Logaritma: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Logarithm plots.png|jmpl|300x300px|Grafik fungsi logaritma dengan tiga bilangan pokok yang umum. Titik khusus {{math|^''b''log ''b'' {{=}} 1}} diperlihatkan oleh garis bertitik, dan semua kurva fungsi memotong di {{math|1=^''b''log 1 = 0}}.]]{{Operasi aritmetika}}

 

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) disebut sebagai [[logaritma umum]], yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok [[E (konstanta matematika)|bilangan {{Math|''e''}}]] ({{math|''b'' ≈ 2.718}}) disebut sebagai [[logaritma alami]], yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan [[integral]] dan [[turunan]]. Logaritma dengan bilangan pokok {{math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) disebut sebagai [[logaritma biner]], yang seringkali dipakai dalam [[ilmu komputer]].

Sebagai contoh, {{math|2}} pangkat {{math|3}} memberikan nilai {{math|8}}. Secara matematis, <math>2^3 = 8</math>.

 

 

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus

 

== Definisi ==

 

Sebagai contoh, {{math|1=²log&thinsp;16 = 4}}, karena {{math|1=2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16}}. Logaritma juga dapat bernilai negatif, contohnya {{math|1=²log {{sfrac|1=1|2=2}} = –1}}, karena {{math|1=2^–1 = {{sfrac|1=1|2=2¹}} = {{sfrac|1=1|2=2}}}}. Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh {{math|¹⁰log&thinsp;150}} kira-kira sama dengan 2,176 karena terletak di antara 2 dan 3, dan begitupula 150 terletak antara {{math|1=10² = 100}} dan {{math|1=10³ = 1000}}. Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap {{mvar|b}}, {{math|1=^''b''log&thinsp;''b'' = 1}} karena {{math|1=''b''¹ = {{mvar|b}}}}, dan {{math|1=^''b''log&thinsp;1 = 0}} karena {{math|1=''b''⁰ = 1}}.

== Bilangan pokok khusus ==

[[Berkas:Log4.svg|jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5; 2; dan {{mvar|e}}]]

 

: <math>^{10}\!\log(10 x) = \, ^{10}\!\log 10 + \, ^{10}\!\log x = 1 + \, ^{10}\!\log x.\ </math>

Jadi, {{math|¹⁰log&thinsp;''x''}} berkaitan dengan jumlah [[Digit|digit desimal]] dari bilangan bulat positif {{mvar|x}}: jumlah digitnya merupakan [[bilangan bulat]] terkecil yang lebih besar dari {{math|¹⁰log&thinsp;''x''}}.<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|date=2005}}, hlm.&nbsp;20</ref> Sebagai contoh, {{math|¹⁰log 1430}} kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam [[teori informasi]], logaritma alami dipakai dalam [[Nat (unit)|nat]] dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam [[bit]] sebagai satuan dasar informasi.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|date=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logaritma biner juga dipakai dalam [[ilmu komputer]], dengan [[sistem biner]] ditemukan dimana-mana. Dalam [[teori musik]], rasio tinggi nada kedua (yaitu [[oktaf]]) ditemukan dimana-mana dan jumlah [[Sen (musik)|sen]] antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per [[setengah nada]] dengan [[temperamen sama]]). Dalam [[fotografi]], logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur [[nilai pajanan]], [[Luminans|tingkatan cahaya]], [[Kecepatan rana|waktu eksposur]], [[tingkap]], dan [[kecepatan film]] dalam "stop".<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|date=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>

 

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"

! scope="col" |Bilangan pokok

== Sejarah ==

{{Main|Sejarah logaritma}}

 

 

Penemuan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang dikenal saat ini sebagai [[logaritma alami]], berawal dari saat [[Grégoire de Saint-Vincent]] mencoba menggambarkan [[Kuadratur (matematika)|kuadratur]] [[hiperbola]] persegi panjang. Archimedes menulis risalah yang berjudul ''[[Quadrature of the Parabola|The Quadrature of the Parabola]]'' pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur hiperbola menghindari semua upayanya hingga Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Logaritma yang mengaitkan [[barisan dan deret geometri]] dalam [[Argumen dari fungsi|argumen]] dan nilai [[barisan dan deret aritmetika]], meminta [[A. A. de Sarasa|Antonio de Sarasa]] untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam [[prosthafaeresis]] sehingga mengarah ke sebuah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". [[Christiaan Huygens]] dan [[James Gregory (matematikawan)|James Gregory]] mulai mengenali fungsi baru tersebut. [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] memakai notasi Log y pada tahun 1675,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> dan tahun berikutnya ia mengaitkannya dengan [[Kalkulus integral|integral]]

