Logaritma: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Perbaikan untuk PW:CW (Fokus: Minor/komestika; 1, 48, 64) + genfixes |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(4 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Logarithm plots.png|jmpl|300x300px|Grafik fungsi logaritma dengan tiga bilangan pokok yang umum. Titik khusus {{math|<sup>''b''</sup>log ''b'' {{=}} 1}} diperlihatkan oleh garis bertitik, dan semua kurva fungsi memotong di {{math|1=<sup>''b''</sup>log 1 = 0}}.]]{{Operasi aritmetika}}
Dalam [[matematika]], '''logaritma'''
Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) disebut sebagai [[logaritma umum]], yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok [[E (konstanta matematika)|bilangan {{Math|''e''}}]] ({{math|''b'' ≈ 2.718}}) disebut sebagai [[logaritma alami]], yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan [[integral]] dan [[turunan]]. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) disebut sebagai [[logaritma biner]], yang seringkali dipakai dalam [[ilmu komputer]].
Baris 22:
Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan nilai {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.
Logaritma dengan bilangan pokok {{mvar|b}}
Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus
Baris 31:
== Definisi ==
Diberikan [[bilangan real]] positif {{mvar|1=''b''}} sehingga {{math|1=''b'' ≠ 1}}, maka ''logaritma'' dari bilangan real positif {{mvar|x}} terhadap bilangan pokok {{mvar|b}}{{refn|Perbatasan {{mvar|x}} dan {{mvar|b}} dijelaskan pada bagian [[#Sifat analitik|"Sifat analitik"]].|group=nb}}
Sebagai contoh, {{math|1=<sup>2</sup>log 16 = 4}}, karena {{math|1=2<sup>4</sup> = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}. Logaritma juga dapat bernilai negatif, contohnya {{math|1=<sup>2</sup>log {{sfrac|1=1|2=2}} = –1}}, karena {{math|1=2<sup>–1</sup> = {{sfrac|1=1|2=2<sup>1</sup>}} = {{sfrac|1=1|2=2}}}}. Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh {{math|<sup>10</sup>log 150}} kira-kira sama dengan 2,176 karena terletak di antara 2 dan 3, dan begitupula 150 terletak antara {{math|1=10<sup>2</sup> = 100}} dan {{math|1=10<sup>3</sup> = 1000}}. Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap {{mvar|b}}, {{math|1=<sup>''b''</sup>log ''b'' = 1}} karena {{math|1=''b''<sup>1</sup> = {{mvar|b}}}}, dan {{math|1=<sup>''b''</sup>log 1 = 0}} karena {{math|1=''b''<sup>0</sup> = 1}}.
Baris 93:
== Bilangan pokok khusus ==
[[Berkas:Log4.svg|jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan {{mvar|e}}]]
Secara khusus, terdapat tiga bilangan pokok yang umum di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (konstanta matematika)|''e'']]}} (konstanta [[bilangan irasional]] yang kira-kira sama dengan 2,71828), dan {{math|1=''b'' = 2}} ([[logaritma biner]]). Dalam [[analisis matematika]], logaritma dengan bilangan pokok {{mvar|e}} tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan {{nowrap|bilangan pokok 10}} mudah dipakai dalam perhitungan [[Transmisi manual|manual]] dalam sistem bilangan [[desimal]]:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|date=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chapter 17, hlm. 275</ref>
: <math>^{10}\!\log(10 x) = \, ^{10}\!\log 10 + \, ^{10}\!\log x = 1 + \, ^{10}\!\log x.\ </math>
Baris 99:
Jadi, {{math|<sup>10</sup>log ''x''}} berkaitan dengan jumlah [[Digit|digit desimal]] dari bilangan bulat positif {{mvar|x}}: jumlah digitnya merupakan [[bilangan bulat]] terkecil yang lebih besar dari {{math|<sup>10</sup>log ''x''}}.<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, hlm. 20</ref> Sebagai contoh, {{math|<sup>10</sup>log 1430}} kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam [[teori informasi]], logaritma alami dipakai dalam [[Nat (unit)|nat]] dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam [[bit]] sebagai satuan dasar informasi.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logaritma biner juga dipakai dalam [[ilmu komputer]], dengan [[sistem biner]] ditemukan dimana-mana. Dalam [[teori musik]], rasio tinggi nada kedua (yaitu [[oktaf]]) ditemukan dimana-mana dan jumlah [[Sen (musik)|sen]] antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per [[setengah nada]] dengan [[temperamen sama]]). Dalam [[fotografi]], logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur [[nilai pajanan]], [[Luminans|tingkatan cahaya]], [[Kecepatan rana|waktu eksposur]], [[tingkap]], dan [[kecepatan film]] dalam "stop".<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>
Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Selain {{math|<sup>''b''</sup>log ''x''}}, adapula notasi logaritma lain yang ditulis sebagai {{math|log<sub>''b''</sub> ''x''}}, dan juga seperti {{math|log ''x''}}. Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan [[Organisasi Standardisasi Internasional]], yakni [[ISO 80000-2]].<ref>Quantities and
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
! scope="col" |Bilangan pokok
Baris 156:
== Sejarah ==
{{Main|Sejarah logaritma}}
'''Sejarah logaritma''' yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] terbaru yang memperluas dunia analisis di luar keterbatasan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh [[John Napier]] pada tahun 1614, dalam bukunya yang berjudul ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]''.<ref>{{citation|first=John|last=Napier|author-link=John Napier|title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|trans-title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms|language=la|location=Edinburgh, Scotland|publisher=Andrew Hart|year=1614|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001}}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William|last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Namun, teknik-teknik lain sebelum penemuan Napier sudah ada dengan keterbatasan metode yang serupa, contohnya seperti [[prosthafaeresis]] atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh [[Jost Bürgi]] sekitar tahun 1600.<ref name="folkerts">{{citation|last1=Folkerts|first1=Menso|last2=Launert|first2=Dieter|last3=Thom|first3=Andreas|arxiv=1510.03180|doi=10.1016/j.hm.2016.03.001|issue=2|journal=[[Historia Mathematica]]|mr=3489006|pages=133–147|title=Jost Bürgi's method for calculating sines|volume=43|year=2016|s2cid=119326088}}</ref><ref>{{MacTutor|id=Burgi|title=Jost Bürgi (
[[Logaritma umum]] dari bilangan adalah indeks dari perpangkatan sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> Bilangan yang sangat membutuhkan banyak angka merupakan kiasan kasar untuk logaritma umum, dan [[Archimedes]] menyebutnya sebagai “orde bilangan”.<ref>{{citation|last=Pierce|first=R. C. Jr.|date=January 1977|doi=10.2307/3026878|issue=1|journal=[[The Two-Year College Mathematics Journal]]|jstor=3026878|pages=22–26|title=A brief history of logarithms|volume=8}}</ref> Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Ada beberapa metode yang menggunakan tabel yang diperoleh dari identitas trigonometri,<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through
Penemuan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang dikenal saat ini sebagai [[logaritma alami]], berawal dari saat [[Grégoire de Saint-Vincent]] mencoba menggambarkan [[Kuadratur (matematika)|kuadratur]] [[hiperbola]] persegi panjang. Archimedes menulis risalah yang berjudul ''[[Quadrature of the Parabola|The Quadrature of the Parabola]]'' pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur hiperbola menghindari semua upayanya hingga Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Logaritma yang mengaitkan [[barisan dan deret geometri]] dalam [[Argumen dari fungsi|argumen]] dan nilai [[barisan dan deret aritmetika]], meminta [[A. A. de Sarasa|Antonio de Sarasa]] untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam [[prosthafaeresis]] sehingga mengarah ke sebuah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". [[Christiaan Huygens]] dan [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]] mulai mengenali fungsi baru tersebut. [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] memakai notasi Log y pada tahun 1675,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> dan tahun berikutnya ia mengaitkannya dengan [[Kalkulus integral|integral]]
