Rentang linear: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k baru, rintisan |
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20240409)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (9 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Ruang vektor yang dihasilkan dari kombinasi linear elemen-elemen di suatu himpunan}}
[[Berkas:Basis_for_a_plane.svg|jmpl|Bidang yang direntang oleh vektor '''u''' dan '''v''' di '''R'''<sup>3</sup>.]]
Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' atau '''span''' dari sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> berisi [[Vektor Euklides|vektor-vektor]] (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua [[kombinasi linear]] dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 29, § 2.7</ref> Rentang linear dari <math>S</math> umum disimbolkan dengan <math>\text{span}(S).</math><ref name=":0">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref> Sebagai contoh, dua vektor yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] akan merentang suatu [[Bidang (geometri)|bidang]]. Rentang dapat dikarakterisasikan<!-- istilah 'dikarakterisasikan' secara praktis sama saja dengan istilah 'didefinisikan', namun saya ragu untuk menggunakan padanan ini. --kekavigi --> sebagai [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dari semua [[Subruang vektor|subruang (vektor)]] yang mengandung <math>S,</math> maupun sebagai subruang yang mengandung <math>S.</math> Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk [[matroid]] dan [[Modul (matematika)|modul]].
Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor <math>V</math> adalah rentang linear dari subset <math>S,</math> beberapa pernyataan berikut umum digunakan: <math>S</math> merentang <math>V,</math> <math>S</math> adalah ''himpunan merentang'' dari <math>V,</math> <math>V</math> direntang/dibangkitkan oleh <math>S,</math> atau <math>S</math> adalah [[Pembangkit (matematika)|pembangkit]] atau himpunan pembangkit dari <math>V.</math>
== Rujukan ==▼
== Definisi ==
Untuk sebarang [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K,</math> rentang dari suatu himpunan <math>S</math> yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan <math>W</math> dari semua [[Subruang vektor|subruang]] dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Irisan <math>W</math> disebut sebagai subruang yang ''direntang oleh'' <math>S,</math> atau oleh vektor-vektor di <math>S.</math> Kebalikannya, <math>S</math> disebut ''himpunan merentang'' dari <math>W</math>, dan kita katakan <math>S</math> ''merentang <math>W.</math>''
{{Aljabar linear}}▼
Rentang dari <math>S</math> juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua [[kombinasi linear]] terhingga dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>{{Harvard citation text|Hefferon|2020}} p. 100, ch. 2, Definition 2.13</ref><ref name=":02">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref><ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}} pp. 41-42</ref><ref>{{Harvard citation text|MathWorld|2021}} Vector Space Span.</ref> Secara matematis, ini dituliskan sebagai<math display="block"> \operatorname{span}(S) = \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i \in S, \lambda _i \in K} \right \}.</math>Pada kasus <math>S</math> berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
[[Kategori:Aljabar linear]]▼
Ruang vektor [[Bilangan riil|riil]] <math>\mathbb R^3</math> dapat direntang oleh himpunan <math>\{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} </math>. Himpunan ini juga merupakan suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Jika <math>(-1,0,0)</math> digantikan dengan <math>(1,0,0)</math>, himpunan tersebut merupakan [[Basis (aljabar linear)|basis standar]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Contoh himpunan pembangkit lain dari <math>\mathbb R^3</math> adalah <math>\{(1,2,3),\, (0, 1, 2),\, (-1, \tfrac{1}{2}, 3),\, (1, 1, 1)\}</math>, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat [[Kebebasan linear|bergantung linear]].
Himpunan <math>\{(1, 0, 0),\,(0, 1, 0),\,(1,1,0)\}</math> bukan himpunan merentang dari <math>\mathbb R^3</math>, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di <math>\mathbb R^3</math> yang komponen terakhirnya bernilai <math>0.</math> Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan <math>\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}, </math> karena <math>(1,1,0)</math> adalah kombinasi linear dari <math>(1,0,0)</math> dan <math>(0,1,0).</math>
Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari <math>\{(0, 0, 0)\}, </math> karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di <math>\mathbb R^3,</math> dan <math>\{(0, 0, 0)\} </math> adalah irisan dari semua subruang tersebut.
Himpunan semua [[monomial]] <math>x^n,</math> dengan <math>n</math> adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang [[polinomial]].