:: "...kecerdasan yang mengagumkan, [sebuah alat] yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang."<ref>{{Citation|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, hlm.&nbsp;44<br>Teks asli:{{quote|1="...[a]n admirable artifice which, by reducing to a few days the labour of many months, doubles the life of the astronomer, and spares him the errors and disgust inseparable from long calculations."}}</ref>

 

 

=== Tabel logaritma ===

 

=== Keberadaan ===

 

 

=== Karakterisasi melalui rumus hasil kali ===

Artinya, [[kemiringan]] dari [[garis singgung]] yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok {{math|''b''}} di titik {{math|(''x'', ^''b''log&thinsp;(''x''))}} sama dengan {{math|{{sfrac|1=1|2=''x'' ln(''b'')}}}}.

 

 

Turunan dengan argumen fungsional rampat {{math|''f''(''x'')}} dirumuskan sebagai

 

=== Representasi integral mengenai fungsi logaritma ===

[[Logaritma alami]] dari {{Mvar|t}} dapat didefinisikan sebagai [[integral tentu]]:

 

</math>

 

 

: <math>

 

: <math>

</math>

 

 

=== Algoritma Feynman ===

 

== Penerapan ==

{{Main|Skala logaritmik}}

[[Berkas:Germany Hyperinflation.svg|al=Grafik yang menggambarkan nilai dari waktu ke waktu. Melalui skala logaritma, garis pada grafik memperlihatkan nilainya yang menaik dengan cepat.|jmpl|Grafik logaritma memperlihatkan kenaikan harga mata uang [[Mark Jerman|''goldmark'']] di [[Papiermark Jerman|Papiermark]] selama berlangsungnya [[Inflasi di Republik Weimar|hiperinflasi di Jerman pada tahun 1920-an]]|kiri]]

 

Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan [[skala magnitudo momen]] atau [[skala Richter|skala magnitudo Ritcher]]. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32&nbsp;kali {{math|(10^1,5)}} dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000&nbsp;kali{{math|(10³)}} energi berkekuatan 4,0.<ref>{{Citation|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, bagian 4.4.</ref> Skala logaritmik juga dipakai dalam [[Magnitudo semu|magnitudo kentara]] untuk mengukur kecerahan bintang.<ref>{{Citation|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, bagian 8.3, hlm.&nbsp;231</ref> Dalam [[kimia]], negatif dari logaritma desimal, yang disebut sebagai '''{{vanchor|kologaritma}}''' desimal, ditunjukkan dengan huruf "p".<ref name="Jens">{{cite journal|author=Nørby, Jens|year=2000|title=The origin and the meaning of the little p in pH|journal=Trends in Biochemical Sciences|volume=25|issue=1|pages=36–37|doi=10.1016/S0968-0004(99)01517-0|pmid=10637613}}</ref> Sebagai contoh, [[pH]] merupakan kologaritma desimal dari [[Aktivitas termodinamika|keaktifan]] dari [[ion]] berbentuk [[hidrogen]] {{chem|H|+|}} yang terbentuk dari air, [[hidronium]].<ref>{{Citation|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/P04524.html|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC|doi-access=free}}</ref> Keaktifan dari ion hidronium dalam air yang netral bernilai 10⁻⁷&nbsp;[[Molaritas|mol·L⁻¹]], sehingga nilai pH adalah 7. Contoh lainnya, nilai pH dari asam cuka biasanya sekitar 3. Perbedaan nilai sebesar 4 sesuai dengan rasio 10⁴ berdasarkan aktivitasnya, yaitu nilai dari aktivitas ion hidronium cuka sekitar 10⁻³ mol·L⁻¹.

Logaritma muncul pula dalam [[sebaran log-normal]]. Ketika logaritma dari [[variabel acak]] mempunyai [[Distribusi normal|sebaran normal]], maka variabel dikatakan mempunyai sebaran log-normal.<ref>{{Citation|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2|oclc=301100935|year=1969}}</ref> Sebaran log-normal ditemukan dalam banyak bidang, dengan suatu variabel dibentuk sebagai hasil kali dari banyaknya variabel acak indenpenden bernilai positif. Contohnya seperti dalam mempelajari turbulensi.<ref>{{Citation|title=An introduction to turbulent flow|author=Jean Mathieu and Julian Scott|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-77538-0|page=50|url={{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}}}</ref>

 

 