Baris 174:
:: "...kecerdasan yang mengagumkan, [sebuah alat] yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."<ref>{{Citation|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, hlm. 44<br>Teks asli:{{quote|1="...[a]n admirable artifice which, by reducing to a few days the labour of many months, doubles the life of the astronomer, and spares him the errors and disgust inseparable from long calculations."}}</ref>
{{anchor|Antilogaritma}}Karena fungsi {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}}
=== Tabel logaritma ===
Baris 217:
=== Keberadaan ===
Misalkan {{mvar|b}} adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup> ''x''</sup>}}. Pernyataan yang diikuti dari [[teorema nilai antara]] ini,<ref name="LangIII.3">{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|year=1997|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|author1-link=Serge Lang}}, bagian III.3</ref> merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah ({{Lang-en|domain}}) dan kisarannya ({{Lang-en|range}}). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa {{mvar|f}} yang [[Fungsi monoton|menaik sempurna]] (untuk {{math|''b'' > 1}}), atau menurun sempurna (untuk {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}})<ref name="LangIV.2">{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997|nb=yes|loc=bagian IV.2}}</ref> merupakan [[fungsi kontinu]], memiliki ranah <math>\R</math> dan memiliki kisaran <math>\R_{> 0}</math>. Oleh karena itu, {{Mvar|f}}
Misalkan <math>^b\!\log\colon\R_{>0}\to\R</math> yang menyatakan invers dari fungsi {{Mvar|f}}. Dalam artian, {{math|<sup>''b''</sup>log ''y''}}
=== Karakterisasi melalui rumus hasil kali ===
Baris 242:
Artinya, [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok {{math|''b''}} di titik {{math|(''x'', <sup>''b''</sup>log (''x''))}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x'' ln(''b'')}}}}.
Turunan dari {{Math|ln(''x'')}} adalah {{Math|{{sfrac|1=1|2=''x''}}}}, yang berarti ini menyiratkan bahwa {{Math|ln(''x'')}}
Turunan dengan argumen fungsional rampat {{math|''f''(''x'')}} dirumuskan sebagai
Baris 255:
=== Representasi integral mengenai fungsi logaritma ===
[[Berkas:Natural logarithm integral.svg|al=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.|jmpl|[[Logaritma alami|Logaritma natural]] dari ''{{Mvar|t}}''
[[Logaritma alami]] dari {{Mvar|t}} dapat didefinisikan sebagai [[integral tentu]]:
Baris 316:
</math>
Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat {{math|''z'' {{=}} 1,5}} memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari {{math|ln(1,5) {{=}} 0,405465}}. [[Deret (matematika)|Deret]] ini yang mengaproksimasi {{math|ln(''z'')}} dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer, {{math|ln(''z'')}}
: <math>
Baris 328:
: <math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left (
</math>
Baris 363:
=== Algoritma Feynman ===
[[Richard Feynman]], yang mengerjakan [[proyek Manhattan]] di [[Los Alamos National Laboratory]], mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, [[Connection Machine]]. Bahkan bahwa setiap bilangan real {{Math|1 < ''x'' < 2}} yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk {{Math|1 + 2<sup>−''k''</sup>}}, dipakai dalam algoritma ini. Algoritma ini dibangun secara berurutan bahwa hasil kali {{Mvar|P}}, yang dimulai dengan {{math|''P'' {{=}} 1}} dan {{math|''k'' {{=}} 1}}, mengatakan bahwa jika {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>) < ''x''}}, maka {{Mvar|P}} berubah menjadi {{math|''P'' · (1 + 2<sup>−''k''</sup>)}}, sehingga membuat nilai <math>k</math> menaik. Algoritma tersebut berhenti ketika {{Mvar|k}} cukup besar memberikan nilai akurat yang diinginkan. Karena {{Math|log(''x'')}}
== Penerapan ==
Baris 371:
{{Main|Skala logaritmik}}
