Sistem koordinat polar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20220809)) #IABot (v2.0.8.9) (GreenC bot |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
| (5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 13:
== Sejarah ==
{{See also|Sejarah fungsi trigonometri}}
Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama [[SM]]. Astronom dan astrolog [[Yunani]], [[Hipparchus]], (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi [[:en:chord (geometry)|chord]] dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang.<ref name="milestones">{{Cite web| last = Friendly| first = Michael| title = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization| url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| accessdate = 2006-09-10| archive-date = 2011-03-20| archive-url = https://web.archive.org/web/20110320182116/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| dead-url = yes}}</ref>
Dalam karyanya ''[[On Spirals]]'', [[Archimedes]] menyatakan [[Archimedean spiral]], suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.
Baris 57 ⟶ 56:
Menambahkan sejumlah [[putaran (geometri)|putaran]] (360 °) penuh ke koordinat sudut tidak mengubah arah yang sesuai. Juga, koordinat radial negatif paling baik diinterpretasikan sebagai jarak positif terkait yang diukur dalam arah yang berlawanan. Oleh karena itu, titik yang sama dapat diekspresikan dengan koordinat kutub yang berbeda dalam jumlah tak terhingga {{nowrap|(''r'', ''φ'' ± ''n''×360°)}} atau {{nowrap|(−''r'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)180°)}}, dimana ''n'' adalah salah satu [[bilangan bulat]].<ref>{{Cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13| format = PDF| archive-date = 2012-02-15| archive-url = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf| dead-url = yes}}</ref> Moreover, the pole itself can be expressed as (0, ''φ'') for any angle ''φ''.<ref>{{Cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen |author3=David Sklar |year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>
Jika representasi unik diperlukan untuk titik mana pun, biasanya membatasi '' r '' menjadi [[bilangan non-negatif]] ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) dan ''φ'' ke [[interval (matematika)|
== Konversi dari atau ke koordinat Kartesius ==
Baris 121 ⟶ 120:
[[mawar (matematika)|Polar mawar]] adalah kurva matematika terkenal yang terlihat seperti kelopak bunga, dan dapat diekspresikan sebagai persamaan kutub sederhana,
:<math>r(\varphi) = a \cos (k\varphi + \gamma_0)\,</math>
for any constant ɣ<sub>0</sub> (including 0). If ''k'' is an integer, these equations will produce a ''k''-petaled rose if ''k'' is [[even and odd numbers|odd]], or a 2''k''-petaled rose if ''k'' is even. If ''k'' rasional tetapi bukan bilangan bulat, bentuk seperti mawar dapat terbentuk tetapi dengan kelopak yang tumpang tindih. Perhatikan bahwa persamaan ini tidak pernah mendefinisikan mawar dengan kelopak 2, 6, 10, 14, dll. [[Variabel (matematika)|
{{-}}
Baris 137 ⟶ 136:
: <math>r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}</math>
di mana '' e '' adalah [[eksentrisitas (matematika)|
{{-}}
Baris 168 ⟶ 167:
== Kalkulus ==
[[Kalkulus]] dapat diterapkan pada persamaan yang dinyatakan dalam koordinat polar.<ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archive-date=2000-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archive-date=2019-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref>
Koordinat sudut '' φ '' dinyatakan dalam radian di sepanjang bagian ini, yang merupakan pilihan konvensional saat mengerjakan kalkulus.
