = x_\mathrm{C},</math>
:<math>\csc \theta\ = y_\mathrm{D} \quad</math> and <math> \quad\sec \theta = x_\mathrm{E}.</math>
 
By applying the Pythagorean identity and geometric proof methods, these definitions can readily be shown to coincide with the definitions of tangent, cotangent, secant and cosecant in terms of sine and cosine, that is
: <math>\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.</math>
 
[[FileBerkas:Trigonometric functionsTrigonometric_functions.svg|right|thumb|300px|link={{filepath:trigonometric_functions_derivation_animation.svg}}|Trigonometricka|jmpl|300x300px|Pada gambar, terdapat functionsfungsi:
{{color|#00A|Sine}},
{{color|#0A0|Cosine}},
{{color|#A00|Tangent}},
{{color|#00A|Cosecant (dottedbergaris titik)}},
{{color|#0A0|Secant (dottedbergaris titik)}},
{{color|#A00|Cotangent (dottedbergaris titik)}}
&ndash;– Untuk animasinya, dapat dilihat di [{{filepath:trigonometric_functions_derivation_animation.svg}} animationsini] ]]
Karena putaran sudut dari <math>\pm2\pi</math> tidak mengubah posisi atau ukuran bentuk, titik-titik {{math|A}}, {{math|B}}, {{math|C}}, {{math|D}}, dan {{math|E}} adalah sama untuk dua sudut yang mempunyai selisihnya yang berupakan kelipatan bilangan bulat dari <math>2\pi</math>. Jadi, fungsi trigonometri merupakan [[fungsi berkala]] dengan periode <math>2\pi</math>. Artinya, persamaan
 
: <math> \sin\theta = \sin\left(\theta + 2 k \pi \right)\quad</math> dan <math>\quad \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)</math>
As a rotation of an angle of <math>\pm2\pi</math> does not change the position or size of a shape, the points {{math|A}}, {{math|B}}, {{math|C}}, {{math|D}}, and {{math|E}} are the same for two angles whose difference is an integer multiple of <math>2\pi</math>. Thus trigonometric functions are [[periodic function]]s with period <math>2\pi</math>. That is, the equalities
: <math> \sin\theta = \sin\left(\theta + 2 k \pi \right)\quad</math> and <math>\quad \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)</math>
hold for any angle {{mvar|θ}} and any [[integer]] {{mvar|k}}. The same is true for the four other trigonometric functions. Observing the sign and the monotonicity of the functions sine, cosine, cosecant, and secant in the four quadrants, shows that {{math|2{{pi}}}} is the smallest value for which they are periodic, i.e., {{math|2{{pi}}}} is the [[periodic function|fundamental period]] of these functions. However, already after a rotation by an angle <math>\pi</math> the points {{mvar|B}} and {{mvar|C}} return to their original position, so that the tangent function and the cotangent function have a fundamental period of {{pi}}. That is, the equalities
: <math> \tan\theta = \tan(\theta + k\pi) \quad</math> and <math>\quad \cot\theta = \cot(\theta + k\pi)</math>
hold for any angle {{mvar|θ}} and any integer {{mvar|k}}.-->
 
berlaku untuk setiap sudut {{mvar|θ}} dan setiap [[bilangan bulat]] {{mvar|k}}. Hal ini berlaku benar untuk keempat fungsi trigonometri lainnya. Dengan mengamati tanda dan kemonotonan dari fungsi sinus, kosekan, kotangen, dan sekan dalam yang ada di dalam keempat kuadran, maka untuk fungsi-fungsi yang dikatakan periodik dapat diperlihatkan bahwa <math>2\pi</math> merupakan nilai yang paling terkecil (dengan kata lain, <math>2\pi</math> merupakan [[Fungsi berkala|periode dasar]] dari fungsi tersebut). Namun, saat putaran sudut <math>\pi</math>, titik {{mvar|B}} dan {{mvar|C}} telah kembali ke posisi awal sehingga fungsi tangen dan fungsi kotangen mempunyai periode dasar dari <math>\pi</math>. Dengan kata lain, persamaan
== Nilai aljabar ==
[[Berkas:Unit circle angles color.svg|right|thumb|300px|<!--The [[unit circle]], with some points labeled with their cosine and sine (in this order), and the corresponding angles in radians and degrees.-->]]
[[Ekspresi aljabar]] untuk sudut terpenting adalah sebagai berikut:
 
: <math> \sin 0tan\theta = \sintan(\theta + 0^k\circpi) \quad=</math> dan <math>\quad \frac{cot\sqrt0}2theta = 0\cot(\theta + k\pi)</math> ([[sudut lurus]])
:<math>\sin \frac\pi6 = \sin 30^\circ = \frac{\sqrt1}2 = \frac{1}{2}</math>
:<math>\sin \frac\pi4 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>
:<math>\sin \frac\pi3 = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
:<math>\sin \frac\pi2 = \sin 90^\circ = \frac{\sqrt4}2 = 1</math> ([[sudut miring]])
 
berlaku untuk setiap sudut {{mvar|θ}} dan setiap bilangan bulat {{mvar|k}}.
Menulis pembilang sebagai akar kuadrat dari bilangan bulat non-negatif berurutan, dengan penyebut 2, memberikan cara mudah untuk mengingat nilai.<ref name="Larson_2013"/>
 
== Nilai aljabar ==
Ekspresi sederhana seperti itu umumnya tidak ada untuk sudut lain yang merupakan kelipatan rasional dari sudut lurus.
[[Berkas:Unit circle angles color.svg|ka|jmpl|300x300px|Gambar menunjukkan titik-titik dilabeli dengan nilai dari fungsi sinus dan kosinus (sesuai urutannya) di sepanjang [[lingkaran satuan]], dan sudut yang sama dalam radian dan derajat.]]
Untuk sudut yang diukur dalam derajat, merupakan kelipatan tiga, sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam [[akar kuadrat]] (lihat [[Konstanta trigonometri dinyatakan dalam radikal nyata]]). Dengan demikian, nilai-nilai sinus dan kosinus dapat dibangun oleh [[Konstruksi kompas dan garis lurus|penggaris dan kompas]].
[[Bentuk aljabar]] yang berupakan sudut yang sangat penting dinyatakan sebagai berikut:
 
: <math>\sin 0 = \sin 0^\circ \quad= \frac{\sqrt0}2 = 0</math> ([[Sudut#Jenis sudut|sudut nol]])
Untuk sudut bilangan bulat derajat [[sinus]] dan [[kosinus]] dapat dinyatakan dalam [[akar kuadrat]] dan [[akar pangkat tiga]] dari [[bilangan kompleks]] yang tidak nyata. [[Teori Galois]] memungkinkan untuk membuktikan bahwa jika sudut tersebut bukan kelipatan 3° dari akar pangkat tiga yang tidak nyata tidak dapat dihindari.
: <math>\sin \frac\pi6 = \sin 30^\circ = \frac{\sqrt1}2 = \frac{1}{2}</math>
: <math>\sin \frac\pi4 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
: <math>\sin \frac\pi3 = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
: <math>\sin \frac\pi2 = \sin 90^\circ = \frac{\sqrt4}2 = 1</math> ([[sudut siku-siku]])
 
Dengan menulis pembilang sebagai [[akar kuadrat]] dari bilangan bulat taknegatif berurutan serta penyebutnya adalah 2, maka cara ini dengan mudah mengingat nilai-nilai fungsi trigonometri.<ref name="Larson_2013" />
Untuk sudut yang diukur dalam derajat, adalah [[bilangan rasional]], sinus dan kosinus adalah [[bilangan aljabar]], yang dapat diekspresikan dalam istilah [[fungsi akar|{{mvar|n}} fungsi akar]]. Hal tersebut dihasilkan dari [[gugus Galois]] dari [[polinomial siklotom]] adalah gugus [[gugus siklik|siklik]].
 
Namun, bentuk aljabar yang sederhana biasanya tidak ada untuk sudut lainnya yang merupakan kelipatan rasional sudut siku-siku.
Untuk sudut yang diukur dalam derajat bukan dari bilangan rasional maka sudut dari sinus dan kosinus keduanya adalah [[bilangan transendental]]. Hal tersebut adalah hasil wajar dari [[Teorema Baker]], hal ini dibuktikan pada tahun 1966.
 
