|
'''Persamaan''' adalah suatu [[proposisi|pernyataan]] [[matematika]] dalam bentuk [[simbol (matematika)|simbol]] yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan '''tanda sama dengan''' (=), seperti berikut:
:<math>x + 3 = 5</math>, yang menyatakan bahwa nilai <math>x = 2.</math>
:2x + 3 = 5, yang menyatakan bahwa nilai x = 1.
:<math>2x + 3 = 5</math>, yang menyatakan bahwa nilai <math>x = 1</math>.
Pernyataan di atas adalah suatu [[kesamaan]]. Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua [[ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang terdiri dari satu atau lebih [[variabel]]. Sebagai contoh, untuk ''x'' anggota [[bilangan nyata]], persamaan berikut selalu benar:
Pernyataan di atas adalah suatu [[kesamaan]]. Persamaan dapat digunakan untuk menyatakan kesamaan dua [[ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang terdiri dari satu atau lebih [[variabel]].<ref>{{Cite web|title=Equation - Math Open Reference|url=https://www.mathopenref.com/equation.html|website=www.mathopenref.com|access-date=2020-08-19}}</ref> Sebagai contoh, untuk <math>x</math> anggota [[bilangan nyata]], persamaan berikut selalu benar:
:''x''(''x'' - 1) = ''x''<sup>2</sup>'' − ''x''.
:<math>x(x - 1) = x^2 - x</math>
Persamaan di atas adalah contoh dari [[identitas (matematika)|identitas]]: persamaan yang selalu benar, tak peduli berapa pun nilai variabel yang ada di dalamnya. Persamaan berikut bukanlah suatu identitas:
:''x<supmath>x^2</sup>'' - ''x'' = 0.</math>
Persamaan di atas adalah salah untuk sejumlah tak hingga ''<math>x''</math>, dan hanya benar untuk satu nilai; nilai [[akar (matematika)|akar]] unik dari persamaan, ''yaitu <math>x'' = 1</math>. Karenanya, jika suatu persamaan diketahui bernilai [[benar (logika)|benar]], persamaan tersebut membawa informasi mengenai nilai ''<math>x''</math>. Secara umum, nilai variabel di mana suatu persamaan menjadi benar disebut dengan ''solusi'' atau ''penyelesaian''. Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan solusinya.
Banyak pengarang yang menggunakan istilah ''persamaan'' untuk kesamaan yang bukan identitas. Perbedaan antara kedua konsep tersebut kadang sulit dibedakan; sebagai contoh,
:<math>(''x'' + 1)<sup>^2</sup> = ''x''<sup>^2</sup> + 2''x''2x + 1</math>
adalah identitas, sedangkan
:<math>(''x'' + 1)<sup>^2</sup> = 2x^2''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 1</math>
adalah persamaan yang memiliki akar ''<math>x = 0</math> dan <math>x=1''</math>. Apakah suatu pernyataan dimaksudkan sebagai suatu identitas atau suatu persamaan, menentukan informasi mengenai variabelnya sering dapat ditentukan berdasarkan konteksnya.
Huruf-huruf awal alfabet seperti ''a'', ''b'', ''c'', ... sering kali digunakan sebagai [[konstanta]], dan huruf-huruf di akhir alfabet, seperti ''x'', ''y'', ''z'', umumnya digunakan sebagai lambang variabel.
== Jenis-jenis persamaan ==
Persamaan bisa dikelompokkan berdasarkan jenis operasi dan kuantitas yang dilibatkan. Jenis-jenisnya di antaranya adalah:
Jenis-jenis persamaan sebagai berikut:
* Persaman [[polinomial]], yaitu persamaan yang kedua sisinya berisi polinomial. Persamaan jenis ini bisa dikelompokklan lagi berdasarkan [[derajat polinomial|derajat]]nya.
# [[Persamaan Linear]]
** [[Persamaan linear]], derajatnya satu
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>6x - 7 = 5x + 3</math>!
** [[Persamaan kuadrat]], derajatnya dua
: <math>6x - 7 = 5x + 3</math>
** [[Persamaan kubik]], derajatnya tiga
: <math>6x - 5x = 3 + 7</math>
* [[Persamaan rasional]], yaitu persamaan yang mengandung [[pecahan]] dengan [[polinomial]] baik di penyebut maupun pembilangnya
: <math>x = 10</math>
* [[Persamaan irasional]], yaitu persamaan yang mengandung ekspresi yang tidak bisa disebutkan dengan operasi-operasi [[aritmetika dasar]], misalnya persamaan yang melibatkan operasi [[akar kuadrat]]
* [[Persamaan mutlak]], yaitu persamaan yang mengandung operasi [[nilai mutlak]]
: <math>HP = \{x|x = \{10 \}, x \in R \}</math>
* [[Persamaan diferensial]], yaitu persamaan yang melibatkan [[turunan (matematika)|turunan]] dari suatu fungsi yang tidak diketahui
# [[Persamaan Kuadrat]]
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>x^2 - 7x = 10 - 4x</math>!
