Pembagian: Perbedaan antara revisi

Pada tingkat dasar pembagian dua [[bilangan asli]], antara lain [[Kutipan dan partisi|kemungkinan interpretasi]], proses menghitung berapa kali satu bilangan dimasukkan ke dalam bilangan lain.<ref>{{cite book|last1=Blake|first1=A. G.|title=Arithmetic|date=1887|publisher=[[Alexander Thom (almanac editor)|Alexander Thom & Company]]|location=[[Dublin|Dublin, Irlandia]]}}</ref>{{rp|7}} Bilangan kali ini tidak selalu merupakan [[bilangan bulat]] (bilangan yang diperoleh dengan menggunakan operasi aritmetika lain pada bilangan asli).

 

 

Agar modifikasi pembagian ini hanya menghasilkan satu hasil tunggal, bilangan asli diperluas ke [[bilangan rasional]] (bilangan yang diperoleh dengan menggunakan aritmetika pada bilangan asli) atau [[bilangan real]]. Dalam [[sistem bilangan]] diperluas, pembagian adalah operasi invers dari perkalian, yaitu {{math|''a'' {{=}} ''c'' / ''b''}} berarti {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''c''}}, selama {{math|''b''}} bukan nol. Jika {{math|1=''b'' = 0}}, maka ini adalah [[pembagian dengan nol]], yang tidak terdefinisi.{{efn|Pembagian dengan nol didefinisikan dalam beberapa keadaan, baik dengan memperluas bilangan real ke [[garis bilangan real diperpanjang]] ke [[garis real diperpanjang proyektif]] atau ketika terjadi sebagai limit pembagian dengan bilangan yang cenderung ke 0. Misalnya: {{math|lim_''x''→0 {{sfrac|sin ''x''|''x''}} {{=}} 1.}}<ref name="mwdiv" /><ref name="db0">{{MathWorld|id=DivisionbyZero|title=Pembagian dengan Nol}}</ref>}}<ref>{{cite book|last1=Derbyshire|first1=John|title=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|date=2004|publisher=[[Penguin Books]]|location=[[Kota New York]]|isbn=978-0-452-28525-5}}</ref>{{rp|246}}

 

==Pengantar==

 

Berbeda dengan operasi dasar lainnya, saat membagi bilangan asli terkadang ada [[sisa]] yang tidak akan dibagi rata; misalnya, {{math|10 / 3}} menyisakan sisa 1, karena 10 bukan kelipatan 3. Terkadang sisa ini ditambahkan ke hasil bagi sebagai [[bagian pecahan]], jadi {{math|10 / 3}} sama dengan {{math|{{sfrac|3|1|3}}}} atau {{math|3.33...}}, tetapi dalam konteks pembagian [[bilangan bulat]], dimana bilangan tidak memiliki bagian pecahan, sisanya disimpan secara terpisah (atau secara pengecualian, dibuang atau [[pembulatan]]).<ref name="mwintdiv">{{MathWorld|id=IntegerDivision|title=Pembagian Bilangan Bulat}}</ref> Ketika sisanya disimpan sebagai pecahan, maka itu mengarah ke [[bilangan rasional]]. Himpunan semua bilangan rasional dibuat dengan memperluas bilangan bulat dengan semua kemungkinan hasil pembagian bilangan bulat.

Bentuk ini jarang terjadi kecuali dalam aritmetika dasar. [[ISO 80000-2]]-9.6 menyatakan itu tidak boleh digunakan. Tanda pembagian ini juga digunakan sendiri untuk mewakili operasi pembagian itu sendiri, misalnya sebagai label pada kunci [[kalkulator]]. Obelus diperkenalkan oleh matematikawan Swiss [[Johann Rahn]] pada tahun 1659 di ''Teutsche Algebra''.<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/b29980343_0002|publisher=Buka Lapangan Pub. Co.|year=1929}}</ref>{{rp|211}} Simbol ÷ digunakan untuk menunjukkan pengurangan di beberapa negara Eropa, sehingga penggunaannya mungkin disalahpahami.

 

 

:<math>a : b</math>

 

===Dengan komputer atau dengan bantuan komputer===

 

Dalam [[aritmetika modular]] (modulo bilangan prima) dan untuk [[bilangan real]], bilangan bukan nol memiliki [[invers perkalian modular|invers perkalian]]. Dalam kasus ini, pembagian dengan {{mvar|x}} dapat dihitung sebagai darab dengan perkalian invers {{mvar|x}}. Pendekatan ini sering dikaitkan dengan metode yang lebih cepat dalam aritmetika komputer.

 

=== Aljabar abstrak ===

 

"Pembagian" dalam arti "pembatalan" apabila dilakukan di magma oleh elemen dengan [[sifat pembatalan]]. Contohnya termasuk [[Matriks (matematika)|matriks]] aljabar dan [[kuaternion]] aljabar. Sebuah [[grup semu]] adalah struktur dimana pembagian selalu mungkin, bahkan tanpa elemen identitas dan karenanya invers. Dalam [[ranah integral]], dimana tidak setiap elemen perlu memiliki invers, ''pembagian'' oleh elemen pembatalan ''a'' masih dilakukan pada elemen bentuk ''ab'' atau ''ca'' dengan pembatalan kiri atau kanan, masing-masing. Jika sebuah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] hingga dan setiap elemen bukan nol adalah kanselatif, maka dengan penerapan [[prinsip rumah burung]], setiap elemen bukan nol dari gelanggang invers, dan "pembagian" oleh elemen bukan nol adalah mungkin. Untuk mempelajari tentang ''aljabar'' (dalam pengertian teknis) memiliki operasi pembagian, lihat halaman di [[aljabar pembagian]]. Khususnya [[periodisitas Bott]] apabila digunakan untuk menunjukkan bahwa [[bilangan real|real]] [[aljabar pembagian norma]] [[isomorfik]] ke salah satu bilangan real '''R''', [[bilangan kompleks]] '''C''', [[kuaternion]] '''H''', atau [[oktonion]] '''O'''.