* Untuk sudut yang diukur dalam satuan derajat merupakan kelipatan dari tiga, [[Nilai trignometri eksak|nilai trigonometri eksak]] dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat. Jadi, nilai tersebut dapat dikonstruksi dengan menggunakan [[Konstruksi jangka dan penggaris|penggaris dan jangka]].
* Untuk sudut berupa bilangan bulat dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat dan [[akar kubik]] dari [[bilangan kompleks]] takreal. [[Teori Galois]] membuktikan bahwa jika sudut bukan kelipatan dari 3°, maka akar kubik dari bilangan takreal tidak dapat dihindari.
* Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat adalah [[bilangan rasional]], nilai fungsi sinus dan kosinus merupakan [[bilangan aljabar]] yang dapat dinyatakan dalam bentuk [[Akar ke-|akar ke-{{mvar|n}}]]. Hasil ini berasal dari suatu pernyataan yang mengatakan bahwa [[grup Galois]] dari [[polinomial siklotomik]] dikatakan [[Grup siklik|siklik]].
* Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat bukanlah bilangan rasional, maka nilai sudut dari fungsi sinus maupun kosinus merupakan [[bilangan transendental]]. Pernyataan ini merupakan korolari dari [[teorema Baker]] yang dibuktikan pada tahun 1966.
 
=== Nilai aljabar sederhana ===
{{main|Nilai trigonometri eksak#Sudut yang umum}}
Tabel berikut merangkum nilai aljabar paling sederhana dari fungsi trigonometri.<ref name="Abramowitz and Stegun">Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p. 74</ref> simbol pada {{math|&infin;}} mewakili [[titik tak terhingga]] pada [[garis nyata yang diperluas secara proyektif]]; hal ini tidak ditandatangani karena ketika muncul di tabel pada fungsi trigonometri yang sesuai kecenderungan pada nilai {{math|+&infin;}} di satu sama lain pada nilai {{math|–&infin;}} di sisi lain, ketika argumen nilai kecenderungan pada tabel.
 
Berikut ada sebuah tabel yang memuat kumpulan-kumpulan nilai fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang merupakan kelipatan dari 15 derajat, dimulai dari 0 derajat sampai dengan 90 derajat.
:<math>
<center>
\begin{array}{|c|ccccccccc|}
{| class="wikitable"
\hline
!''θ'' dalam satuan radian
\begin{matrix}\text{Radian}\\ \text{Sudut}\end{matrix} &
!''θ'' dalam satuan derajat
\begin{matrix}0\\ 0^\circ\end{matrix} &
!<math>\sin(\theta)</math>
\begin{matrix}\frac{\pi}{12}\\ 15^\circ\end{matrix} &
!<math>\cos(\theta)</math>
\begin{matrix}\frac{\pi}{8}\\ 22.5^\circ\end{matrix} &
!<math>\tan(\theta)</math>
\begin{matrix}\frac{\pi}{6}\\ 30^\circ\end{matrix} &
|-
\begin{matrix}\frac{\pi}{4}\\ 45^\circ\end{matrix} &
|<math>0</math>
\begin{matrix}\frac{\pi}{3}\\ 60^\circ\end{matrix} &
|<math>0^\circ</math>
\begin{matrix}\frac{3\pi}{8}\\ 67.5^\circ\end{matrix} &
|<math>0</math>
\begin{matrix}\frac{5\pi}{12}\\ 75^\circ\end{matrix} &
|<math>1</math>
\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\\ 90^\circ\end{matrix} \\
|<math>0</math>
\hline
|-
\sin &
|<math>\frac{\pi}{12}</math>
0 &
|<math>15^\circ</math>
\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4} &
|<math>\frac{ \sqrt{2 6}- \sqrt{2}} } {24} &</math>
|<math>\frac{1\sqrt{6}+\sqrt{2} &}{4}</math>
\frac{|<math>2-\sqrt{2}}{23} &</math>
|-
\frac{\sqrt{3}}{2} &
|<math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} pi} {26} &</math>
|<math>30^\circ</math>
\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4} &
|<math>\frac{1}{2}</math>
1 \\
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
\cos &
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
1 &
|-
\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} &
|<math>\frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} pi} {24} &</math>
|<math>45^\circ</math>
\frac{\sqrt{3}}{2} &
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2} &</math>
|<math>\frac{1\sqrt{2}}{2} &</math>
|<math>1</math>
\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} } {2} &
|-
\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4} &
|<math>\frac{\pi}{3}</math>
0 \\
|<math>60^\circ</math>
\tan &
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
0 &
|<math>\frac{1}{2}</math>
2-\sqrt{3} &
|<math>\sqrt{23} - 1 &</math>
|-
\frac{\sqrt{3}}{3} &
|<math>\frac{5\pi}{12}</math>
1 &
|<math>75^\circ</math>
\sqrt{3} &
|<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
\sqrt{2} + 1 &
|<math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
2+\sqrt{3} &
|<math>2 + \sqrt{3}</math>
\infty \\
|-
\cot &
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
\infty &
|<math>90^\circ</math>
2+\sqrt{3} &
|<math>1</math>
\sqrt{2} + 1 &
|<math>0</math>
\sqrt{3} &
|takterdefinisikan
1 &
|}
\frac{\sqrt{3}}{3} &
</center>
\sqrt{2} - 1 &
2-\sqrt{3} &
0 \\
\sec &
1 &
\sqrt{6} - \sqrt{2} &
\sqrt{2} \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } &
\frac{2\sqrt{3}}{3} &
\sqrt{2} &
2 &
\sqrt{2} \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } &
\sqrt{6}+\sqrt{2} &
\infty \\
\csc &
\infty &
\sqrt{6}+\sqrt{2} &
\sqrt{2} \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } &
2 &
\sqrt{2} &
\frac{2\sqrt{3}}{3} &
\sqrt{2} \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } &
\sqrt{6} - \sqrt{2} &
1 \\\hline
\end{array}
</math>
 
== Dalam kalkulus ==
[[Berkas:Trigonometrija-graf.svg|ka|jmpl|[[Grafik fungsi|Grafik]] fungsi sinus, kosinus, dan tangen.]]
[[Berkas:Taylorsine.svg|thumb|right|Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan fungsi [[Teorema Taylor|polinomial Taylor]] derajat 7 (merah muda) untuk siklus penuh yang berpusat pada asal.]]
[[Berkas:Taylorsine.svg|ka|jmpl|Grafik fungsi sinus (yang berwarna biru) sangat dihampiri oleh grafik [[Teorema Taylor|polinomial Taylor]] berderajat 7 (yang berwarna merah muda) untuk putaran siklus penuh pada titik asal.]]
[[Berkas:Taylor cos.gif|thumb|Animasi untuk pendekatan kosinus melalui polinomial Taylor.]]
[[Berkas:Taylor cos.gif|jmpl|Animasi terkait hampiran kosinus melalui polinomial Taylor.]]
[[Berkas:Taylorreihenentwicklung des Kosinus.svg|thumb|<math>\cos(x)</math> bersama dengan polinomial Taylor pertama <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]
[[Berkas:Taylorreihenentwicklung des Kosinus.svg|jmpl|Grafik dari <math>\cos(x)</math> dengan polinomial Taylor <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>]]
Fungsi trigonometri dikatakan [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]] dan [[Fungsi analitik|analitik]] di setiap titik yang didefinisikannya. Artinya, titik-titik tersebut ada dimana-mana untuk fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus. Titik-titik tersebut ada dimana-mana di fungsi tangen, kecuali di {{math|{{pi}}/2 + ''k''{{pi}}}} untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}}.
Fungsi trigonometri adalah [[fungsi terdiferensiasi|terdiferensiasi]]. Hal ini tidak langsung terbukti dari definisi geometris di atas. Apalagi tren modern dalam matematika. Oleh karena itu, kecuali pada tingkat yang sangat dasar, fungsi trigonometri didefinisikan dengan menggunakan metode kalkulus.
 
