Matriks (matematika): Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Matrix.svg|jmpl|247px|ka|Baris ''m'' adalah horizontalvertikal dan kolom ''n'' vertikalhorizontal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua [[notasi indeks]]. Misalnya, ''a''_2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks '''A'''.]]

Dalam [[matematika]], '''matriks''' adalah [[wikt:susunan|susunan]]<ref>Secara ekuivalen, ''[[wikt:tabel|tabel]]''.</ref> [[bilangan]], [[simbol (formal)|simbol]], atau [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang disusun dalam [[wikt:baris|baris]] dan [[wikt:kolom|kolom]] sehingga membentuk suatu bangun [[persegi]].<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref> Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"):<math display="block">\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}</math>karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:.

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan [[perkalian matriks]], dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. (artinyaPerkalian ini akan menghasilkan matriks dengan ukuran jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. Artinya, perkalian matriks <math>m \times \mathbf{n} </math> dengan matriks <math>\mathbf{n} \times p</math> menghasilkan matriks <math>m \times p</math>). Perkalian matriks tidak bersifat [[komutatif]].

Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan [[transformasi linear]], yakni suatu generalisasi [[fungsi linear]] seperti <math>f(x) = 4x</math>. Sebagai contoh, efek [[Rotasi (matematika)|rotasi]] pada ruang [[dimensi]] tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi <math>\mathbf{R}</math>. Jika <math>v</math> adalah sebuah [[Vektor (spasial)|vektor]] di dimensi tiga, hasil dari <math>\mathbf{R}v</math> menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan [[Komposisi (matematika)|komposisi]] dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi [[persamaan linear|sistem persamaan linear]]. Jika matriks merupakan [[matriks persegi]], beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai [[determinan]]. Misalnya, matriks persegi memiliki [[Matriks invers|invers]] [[jika dan hanya jika]] nilai [[determinan]]<nowiki/>nyadeterminannya tidak sama dengan nol. Sisi [[geometri]] dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari ''eigenvalue'' dan ''eigenvector'' matriks.

Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang [[fisika]], contohnya [[mekanika klasik]], [[mekanika kuantum]], dan [[optika]], matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang ''computer[[grafika graphics''komputer]], matriks digunakan untuk memanipulasi [[model 3D]] dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang [[Peluang (matematika)|teori probabilitas]] dan [[statistika]], [[matriks stokastik]] digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma [[PageRank]] dalam menentukan urutan halaman pada pencarian [[Google]]. [[Kalkulus matriks|Kalkulus matrik]]<nowiki/>s menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari [[turunan]] dan [[Eksponensiasi|eksponensial]] ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang [[ekonomi]] untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.

Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan jumlah kolom <math>m</math>kolom dan jumlah baris <math>n</math>baris disebut matriks <math>m \times n</math> atau matriks "m kali n", dimana <math>m</math> dan <math>n</math> disebutadalah dimensinya. Sebagai contoh, matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' di atas adalah matriks <math>3 \times 2</math>. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut [[matriks tak terbatas]]. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut [[matriks kosong]].

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:<math display="block"> \mathbf{A} =

Elemen baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' terkadang dirujuk sebagai elemen ke <math>(i,\,j)</math> dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai <math>a_{i,\,j}</math> atau <math>a_{ij}</math>. Alternatif notasi yang lain adalah <math>A[i,j]</math> atau <math>A_{i,j}</math>. Sebagai contoh, elemen ke <math>(1, 3)</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berikut dapat ditulis sebagai <math>a_{1,\,3

Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurungtanda kurawalkurung ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai <math>\mathbf{A} = [i-j]</math> atau <math>\mathbf{A} = ((i-j))</math>.

Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, [[perkalian skalar]], transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.

a_{311} & a_{412} & a_{13} \\

a_{621} & a_{522} & a_{23} \\

\end{bmatrix} \\

&=

Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertamabahanpertambahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks <math>A</math> dan <math>B</math> secara berturut-turut sebagai

Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu <math display="block">A+B = \begin{bmatrix}a_{11} + b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc&&a_{1n} + b_{1n}\\

, bentukBentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan <math>B+A</math>. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.<ref>{{cite web|url=https://iseng-project.id/materi-matematika/sma/matriks/|title=Matriks}}</ref>

Matriks dapat digunakan untuk menulismenuliskan dan bekerjamengerjakan beberapa persamaan linear sekaligus secara kompaklebih denganringkas. Persamaan-persamaan linearini berganda,disebut yaitusebagai sistem persamaan linear. MisalnyaSebagai contoh, bilamisalkan '''<math>\mathbf{A}</math>''' adalah matriks berukuran <math>m \times n</math>, '''<math>\textbf{x}</math>''' menunjukkanadalah suatu vektor kolom (yaitu, matriks <math>n \times 1</math>) dari '' <math>n</math> '' variabel <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math>, dan ''' <math>\textbf{b}</math> ''' adalah vektor <math>m \times 1

</math>, maka persamaan matriksnya ialahmatriks

a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m.