: <math>x^2 - 7x = 10 - 4x</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 5</math>
: <math>HP = \{x|x = \{-2, 5 \}, x \in R \}</math>
# [[Persamaan Akar]]
<!--
Dalam bentuk persamaan akar sebagai berikut:
: <math>\sqrt {f(x)} = 0</math>
haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) > 0.
-->
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>\sqrt {x^2 - 4x} = \sqrt {10 - x}</math>!
: <math>\sqrt {x^2 - 4x} = \sqrt {10 - x}</math>
: <math>(\sqrt {x^2 - 4x})^2 = (\sqrt {10 - x})^2</math>
: <math>x^2 - 4x = 10 - x</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 5</math>
: <math>HP = \{x|x = \{-2, 5 \}, x \in R \}</math>
# [[Persamaan Pecahan]]
<!--
Dalam bentuk persamaan pecahan sebagai berikut:
: <math>\frac {f(x)}{g(x)} = 0</math>
haruslah mempunyai syarat yaitu penyebut atau g(x) ≠ 0.
-->
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 2}</math>!
: <math>\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 2}</math>
: <math>\frac{x - 4}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 2} = 0</math>
: <math>\frac{(x - 4)(x - 2) - (x + 1)(x - 3)}{(x + 1)(x - 2)} = 0</math>
: <math>\frac{x^2 - 6x + 8 - (x^2 - 2x - 3)}{(x + 1)(x - 2)} = 0</math>
: <math>\frac{- 4x + 11}{(x + 1)(x - 2)} = 0</math>
: <math>- 4x +11 = 0</math>
: <math>x = \frac{11}{4}</math>
: <math>HP = \{x|x = \{\frac{11}{4} \}, x \in R \}</math>
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>\frac{x^2 - 3x - 3}{3x - 8} = 1</math>!
: <math>\frac{x^2 - 3x - 3}{3x - 8} = 1</math>
: <math>\frac{x^2 - 3x - 3}{3x - 8} - 1 = 0</math>
: <math>\frac{x^2 - 3x - 3}{3x - 8} - \frac{3x - 8}{3x - 8} = 0</math>
: <math>\frac{x^2 - 3x - 3 - (3x - 8)}{3x - 8} = 0</math>
: <math>\frac{x^2 - 6x + 5}{3x - 8} = 0</math>
: <math>\frac{(x - 1)(x - 5)}{3x - 8} = 0</math>
: <math>(x - 1)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = 1 \or x = 5</math>
: <math>HP = \{x|x = \{1, 5 \}, x \in R \}</math>
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 20} = 0</math>!
: <math>\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 20} = 0</math>
: <math>\frac{(x + 2)(x - 4)}{(x + 5)(x - 4)} = 0</math>
: <math>\frac{x + 2}{x + 5} = 0</math>
: <math>x + 2 = 0</math>
: <math>x = - 2</math>
: <math>HP = \{x|x = \{2 \}, x \in R \}</math>
# [[Persamaan Mutlak]]
Dalam bentuk persamaan mutlak sebagai berikut:
: <math>| f(x) | = g(x)</math>
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
: <math>| f(x) | = \left\{\begin{matrix} f(x), & \mbox {maka penyelesaian} f(x) \ge 0 \\ \\ -f(x), & \mbox {maka penyelesaian} f(x) < 0 \end{matrix}\right.</math>
Persamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>| x^2 + x | = 12</math>!
: <math>| x^2 + x | = 12</math>
; batasan f(x)
: <math>x^2 + x = 12</math>
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -4 \or x = 3</math>
; batasan -f(x)
: <math>x^2 + x = - 12</math>
: <math>x^2 + x + 12 = 0</math> definit +
: <math>HP = \{x|x = \{-4, 3 \}, x \in R \}</math>
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>| x^2 - 4x - 12 | - | 7 - 6x | = 5</math>!
: terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
; untuk | x^2 - 4x - 12 |
: <math>| x^2 - 4x - 12 | = \left\{\begin{matrix} x^2 - 4x - 12, & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 \ge 0 \\ \\ -(x^2 - 4x - 12), & \mbox {maka penyelesaian} x^2 - 4x - 12 < 0 \end{matrix}\right.</math>
; batasan f(x)
: <math>x^2 - 4x - 12 \ge 0</math>
dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 6</math>
dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! 6 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}
: <math>x \le -2 \or x \ge 6</math>
; batasan -f(x)
: <math>x^2 - 4x - 12 < 0</math>
dibuat harga nol
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x +2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 6</math>
dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! !! -2 !! !! 6 !!
