Sistem koordinat polar: Perbedaan antara revisi

Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam [[sistem koordinat Kartesius]]) disebut ''pole'' atau "kutub", dan [[:en:ray (geometry)|''ray'' atau "sinar"]] dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut "aksis polar" (''polar axis''). Jarak dari suatu kutub disebut ''radial coordinate'' atau ''radius'', dan sudutnya disebut ''angular coordinate'', ''polar angle'', atau ''[[azimuth]]''.<ref name="brown">{{Cite book|last = Brown|first = Richard G.|editor = Andrew M. Gleason|year = 1997|title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis|url = https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0|publisher = McDougal Littell|location = Evanston, Illinois|isbn = 0-395-77114-5}}</ref>

Koordinat polar paling tepat dalam konteks apa pun di mana fenomena yang dipertimbangkan secara inheren terikat pada arah dan panjang dari titik pusat pada bidang, seperti [[Spiral|spiral]]. Sistem fisik planar dengan benda-benda bergerak di sekitar titik pusat, atau fenomena yang berasal dari titik pusat, sering kali lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan koordinat polar.

Istilah sebenarnya '' koordinat polar '' telah dikaitkan dengan [[Gregorio Fontana]] dan digunakan oleh penulis Italia abad ke-18. Istilah ini muncul dalam [[Bahasa Inggris|Inggris]] dalam terjemahan [[George Peacock]] tahun 1816 dari terjemahan [[Sylvestre François Lacroix|Lacroix]] ''Diferensial dan Integral Kalkulus''.<ref>{{Cite web| last = Miller| first = Jeff| title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics| url = http://members.aol.com/jeff570/p.html| accessdate = 2006-09-10| archive-date = 2008-07-19| archive-url = https://web.archive.org/web/20080719153037/http://members.aol.com/jeff570/p.html| dead-url = yes}}</ref><ref>{{Cite book| last = Smith| first = David Eugene| title = History of Mathematics, Vol II| publisher = Ginn and Co.| year = 1925| location = Boston| pages = 324}}</ref> [[Alexis Clairaut]] adalah orang pertama yang memikirkan koordinat kutub dalam tiga dimensi, dan [[Leonhard Euler]] adalah orang pertama yang benar-benar mengembangkannya.<ref name="coolidge" />

Menambahkan sejumlah [[putaran (geometri)|putaran]] (360 °) penuh ke koordinat sudut tidak mengubah arah yang sesuai. Juga, koordinat radial negatif paling baik diinterpretasikan sebagai jarak positif terkait yang diukur dalam arah yang berlawanan. Oleh karena itu, titik yang sama dapat diekspresikan dengan koordinat kutub yang berbeda dalam jumlah tak terhingga {{nowrap|(''r'', ''φ'' ± ''n''×360°)}} atau {{nowrap|(−''r'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)180°)}}, dimana ''n'' adalah salah satu [[bilangan bulat]].<ref>{{Cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13| format = PDF| archive-date = 2012-02-15| archive-url = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf| dead-url = yes}}</ref> Moreover, the pole itself can be expressed as (0,&nbsp;''φ'') for any angle ''φ''.<ref>{{Cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen |author3=David Sklar |year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>

Jika representasi unik diperlukan untuk titik mana pun, biasanya membatasi '' r '' menjadi [[bilangan non-negatif]] ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) dan ''φ'' ke [[interval (matematika) | interval]] [0, 360 °) atau (−180°,&nbsp;180°] (dalam radian, [0,&nbsp;2π) atau (−π,&nbsp;π]).<ref>{{Cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew|first=Ian|last=Stewart|author2=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-28763-4}}</ref> Seseorang juga harus memilih azimuth unik untuk tiang, misalnya ''φ''&nbsp;=&nbsp;0.

[[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat Kartesius]] ''x'' dan ''y'' dapat dikonversi ke dalam koordinat polar ''r'' dan ''φ'' dengan ''r''&nbsp;≥&nbsp;0 dan ''φ'' dalam interval (−π, π] dengan:<ref>{{Cite book|first=Bruce Follett|last=Torrence|author2=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-59461-8}}</ref>

untuk lingkaran dengan pusat di kutub dan jari-jari ''a''.<ref name="ping">{{Cite web| first=Johan| last=Claeys| url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| title=Polar coordinates| accessdate=2006-05-25| archive-date=2000-03-02| archive-url=https://web.archive.org/web/20000302151535/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| dead-url=yes}}</ref>

KapanKetika {{math|''r''}}₀ = {{math|a}}, atau ketika titik asal terletak pada lingkaran, persamaan menjadi

for any constant ɣ₀ (including 0). If ''k'' is an integer, these equations will produce a ''k''-petaled rose if ''k'' is [[even and odd numbers|odd]], or a 2''k''-petaled rose if ''k'' is even. If ''k'' rasional tetapi bukan bilangan bulat, bentuk seperti mawar dapat terbentuk tetapi dengan kelopak yang tumpang tindih. Perhatikan bahwa persamaan ini tidak pernah mendefinisikan mawar dengan kelopak 2, 6, 10, 14, dll. [[Variabel (matematika) | variabel]] '' a '' mewakili panjang kelopak mawar.