Fungsi trignometri merupakan [[fungsi berkala]], dan [[Fungsi berkala#Definisi|periode primitif]]<nowiki/>nya bernilai {{math|2{{pi}}}} untuk fungsi sinus dan kosinus, dan {{pi}} untuk fungsi tangen, yang [[Fungsi menaik|naik]] di masing-masing [[selang terbuka]] {{math|({{pi}}/2 + ''k''{{pi}}, {{pi}}/2 + (''k'' + 1){{pi}})}}. Pada masing-masing titik akhir selang tersebut, fungsi tangen mempunyai [[asimtot]] yang mengarah vertikal.
Untuk menentukan fungsi trigonometri di dalam kalkulus, ada dua kemungkinan yang setara, baik menggunakan [[deret pangkat]] atau [[persamaan diferensial]]. Definisi tersebut setara, karena mulai dari salah satunya, mudah untuk mengambil yang lain sebagai properti. Namun definisi melalui persamaan diferensial entah bagaimana lebih alami, karena, misalnya, pilihan koefisien deret pangkat mungkin tampak cukup sewenang-wenang, dan [[identitas Pythagoras]] jauh lebih mudah untuk disimpulkan dari persamaan diferensial.
 
Dalam kalkulus, fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan [[deret kuasa]] ataupun [[persamaan diferensial]]. Namun, menggunakan persamaan diferensial terasa lebih alami saat mendefinisikan fungsi trigonometri, karena, sebagai contoh, pemilihan koefisien dari deret kuasa dapat muncul sebagai bilangan yang cukup sebarang, dan persamaan diferensial juga cukup mudah menyimpulkan identitas Pythagoras.
===Definisi dengan persamaan diferensial===
 
=== Definisi dengan menggunakan persamaan diferensial ===
Sinus dan kosinus adalah [[fungsi terdiferensiasi]] yang unik sedemikian rupa, yaitu
Fungsi sinus dan kosinus dapat didefinisikan sebagai penyelesaian tunggal untuk [[masalah nilai awal]]:
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin x&= \cos x,\\
\frac{d}{dx}\cos x&= -\sin x,\\
\sin 0&=0,\\
\cos 0&=1.
\end{align}
</math>
 
: <math>\frac{d}{dx}\sin x= \cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x= -\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1. </math>
Diferensialkan persamaan tersebut agar orang mengetahui bahwa sinus dan kosinus adalah solusi dari [[persamaan diferensial]]
:<math>y''+y=0.</math>
 
Dengan menurunkannya lagi, maka diperoleh <math display="inline">\frac{d^2}{dx^2}\sin x = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x</math> dan <math display="inline">\frac{d^2}{dx^2}\cos x = -\frac{d}{dx}\sin x = -\cos x</math>. Jadi, fungsi sinus dan kosinus merupakan penyelesaian untuk [[persamaan diferensial biasa]]
Menerapkan [[aturan hasil bagi]] ke definisi garis singgung sebagai hasil bagi dari sinus oleh kosinus, kita dapat mengetahui bahwa fungsi tangen memverifikasi
:<math>\frac{d}{dx}\tan x = 1+\tan^2 x.</math>
 
: <math>y''+y=0.</math>
===Ekspansi deret pangkat===
 
Menerapkan persamaan diferensial ke [[deret pangkat]] dengan koefisien tak tentu, seseorang dapat menyimpulkan [[relasi pengulangan]] s untuk koefisien [[deret Taylor]] dari sinus dan kosinus fungsi. Relasi pengulangan tersebut mudah terpecahkan dan memberikan perluasan rangkaian<ref>Lihat Ahlfors, pp. 43–44.</ref>
Fungsi tangen <math>\tan x = \sin x / \cos x</math> dapat diturunkan dengan menerapkan [[Aturan hasil-bagi|aturan hasil bagi]] dari, maka
:<math>
 
: <math>\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x.</math>
 
=== Perluasan deret pangkat ===
Dengan menerapkan persamaan diferensial untuk [[deret pangkat]] dengan koefisien yang belum ditentukan, maka fungsi sinus dan kosinus dapat disimpulkan sebagai [[relasi rekurensi]] mengenai koefisien [[deret Taylor]] dari kedua fungsi tersebut. Relasi rekurensinya dapat diselesaikan dengan mudah serta memberikan perluasan deret<ref>See Ahlfors, pp. 43–44.</ref>
 
: <math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt6mu]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^}{(2n+1)!}}x^{(2n+1)!} \\[8pt]
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[8pt6mu]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}x^{2n}.
\end{align}
</math>
 
[[RadiusRuji konvergensikekonvergenan]] dari deret tersebut tidakadalah terbatastakhingga. OlehJadi, karena itu,fungsi sinus dan kosinus dapat diperpanjangdiperluas hinggamenjadi [[seluruh fungsi menyeluruh]], atau (halfungsi ini juga disebut "sinus" dan "kosinus"), yangkarena (menurutberdasarkan definisi) fungsi tersebut merupakan [[fungsi bernilai kompleks]] yang didefinisikanterdefinisi dan [[holomorfik]] di seluruh [[bidang kompleks]].
 
MendefinisikanKetika kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai pecahan dari seluruh fungsi menyeluruh, fungsi [[trigonometri]] lainnya dapat diperluas menjadi [[fungsi meromorfik]],. yaituHal ini mengartikan bahwa fungsi yangadalah holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali beberapaada setiap titik terisolasiterpencil yang disebut [[nolNol dan kutub|kutub]]. Disini, kutubnya merupakan bilangan-bilangan dari bentuk <math display="inline">(2k+1)\frac \pi 2</math> untuk garisfungsi singgungtangen dan garisfungsi potongsekan, atau nilai <math>k\pi</math> untuk fungsi kotangen dan fungsi kosekan, dengan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat arbitrersebarang.
 
Relasi pengulanganrekurensi juga dapat dihitung untuk koefisien [[deret Taylor]] dari fungsi trigonometri lainnyalain. Deret-deret ini memilikimempunyai [[konfergensiruji radiuskekonvergenan]] yang terbatasterhingga. KoefisienKoefisiennya merekamempunyai memiliki interpretasipandangan [[kombinatorikKombinatorik|kombinatorial]]:, yang mengatakan bahwa merekakoefisiennya menghitung [[permutasi bergantianselang-seling]] dari himpunan hingga.<ref>Stanley, KombinatorikEnumerative EnumeratifCombinatorics, Vol I., p. 149</ref> Lebih tepatnya, dengan mendefinisikan {{mvar|U<sub>n</sub>}} adalah [[Permutasi selang-seling|bilangan atas/bawah]] ke-{{mvar|n}}, {{mvar|B<sub>n</sub>}} adalah [[bilangan Bernoulli]] ke-{{mvar|n}}, dan {{mvar|E<sub>n</sub>}} adalah [[bilangan Euler]] ke-{{mvar|n}}, maka ada empat perluasan deret berikut didapatkan.<ref>Abramowitz; Weisstein.</ref>
 
Lebih tepatnya anda dapat mendefinisikan, yaitu
: {{mvar|U<sub>n</sub>}}, {{mvar|n}} adalah [[angka atas/bawah]],
: {{mvar|B<sub>n</sub>}}, {{mvar|n}} [[nomor Bernoulli]], dan
: {{mvar|E<sub>n</sub>}}, adalah {{mvar|n}} [[nomor Euler]],
satu memiliki ekspansi seri berikut:<ref>Abramowitz; Weisstein.</ref>
: <math>
\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^}{(2n+1)!}}x^{(2n+1)!} \\[8mu]
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} \left(2^{2n}-1\right) B_{2n} }{(2n)!}x^{2n-1}}{(2n)!} \\[5mu]
& {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{foruntuk } |x| < \frac{\pi}{2}.
\end{align}
</math>
Baris 316 ⟶ 261:
: <math>
\begin{align}
\csc x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n} }{(2n)!}x^{2n-1}}{(2n)!} \\[5mu]
& {} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{foruntuk } 0 < |x| < \pi.
\end{align}
</math>
Baris 323 ⟶ 268:
: <math>
\begin{align}
\sec x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}x^{2n}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\[5mu]
& {} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{foruntuk } |x| < \frac{\pi}{2}.
\end{align}
</math>
Baris 331 ⟶ 276:
: <math>
\begin{align}
\cot x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} }{(2n)!}x^{2n-1}}{(2n)!} \\[5mu]
& {} = x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{foruntuk } 0 < |x| < \pi.
\end{align}
</math>
 
=== Perluasan pecahan berlanjut ===
Terdapat representasi deret sebagai [[ekspansi pecahan parsial]] yang baru saja diterjemahkan dari [[Pembalikan perkalian|fungsi timbal balik]] dijumlahkan, sehingga [[Pole (analisis kompleks)|pole]] dari fungsi kotangen dan fungsi timbal balik cocok:<ref name="Aigner_2000"/>
Perluasan pecahan berlanjut berikut valid di seluruh bidang kompleks:
 
