Matriks (matematika): Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Matrix.svg|jmpl|247px|ka|Baris ''m'' adalah horizontalvertikal dan kolom ''n'' vertikalhorizontal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua [[notasi indeks]]. Misalnya, ''a''_2,1 mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks '''A'''.]]

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan [[perkalian matriks]], dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. (artinyaPerkalian ini akan menghasilkan matriks dengan ukuran jumlah baris matriks pertama dan jumlah kolom matriks kedua. Artinya, perkalian matriks <math>m \times \mathbf{n} </math> dengan matriks <math>\mathbf{n} \times p</math> menghasilkan matriks <math>m \times p</math>). Perkalian matriks tidak bersifat [[komutatif]].

Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan [[transformasi linear]], yakni suatu generalisasi [[fungsi linear]] seperti <math>f(x) = 4x</math>. Sebagai contoh, efek [[Rotasi (matematika)|rotasi]] pada ruang [[dimensi]] tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi <math>\mathbf{R}</math>. Jika <math>v</math> adalah sebuah [[Vektor (spasial)|vektor]] di dimensi tiga, hasil dari <math>\mathbf{R}v</math> menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan [[Komposisi (matematika)|komposisi]] dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi [[persamaan linear|sistem persamaan linear]]. Jika matriks merupakan [[matriks persegi]], beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai [[determinan]]. Misalnya, matriks persegi memiliki [[Matriks invers|invers]] [[jika dan hanya jika]] nilai [[determinan]]<nowiki/>nyadeterminannya tidak sama dengan nol. Sisi [[geometri]] dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari ''eigenvalue'' dan ''eigenvector'' matriks.

Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang [[fisika]], contohnya [[mekanika klasik]], [[mekanika kuantum]], dan [[optika]], matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang ''computer[[grafika graphics''komputer]], matriks digunakan untuk memanipulasi [[model 3D]] dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang [[Peluang (matematika)|teori probabilitas]] dan [[statistika]], [[matriks stokastik]] digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma [[PageRank]] dalam menentukan urutan halaman pada pencarian [[Google]]. [[Kalkulus matriks|Kalkulus matrik]]<nowiki/>s menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari [[turunan]] dan [[Eksponensiasi|eksponensial]] ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang [[ekonomi]] untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi.

Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan jumlah kolom <math>m</math>kolom dan jumlah baris <math>n</math>baris disebut matriks <math>m \times n</math> atau matriks "m kali n", dimana <math>m</math> dan <math>n</math> disebutadalah dimensinya. Sebagai contoh, matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' di atas adalah matriks <math>3 \times 2</math>. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut [[matriks tak terbatas]]. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut [[matriks kosong]].

</math>Notasi simbolik untuk menyatakan suatu matriks sangat bervariasi, namun beberapa notasi lebih umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti '''<math>\mathbf{A}</math>''' pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal <math>a_{1,1}</math>, untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan garis bawah ganda (''double-underline'' (garis bawah ganda) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya <math>\underline{\underline{A}}</math>).

Elemen baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' terkadang dirujuk sebagai elemen ke <math>(i,\,j)</math> dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai <math>a_{i,\,j}</math> atau <math>a_{ij}</math>. Alternatif notasi yang lain adalah <math>A[i,j]</math> atau <math>A_{i,j}</math>. Sebagai contoh, elemen ke <math>(1, 3)</math> dari matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berikut dapat ditulis sebagai <math>a_{1,\,3

Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurungtanda kurawalkurung ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai <math>\mathbf{A} = [i-j]</math> atau <math>\mathbf{A} = ((i-j))</math>.

Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, [[perkalian skalar]], transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks.

a_{311} & a_{412} & a_{13} \\

a_{621} & a_{522} & a_{23} \\

\end{bmatrix} \\

&=

Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertamabahanpertambahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks <math>A</math> dan <math>B</math> secara berturut-turut sebagai

, bentukBentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan <math>B+A</math>. Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.<ref>{{cite web|url=https://iseng-project.id/materi-matematika/sma/matriks/|title=Matriks}}</ref>

Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam ''transformasi linear'', yang juga dikenal sebagai ''peta linear''. <span id="linear_maps">Matriks (real) '''<math>\mathbf{A}</math>''' berukuran</span> ''m×n''<math>
m \times n</math> <span id="linear_maps">dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear</span> dari ruang dimensi-''n'' ke ruang dimensi-''m'', dengan bahasa lain, <math>\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>. Transformasi ini <span id="linear_maps">memetakan setiap vektor '''<math>\textbf{x}</math>''' dalam <math>\mathbb{R}^n</math> ke sebuah vektor '''<math>\textbf{Ax}</math>''' yang terletak dalam <math>\mathbb{R}^m</math>. Sebaliknya setiap transformasi linear <math>f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math>dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' berukuran ''m×n''. Secara eksplisit, entri ke-</span><math>(i,\,j)</math> dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah koordinat ke-''i'' dari hasil pemetaan <span id="linear_maps">'''<math>f(\textbf{e}_j)</math>'''</span>; vektor <math>\textbf{e}_j = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)</math> adalah <span id="linear_maps">[[vektor satuan]] dengan nilai 1 pada koordinat ke-''j'' dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks '''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah representasi (wakil) dari transformasi linear ''<span id="linear_maps">'''<math>f</math>'''</span>'', dan disebut sebagai ''matriks transformasi'' dari <span id="linear_maps">'''''<math>f</math>'''''</span>.

Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran ''n×n''<math>
n \times n</math> juga disebut sebagai matriks persegi berorde ''n.'' Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri <math>a_{ii}</math> membentuk [[diagonal utama]] dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis khayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

Matriks identitas <math>\mathbf{I}_n</math> berorde ''n'' adalah matriks berukuran ''n×n''<math>
n \times n</math> yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sedangkan elemen-elemen lain bernilai 0. Sebagai contoh,

Matriks ini dinamakan identitas karena tidak mengubah matriks lain ketika dikalikan:<math display="block">\mathbf{AI}_n = \mathbf{I}_m \mathbf{A} = \mathbf{A}</math>untuk sembarang matriks <span id="linear_maps"><math>\mathbf{A}</math> berukuran</span> ''m×n''<math>
m \times n
</math><span id="linear_maps">. Matriks ini adalah bentuk khusus dari [[matriks diagonal]]. Matriks berupa kelipatan skalar dari matriks identitas disebut ''matriks skalar''. Jika entri-entri matriks identitas diambil dari suatu [[Medan (matematika)|medan]], matriks skalar akan membentuk suatu [[Grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian matriks, dan isomorfik ke grup multiplikatif dari elemen-elemen tak nol dari medan tersebut.</span>