[[Berkas:Germany Hyperinflation.svg|al=Grafik yang menggambarkan nilai dari waktu ke waktu. Melalui skala logaritma, garis pada grafik memperlihatkan nilainya yang menaik dengan cepat.|jmpl|Grafik logaritma memperlihatkan kenaikan harga mata uang [[Mark Jerman|''goldmark'']] di [[Papiermark Jerman|Papiermark]] selama berlangsungnya [[Inflasi di Republik Weimar|hiperinflasi di Jerman pada tahun 1920-an]]|kiri]]
Satuan kuantitas dalam ilmiah seringkali dinyatakan sebagai logaritma dari kuantitas lain, dengan menggunakan ''skala logaritmik''. Sebagai contoh, [[desibel]] merupakan [[Satuan|satuan pengukuran]] yang dikaitkan dengan perhitungan dari [[Tingkatan (kuantitas logaritma)|kuantitas]] [[skala logaritmik]]. Penguat desibel memberikan 10 kalinya logaritma biasa dari [[rasio]] [[Daya (fisika)|daya]] atau 20 kalinya logaritma biasa dari rasio [[Tegangan listrik|tegangan]]. Satuan inilah yang dipakai untuk mengukur rugi tingkatan ketegangan saat mentransmisi sinyal elektrik,<ref>{{Citation|last1=Bakshi|first1=U.A.|title=Telecommunication Engineering|publisher=Technical Publications|location=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=EV4AF0XJO9wC|page=A5}}}}{{Pranala mati|date=Februari 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, bagian 5.2</ref> yang bertujuan untuk menjelaskan tingkatan kekuatan aras daya suara dalam [[akustik]],<ref>{{Citation|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, bagian 23.0.2</ref> serta mengukur [[absorbansi|penyerapan]] cahaya dalam bidang [[Spektrometer|spektrometri]] dan [[optika]]. Selain itu, desibel juga dipakai dalam [[nisbah sinyal-derau]] yang menjelaskan seberapa banyak [[Derau (elektronik)|derau]] dibandingkan dengan [[Sinyal (elektrik)|sinyal]] yang berguna.<ref>{{Citation|last1=Tashev|first1=Ivan Jelev|title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-31983-3|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=plll9smnbOIC|page=48}}|page=98}}</ref> Mirip dengan tadi, [[nisbah puncak sinyal terhadap derau|nisbah puncak sinyal-derau]] biasanya dipakai menilai kualitas suara dan metode [[pemampatan citra]] melalui logaritma.<ref>{{Citation|last1=Chui|first1=C.K.|title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]|location=Philadelphia|series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation|isbn=978-0-89871-384-8|year=1997|url={{google books |plainurl=y |id=N06Gu433PawC|page=180}}}}</ref>
Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan [[skala magnitudo momen]] atau [[skala Richter|skala magnitudo Ritcher]]. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32 kali {{math|(10<sup>1,5</sup>)}} dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000 kali{{math|(10<sup>3</sup>)}} energi berkekuatan 4,0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, bagian 4.4.</ref> Skala logaritmik juga dipakai dalam [[Magnitudo semu|magnitudo kentara]] untuk mengukur kecerahan bintang.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, bagian 8.3, hlm. 231</ref> Dalam [[kimia]], negatif dari logaritma desimal, yang disebut sebagai '''{{vanchor|kologaritma}}''' desimal, ditunjukkan dengan huruf "p".<ref name="Jens">{{cite journal|author=Nørby, Jens|year=2000|title=The origin and the meaning of the little p in pH|journal=Trends in Biochemical Sciences|volume=25|issue=1|pages=36–37|doi=10.1016/S0968-0004(99)01517-0|pmid=10637613}}</ref> Sebagai contoh, [[pH]] merupakan kologaritma desimal dari [[Aktivitas termodinamika|keaktifan]] dari [[ion]] berbentuk [[hidrogen]] {{chem|H|+|}} yang terbentuk dari air, [[hidronium]].<ref>{{Citation|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC|doi-access=free}}</ref> Keaktifan dari ion hidronium dalam air yang netral bernilai 10<sup>−7</sup> [[Molaritas|mol·L<sup>−1</sup>]], sehingga nilai pH adalah 7. Contoh lainnya, nilai pH dari asam cuka biasanya sekitar 3. Perbedaan nilai sebesar 4 sesuai dengan rasio 10<sup>4</sup> berdasarkan aktivitasnya, yaitu nilai dari aktivitas ion hidronium cuka sekitar 10<sup>−3</sup> mol·L<sup>−1</sup>.