: <math> \sin x =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}</math>
 
: <math> \cos x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}</math>
 
: <math>\tan x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - \ddots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} - \ddots}}}}</math>
 
Pecahan yang terakhir dipakai pertama kali menurut sejarah dalam [[bukti bahwa π irasional]].<ref>{{citation|editor1-last=Berggren|editor1-first=Lennart|editor2-last=Borwein|editor2-first=Jonathan M.|editor2-link=Jonathan M. Borwein|editor3-last=Borwein|editor3-first=Peter B.|editor3-link=Peter B. Borwein|last=Lambert|first=Johann Heinrich|orig-year=1768|chapter=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques|title=Pi, a source book|place=New York|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year=2004|edition=3rd|pages=129&ndash;140|isbn=0-387-20571-3}}</ref>
 
<!--=== Perluasan pecahan parsial ===
There is a series representation as [[partial fraction expansion]] where just translated [[Multiplicative inverse|reciprocal functions]] are summed up, such that the [[Pole (complex analysis)|poles]] of the cotangent function and the reciprocal functions match:<ref name="Aigner_2000" />
 
: <math>
\pi \cot \pi x = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}.
</math>
 
This identity can be proven with the [[Gustav Herglotz|Herglotz]] trick.<ref name="Remmert_1991"/>
This identity can be proven with the [[Gustav Herglotz|Herglotz]] trick.<ref name="Remmert_1991" /> Combining the {{math|(–''n'')}}th with the {{math|''n''}}th term lead to [[Absolute convergence|absolutely convergent]] series:
Menggabungkan nilai {{math|(–''n'')}} ke nilai {{math|''n''}}istilah tersebut mengarah pada rangkaian [[konvergensi absolut|konvergen]], yaitu:
 
:<math>
: <math>
\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}\ , \quad \frac{\pi}{\sin \pi x} = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2}.
\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}.
</math>
 
Similarly, one can find a partial fraction expansion for the secant, cosecant and tangent functions:
===Ekspansi produk tanpa batas===
Produk tak terbatas berikut untuk sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yaitu:
:<math>\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
Untuk bukti pemuaian (lihat [[Sinus#Pecahan parsial dan ekspansi hasil kali sinus kompleks|Sinus]]). Dari sini, dapat disimpulkan bahwa
:<math>\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\left(n-\frac12\right)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
 
: <math>
===Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)===
\pi\csc\pi x = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n}=\frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2},
[[Berkas:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|thumb|<math>\cos(\theta)</math> dan <math>\sin(\theta)</math> adalah bagian nyata dan imajiner pada nilai <math>e^{i\theta}</math>.]]
</math>
: <math>\pi^2\csc^2\pi x=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(x+n)^2},</math>
: <math>
\pi\sec\pi x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n+1)}{(n+\tfrac12)^2 - x^2},
</math>
: <math>
\pi \tan \pi x = 2x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}.
</math>-->
 
=== Perluasan darab takhingga ===
[[Rumus Euler]] menghubungkan sinus dan kosinus dengan [[fungsi eksponensial]]:
Darab takhingga untuk fungsi sinus sangat penting dalam [[analisis kompleks]], yang dinyatakan sebagai:
:<math> e^{ix} = \cos x + i\sin x. </math>
Rumus ini biasanya dianggap untuk nilai nyata dari {{mvar|x}}, tetapi tetap benar untuk semua nilai kompleks.
 
: <math>\sin z = z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
''Bukti'': Jika nilai <math>f_1(x)=\cos x + i\sin x,</math> dan <math>f_2(x)=e^{ix}.</math> dan memiliki nilai <math display="inline">\frac{d}{dx}f_j(x)= if_j(x)</math> dari {{math|1=''j'' = 1, 2}}. [[Aturan hasil bagi]] menyiratkan demikian <math display="inline">\frac{d}{dx}\left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)=0</math>. Karena itu, <math display="inline">\frac{f_1(x)}{f_2(x)}</math> adalah fungsi konstan yang sama pada nilai {{val|1}}, sebagai nilai <math>f_1(0)=f_2(0)=1.</math> Hal ini membuktikan rumusnya.
 
Bukti perluasan darab ini dapat dilihat di[[Sinus dan kosinus#Pecahan parsial dan perluasan darab sinus kompleks|sin]]<nowiki/>i. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa
Hal ini memiliki rumus:
 
:<math>\begin{align}
: <math>\cos z = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(n-1/2)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>
e^{ix} &= \cos x + i\sin x\\[5pt]
 
e^{-ix} &= \cos x - i\sin x.
=== Kaitan dengan rumus Euler ===
\end{align}</math>
[[Berkas:Sinus und Kosinus am Einheitskreis 3.svg|jmpl|<math>\cos(\theta)</math> and <math>\sin(\theta)</math> are the real and imaginary part of <math>e^{i\theta}</math> respectively.]]
[[Rumus Euler]] mengaitkan fungsi sinus dan kosinus dengan [[fungsi eksponensial]]:
 
: <math> e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
 
Rumus ini biasanya dipandang untuk bilangan real {{mvar|x}}, tetapi tetap benar untuk semua bilangan kompleks. Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan <math>f_1(x)=\cos x + i\sin x</math> dan <math>f_2(x)=e^{ix}</math>. Karena <math>df_j(x)/dx= if_j(x)</math> untuk {{math|1=''j'' = 1, 2}}, maka menurut kaidah [[Kaidah hasil-bagi|hasil bagi]], <math>d/dx\, (f_1(x)/f_2(x))=0</math>. Jadi, <math>f_1(x)/f_2(x)</math> adalah fungsi konstan, yang sama dengan {{val|1}}, ketika <math>f_1(0)=f_2(0)=1.</math> Hal ini membuktikan rumus tersebut.
 
Selanjutnya, didapatkan persamaan <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math> dan <math>e^{-ix} = \cos x - i\sin x</math>. Dengan menyelesaikan [[sistem linear]] pada fungsi sinus dan kosinus, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial:
 
Memecahkan [[sistem linier]] tersebut dalam sinus dan kosinus, seseorang dapat mengekspresikannya dalam fungsi eksponensial:
: <math>\begin{align}\sin x &= \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}\\[5pt]
\cos x &= \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}.
\end{align}</math>
 
Darimana nilaiKetika {{mvar|x}} adalah bilangan real, halkedua fungsi initersebut dapat ditulis ulang sebagai
 
: <math>\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right), \qquad \sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right).</math>
 
Sebagian besarHampir [[Daftar identitas trigonometri|identitas trigonometri]] dapat dibuktikan dengan menyatakanmemnyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks berfungsi dengan menggunakanmelalui rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas <math>e^{a+b}=e^ae^b</math> untuk menyederhanakan hasilhasilnya.
 
=== Definisi yang menggunakan persamaan fungsional ===
Fungsi trigonometri juga dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai [[persamaan fungsional]]. Sebagai contoh,<ref name="Kannappan_2009" /> fungsi sinus dan kosinus membentuk pasangan tunggal dari [[fungsi kontinu]] yang memenuhi rumus selisih.
 
Sebagai contoh,<ref name="Kannappan_2009"/> sinus dan kosinus membentuk pasangan unik [[fungsi kontinu]] s yang memenuhi rumus selisih
: <math>\cos(x- y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\,</math>
and the added condition
: <math>0 < x\cos x < \sin x < x\quad\text{ dari }\quad 0 < x < 1.</math>
 
dan ditambah dengan syarat
===Di bidang kompleks===
 
Sinus dan kosinus dari sebuah [[bilangan kompleks]] <math>z=x+iy</math> dapat diekspresikan dalam bentuk sinus, kosinus, dan [[fungsi hiperbolik]] nyata sebagai berikut:
: <math>0 < x\cos x < \sin x < x\quad\text{ untuk }\quad 0 < x < 1.</math>
 
=== Dalam bidang kompleks ===
Fungsi sinus dan kosinus dari [[bilangan kompleks]] <math>z=x+iy</math> dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus, kosinus, dan [[Fungsi hiperbolik|hiperbolik]] sebagai berikut:
 
: <math>\begin{align}\sin z &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\\[5pt]
\cos z &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\end{align}</math>
 