Baris 279 ⟶ 278:
===== ''Co-rotating frame'' =====
For a particle in planar motion, one approach to attaching physical significance to these terms is based on the concept of an instantaneous ''co-rotating frame of reference''.<ref name=Taylor>For the following discussion, see {{Cite book|author=John R Taylor|title=Classical Mechanics|url=https://archive.org/details/classicalmechani0000tayl|page=§ 9.10, pp. 358–359|isbn=1-891389-22-X|publisher=University Science Books|year=2005}}</ref> To define a co-rotating frame, first an origin is selected from which the distance ''r''(''t'') to the particle is defined. An axis of rotation is set up that is perpendicular to the plane of motion of the particle, and passing through this origin. Then, at the selected moment ''t'', the rate of rotation of the co-rotating frame Ω is made to match the rate of rotation of the particle about this axis, ''dφ''/''dt''. Next, the terms in the acceleration in the inertial frame are related to those in the co-rotating frame. Let the location of the particle in the inertial frame be (''r(''t''), ''φ''(''t'')), and in the co-rotating frame be (''r(t), ''φ''′(t)''). Because the co-rotating frame rotates at the same rate as the particle, ''dφ''′/''dt'' = 0. The fictitious centrifugal force in the co-rotating frame is ''mrΩ<sup>2</sup>, radially outward. The velocity of the particle in the co-rotating frame also is radially outward, because ''dφ''′/''dt'' = 0. The ''fictitious Coriolis force'' therefore has a value −2''m''(''dr''/''dt'')Ω, pointed in the direction of increasing ''φ'' only. Thus, using these forces in Newton's second law we find:
:<math>\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_{cf}} + \boldsymbol{F_{Cor}} = m \ddot{\boldsymbol{r}} \, </math>
where over dots represent time differentiations, and '''F''' is the net real force (as opposed to the fictitious forces). In terms of components, this vector equation becomes:
Baris 295 ⟶ 294:
== Aplikasi ==
[[Berkas:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|jmpl|Pola kutub loudspeaker kolom Bosch 36W, adalah Sistem koordinat polar]]
Koordinat polar adalah dua dimensi dan karenanya hanya dapat digunakan jika posisi titik terletak pada bidang dua dimensi tunggal. Mereka paling sesuai dalam konteks apa pun di mana fenomena yang sedang dipertimbangkan secara inheren terkait dengan arah dan panjang dari titik pusat. Contohnya, Contoh di atas menunjukkan bagaimana persamaan kutub elementer cukup untuk mendefinisikan kurva, seperti spiral Archimedean yang persamaannya dalam sistem koordinat Cartesian akan jauh lebih rumit. Selain itu, banyak sistem fisik — seperti yang berkaitan dengan benda yang bergerak di sekitar titik pusat atau dengan fenomena yang berasal dari titik pusat lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan polat. Motivasi awal untuk pengenalan sistem kutub adalah mempelajari [[gerakan melingkar|melingkar]] dan [[gerakan orbital]].
Baris 301:
=== Pemodelan ===
Sistem yang menampilkan [[simetri radial]] memberikan pengaturan alami untuk sistem koordinat kutub, dengan titik pusat bertindak sebagai kutub. Contoh utama dari penggunaan ini adalah [[persamaan aliran air tanah]]. Sistem dengan [[gaya pusat|
Sistem asimetris radial juga dapat dimodelkan dengan koordinat polar. Contohnya, [[Mikrofon#Pola kutub mikrofon|pola pengambilan]] [[mikrofon]] mengilustrasikan respons proporsionalnya terhadap suara yang masuk dari arah tertentu, dan pola ini dapat diulang. Kurva untuk mikrofon cardioid standar, mikrofon searah yang paling umum, dapat direpresentasikan sebagai {{nowrap|''r'' {{=}} 0.5 + 0.5sin(''φ'')}} pada frekuensi desain targetnya.<ref>{{Cite book|last=Eargle|first=John|authorlink=John M. Eargle|title=Handbook of Recording Engineering|year=2005|edition=Fourth|publisher=Springer|isbn = 0-387-28470-2}}</ref> Pola bergeser ke arah omnidirectionality pada frekuensi yang lebih rendah.
Baris 322:
'''Umum'''
{{refbegin}}
*{{Cite book|last=Adams|first=Robert|author2=Christopher Essex|title=Calculus: a complete course|url=https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_c1q6|edition=Eighth|year=2013|publisher=Pearson Canada Inc.|isbn=978-0-321-78107-9}}
*{{Cite book|last=Anton|first=Howard|author2=Irl Bivens |author3=Stephen Davis |title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus0000anto_n5e7|edition=Seventh|year=2002|publisher=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}
*{{Cite book|last=Finney|first=Ross|author2=George Thomas|author3=Franklin Demana|author4=Bert Waits|title=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edition=Single Variable Version|date=June 1994|publisher=Addison-Wesley Publishing Co.|isbn=0-201-55478-X|url=https://archive.org/details/calculusgraphica00ross}}
| |||