Baris 397:
Logaritma muncul pula dalam [[sebaran log-normal]]. Ketika logaritma dari [[variabel acak]] mempunyai [[Distribusi normal|sebaran normal]], maka variabel dikatakan mempunyai sebaran log-normal.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2|oclc=301100935|year=1969}}</ref> Sebaran log-normal ditemukan dalam banyak bidang, dengan suatu variabel dibentuk sebagai hasil kali dari banyaknya variabel acak indenpenden bernilai positif. Contohnya seperti dalam mempelajari turbulensi.<ref>{{Citation|title=An introduction to turbulent flow|author=Jean Mathieu and Julian Scott|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-77538-0|page=50|url={{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}}}</ref>
Logaritma dipakai untuk menghitung [[pendugaan kemungkinan maksimum|estimasi kemungkinan maksimum]] dari [[model statistika]] parametrik. [[Fungsi kemungkinan]] pada model tersebut bergantung setidaknya satu [[model parametrik|parameter]] yang harus diestimasi. Nilai maksimum dari fungsi kemungkinan muncul di nilai parameter yang sama sebagai nilai maksimum logaritma kemungkinan (atau disebut ''log likelihood''), karena logaritma merupakan fungsi menaik. ''Log-likelihood''
[[Hukum Benford]] menjelaskan kemungkinan digit dalam [[himpunan data]] yang banyak, contohnya seperti tinggi bangunan. Menurut hukum Benford, kemungkinan bahwa digit desimal pertama suatu item dalam sampel data adalah {{Mvar|d}} (yang berkisar dari 1 hingga 9) sama dengan {{math|<sup>10</sup>log (''d'' + 1) − <sup>10</sup>log (''d'')}}, ''tanpa memperhatikan'' satuan pengukuran.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|author-link1=Sergei Tabachnikov|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, bagian 2.1</ref> Jadi, sekitar 30% data dapat diduga mempunyai 1 sebagai digit pertama, 18% dimulai dengan 2, dst. Penyimpangan dari hukum Benford dihitung oleh para akuntan untuk membantu mendeteksi penipuan data akuntansi.<ref>{{citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi|first2=William|last2=Hillison|first3=Carl|last3=Pacini|url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|volume=V|pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|archive-date=29 Agustus 2017|access-date=28 Mei 2018}}</ref>
Baris 404:
Cabang dalam [[ilmu komputer]] yang mempelajari [[kompleksitas waktu|performa]] dari suatu [[algoritma]] dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut [[analisis algoritma]].<ref name="Wegener">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, hlm. 1–2</ref> Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan [[Divide and Conquer|membagi suatu masalah]] menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, hlm. 143</ref>
Sebagai contoh, cara [[algoritma pencarian biner]] ({{lang-en|1=binary searching algorithm}}) dalam mencari bilangan dalam daftar yang tersortir adalah dengan memeriksa entri tengah dan meneruskannya di sebagian sebelum atau sesudah entri tengah jika tidak ditemukan bilangannya. Umumnya, algoritma ini memerlukan perbandingan {{math|<sup>2</sup>log (''N'')}}, dengan {{mvar|N}}
Suatu fungsi {{math|''f''(''x'')}} dikatakan [[pertumbuhan logaritmik|bertumbuh secara logaritmik]] jika {{math|''f''(''x'')}} (setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari {{mvar|x}}, namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis.<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, bab 19, hlm. 298</ref> Sebagai contoh, setiap [[bilangan asli]] {{mvar|N}} dapat direpresentasikan dalam [[sistem bilangan biner|bentuk bilangan biner]] yang tidak lebih dari {{math|<sup>2</sup>log ''N'' + 1}} [[bit]]. Dengan kata lain, jumlah [[Memori (komputer)|memori]] diperlukan untuk menyimpan {{mvar|N}} pertumbuhan secara logaritmik dengan {{mvar|N}}.