[[Hukum Benford]] menjelaskan kemungkinan digit dalam [[himpunan data]] yang banyak, contohnya seperti tinggi bangunan. Menurut hukum Benford, kemungkinan bahwa digit desimal pertama suatu item dalam sampel data adalah {{Mvar|d}} (yang berkisar dari 1 hingga 9) sama dengan {{math|¹⁰log&thinsp;(''d'' + 1) − ¹⁰log&thinsp;(''d'')}}, ''tanpa memperhatikan'' satuan pengukuran.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|author-link1=Sergei Tabachnikov|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, bagian 2.1</ref> Jadi, sekitar 30% data dapat diduga mempunyai 1 sebagai digit pertama, 18% dimulai dengan 2, dst. Penyimpangan dari hukum Benford dihitung oleh para akuntan untuk membantu mendeteksi penipuan data akuntansi.<ref>{{citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi|first2=William|last2=Hillison|first3=Carl|last3=Pacini|url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|volume=V|pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|archive-date=29 Agustus 2017|access-date=28 Mei 2018}}</ref>

Cabang dalam [[ilmu komputer]] yang mempelajari [[kompleksitas waktu|performa]] dari suatu [[algoritma]] dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut [[analisis algoritma]].<ref name="Wegener">{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, hlm. 1–2</ref> Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan [[Divide and Conquer|membagi suatu masalah]] menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah.<ref>{{Citation|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, hlm.&nbsp;143</ref>

 

 

Suatu fungsi&nbsp;{{math|''f''(''x'')}} dikatakan [[pertumbuhan logaritmik|bertumbuh secara logaritmik]] jika {{math|''f''(''x'')}} (setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari {{mvar|x}}, namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis.<ref>{{Citation|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url-access=registration|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, bab 19, hlm.&nbsp;298</ref> Sebagai contoh, setiap [[bilangan asli]]&nbsp;{{mvar|N}} dapat direpresentasikan dalam [[sistem bilangan biner|bentuk bilangan biner]] yang tidak lebih dari {{math|²log&thinsp;''N'' + 1}}&nbsp;[[bit]]. Dengan kata lain, jumlah [[Memori (komputer)|memori]] diperlukan untuk menyimpan {{mvar|N}} pertumbuhan secara logaritmik dengan {{mvar|N}}.

: <math>e^a=z</math>

 

 

: <math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>

Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] beserta periodisitasnya dalam {{Math|2{{pi}}}}, setiap bilangan kompleks&nbsp;{{mvar|z}} dapat dinyatakan sebagai

 

 

 

[[Rumus Euler]] mengaitkan [[fungsi trigonometri]] [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]] dengan [[Rumus Euler|eksponensial kompleks]]:

dengan {{math|ln(''r'')}} adalah fungsi logaritma real tunggal, {{math|''a''_''k''}} menyatakan logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, dan {{mvar|k}} bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari {{mvar|z}}, yang semua bilangan kompleks {{math|''a''_''k''}} untuk {{mvar|e}} pangkat {{math|''a''_''k''}} sama dengan {{mvar|z}}, mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

 

[[Berkas:Complex log domain.svg|al=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.|jmpl|Cabang prinsip (-{{pi}}, {{pi}}) dari prinsip logaritma kompleks, {{math|Log(''z'')}}. Titik berwarna hitam di {{math|''z'' {{=}} 1}} berpadanan dengan nilai titik nol dan warna yang lebih cerah mengacu pada nilai mutlak lebih besar. [[Rona]] dari warna mengkodekan argumen dari {{math|Log(''z'')}}.|kiri]]

 

Berdasarkan sudut pandang [[teori grup]], identitas {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} menyatakan [[isomorfisme grup]] antara bilangan [[Bilangan riil|riil]] positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup.<ref>{{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, bagian V.4.1</ref> Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, [[ukuran Haar]] ([[ukuran Lebesgue]])&nbsp;{{math|''dx''}} pada riil berpadanan dengan ukuran Haar&nbsp;{{math|{{sfrac|1=''dx''|2=''x''}}}} pada bilangan real positif.<ref>{{Citation|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|author-link=Rouben V. Ambartzumian|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url-access=registration|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, bagian 1.4</ref> Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, namun juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk [[semigelanggang]], yang disebut sebagai [[Semigelanggang#Probabilitas semigelanggang|semigelanggang probabilitas]], bahkan membentuk [[semigelanggang]]. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan [[isomorfisme]] semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan [[semigelanggang logaritma]].

 

 

Selain itu, terdapat [[polilogaritma]], sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai

*{{sister-inline|project=v|links=[[v:Speak Math Now!/Week 9: Six rules of Exponents/Logarithms|A lesson on logarithms can be found on Wikiversity]]|short=yes}}

* {{MathWorld|Logarithm|Logarithm|mode=cs2}}

* [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]

* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}