Geometri simplektik: Perbedaan antara revisi

'''Geometri simplektik''' adalah sebuah cabang [[geometri diferensial]] dan [[topologi diferensial]] yang mempelajari manifol-[[manifol simplektik]]; yang merupakan manifol-[[manifol diferensiabel]] yang dialati dengan [[bentuk diferensial|bentuk]] [[bentuk dieferensial tertutup|tertutup]] dan [[bentuk nondegenerasi|nondegenerasi]] Geometri simplektik bermula dari [[mekanika Hamiltonian|perumusan Hamiltonian]] dari [[mekanika klasik]] dimana [[ruang fase]] dari sistem-sistem klasik tertentu ditampatkan pada struktur manifol simplektik.<ref>{{cite news |first=Kevin |last=Hartnett |date=February 9, 2017 |title=A Fight to Fix Geometry’s Foundations |work=[[Quanta Magazine]] |url=https://www.quantamagazine.org/20170209-the-fight-to-fix-symplectic-geometry/ |access-date=2017-09-26 |archive-date=2017-03-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170315142111/https://www.quantamagazine.org/20170209-the-fight-to-fix-symplectic-geometry/ |dead-url=no }}</ref>

Geometri simplektis didefinisikan pada ruang berdimensi genap mulus yang merupakan [[lipatan terdiferensiasi]]. Pada ruang ini didefinisikan sebuah benda geometris, yaitu [[bentuk simplektik kanonik|bentuk simplektik]], yang memungkinkan untuk pengukuran ukuran benda dua dimensi di [[Ruang (matematika)|ruang]]. Bentuk simplektis dalam geometri simplektis memainkan peran analog dengan [[metrik tensor]] di [[geometri Riemannian]]. Jika tensor metrik mengukur panjang dan sudut, bentuk simplektis mengukur area berorientasi.<ref name=McDuff2010>{{citation|last=McDuff|first=Dusa|contribution=What is Symplectic Geometry?|title=European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting|editor-last=Hobbs|editor-first=Catherine|editor2-last=Paycha|editor2-first=Sylvie|date=2010|publisher=World Scientific|isbn=9789814277686|pages=33–51|contribution-url=http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf|accessdate=5 October 2014|archive-date=2014-10-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006122120/http://barnard.edu/sites/default/files/ewmcambrevjn23.pdf|dead-url=yes}}</ref>

Geometri simplektis memiliki sejumlah persamaan dan perbedaan dari [[geometri Riemannian]], yaitu studi tentang [[lipatan terdiferensiasi]] yang dilengkapi dengan 2-tensor simetris nondegenerasi. Berbeda dengan kasus Riemannian, lipatan simplektis tidak memiliki invarian lokal seperti [[kelengkungan lipatan Riemannian|kelengkungan]]. Ini adalah konsekuensi dari [[Teorema Darboux]] yang menyatakan bahwa lingkungan dari apapun titik lipatan simplektis berdimensi 2''n '' isomorfik terhadap struktur simplektis standar pada [[himpunan terbuka]] ℝ^2''n''. Perbedaan lain dengan geometri Riemannian adalah bahwa tidak setiap kebutuhan lipatan yang dapat dibedakan menerima bentuk simplektis; ada batasan topologi tertentu. Misalnya, setiap lipatan simplektis berdimensi genap dan [[berorientasi]]. Selain itu, bila ''M'' adalah lipatan simplektis tertutup, kemudian [[kohomologi de Rham]] [[Grup (matematika)|grup]] ke-2 ''H''²(''M'') tidak sepele; ini menyiratkan, misalnya, bahwa satu-satunya [[N-bola|'' n ''-bola]] yang menerima bentuk simplektis adalah [[Bola (geometri)|2-bola]]. Sebuah paralel yang dapat ditarik antara dua subjek adalah [[analogi]] antara [[geodesik]] dalam geometri Riemannian dan [[kurva pseudoholomorfik]] dalam geometri simplektis: Geodesik adalah kurva dengan panjang terpendek (secara lokal), sedangkan kurva pseudoholomorfik adalah permukaan dengan luas minimal. Kedua konsep tersebut memainkan peran mendasar dalam disiplin ilmu masing-masing.

Kebanyakan lipatan simplektis, bisa dikatakan, bukanlah Kähler; dan karenanya tidak memiliki integral [[Struktur kompleks linear|struktur kompleks]] yang kompatibel dengan bentuk simplektis. [[Mikhail Gromov (matematikawan)|Mikhail Gromov]], bagaimanapun, membuat pengamatan penting bahwa lipatan simplektis memang mengakui kelimpahan [[struktur yang hampir kompleks]] yang kompatibel, sehingga mereka memenuhi semua [[aksioma]] untuk lipatan Kähler '' kecuali '' persyaratan bahwa [[peta transisi]] ​​adalahadalah [[fungsi Holomorfik | holomorfik]].

"Kompleks "berasal dari bahasa Latin '' com-plexus '', yang berarti" dijalin bersama "(co- + plexus), sedangkan simplektis berasal dari bahasa Yunani '' sym-plektikos '' (συμπλεκτικός); dalam kedua kasus batang berasal dari akar Indo-Eropa *plek-.<ref name=":0">[http://www.pims.math.ca/~gotay/Symplectization(E).pdf The Symplectization of Science] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110613221105/http://www.pims.math.ca/~gotay/Symplectization(E).pdf |date=2011-06-13 }}, Mark J. Gotay and James A. Isenberg, p. 13.</ref> Nama tersebut mencerminkan hubungan yang dalam antara struktur kompleks dan simplektis.

* {{cite book |first=Ralph |last=Abraham |authorlink=Ralph Abraham (mathematician) |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |authorlink2=Jerrold E. Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=978-0-8053-0102-X1 }}

* {{cite book |first=Dusa |last=McDuff |authorlink=Dusa McDuff |first2=D. |last2=Salamon |authorlink2=Dietmar Arno Salamon |title=Introduction to Symplectic Topology |location= |publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=978-0-19-850451-91 }}

* {{cite book |first=A. T. |last=Fomenko |title=Symplectic Geometry |edition=2nd |year=1995 |publisher=Gordon and Breach |isbn=978-2-88124-901-93 }} ''(An undergraduate level introduction.)''

* {{cite book |first=Maurice A. |last=de Gosson |authorlink=Maurice A. de Gosson |title=Symplectic Geometry and Quantum Mechanics |year=2006 |publisher=Birkhäuser Verlag |location=Basel |isbn=978-3-7643-7574-4 }}

* {{cite journal |first=Alan |last=Weinstein |authorlink=Alan Weinstein |year=1981 |title=Symplectic Geometry |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=5 |issue=1 |pages=1–13 |url=http://www.ams.org/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |doi=10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 |access-date=2017-09-26 |archive-date=2023-07-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230731133850/https://www.ams.org/journals/bull/1981-05-01/S0273-0979-1981-14911-9/S0273-0979-1981-14911-9.pdf |dead-url=no }}

* {{Cite book | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=The Classical Groups. Their Invariants and Representations | urlyear =https://books.google.com/books?isbn=0691057567 1939|ref=harv}} Reprinted by publisher=[[Princeton University Press]] |edition=Reprint(1997). {{ISBN| isbn=0-691-05756-7}}. {{MR| mr=0000255 | origyear=1939 |year=1997 }}.