Akar kuadrat: Perbedaan antara revisi

Di dalam [[matematika]], '''akar kuadrat''' atau '''akar persegi''' dari bilangan ''x'' sama dengan bilangan ''r'' sedemikian sehingga ''r''² = ''x'', atau, di dalam perkataan lain, bilangan ''r'' yang bila di''[[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]''kan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan ''x''. Setiap [[bilangan real]] tak-negatif, katakanlah ''x'' memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut '''akar kuadrat utama''', yang dilambangkan oleh [[akar ke-n]] sebagai <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math>. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi [[eksponen]], sebagai ''x''^1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan <math>\scriptstyle \sqrt{9} = 3</math>, karena {{nowrap|1= 3² = 3 × 3 = 9}} dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Fungsi akar kuadrat utama <math>\scriptstyle f(x) = \sqrt{x}</math> (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi [[akar kuadrat]]") adalah [[fungsi]] yang memetakan [[Himpunan (matematika)|himpunan]] bilangan real taknegatif '''R'''⁺ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan [[bilangan rasional]] ke dalam [[bilangan aljabar]] ([[himpunan bagian|adihimpunan]] bilangan rasional); <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math> adalah rasional jika dan hanya jika ''x'' adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua [[Bilangan kuadrat|kuadrat sempurna]]. Di dalam istilah [[geometri]], fungsi akar kuadrat memetakan [[luas]] dari [[persegi]] kepada panjang sisinya.

:anddan

Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang [[berlawanan (matematika) | berlawanan]] satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah [[bilangan bulat]] [[aljabar]], lebih spesifiknya [[bilangan bulat [[kuadrat]].

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor [[bilangan prima | primeprima]], karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka <math>\sqrt{p^{2k}} = p^k,</math> hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam [[faktorisasi bilangan bulat | faktorisasi]] yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari [[faktorisasi prima]] adalah

Akar kuadrat dari [[bilangan kuadrat | kuadrat sempurna]] s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah [[bilangan bulat]]. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah [[bilangan irasional]] s, dan karenanya memiliki non-[[desimal berulang]] dalam [[representasi desimal]]. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari [[bilangan kuadrat | kuadrat sempurna]] (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah [[bilangan irasional]] s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem [[notasi posisi]] ​​standarstandar.

Salah satu hasil paling menarik dari studi [[bilangan irasional]] s karena [[pecahan kontinu]] diperoleh dengan [[Joseph Louis Lagrange]] {{circa}} 1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah [[Pecahan bersambung periodik | berkala]]. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena {{nowrap|1=11 = 3² + 2}}, di atas juga identik dengan [[pecahan lanjutan umum#Akar dari bilangan positif | pecahan lanjutan umum]]:

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat [[bilangan riil | nyata]]. Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut [[bilangan kompleks]] s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif. Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan '' i '' (terkadang '' j '', terutama dalam konteks [[arus listrik | listrik]] di mana "'' i ''" secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut [[unit imajiner]], yang '' didefinisikan '' sedemikian rupa {{nowrap|1=''i''² = −1}}. Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap '' i '' sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya {{nowrap|1=(−''i'')² = ''i''² = −1}} dan jadi - '' i '' juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah '' i '', atau lebih umum lagi, jika '' x '' adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari '' x '' adalah

Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut [[nilai pokok]], kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun '' x '' + '' iy '' dapat dilihat sebagai titik di bidang, (''x'', ''y''), diekspresikan menggunakan [[sistem koordinat kartesius | koordinat kartesius]]. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan [[koordinat polar]] sebagai pasangan <math>(r, \varphi</math>), dimanadi mana '' r '' ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan <math>\varphi</math> adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ('' x ''). Dalam [[analisis kompleks]], lokasi titik ini ditulis secara konvensional <math>re^{i\varphi}.</math> IfJika

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai [[potongan cabang]]. Fungsi akar kuadrat utama adalah [[fungsi holomorfik | holomorfik]] di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan [[fungsi berkelanjutan | kontinu]]). Deret Taylor di atas untuk <math>\sqrt{1 + x}</math> tetap berlaku untuk bilangan kompleks '' x '' dengan {{nowrap|{{abs|''x''}} < 1}}.

:<math>\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left ( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right ) .</math>

di mana [[Fungsi tanda | tanda]] dari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.

dimanadi mana <math>-\pi<\theta_z\le\pi</math> dan <math>-\pi<\theta_w\le\pi</math>.

dimanadi mana persamaan terakhir, <math>\sqrt{1} = -1,</math> adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

Jika {{mvar | n}} adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua, [[akar ke-n | {{mvar | n}} akar ke]] dari <math> x </math> adalah angka <math> y </math> seperti <math>y^n = x</math>; dilambangkan <math>\sqrt[n]x.</math>

Mengingat [[polinomial]] {{math | '' p ''}}, sebuah [[akar polinomial | akar]] dari {{math | '' p ''}} adalah bilangan {{mvar | y}} seperti yang {{math|''p''(''y'') {{=}} 0}}. Misalnya, akar ke {{mvar | n}} dari {{mvar | x}} adalah akar dari polinomial (pada {{mvar | y}}) <math>y^n-x.</math>

|isbn = }}</ref> Metode ini melibatkan [[Algoritma|algoritme]] sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan ''r'', akar kuadrat dari bilangan real ''x'':

* {{cite book|last = Imhausen|first = Annette|title = The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|url = https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse|publisher = Princeton University Press|location = Princeton|year = 2007|isbn = 0691114854|pages = [https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/187 187]-384 }}

* {{cite book|last = Joseph|first = George|title = The Crest of the Peacock|url = https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose|publisher = Princeton University Press|location = Princeton|year = 2000|isbn = 0691006598 }}