Geometri simplektik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (10 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Limitcycle.svg|jmpl|340px|ka|[[Potret fase]] dari [[oskilator Van der Pol]], sebuah sistem satu dimensional. [[Ruang fase]] adalah obnyek asli dari pembelajaran dalam geometri simplektik.]]
'''Geometri simplektik''' adalah sebuah cabang [[geometri diferensial]] dan [[topologi diferensial]] yang mempelajari manifol-[[manifol simplektik]]; yang merupakan manifol-[[manifol diferensiabel]] yang dialati dengan [[bentuk diferensial|bentuk]] [[bentuk dieferensial tertutup|tertutup]] dan [[bentuk nondegenerasi|nondegenerasi
== Pendahuluan ==
Geometri simplektis didefinisikan pada ruang berdimensi genap mulus yang merupakan [[lipatan terdiferensiasi]]. Pada ruang ini didefinisikan sebuah benda geometris, yaitu [[bentuk simplektik kanonik|bentuk simplektik]], yang memungkinkan untuk pengukuran ukuran benda dua dimensi di [[Ruang (matematika)|ruang]]. Bentuk simplektis dalam geometri simplektis memainkan peran analog dengan [[metrik tensor]] di [[geometri Riemannian]]. Jika tensor metrik mengukur panjang dan sudut, bentuk simplektis mengukur area berorientasi.<ref name=McDuff2010>{{citation|last=McDuff|first=Dusa|contribution=What is Symplectic Geometry?|title=European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting|editor-last=Hobbs|editor-first=Catherine|editor2-last=Paycha|editor2-first=Sylvie|date=2010|publisher=World Scientific|isbn=9789814277686|pages=33–51|contribution-url=http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf|accessdate=5 October 2014|archive-date=2014-10-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006122120/http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf|dead-url=yes}}</ref>
Geometri simplektik muncul dari studi tentang [[mekanika klasik]] dan salah satu contoh struktur simplektik adalah gerak suatu benda dalam satu dimensi. Untuk menentukan lintasan objek, seseorang membutuhkan posisi '' q '' dan momentum '' p '', yang membentuk sebuah titik ('' p '', '' q '') pada bidang Euclidean ℝ<sup>2</sup>. Dalam hal ini, bentuk simplektisnya adalah
:<math>\omega = dp \wedge dq</math>
dan merupakan bentuk wilayah yang mengukur luas '' L '' dari suatu wilayah '' S '' dalam bidang melalui integrasi:
:<math>L = \int_S \omega.</math>
The area is important because as conservative dynamical systems evolve in time, this area is invariant.<ref name=McDuff2010/>
Geometri simplektis berdimensi lebih tinggi didefinisikan secara analogis. Geometri simplektis berdimensi 2''n '' terbentuk dari pasangan arah
: <math>((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))</math>
dalam lipatan dimensi 2''n '' bersama dengan bentuk simplektis
:<math>\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>
Bentuk simplektis ini menghasilkan ukuran wilayah dimensi 2''n '' - '' V '' di ruang angkasa sebagai jumlah area proyeksi '' V '' ke masing-masing bidang yang dibentuk oleh pasangan arah<ref name=McDuff2010/>
:<math>L = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.</math>
== Perbandingan dengan geometri Riemannian ==
Geometri simplektis memiliki sejumlah persamaan dan perbedaan dari [[geometri Riemannian]], yaitu studi tentang [[lipatan terdiferensiasi]] yang dilengkapi dengan 2-tensor simetris nondegenerasi. Berbeda dengan kasus Riemannian, lipatan simplektis tidak memiliki invarian lokal seperti [[kelengkungan lipatan Riemannian|kelengkungan]]. Ini adalah konsekuensi dari [[Teorema Darboux]] yang menyatakan bahwa lingkungan dari apapun titik lipatan simplektis berdimensi 2''n '' isomorfik terhadap struktur simplektis standar pada [[himpunan terbuka]] ℝ<sup>2''n''</sup>. Perbedaan lain dengan geometri Riemannian adalah bahwa tidak setiap kebutuhan lipatan yang dapat dibedakan menerima bentuk simplektis; ada batasan topologi tertentu. Misalnya, setiap lipatan simplektis berdimensi genap dan [[berorientasi]]. Selain itu, bila ''M'' adalah lipatan simplektis tertutup, kemudian [[kohomologi de Rham]] [[Grup (matematika)|grup]] ke-2 ''H''<sup>2</sup>(''M'') tidak sepele; ini menyiratkan, misalnya, bahwa satu-satunya [[N-bola|'' n ''-bola]] yang menerima bentuk simplektis adalah [[Bola (geometri)|2-bola]]. Sebuah paralel yang dapat ditarik antara dua subjek adalah [[analogi]] antara [[geodesik]] dalam geometri Riemannian dan [[kurva pseudoholomorfik]] dalam geometri simplektis: Geodesik adalah kurva dengan panjang terpendek (secara lokal), sedangkan kurva pseudoholomorfik adalah permukaan dengan luas minimal. Kedua konsep tersebut memainkan peran mendasar dalam disiplin ilmu masing-masing.
