Akar kuadrat: Perbedaan antara revisi

Fungsi akar kuadrat utama <math>\scriptstyle f(x) = \sqrt{x}</math> (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi [[akar kuadrat]]") adalah [[fungsi]] yang memetakan [[Himpunan (matematika)|himpunan]] bilangan real taknegatif '''R'''⁺ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan [[bilangan rasional]] ke dalam [[bilangan aljabar]] ([[himpunan bagian|adihimpunan]] bilangan rasional); <math>\scriptstyle \sqrt{x}</math> adalah rasional jika dan hanya jika ''x'' adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua [[Bilangan kuadrat|kuadrat sempurna]]. Di dalam istilah [[geometri]], fungsi akar kuadrat memetakan [[luas]] dari [[persegi]] kepada panjang sisinya.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah [[bilangan bulat]] [[aljabar]], lebih spesifiknya [[bilangan bulat [[kuadrat]].

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor [[bilangan prima|prima]], karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka <math>\sqrt{p^{2k}} = p^k,</math> hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam [[faktorisasi bilangan bulat|faktorisasi]] yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari [[faktorisasi prima]] adalah

Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut [[nilai pokok]], kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun '' x '' + '' iy '' dapat dilihat sebagai titik di bidang, (''x'', ''y''), diekspresikan menggunakan [[sistem koordinat kartesius|koordinat kartesius]]. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan [[koordinat polar]] sebagai pasangan <math>(r, \varphi</math>), dimanadi mana '' r '' ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan <math>\varphi</math> adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ('' x ''). Dalam [[analisis kompleks]], lokasi titik ini ditulis secara konvensional <math>re^{i\varphi}.</math> Jika

:<math>\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left ( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right ) .</math>

dimanadi mana <math>-\pi<\theta_z\le\pi</math> dan <math>-\pi<\theta_w\le\pi</math>.

dimanadi mana persamaan terakhir, <math>\sqrt{1} = -1,</math> adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

|isbn = }}</ref> Metode ini melibatkan [[Algoritma|algoritme]] sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan ''r'', akar kuadrat dari bilangan real ''x'':