DenganGrafik memanfaatkanfungsi [[pewarnaantrigonometri domain]],sebagai dimungkinkanfungsi untukbernilai membuatkompleks grafikdapat fungsidigambarkan trigonometridengan sebagaimemanfaatkan fungsi[[pewarnaan bernilai kompleksdomain]]. Berbagai fiturtampilan fungsi yang unik untukhingga fungsi kompleks dapat dilihatdilhat dari grafik; misalnya,contohnya dapat dilihat bahwa fungsi sinus dan cosinuskosinus dapat dilihatmenjadi tidak terbatas sebagaiketika bagian imajiner nilai <math>z</math> menjadi lebihsemakin besar (karenadengan warna putih mewakili takmenyatakan terhinggatakhingga), dan fakta bahwa fungsi berisiyang nilaimemuat [[NolPole dan kutub(matematika)|nol atau kutubpole]] terlihatsederhana darirupanya faktamerupakan bahwawarna siklusyang warnaberputar mengelilingidi masing-masingsekitar fungsi.nol atau Membandingkankutub sekali. Grafik-grafik tersebutdi denganbawah carayang grafikdibandingkan daridengan fungsi Hiperbolikhiperbolik yang sesuaiberpadanan akanmemperlihatkan menyoroti hubungankaitan antara keduanyakedua fungsi tersebut.
{| style="text-align:center"
|+ '''Fungsi trigonometri dalam bidang kompleks'''
|[[Berkas:Complex Trig-sin.jpgpng|1000x136px|nonethumb]]
<math>
|[[Berkas:Complex cos.jpg|1000x136px|none]]
|[[Berkas:Complex tan.jpg|1000x136px|none]]
|[[Berkas:Complex Cot.jpg|1000x136px|none]]
|[[Berkas:Complex Sec.jpg|1000x136px|none]]
|[[Berkas:Complex Csc.jpg|1000x136px|none]]
|-
|<math>
\sin z\,
</math>
[[Berkas:Trig-cos.png|thumb]]
|<math>
<math>
\cos z\,
</math>
|[[Berkas:Trig-tan.png|thumb]]
|<math>
<math>
\tan z\,
</math>
[[Berkas:Trig-cot.png|thumb]]
|<math>
<math>
\cot z\,
</math>
|[[Berkas:Trig-sec.png|thumb]]
|<math>
<math>
\sec z\,
</math>
[[Berkas:Trig-csc.png|thumb]]
|<math>
<math>
\csc z\,
</math>
|}
 
== Identitas dasar ==
[[Identitas (matematika)|Identitas]] yang berhubungan dengan fungsi trigonometri merupakan bagian dari dasar untuk lebih banyak identitas (lihat [[Daftar identitas trigonometri]]). Identitas tersebut dapat dibuktikan secara geometris dari definisi lingkaran satuan atau definisi segitiga siku-siku (meskipun untuk definisi yang terakhir hati-hati anda harus diberikan untuk sudut yang tidak dalam interval {{math|[0, {{pi}}/2]}}, lihat [[Bukti identitas trigonometri]]). Untuk pembuktian non-geometris yang hanya menggunakan perkakas [[kalkulus]], seseorang dapat menggunakan persamaan diferensial secara langsung, dengan cara yang mirip dengan [[#Hubungan dengan fungsi eksponensial (Rumus Euler)|bukti]] identitas Euler. Anda juga dapat menggunakan identitas Euler untuk mengekspresikan semua fungsi trigonometri dalam istilah eksponensial kompleks dan menggunakan properti fungsi eksponensial.
 
===Keseimbangan=Identitas dasar==
Ada banyak [[Identitas (matematika)|identitas]] yang saling berhubungan dengan fungsi trigonometri. Bagian ini memuat identitas yang paling dasar; identitas yang lebih banyak dapat lihat di [[Daftar identitas trigonometri]]. Identitas berikut dapat dibuktikan secara geometri mellaui definisi lingkaran satuan atau definisi bersudut siku-siku (walauapun definisi terakhir harus mengambil sudut yang bukan berada di dalam interval {{math|[0, {{pi}}/2]}}, lihat [[Bukti identitas trigonometri]]). Bukti tanpa geometri, yakni hanya dengan menggunakan alat [[kalkulus]], dapat dipakai menggunakan persamaan diferensial langsung, melalui cara yang mirip dengan [[#Kaitan dengan rumus Euler|bukti sebelumnya]]. Selain itu, buktinya dapat menggunakan identitas Euler pula untuk menyatakan semua fungsi trigonometri dalam benetuk eksponensial kompleks beserta menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial.
Kosinus dan garis potongan adalah [[fungsi genap]]; fungsi trigonometri lainnya adalah [[fungsi ganjil]]. Rumus nya adalah:
 
:<math>\begin{align}
===Paritas===
\sin(-x) &=-\sin x\\
Fungsi kosinus dan sekan merupakan [[fungsi genap]], sedangkan fungsi trigonometri lain merupakan [[fungsi ganjil]]. Paritas dari fungsi-fungsi ini ditulis sebagai berikut:
\cos(-x) &=\cos x\\
{{div col|colwidth=30em}}
\tan(-x) &=-\tan x\\
:<math> \cotsin(-x) &=-\cotsin x\\ </math>
:<math> \csccos(-x) &=-\csccos x\\ </math>
:<math> \sectan(-x) &=-\sectan x. </math>
:<math> \end{align}cot(-x) =-\cot x </math>
:<math> \csc(-x) =-\csc x </math>
:<math>\sec(-x) =\sec x </math>
{{div col end}}
 
===Periode===
Semua fungsi trigonometri adalahmerupakan [[fungsi periodikperiode]]. Fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode yang paling terkecil {{math|2{{pi}}}}. Ini adalah periode terkecil, kecuali untuk fungsi tangen dan kotangen, yang memiliki nilaimempunyai {{pi}} sebagai periode yang paling terkecil. Artinya,Hal ini mengartikan bahwa untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}}, satumaka memilikidiperoleh:
{{div col|colwidth=30em}}
:<math>\begin{align}
:<math>\sin (x+2k\pi) &=\sin x\\</math>
:<math>\cos (x+2k\pi) &=\cos x\\</math>
:<math>\tan (x+k\pi) &=\tan x\\</math>
:<math>\cot (x+k\pi) &=\cot x\\</math>
:<math>\csc (x+2k\pi) &=\csc x\\</math>
:<math>\sec (x+2k\pi) &=\sec x.</math>
{{div col end}}
\end{align}</math>
 
===Identitas Pythagoras===
Identitas Pythagoras merupakan ekspresi [[teorema Pythagoras]] yang berupa fungsi trigonometri. Identitasnya adalah
 
[[Identitas Pythagoras]], adalah ekspresi dari [[Teorema Pythagoras]] dalam hal fungsi trigonometri. ini
:<math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1 . </math>
 
===Rumus penjumlahanjumlah dan perbedaanselisih===
 
Rumus penjumlahanjumlah dan perbedaanselisih dapat memungkinkanmemperluas perluasanfungsi sinus, kosinus, dan garistangen singgungdari penjumlahanjumlah atau selisih dari dua sudut dalamyang dipandang kaitannyasebagai denganfungsi sinus dan cosinuskosinus serta garisdan singgungtangen dari sudut itutersendiri. sendiri.Rumus-rumus Iniini dapat diturunkan secaramelalui geometrisgeometri, menggunakanberdasarkan argumen yang berasal dari [[PtolemyPtolemaus]]. SeseorangSelain itu, rumus ini juga dapat memproduksinyaditurunkan secara aljabar menggunakan [[rumus Euler]].
; Penjumlahan
; Jumlah
:<math>\begin{align}
\sin\left(x+y\right)&=\sin x \cos y + \cos x \sin y,\\[5mu]
\cos\left(x+y\right)&=\cos x \cos y - \sin x \sin y,\\[5mu]
\tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x\tan y}.
\end{align}</math>
; Selisih
; Perbedaan
:<math>\begin{align}
\sin\left(x-y\right)&=\sin x \cos y - \cos x \sin y, \\[5mu]
\cos\left(x-y\right)&=\cos x \cos y + \sin x \sin y,\\ [5mu]
\tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x\tan y}.
\end{align}</math>
 
Ketika dua sudut adalah sama, maka rumus penjumlahan disederhanakanmereduksi menjadike persamaan yang lebih sederhana, yang dikenal sebagai '''[[rumus sudutrangkap ganda'''dua]].
 