== Teorema ==
=== Kesetaraan antar definisi ===
Untuk sebarang ruang vektor <math>V</math> atas lapangan <math>K,</math> himpunan semua kombinasi linear dari subset <math>S</math> dari <math>V,</math> adalah subruang terkecil dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>
: ''Bukti.'' Pertama kita tunjukkan bahwa <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math> Karena <math>S</math> adalah subset dari <math>V,</math> kita cukup membuktikan bahwa vektor <math>\mathbf 0</math> anggota dari <math>\text{span}(S), </math> bahwa <math>\text{span}(S)</math> dibawah penjumlahan, dan bahwa <math>\text{span}(S)</math> tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}</math>, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di <math>V</math> ada di <math>\text{span}(S), </math> karena <math>\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n. </math> Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari <math>S</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math><math display="block">(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n,</math>dengan semua <math>\lambda_i, \mu_i \in K</math>, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari <math>S</math> dengan sebarang skalar <math>c \in K</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math> <math display="block">c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n. </math>Alhasil, <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math>
: Misalkan <math>W</math> adalah subruang <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Perhatikan bahwa <math>S \subseteq \operatorname{span} S,</math> karena semua <math>\mathbf{v}_i</math> merupakan kombinasi linear dari <math>S</math> (secara langsung). Karena <math>W</math> tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear <math>\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n</math> harus berada di <math>W.</math> Akibatnya, <math>\text{span}(S)</math> terkandung di semua subruang dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari <math>S.</math>
=== Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear ===
Sebarang himpunan <math>S</math> yang merentang ruang vektor <math>V</math> harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan [[bebas linear]] dari <math>V.</math>
: ''Bukti.'' Misalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_m \}</math> adalah suatu himpunan merentang dan <math>W = \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n \}</math> adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di <math>V.</math> Kita akan menunjukkan bahwa <math>m \geq n.</math>
: Karena <math>S</math> merentang <math>V,</math> maka <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> juga harus merentang <math>V,</math> dan <math>\mathbf w_1</math> harus merupakan hasil kombinasi linear dari <math>S.</math> Akibatnya <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari <math>S</math> yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota <math>S</math> lainnya. Vektor ini tidak mungkin <math>\mathbf{w}_i</math> karena <math>W</math> bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah <math>\{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \},</math> yang merupakan himpunan merentang bagi <math>V.</math> Kita ulangi proses ini sebanyak <math>n</math> kali, yang tahap ke-<math>p</math>-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \}</math> dan <math>m-p</math> vektor dari <math>S.</math>
: Dapat dipastikan sampai tahap ke-<math>n</math> akan selalu ada suatu <math>\mathbf{v}_i</math> untuk dibuang dari <math>S</math>, akibatnya <math>\mathbf{v}_i</math> setidaknya sama banyaknya dengan <math>\mathbf{w}_i</math>; dengan kata lain, <math>m \geq n.</math> Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap <math>m < n.</math> Saat tahap ke-<math>m</math>, kita memiliki himpunan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> dan kita dapat menambahkan vektor baru <math>\mathbf w_{m+1}.</math> Tapi karena <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> adalah himpunan merentang dari <math>V,</math> vektor <math>\mathbf w_{m+1}</math> adalah kombinasi linear dari <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math>. Ini adalah kontradiksi, karena <math>W</math> bersifat bebas linear.
=== Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis ===
Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang <math>V</math> dapat disederhanakan menjadi suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi <math>V,</math> dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika [[aksioma pemilihan]] berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus <math>V</math> berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika <math>V</math> berdimensi hingga.
== Catatan kaki ==
<references responsive="" />
== Daftar pustaka ==
=== Buku ===
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
* {{Cite book|last=Hefferon|first=Jim|year=2020|title=Linear Algebra|publisher=Orthogonal Publishing|isbn=978-1-944325-11-4|edition=4th|author-link=Jim Hefferon}}
* {{Cite book|last1=Lane|first1=Saunders Mac|last2=Birkhoff|first2=Garrett|year=1999|title=Algebra|publisher=[[American Mathematical Society|AMS Chelsea Publishing]]|isbn=978-0821816462|edition=3rd|author-link=Saunders Mac Lane|author-link2=Garrett Birkhoff|orig-year=1988}}
* {{Cite book|last=Roman|first=Steven|year=2005|title=Advanced Linear Algebra|url=https://archive.org/details/advancedlinearal0000roma_b4n5|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=0-387-24766-1|edition=2nd|author-link=Steven Roman}}
* {{Cite book|last1=Rynne|first1=Brian P.|last2=Youngson|first2=Martin A.|year=2008|title=Linear Functional Analysis|location=|publisher=Springer|isbn=978-1848000049|pages=}}
* Lay, David C. (2021) ''Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)''. Pearson.
=== Situs web ===
* {{cite web|last1=Lankham|first1=Isaiah|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|author2-link=Bruno Nachtergaele|date=13 February 2010|title=Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics|url=https://www.math.ucdavis.edu/~anne/linear_algebra/mat67_course_notes.pdf|publisher=University of California, Davis|access-date=27 September 2011|last3=Schilling|first3=Anne|author3-link=Anne Schilling}}
* {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric Wolfgang|author-link=Eric W. Weisstein|title=Vector Space Span|url=https://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceSpan.html|website=[[MathWorld]]|access-date=16 Feb 2021|ref=CITEREFMathWorld2021}}
* {{Cite web|date=5 April 2020|title=Linear hull|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_hull|website=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=16 Feb 2021|ref=CITEREFEncyclopedia_of_Mathematics2020}}
== Pranala luar ==
* [https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors], khanacademy.org.
* {{Cite web|last=Sanderson|first=Grant|author-link=3Blue1Brown|date=August 6, 2016|title=Linear combinations, span, and basis vectors|url=https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3|series=Essence of Linear Algebra|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/k7RM-ot2NWY|archive-date=2021-12-11|via=[[YouTube]]|url-status=live}}
▲{{Aljabar linear}}
▲[[Kategori:Aljabar linear]]
| |||