Dengan menggunakan matriks, halsistem ini dapat diselesaikan secara lebih kompakringkas daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. JikaPada kasus ketika ''n'' = ''m'' dan semua persamaan bersifat independen (tidak dapat dinyatakan menggunakan persamaan-persamaan yang lain), solusi dari sistem persamaan dapat dituliskan sebagai<math display="block">\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b},</math>dengan '''<math>\mathbf{A}^{-1}</math>''' merupakan [[persamaanmatriks independen|independeninvers]] dari '''<math>\mathbf{A}</math>'''. Namun jika '''<math>\mathbf{A}</math>''' tidak memiliki invers, makasolusi inidari sistem persamaan — jika ada — dapat dilakukanditemukan dengansaat menulismenggunakan [[invers umum]].

Matriksm dan\times multiplikasin</math> matriks<span mengungkapkanid="linear_maps">dapat fiturdianggap pentingsebagai merekasuatu saat terkait dengan ''transformasi linear'', juga dikenal sebagai ''peta linear''. </span id="linear_maps">A realdari ''m''-byruang dimensi-''n'' matrikske ruang dimensi-'''<math>\mathbf{A}</math>'m'', menimbulkandengan transformasibahasa linear</span>lain, <math>\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>. Transformasi ini <span id="linear_maps">memetakan setiap vektor '''<math>\textbf{x}</math>''' padadalam <math>\mathbb{R}^n</math> ke (matriks)sebuah produkvektor '''<math>\textbf{Ax}</math>''', yang merupakan vektorterletak dalam <math>\mathbb{R}^nm</math>. Sebaliknya, setiap transformasi linear <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>dapat munculdianggap darisebagai unikefek ''m''-by-''n''perkalian dengan suatu matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''': secaraberukuran ''m×n''. Secara eksplisit, {{nowrap|entri ke-</span><math>(''i'', ''\,j'')-entry}}</math> dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> isadalah thekoordinat ke-''i''{{sup|th}} coordinatedari ofhasil pemetaan <span id="linear_maps">'''<math>f(\textbf{e}_j)</math>''', dengan</span>; vektor <math>\textbf{e}_j = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)</math> adalah <span id="linear_maps">adalah [[vektor satuan]] dengan nilai 1 pada koordinat ke-''j''{{sup|th}} posisi dan bernilai 0 di tempatkoordinat-koordinat yang lain.</span> TheDari matrixhubungan <spanini, matriks id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> dikatakanadalah mewakilirepresentasi peta(wakil) dari transformasi linear '' <span id="linear_maps">'''<math>f</math>'''</span> '', dan ''disebut 'A'sebagai '' disebut '' matriks transformasi '' dari <span id="linear_maps">'''''<math>f</math>'''''</span>.

| [[Pemetaan geser|geserPenggeseran horizontal]] dengan ''m'' = 1.,25.

| [[Refleksi (matematika)|Refleksi]] melaluiterhadap sumbu vertikal

| [[PemetaanPemerasan pemerasan]](''squeezing'') dengan r = 3/2

1 & 1.,25 \\

Di bawahKarena [[bijection Bijeksi|korespodensi korespondensi 1satu-ke-1satu]] antara matriks dan petatransformasi linierlinear, operasi perkalian matriks sesuaiberhubungan dengan operasi [[komposisi fungsi|komposisi]] petafungsi:<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2}}</ref> jika suatu matriks a<span id="linear_maps">''k'<math>\mathbf{B}</math>' - ''m''</span> ''berukuran 'B'k<span id="linear_maps">×</span>m'' mewakili petasuatu transformasi linear lainnya <span id="linear_maps"><math>g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k</math></span>, maka komposisi fungsi <span id="linear_maps"><math>g \circ f</math></span> dapat diwakili oleh perkalian matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{BA}</math>'''</span> karena <span id="linear_maps"><math display="block">(g \circ f)(\mathbf{x}) = g(f(\mathbf{x})) = g(\mathbf{Ax}) = \mathbf{B}(\mathbf{Ax}) = (\mathbf{BA})x.</math></span>Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.

[[Matriks persegi]] adalah matriks denganyang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama.<ref name=":4" /> Matriks ''n''-oleh-''n''berukuran dikenal sebagai matriks kuadrat berorde ''n.'' Dua matriks kuadrat berorde yang sama dapat ditambahkan dan dikalikan.<math>

n \times n</math> juga disebut sebagai matriks persegi berorde ''n.'' Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri <math>a_{ii}</math> membentuk [[diagonal utama]] dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis imajinerkhayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"

==== Matriks diagonalidentitas dan segitigamatriks skalar ====

\ \cdotsldots ,

====Determinant== Penerapan ==