:<math>\begin{align}
\sin 2x &= 2 \sin x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}, \\[5mu]
\cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x},\\[5mu]
\tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}.
\end{align}</math>
 
Identitas initersebut dapat digunakandipakai untuk mendapatkanmenurunkan [[Indentitas produkidentitas darab-ke deret-jumlah]].
 
<!--By setting <math>\theta=2x</math>Dengan andmemisalkan <math>t=\tan x,\tfrac12 \theta</math>, thismaka allowssemua expressingfungsi alltrigonometri trigonometric functions ofdari <math>\theta</math> asdapat adinyatakan sebagai [[rationalpecahan fractionrasional]] ofdari <math display="inline">t=\tan \frac{\theta}{2}</math>:-->
:<math>\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}, \cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \tan \theta = \frac{2t}{1-t^2}, d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt.</math>
:<math>\begin{align}
Fungsi yang terakhir merupakan [[substitusi setengah sudut tangen]], yang dipakai untuk membantu perhitungan [[integral]] dari fungsi trigonometri lain menjadi [[fungsi rasional]] tersebut.
\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\
\cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}.
\end{align}</math>
Together with
:<math>d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt,</math>
Rumus tersebut adalah [[substitusi setengah sudut tangen]], yang memungkinkan pengurangan komputasi [[integral]] s dan [[antiturunan]] fungsi trigonometri menjadi pecahan rasional.
 
===Turunan dan antiturunanintegral dari fungsi trigonometri===
{| class="wikitable" style = "float:right; margin-left:1em; text-align:center; font-size:90%"
[[Turunan]] fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan [[aturan hasil bagi]]. Nilai yang diberikan untuk [[antiderivatif]] dalam tabel berikut dapat diverifikasi dengan membedakannya. Angka pada&nbsp;{{mvar|C}} adalah [[konstanta integrasi]].
!<math>f(x)</math> !! <math>f'(x)</math> !! <math display="inline">\int f(x) \, dx</math>
|-
|<math>\sin x</math>||<math>\cos x</math>||<math>-\cos x + C</math>
|-
|<math>\cos x</math>||<math>-\sin x</math>||<math>\sin x + C</math>
|-
|<math>\tan x</math>||<math>\sec^2 x = 1 + \tan^2 x</math>||<math>-\ln \left| \cos x \right| + C</math>
|-
|<math>\csc x</math>||<math>-\csc x \cot x</math>||<math>-\ln \left| \csc x + \cot x \right| + C</math>
|-
|<math>\sec x</math>||<math>\sec x \tan x</math>||<math>\ln \left| \sec x + \tan x \right| + C</math>
|-
|<math>\cot x</math>||<math>-\csc^2 x = - 1 - \cot^2 x</math>||<math>\ln \left| \sin x \right| + C</math>
|}
[[Turunan]] dari fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan [[kaidah hasil-bagi]]. Pada tabel berikut, terdapat [[antiturunan]] dari fungsi trigonometri yang dapat dibenarkan dengan mendiferensialkannya. Catatan bahwa {{mvar|C}} merupakan [[konstanta integrasi]].
 
Di sisi lain, turunan dari 'ko-fungsi' dapat diperoleh dengan menggunakan identitas trigonometri serta aturan rantai:
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
f(x) &
f'(x) &
\int f(x)\,dx \\
\hline
\sin x &
\cos x &
-\cos x + C \\
\cos x &
-\sin x &
\sin x + C \\
\tan x &
\sec^2 x = 1+\tan^2 x &
-\ln \left( |\cos x|\right ) + C \\
\cot x &
-\csc^2 x = -(1+\cot^2 x) &
\ln \left (|\sin x|\right ) + C \\
\sec x &
\sec x\tan x &
\ln \left (|\sec x + \tan x|\right ) + C \\
\csc x &
-\csc x \cot x &
-\ln \left (|\csc x + \cot x|\right ) + C \\
\hline
\end{array}
</math>
 
== Fungsi invers ==
 
{{Main|Fungsi trigonometri invers}}
Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan [[fungsi injeksi|injeksi]], jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki [[fungsi terbalik]]. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri [[monotonik]], seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai [[fungsi multinilai]]. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian [[kebijaksanaan| bijective]] dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan [[nilai pokok]] s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|align}
\frac{d\cos x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin x \, , \\
\hline
\frac{d\csc x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\csc x \cot x \, , \\
\text{Fungsi} & \text{Definisi} & \text{Domain} &\text{Kumpulan nilai pokok}
\frac{d\cot x}{dx} &= \frac{d}{dx}\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sec^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\csc^2 x \, .
\\
\end{align}
\hline
y = \arcsin x & \sin y = x & -1 \le x \le 1 & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \\
y = \arccos x & \cos y = x & -1 \le x \le 1 & 0 \le y \le \pi \\
y = \arctan x & \tan y = x & -\infty \le x \le \infty & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \\
y = \arccot x & \cot y = x & -\infty \le x \le \infty & 0 < y < \pi \\
y = \arcsec x & \sec y = x & x<-1 \text{ atau } x>1 & 0 \le y \le \pi,\; y \ne \frac{\pi}{2} \\
y = \arccsc x & \csc y = x & x<-1 \text{ atau } x>1 & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},\; y \ne 0
\\\hline
\end{array}
</math>
 
==Fungsi invers==
<!--The notations sin<sup>−1,</sup> cos<sup>−1,</sup> etc. are often used for arcsin and arccos, etc. When this notation is used, inverse functions could be confused with multiplicative inverses. The notation with the "arc" prefix avoids such a confusion, though "arcsec" for arcsecant can be confused with "[[arcsecond]]".
{{Main|Fungsi trigonometri invers}}
 
{| class="wikitable" style = "float:right; margin-left:1em; text-align:center; font-size:90%"
Just like the sine and cosine, the inverse trigonometric functions can also be expressed in terms of infinite series. They can also be expressed in terms of [[complex logarithm]]s. See [[Inverse trigonometric functions]] for details.-->
! Fungsi !! Definisi<br>fungsi !! Domain<br>fungsi !! Himpunan dari nilai prinsip
 
|-
== Aplikasi ==
| <math>y = \arcsin x</math> || <math>\sin y = x</math> || <math>-1 \le x \le 1</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math>
{{Main|Penggunaan trigonometri}}
|-
 
| <math>y = \arccos x</math> || <math>\cos y = x</math> || <math>-1 \le x \le 1</math> || <math display="inline">0 \le y \le \pi</math>
=== Sudut dan sisi segitiga ===
|-
Di bagian ini {{math | ''A'', ''B'', ''C''}} menunjukkan tiga sudut (interior) segitiga, dan {{math|''a'', ''b'', ''c''}} menunjukkan panjang masing-masing sisi berlawanan. Mereka terkait dengan berbagai rumus, yang dinamai dengan fungsi trigonometri yang terlibat.
| <math>y = \arctan x</math> || <math>\tan y = x</math> || <math>-\infty < x < \infty</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math>
 
|-
==== Hukum sinus ====
| <math>y = \arccot x</math> || <math>\cot y = x</math> || <math>-\infty < x < \infty</math> || <math display="inline">0 < y < \pi</math>
'' '[[Hukum sinus]]' '' menyatakan bahwa untuk segitiga sembarang dengan sisi {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, dan {{mvar|c}} dan sudut berlawanan dengan itu sisi {{mvar|A}}, {{mvar|B}} dan {{mvar|C}}:
|-
 
:| <math>y = \frac{arcsec x</math> || <math>\sinsec A}{a}y = x</math> || <math>x<-1 \fractext{\sin B}{batau } x>1</math> || <math display="inline">0 \frac{le y \sinle C}{c}\pi,\; =y \ne \frac{2\Deltapi}{abc2},</math>
|-
 
| <math>y = \arccsc x</math> || <math>\csc y = x</math> || <math>x<-1 \text{ atau } x>1</math> || <math display="inline">-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},\; y \ne 0</math>
dimana {{math|Δ}} adalah luas segitiga,
|}Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik, karena itu fungsi trigonometri bukanlah [[fungsi injektif|injektif]]. Lebih tepatnya, fungdi trigonometri tidak mempunyai [[Fungsi invers|kebalikannya]]. Akan tetapi, karena adanya [[fungsi monotonik|kemonotonan]] pada masing-masing interval dari fungsi trigonometri, maka dapat didefinisikan sebagai fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi invers trigonometri sebagai [[fungsi bernilai banyak]]. Fungsi ini dapat didefinisikan dengan membatasi domain ulang ke interval saat fungsi adalah monotonik, dan [[fungsi bijeksi|bijektif]] dari interval tersebut ke citra fungsi. Interval umum yang dipilih di tabel disebut himpunan dari [[nilai prinsip]].
atau, setara,
 
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
 
di mana {{mvar|R}} adalah [[lingkaran berbatas | sirkitradius]] segitiga.
 