== Contoh dan struktur ==
Setiap [[lipatan Kähler]] juga merupakan lipatan simplektis. Hingga tahun 1970-an, para ahli simplektis tidak yakin apakah ada lipatan simplektis non-Kähler yang kompak, tetapi sejak itu banyak contoh telah dibuat (yang pertama adalah karena [[William Thurston]]); khususnya, [[Robert Gompf]] telah menunjukkan bahwa setiap [[kelompok yang disajikan secara terbatas]] muncul sebagai [[grup fundamental]] dari beberapa lipatan-4 simplektis, sangat kontras dengan kasus Kähler.
Kebanyakan lipatan simplektis, bisa dikatakan, bukanlah Kähler; dan karenanya tidak memiliki integral [[Struktur kompleks linear|struktur kompleks]] yang kompatibel dengan bentuk simplektis. [[Mikhail Gromov (matematikawan)|Mikhail Gromov]], bagaimanapun, membuat pengamatan penting bahwa lipatan simplektis memang mengakui kelimpahan [[struktur yang hampir kompleks]] yang kompatibel, sehingga mereka memenuhi semua [[aksioma]] untuk lipatan Kähler '' kecuali '' persyaratan bahwa [[peta transisi]] adalah [[fungsi Holomorfik|holomorfik]].
Gromov menggunakan keberadaan struktur yang hampir kompleks pada lipatan simplektis untuk mengembangkan teori [[kurva pseudoholomorfik]], Invarian ini juga memainkan peran kunci dalam [[teori string]].
== Nama <!-- 'Topologi simpel' dialihkan ke sini--> ==
{{quotebox|width=30%|align=right
|quote=Nama "kelompok kompleks" yang saya anjurkan sebelumnya dalam kaitannya dengan kompleks garis, karena ini didefinisikan dengan lenyapnya bentuk-bentuk bilinear antisimetris, telah menjadi lebih dan lebih memalukan melalui tabrakan dengan kata "kompleks" dalam konotasi bilangan kompleks. Karena itu saya mengusulkan untuk menggantinya dengan kata sifat Yunani yang sesuai "simplektis". Dickson menyebut kelompok itu sebagai "kelompok linier Abelian" sebagai penghormatan kepada Abel yang pertama kali mempelajarinya.
|source={{harvtxt|Weyl|1939|p=165}}
}}
Geometri simplektik juga disebut '''Topologi simplektik' l'' <!--huruf tebal per WP:R#PLA--> meskipun yang terakhir sebenarnya merupakan subbidang yang berkaitan dengan pertanyaan global penting dalam geometri simplektis.
Istilah "simplektis", diperkenalkan oleh {{harvtxt|Weyl|1939|loc=footnote, p.165}}, adalah [[calque]] dari "kompleks"; sebelumnya, "kelompok simplektis" disebut "kelompok kompleks garis".
"Kompleks "berasal dari bahasa Latin '' com-plexus '', yang berarti" dijalin bersama "(co- + plexus), sedangkan simplektis berasal dari bahasa Yunani '' sym-plektikos '' (συμπλεκτικός); dalam kedua kasus batang berasal dari akar Indo-Eropa *plek-.<ref name=":0">[http://www.pims.math.ca/~gotay/Symplectization(E).pdf The Symplectization of Science] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110613221105/http://www.pims.math.ca/~gotay/Symplectization(E).pdf |date=2011-06-13 }}, Mark J. Gotay and James A. Isenberg, p. 13.</ref> Nama tersebut mencerminkan hubungan yang dalam antara struktur kompleks dan simplektis.
{{Clear}}
== Lihat pula ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Geometri kontak]]
* [[Mekanika Hamiltonian]]
* [[Mekanika geometris]]
* [[Peta momen]]
* [[Geometri Poisson]]
* [[Paket bingkai simbolis]]
* [[Integrator Simpletik|Integrasi Simpletik]]
* [[Berjenis Simplektik]]
{{Div col end}}
== Catatan ==
Baris 7 ⟶ 57:
== Referensi ==
* {{cite book |first=Ralph |last=Abraham |authorlink=Ralph Abraham (mathematician) |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |authorlink2=Jerrold E. Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=978-0-8053-0102-
* {{cite book |first=Dusa |last=McDuff |authorlink=Dusa McDuff |first2=D. |last2=Salamon |authorlink2=Dietmar Arno Salamon |title=Introduction to Symplectic Topology |location= |publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=978-0-19-850451-
* {{cite book |first=A. T. |last=Fomenko |title=Symplectic Geometry |edition=2nd |year=1995 |publisher=Gordon and Breach |isbn=978-2-88124-901-
* {{cite book |first=Maurice A. |last=de Gosson |authorlink=Maurice A. de Gosson |title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=Birkhäuser Verlag |location=Basel |isbn=978-3-7643-7574-4 }}
* {{cite journal |first=Alan |last=Weinstein |authorlink=Alan Weinstein |year=1981 |title=Symplectic Geometry |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=5 |issue=1 |pages=1–13 |url=http://www.ams.org/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |doi=10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 |access-date=2017-09-26 |archive-date=2023-07-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230731133850/https://www.ams.org/journals/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |dead-url=no }}
* {{Cite book | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations |
== Pranala luar ==
| |||