|-
| +++ || {{n/a}} || ---- || {{n/a}} || +++
|}
: <math>-2 < x < 6</math>
; untuk | 7 - 6x |
: <math>| 7 - 6x | = \left\{\begin{matrix} 7 - 6x, & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x \ge 0 \\ \\ -(7 - 6x), & \mbox {maka penyelesaian} 7 - 6x < 0 \end{matrix}\right.</math>
; batasan f(x)
: <math>7 - 6x \ge 0</math>
: <math>x \le \frac{7}{6}</math>
; batasan -f(x)
: <math>7 - 6x < 0</math>
: <math>x > \frac{7}{6}</math>
keempat batas-batas akan dibuat irisan
{| class="wikitable"
|-
! irisan !! !! -2 !! !! 7/6 !! !! 6 !!
|-
| pertama || x^2 - 4x - 12 || {{n/a}} || || {{n/a}} || || {{n/a}} || x^2 - 4x - 12
|-
| kedua || || {{n/a}} || -(x^2 - 4x - 12) || {{n/a}} || -(x^2 - 4x - 12) || {{n/a}} ||
|-
| ketiga || 7 - 6x || {{n/a}} || 7 - 6x || {{n/a}} || || {{n/a}} ||
|-
| keempat || || {{n/a}} || || {{n/a}} || -(7 - 6x) || {{n/a}} || -(7 - 6x)
|}
: untuk x <= -2
: <math>x^2 - 4x - 12 - (7 - 6x) = 5</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 - 7 + 6x - 5 = 0</math>
: <math>x^2 + 2x - 24 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 4) = 0</math>
: <math>x = -6 \or x = 4</math>
: hanya <math>x = -6</math> dipenuhi
: untuk -2 < x <= 7/6
: <math>-(x^2 - 4x - 12) - (7 - 6x) = 5</math>
: <math>-x^2 + 4x + 12 - 7 + 6x - 5 = 0</math>
: <math>x^2 - 10x = 0</math>
: <math>x(x - 10) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = 10</math>
: hanya <math>x = 0</math> dipenuhi
: untuk 7/6 < x < 6
: <math>-(x^2 - 4x - 12) - (-(7 - 6x)) = 5</math>
: <math>-x^2 + 4x + 12 + 7 - 6x - 5 = 0</math>
: <math>x^2 + 2x = 0</math>
: <math>x(x + 2) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = -2</math>
: tidak memenuhi
untuk x >= 6
: <math>x^2 - 4x - 12 - (-(7 - 6x)) = 5</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 + 7 - 6x - 5 = 0</math>
: <math>x^2 - 10x - 10 = 0</math> definit +
: tidak memenuhi
: <math>HP = \{x|x = \{-6, 0 \}, x \in R \}</math>
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>| \frac{x + 4}{10 - x} | = | \frac{1}{x - 2} |</math>!
: <math>| \frac{x + 4}{10 - x} | = | \frac{1}{x - 2} |</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x})^2 = (\frac{1}{x - 2})^2</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x})^2 - (\frac{1}{x - 2})^2 = 0</math>
: <math>(\frac{x + 4}{10 - x} + \frac{1}{x - 2})(\frac{x + 4}{10 - x} - \frac{1}{x - 2}) = 0</math>
: <math>(\frac{(x + 4)(x - 2) + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{(x + 4)(x - 2) - (10 - x)}{(10 - x)(x - 2)}) = 0</math>
: <math>(\frac{x^2 + 2x - 8 + 10 - x}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 2x - 8 - 10 + x}{(10 - x)(x - 2)}) = 0</math>
: <math>(\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)})(\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}) = 0</math>
; akar dari <math>\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)}</math>
: <math>\frac{x^2 + x + 2}{(10 - x)(x - 2)} = 0</math>
: <math>x^2 + x + 2 = 0</math> definit +
: akar dari <math>\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)}</math>
: <math>\frac{x^2 + 3x - 18}{(10 - x)(x - 2)} = 0</math>
: <math>x^2 + 3x - 18 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -6 \or x = 3</math>
: <math>HP = \{x|x = \{-6, 3 \}, x \in R \}</math>
* Tentukan nilai x dari persamaan <math>| \sqrt {x^2 - 4x} | = | \sqrt {3x - 10} |</math>!
: <math>| \sqrt {x^2 - 4x} | = | \sqrt {3x - 10} |</math>
: <math>(\sqrt {x^2 - 4x})^2 = (\sqrt {3x - 10})^2</math>
: <math>x^2 - 4x = 3x - 10</math>
: <math>x^2 -7x + 10 = 0</math>
: <math>(x - 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = 2 \or x = 5</math>
== Referensi ==
: <math>HP = \{x|x = \{2, 5 \}, x \in R \}</math>
<references />
== Lihat pula ==
== Pranala luar ==
{{wikibooks|{{PAGENAME}}}}
* [http://www.wessa.net/math.wasp Mathematical equationEquation plotterPlotter] untuk memplot persamaan
* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotterRelplot] untuk memplot persamaan
{{math-stub}}
| 