Hal ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga kanan dan menggunakan definisi sinus di atas. Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi-sisi yang tidak diketahui dalam sebuah segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi. Ini adalah situasi umum yang terjadi di ''[[triangulasi]]'', teknik untuk menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak tertutup yang dapat diakses.
 
==== Hukum kosinus ====
'''[[Hukum kosinus]]''' (juga dikenal sebagai rumus kosinus atau aturan kosinus) adalah perpanjangan dari [[Teorema Pythagoras]]:
 
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, \, </math>
or equivalently,
:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>
 
Dalam rumus ini sudut di {{mvar | C}} berlawanan dengan sisi {{mvar|c}}. Teorema ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan [[Teorema Pythagoras]].
 
Hukum cosinus dapat digunakan untuk menentukan sisi segitiga jika dua sisi dan sudut di antara keduanya diketahui. Ini juga dapat digunakan untuk mencari cosinus suatu sudut (dan akibatnya sudut itu sendiri) jika panjang semua sisinya diketahui.
 
==== Hukum garis singgung ====
{{main|Hukum garis singgung}}
Berikut semua bentuk hukum garis singgung<ref name="Allen_1976"/>
 
: <math>
\frac{\tan \frac{A-B}{2 }}{\tan \frac{A+B}{2 } } = \frac{a-b}{a+b}\,; \qquad
\frac{\tan \frac{A-C}{2 }}{\tan \frac{A+C}{2 } } = \frac{a-c}{a+c}\,; \qquad
\frac{\tan \frac{B-C}{2 }}{\tan \frac{B+C}{2 } } = \frac{b-c}{b+c}.</math>
 
Penjelasan rumus dalam kata-kata akan merepotkan, tetapi pola penjumlahan dan perbedaan, untuk panjang dan sudut yang berlawanan, tampak jelas dalam teorema.
 
==== Hukum kotangen ====
{{main|Hukum kotangen}}
Bila
 
: <math> \zeta = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)} ~</math> (the radius of the inscribed circle for the triangle)
 
dan
 
: <math> s = \frac{a+b+c}{2 } ~</math> (the semi-perimeter for the triangle),
 
maka berikut ini semua bentuk hukum kotangen<ref name="Allen_1976"/>
 
: <math>
\cot{ \frac{A}{2 }} = \frac{s-a}{\zeta } ~; \qquad
\cot{ \frac{B}{2 }} = \frac{s-b}{\zeta } ~; \qquad
\cot{ \frac{C}{2 }} = \frac{s-c}{\zeta } ~.</math>
 
Jadi mengikuti nilai
 
: <math> \frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a} = \frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b} = \frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c} = \frac{1}{\zeta} ~.</math>
 
Dengan kata lain, teorema tersebut adalah: kotangen setengah sudut sama dengan rasio keliling setengah dikurangi sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut, dengan inradius untuk segitiga.
 
[[Berkas:Lissajous curve 5by4.svg|thumb|right|A [[kurva Lissajous]], sebuah gambar yang dibentuk dengan fungsi berbasis trigonometri.]]
 
=== Fungsi periodik ===
[[Berkas:Synthesis square.gif|thumb|340px|right|Animasi [[sintesis aditif]] dari [[gelombang persegi]] dengan peningkatan jumlah harmonisa]]
[[File:Sawtooth Fourier Animation.gif|thumb|280px|Fungsi dasar sinusoidal (bawah) dapat membentuk gelombang gigi gergaji (atas) bila ditambahkan. Semua fungsi dasar memiliki simpul di simpul gigi gergaji, dan semuanya kecuali yang mendasar ({{math|1=''k'' = 1}}) memiliki node tambahan. Osilasi yang terlihat pada gigi gergaji saat {{mvar|k}} besar disebut [[fenomena Gibbs]]]]
 
Fungsi trigonometri juga penting dalam fisika. Fungsi sinus dan cosinus, misalnya, digunakan untuk mendeskripsikan [[gerak harmonik sederhana]], yang memodelkan banyak fenomena alam, seperti gerakan massa yang menempel pada pegas dan, untuk sudut kecil, gerakan pendular dari massa yang digantung oleh seutas tali. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari [[gerakan melingkar seragam]].
 
Fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam studi umum [[fungsi periodik]]. Pola gelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna untuk memodelkan fenomena yang berulang seperti suara atau cahaya [[gelombang]].<ref name="Farlow_1993"/>
 
Notasi dari fungsi invers trigonometri seringkali dilambangkan sebagai perpangkatan dari −1, sebagai contoh: {{math|sin<sup>−1</sup>}}, {{math|cos<sup>−1</sup>}}, dst. Namun perpangkatan tersebut dapat mengartikan invers perkalian. Jadi, untuk mencegah terjadinya keambiguan, notasi tersebut digantikan dengan prefiks "arc-", sebagai contoh: {{math|arcsin}},{{math|arccos}}, dst.
Dalam kondisi yang agak umum, fungsi periodik {{math|''f''(''x'')}} dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang sinus atau gelombang kosinus dalam [[deret Fourier]].<ref name="Folland_1992"/> Menunjukkan sinus atau cosinus [[fungsi basis]] dengan {{mvar|φ<sub>k</sub>}}, perluasan fungsi periodik {{math|''f'' (''t'')}} mengambil bentuk:
 
Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi invers trigonometri juga dapat dinyatakan dalam bentuk deret takhingga dan [[logaritma kompleks]].
:<math>f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t). </math>
 
==Penerapan==
Misalnya, [[gelombang persegi]] dapat ditulis sebagai [[deret Fourier]]
{{Main|Penerapan dalam trigonometri}}
===Sudut dan sisi segitiga===
Penerapan trigonometri ini dapat dipakai dalam hukum-hukum berikut.
* [[Hukum sinus]], hukum yang menjelaskan perbandingan sisi dan sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi pada segitiga sembarang. Hukum sinus dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi dari fungsi sinus. Hukum sinus berguna dalam menghitung panjang dari sisi segitiga yang tidak diketahui jika ada dua sudut dan sisi yang diketahui. Hal ini muncul dalam sebuah teknik bernama ''[[triangulasi]]'', teknik yang menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak yang diperoleh.
* [[Hukum kosinus]], hukum yang mengaitkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga sembarang. Hukum ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan [[teorema Pythagoras]]. Hukum ini dipakai untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut, dan juga untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.
* [[Hukum tangen]], hukum yang mengaitkan fungsi tangen dari dua sudut segitiga dan panjang dari sudut yang berhadapan. Mirip dengan hukum sinus, hukum ini dapat dipakai pada setiap kasus untuk dua sisi dan sudut yag diketahui, atau dua sudut dan satu sisi yang diketahui.
* [[Hukum kotangen]], hukum yang mempunyai kaitan antara panjang sisi segitiga dengan kotangen dari setengah sudut. Hukum ini dipakai untuk membuktikan rumus-rumus lain, seperti [[rumus Heron]], [[rumus pertama Mollweide]], dan [[rumus kedua Mollweide]].
 