Baris 498:
: <math>e^a=z</math>
disebut ''logaritma kompleks'' dari {{mvar|z}}, ketika {{mvar|z}} (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai {{math|''z {{=}} x + iy''}}, dengan {{mvar|x}} dan {{mvar|y}}
: <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
Baris 504:
Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] beserta periodisitasnya dalam {{Math|2{{pi}}}}, setiap bilangan kompleks {{mvar|z}} dapat dinyatakan sebagai
: <math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi
untuk setiap bilangan bulat {{mvar|k}}. Nyatanya, argumen dari {{mvar|z}} tidak dijelaskan secara unik, yakni: bilangan {{mvar|φ}} dan {{Math|1=''φ''' = ''φ'' + 2''k''{{pi}}}}
[[Rumus Euler]] mengaitkan [[fungsi trigonometri]] [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] dengan [[Rumus Euler|eksponensial kompleks]]:
Baris 524:
dengan {{math|ln(''r'')}} adalah fungsi logaritma real tunggal, {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} menyatakan logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, dan {{mvar|k}} bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, yang semua bilangan kompleks {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} untuk {{mvar|e}} pangkat {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} sama dengan {{mvar|z}}, mempunyai tak berhingga banyaknya nilai
: <math>a_k = \ln (r) + i (
[[Berkas:Complex log domain.svg|al=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.|jmpl|Cabang prinsip (-{{pi}}, {{pi}}) dari prinsip logaritma kompleks, {{math|Log(''z'')}}. Titik berwarna hitam di {{math|''z'' {{=}} 1}} berpadanan dengan nilai titik nol dan warna yang lebih cerah mengacu pada nilai mutlak lebih besar. [[Rona]] dari warna mengkodekan argumen dari {{math|Log(''z'')}}.|kiri]]
Baris 545:
Berdasarkan sudut pandang [[teori grup]], identitas {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} menyatakan [[isomorfisme grup]] antara bilangan [[Bilangan riil|riil]] positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup.<ref>{{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, bagian V.4.1</ref> Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, [[ukuran Haar]] ([[ukuran Lebesgue]]) {{math|''dx''}} pada riil berpadanan dengan ukuran Haar {{math|{{sfrac|1=''dx''|2=''x''}}}} pada bilangan real positif.<ref>{{Citation|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|author-link=Rouben V. Ambartzumian|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url-access=registration|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, bagian 1.4</ref> Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, namun juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk [[semigelanggang]], yang disebut sebagai [[Semigelanggang#Probabilitas semigelanggang|semigelanggang probabilitas]], bahkan membentuk [[semigelanggang]]. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan [[isomorfisme]] semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan [[semigelanggang logaritma]].
Konsep ini juga terdapat di dalam [[analisis kompleks]] dan [[geometri aljabar]], yang [[Bentuk logaritmik|logaritmik satu bentuk ]]{{math|''df''/''f''}}
Selain itu, terdapat [[polilogaritma]], sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai
Baris 568:
*{{sister-inline|project=v|links=[[v:Speak Math Now!/Week 9: Six rules of Exponents/Logarithms|A lesson on logarithms can be found on Wikiversity]]|short=yes}}
* {{MathWorld|Logarithm|Logarithm|mode=cs2}}
* [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]
* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
|