di mana '' e '' adalah [[eksentrisitas (matematika) | eksentrisitas]] dan <math>\ell</math> adalah [[rektum semi-latus]] (jarak tegak lurus pada fokus dari sumbu utama ke kurva). Bila {{nowrap|''e'' > 1}}, persamaan ini mendefinisikan [[hiperbola]]; bila {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, itu mendefinisikan [[parabola]]; dan bila {{nowrap|''e'' < 1}}, itu mendefinisikan [[elips]]. Kasus khusus {{nowrap|''e'' {{=}} 0}} hasil terakhir dalam lingkaran jari-jari <math>\ell</math>.

[[Kalkulus]] dapat diterapkan pada persamaan yang dinyatakan dalam koordinat polar.<ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archive-date=2000-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archive-date=2019-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref>

[[ImageBerkas:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|The region ''R'' is approximated by ''n'' sectors (here, ''n'' = 5).]]

[[FileBerkas:Planimeter.jpg|thumb|A [[planimeter]], which mechanically computes polar integrals]]

==== Generalization ====

=== Vector calculus ===

==== Centrifugal and Coriolis terms ====

[[ImageBerkas:Co-rotating frame vector.svg|thumb|Inertial frame of reference ''S'' and instantaneous non-inertial co-rotating frame of reference ''S′''. The co-rotating frame rotates at angular rate Ω equal to the rate of rotation of the particle about the origin of ''S′'' at the particular moment ''t''. Particle is located at vector position '''r'''(''t'') and unit vectors are shown in the radial direction to the particle from the origin, and also in the direction of increasing angle ''φ'' normal to the radial direction. These unit vectors need not be related to the tangent and normal to the path. Also, the radial distance ''r'' need not be related to the radius of curvature of the path.]]

===== ''Co-rotating frame'' =====

For a particle in planar motion, one approach to attaching physical significance to these terms is based on the concept of an instantaneous ''co-rotating frame of reference''.<ref name=Taylor>For the following discussion, see {{Cite book|author=John R Taylor|title=Classical Mechanics|url=https://archive.org/details/classicalmechani0000tayl|page=§&nbsp;9.10, pp. 358–359|isbn=1-891389-22-X|publisher=University Science Books|year=2005}}</ref> To define a co-rotating frame, first an origin is selected from which the distance ''r''(''t'') to the particle is defined. An axis of rotation is set up that is perpendicular to the plane of motion of the particle, and passing through this origin. Then, at the selected moment ''t'', the rate of rotation of the co-rotating frame Ω is made to match the rate of rotation of the particle about this axis, ''dφ''/''dt''. Next, the terms in the acceleration in the inertial frame are related to those in the co-rotating frame. Let the location of the particle in the inertial frame be (''r(''t''), ''φ''(''t'')), and in the co-rotating frame be (''r(t), ''φ''′(t)''). Because the co-rotating frame rotates at the same rate as the particle, ''dφ''′/''dt'' = 0. The fictitious centrifugal force in the co-rotating frame is ''mrΩ², radially outward. The velocity of the particle in the co-rotating frame also is radially outward, because ''dφ''′/''dt'' = 0. The ''fictitious Coriolis force'' therefore has a value −2''m''(''dr''/''dt'')Ω, pointed in the direction of increasing ''φ'' only. Thus, using these forces in Newton's second law we find:

== Aplikasi ==

=== Posisi dan navigasi ===

Sistem yang menampilkan [[simetri radial]] memberikan pengaturan alami untuk sistem koordinat kutub, dengan titik pusat bertindak sebagai kutub. Contoh utama dari penggunaan ini adalah [[persamaan aliran air tanah]]. Sistem dengan [[gaya pusat | gaya radial]] juga merupakan kandidat yang baik untuk penggunaan sistem koordinat polar. Sistem ini mencakup [[gravitasi|medan gravitasi]], yang mematuhi [[hukum kuadrat terbalik]], serta sistem dengan [[sumber titik]], seperti [[antena (radio)|antena radio]].

*{{Cite book|last=Adams|first=Robert|author2=Christopher Essex|title=Calculus: a complete course|url=https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_c1q6|edition=Eighth|year=2013|publisher=Pearson Canada Inc.|isbn=978-0-321-78107-9}}

*{{Cite book|last=Anton|first=Howard|author2=Irl Bivens |author3=Stephen Davis |title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus0000anto_n5e7|edition=Seventh|year=2002|publisher=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}

{{wikibooksWikibooks|Kalkulus|Integrasi Polar}}

*[http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter &mdash;— converts between polar, Cartesian and spherical coordinates]