===Fungsi periodik===
:<math> f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.</math>
[[File:Synthesis square.gif|thumb|340px|right|Sebuah animasi yang memperlihatkan besarnya jumlah harmonik pada [[sintetis aditif]] dari [[gelombang persegi]].]]
Fungsi-fungsi trigonometri juga penting dalam ilmu fisika. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus digunakan untuk menjelaskan [[gerak harmonis sederhana]] seperti gerakan suatu benda bermassa yang terikat pada sebuah pegas, dan gerak pendulum sederhana pada sudut yang kecil dan dengan benda bermassa yang terikat pada sebuah tali, yang keduanya merupakan pemodelan dari banyak fenomena alam. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari [[Gerak melingkar seragam|gerak melingkar yang seragam]]. Fungsi-fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam kajian [[fungsi periodik]] umum. Pola-pola bergelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna dalam menggambarkan fenomena yang berulang seperti [[gelombang]] suara atau cahaya.<ref name="Farlow_1993"/>
{{clear}}
 
[[File:Sawtooth Fourier Animation.gif|thumb|280px|Fungsi basis sinusoidal pada animasi di bawah dapat membentuk gelombang geriji seperti animasi di atas saat menambahkan beberapa suku.]]
Pada animasi gelombang persegi di kanan atas terlihat bahwa hanya beberapa suku saja yang sudah menghasilkan aproksimasi yang cukup baik. Superposisi beberapa istilah dalam perluasan [[gelombang gigi gergaji]] ditampilkan di bawah ini.
Fungsi periodik {{math|1=''f''&hairsp;(''x'')}} umumnya dapat dinyatakan sebagai jumlah [[gelombang sinus]] atau gelombang kosinus dalam [[deret Fourier]].<ref name="Folland_1992"/> Dengan Melambangkan [[fungsi basis]] sinus atau kosinus sebagai {{mvar|φ<sub>k</sub>}}, maka ekspansi dari fungsi periodik {{math|1=''f''&hairsp;(''t'')}} membentuk:
: <math> f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t). </math>
Sebagai contoh, fungsi dari [[gelombang persegi]] dapat ditulis sebagai [[deret Fourier]]
: <math> f_\text{persegi}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.</math>
 
Dalam animasi gelombang persegi, dapat diperlihatkan bahwa hanya beberapa suku sudah menghasilkan aproksimasi yang hampir baik. Pada gambar bawah memperlihatkan superposisi dari beberapa suku dalam ekspansi [[gelombang geriji]].
== Sejarah ==
{{clear}}
== Etimologi ==
== Lihat juga ==
*{{Daftar matematika}}
 
== Catatan dan referensi ==
{{div col|colwidth=30em}}
== Referensi ==
=== Catatan kaki ===
{{Reflist}}
{{Notelist}}
===Catatan===
{{reflist|refs=
<ref name="Larson_2013">{{cite book |title=Trigonometry |edition=9th |first1=Ron |last1=Larson |publisher=Cengage Learning |date=2013 |isbn=978-1-285-60718-4 |page=153 |url=https://books.google.com/books?id=zbgWAAAAQBAJ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20180215144848/https://books.google.com/books?id=zbgWAAAAQBAJ |archive-date=15 February 2018 }} [https://books.google.com/books?id=zbgWAAAAQBAJ&pg=PA153 Extract of page 153] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180215144848/https://books.google.com/books?id=zbgWAAAAQBAJ&pg=PA153 |date=15 February 2018 }}</ref>
<!--<ref name="Aigner_2000">{{cite book |author-last1=Aigner |author-first1=Martin |author1-link=Martin Aigner |author-last2=Ziegler |author-first2=Günter M. |author-link2=Günter Ziegler |title=Proofs from THE BOOK |publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=Second |date=2000 |isbn=978-3-642-00855-9 |page=149 |url=https://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20140308034453/http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-642-00855-9 |archive-date=8 March 2014 }}</ref>
<ref name="Remmert_1991">{{cite book |title=Theory of complex functions |author-first1=Reinhold |author-last1=Remmert |publisher=Springer |date=1991 |isbn=978-0-387-97195-7 |page=327 |url=https://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150320010718/http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC |archive-date=20 March 2015 }} [https://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC&pg=PA327 Extract of page 327] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150320010448/http://books.google.com/books?id=CC0dQxtYb6kC&pg=PA327 |date=20 March 2015 }}</ref>-->
<ref name="Kannappan_2009">{{cite book |author-last=Kannappan |author-first=Palaniappan |title=Functional Equations and Inequalities with Applications |date=2009 |publisher=Springer |isbn=978-0387894911}}</ref>
<ref name="Farlow_1993">{{cite book |title=Partial differential equations for scientists and engineers |url=https://books.google.com/books?id=DLUYeSb49eAC&pg=PA82 |author-first=Stanley J. |author-last=Farlow|author-link= Stanley Farlow |page=82 |isbn=978-0-486-67620-3 |publisher=Courier Dover Publications |edition=Reprint of Wiley 1982 |date=1993 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150320011420/http://books.google.com/books?id=DLUYeSb49eAC&pg=PA82 |archive-date=20 March 2015 }}</ref>
<ref name="Folland_1992">See for example, {{cite book |author-first=Gerald B. |author-last=Folland |title=Fourier Analysis and its Applications |publisher=American Mathematical Society |edition=Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC&pg=PA77 |pages=77ff |chapter=Convergence and completeness |date=2009 |isbn=978-0-8218-4790-9 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150319230954/http://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC&pg=PA77 |archive-date=19 March 2015 }}</ref>
<!--<ref name="Boyer_1991">Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. {{isbn|0-471-54397-7}}, hlm. 210.</ref>
<ref name="Gingerich_1986">{{cite magazine |title=Islamic Astronomy |author-first=Owen |author-last=Gingerich |magazine=[[Scientific American]] |date=1986 |volume=254 |page=74 |url=http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm |access-date=13 July 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131019140821/http://faculty.kfupm.edu.sa/PHYS/alshukri/PHYS215/Islamic_astronomy.htm |archive-date=19 October 2013}}</ref>
<ref name="mact-biog">{{cite web |publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland |title=Madhava of Sangamagrama |author-first1=J. J. |author-last1=O'Connor |author-first2=E. F. |author-last2=Robertson |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html |url-status=dead |archive-date=14 May 2006 |access-date=8 September 2007 }}</ref>
<ref name="Fincke">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke.html |title=Fincke biography |access-date=15 March 2017 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170107035144/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fincke.html |archive-date=7 January 2017 }}</ref>
<ref name="Bourbaki_1994">{{cite book |title=Elements of the History of Mathematics |url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour |url-access=registration |author-first=Nicolás |author-last=Bourbaki |publisher=Springer |date=1994}}</ref>
<ref name="Gunter_1620">{{cite book |author-first=Edmund |author-last=Gunter |author-link=Edmund Gunter |title=Canon triangulorum |date=1620}}</ref>
<ref name="Roegel_2010">{{cite web |title=A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620) |editor-first=Denis |editor-last=Roegel |type=Research report |publisher=HAL |date=6 December 2010 |id=inria-00543938 |url=https://hal.inria.fr/inria-00543938/document |access-date=28 July 2017 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170728192238/https://hal.inria.fr/inria-00543938/document |archive-date=28 July 2017}}</ref>
<ref name="Plofker_2009">See Plofker, ''[[Mathematics in India (book)|Mathematics in India]]'', Princeton University Press, 2009, hlm. 257<br>See {{cite web |url=http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |title=Clark University |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20080615133310/http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |archive-date=15 June 2008 }}<br>See Maor (1998), chapter 3, regarding the etymology.</ref>-->
}}
 
== Tautan luar =Referensi===
{{refbegin}}
* {{AS ref}}
* [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable'', second edition, [[McGraw-Hill Book Company]], New York, 1966.
* [[Carl Benjamin Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). {{isbn|0-471-54397-7}}.
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
* Joseph, George G., ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', 2nd ed. [[Penguin Books]], London. (2000). {{isbn|0-691-00659-8}}.
* Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," ''IEEE Trans. Computers'' '''45''' (3), 328–339 (1996).
* Maor, Eli, ''[https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights]'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002): {{isbn|0-691-09541-8}}.
* Needham, Tristan, [https://web.archive.org/web/20040602145226/http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf "Preface"]" to ''[http://www.usfca.edu/vca/ Visual Complex Analysis]''. Oxford University Press, (1999). {{isbn|0-19-853446-9}}.
* {{citation |last1=Nielsen |first1=Kaj L. |title=Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places |edition=2nd |location=New York|publisher=[[Barnes & Noble]] |date=1966 |lccn=61-9103}}
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, [https://web.archive.org/web/20130120084848/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html "Trigonometric functions"], ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (1996).
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html "Madhava of Sangamagramma"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060226001644/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |date=2006-02-26 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2000).
* Pearce, Ian G., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html "Madhava of Sangamagramma"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060505201342/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |date=2006-05-05 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2002).
* {{ citation | last1 = Protter | first1 = Murray H. | last2 = Morrey | first2 = Charles B., Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html "Tangent"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060719202529/http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html |date=2006-07-19 }} from ''[[MathWorld]]'', diakses pada tanggal 21 Januari 2006.
{{refend}}
{{div col end}}
 
[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Sudut]]
[[Kategori:Fungsi trigonometri]]
[[Kategori:Fungsi analitik]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Fungsi_trigonometri"