Sifat komutatif: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 30 November 2020 09.42 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 2 Juni 2024 13.58 sunting balikkan Bruhccoli 1 (bicara \| kontrib) 15 suntingan Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(18 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Periksa terjemahan\|en\|Commutative property}}[[Berkas:Commutativity of binary operations (without question mark).svg\|thumb\|Sebuah operasi <math>\circ</math> adalah komutatif ''[[jika dan hanya jika]]'' <math>x\circ y = y \circ x</math> untuk setiap <math>x</math> dan <math>y</math>. Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari <math>x\circ y</math> atau <math>y \circ x</math> tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen <math>x</math> dan <math>y</math> – hasil akhirnya sama.]] Dalam [[matematika]], suatu [[operasi biner]] memiliki '''sifat komutatif''' jika mengubah urutan [[operan]] tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat [[fundamental]] dari banyak operasi biner, dan banyak [[pembuktian matematika]] bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan {{nowrap\|1="3 + 4 = 4 + 3"}} atau {{nowrap\|1="2 × 5 = 5 × 2"}}. Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti [[pembagian]] dan [[pengurangan]], yang tidak memilikinya (misalnya, {{nowrap\|"3 − 5 ≠ 5 − 3"}}); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai ''operasi nonkomutatif''. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti [[perkalian]] dan [[penjumlahan]] bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal.<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref name=":0">{{cite book\|title=Mathematics in Victorian Britain\|editor1-first=Raymond\|editor1-last=Flood\|editor2-first=Adrian\|editor2-last=Rice\|editor3-first=Robin\|editor3-last=Wilson\|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)\|publisher=[[Oxford University Press]]\|year=2011\|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4\|page=4}}</ref> Sifat yang terkait ada untuk [[relasi biner]]; suatu relasi biner dikatakan [[Relasi simetris\|simetris]] jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, [[kesamaan]] bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.<ref>{{MathWorld\|id=SymmetricRelation\|title=Symmetric Relation}}</ref> == Penggunaan umum == '' Properti komutatif '' (atau '' hukum komutatif '') adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan [[Fungsi (matematika) \| fungsi]]. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan '' ngelaju '' di bawah operasi. == Definisi Matematika == Baris 22: }} == Contoh == ~~== Operasi komutatif dalam kehidupan sehari-hari ==~~ === Operasi komutatif === ~~[[Berkas:Commutative Addition.svg\|thumb\|Akumulasi apel, yang dapat dilihat sebagai penjumlahan bilangan asli, bersifat komutatif.]]~~ Mengenakan kaus kaki menyerupai operasi pergantian karena mengenakan kaus kaki terlebih dahulu tidaklah penting. Bagaimanapun, hasilnya (memakai kedua kaus kaki), adalah sama. Sebaliknya, mengenakan pakaian dalam dan celana panjang tidak bersifat komutatif. Komutatifitas penambahan diamati saat membayar barang dengan uang tunai. Terlepas dari urutan penyerahan tagihan, mereka selalu memberikan jumlah yang sama. ~~== Operasi komutatif dalam matematika ==~~ [[Berkas:Vector Addition.svg\|thumb\|Penambahan vektor bersifat komutatif, karena <math>\vec a+\vec b=\vec b+ \vec a</math>.]] Dua contoh operasi biner komutatif yang terkenal:<ref name="Krowne, p.1"/> Baris 37 ⟶ 33: :Misalnya, 3 × 5 = 5 × 3, karena kedua ekspresi sama dengan 15. :Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z.<ref>{{cite web \|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html \|title=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems \|access-date=2020-07-17 \|archive-date=2020-07-14 \|archive-url=https://web.archive.org/web/20200714155400/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html \|dead-url=yes }}</ref> Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%. * Beberapa biner [[fungsi kebenaran]] juga komutatif, karena [[tabel kebenaran]] untuk fungsi-fungsinya sama ketika seseorang mengubah urutan operan. :Misalnya, fungsi [[biconditional logis]] p ↔ q ekivalen dengan q ↔ p. Fungsi ini juga ditulis sebagai p [[Jika dan hanya jika\|IFF]] q, atau sebagai p ≡ q, atau sebagai E''pq''. :Bentuk terakhir adalah contoh notasi paling ringkas dalam artikel tentang fungsi kebenaran, yang mencantumkan enam belas kemungkinan fungsi kebenaran biner yang delapan diantaranya adalah komutatif: V''pq'' = V''qp''; A''pq'' (ATAU) = A''qp''; D''pq'' (NAND) = D''qp''; E''pq'' (IFF) = E''qp''; J''pq'' = J''qp''; K''pq'' (DAN) = K''qp''; X''pq'' (MAUPUN) = X''qp''; O''pq'' = O''qp''. * Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian [[bilangan kompleks]], penjumlahan dan [[~~perkalian skalar\|~~perkalian skalar]] dari [[ruang vektor\|vektor]], dan [[persimpangan (teori himpunan)\|persimpangan]] dan [[persatuan (teori himpunan)\|persatuan]] dari [[himpunan (matematika)\|himpunan]]. ~~== Operasi nonkomutatif dalam kehidupan sehari-hari ==~~ [[Rangkaian]], tindakan menggabungkan string karakter bersama-sama, adalah operasi noncommutative. Sebagai contoh, ~~:{{nowrap\|1=EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA}}~~ Mencuci dan mengeringkan pakaian menyerupai operasi noncommutative; pencucian dan kemudian pengeringan menghasilkan hasil yang sangat berbeda dengan pengeringan dan kemudian pencucian. Memutar buku 90 ° di sekitar sumbu vertikal kemudian 90 ° di sekitar sumbu horizontal menghasilkan orientasi yang berbeda dibandingkan saat rotasi dilakukan dalam urutan yang berlawanan. Liku-liku dari [[Kubus Rubik]] tidak komunikatif. Ini dapat dipelajari dengan menggunakan [[teori grup]]. Proses berpikir bersifat nonkomutatif: Seseorang mengajukan pertanyaan (A) dan kemudian pertanyaan (B) dapat memberikan jawaban yang berbeda untuk setiap pertanyaan daripada yang ditanyakan orang pertama (B) dan kemudian (A), karena mengajukan pertanyaan dapat mengubah keadaan pikiran orang tersebut. Tindakan berpakaian bisa komutatif atau non-komutatif, tergantung pada itemnya. Mengenakan pakaian dalam dan pakaian biasa tidak bersifat komutatif. Mengenakan kaus kaki kiri dan kanan bersifat komutatif. * Mengocok setumpuk kartu tidak bersifat komutatif. Diberikan dua cara, A dan B, untuk mengocok setumpuk kartu, melakukan A terlebih dahulu dan kemudian B secara umum tidak sama dengan melakukan B terlebih dahulu dan kemudian A. === Operasi nonkomutatif ~~dalam matematika~~ === Beberapa operasi biner nonkomutatif:<ref>Yark, p.1.</ref> ==== Pembagian dan pengurangan ==== [[Pembagian]] adalah nonkomutatif, sejak <math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>. Baris 63 ⟶ 48: [[Pengurangan]] bersifat nonkomutatif, karena <math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>. Namun itu diklasifikasikan lebih tepatnya sebagai [[Antikomutatif\|anti-komutatif]], karena <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>. ==== Fungsi kebenaran ==== Beberapa [[fungsi kebenaran]] adalah nonkomutatif, karena [[tabel kebenaran]] untuk fungsi berbeda ketika seseorang mengubah urutan operan. Misalnya, tabel kebenaran untuk {{math\|(A ⇒ B) {{=}} (¬A ∨ B)}} dan {{math\|(B ⇒ A) {{=}} (A ∨ ¬B)}} adalah Baris 80 ⟶ 65: }} ==== Komposisi fungsi fungsi linier ==== ~~=== Komposisi fungsi fungsi linier ===~~ [[Komposisi fungsi]] dari [[fungsi linier]] dari [[bilangan real]] ke bilangan real hampir selalu nonkomutatif. Misalnya, misalkan <math>f(x)=2x+1</math> dan <math>g(x)=3x+7</math>. Kemudian :<math>(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x+7)+1 = 6x+15</math> dan :<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x+1)+7 = 6x+10</math> Ini juga berlaku lebih umum untuk [[peta linier \| linier]] dan [[transformasi affine]] dari [[ruang vektor]] ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks). ==== Perkalian matriks ==== [[Matriks (matematika)\|Matriks]] perkalian [[matriks kuadrat]] hampir selalu nonkomutatif, misalnya: Baris 118 ⟶ 102: </math> ==== Produk vektor ==== Produk vektor (atau [[perkalian silang]]) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah [[antikomutatif \| anti-komutatif]]; yaitu, ''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b''). == Sejarah dan etimologi == [[Berkas:Commutative Word Origin.PNG\|right\|thumb\|250px\|Penggunaan istilah pertama yang diketahui dalam Jurnal Prancis yang diterbitkan pada tahun 1814]] Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para [[Mesir]] ian menggunakan properti komutatif dari [[perkalian]] untuk menyederhanakan komputasi [[Produk (matematika)\|produk]].<ref>Lumpkin, p.11</ref><ref>Gay and Shute, p.?</ref> [[Euklides]] diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya [[Elemen Euklides\| '' Elemen '']].<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref> Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika. Penggunaan istilah '' komutatif '' yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh [[François-Joseph Servois\|François Servois]] pada tahun 1814,<ref name="ReferenceA"~~>Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''<~~/~~ref~~><ref>O'Conner and Robertson, ''Servois''</ref> yang menggunakan kata '' komutatif '' saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis '' commuter '' yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks '' -ative '' yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam [[bahasa Inggris]] pada tahun 1838<ref name=":0">{{cite book\|title=Mathematics in Victorian Britain\|editor1-first=Raymond\|editor1-last=Flood\|editor2-first=Adrian\|editor2-last=Rice\|editor3-first=Robin\|editor3-last=Wilson\|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)\|publisher=[[Oxford University Press]]\|year=2011\|url=https:/~~/books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4\|page=4}}</ref~~> dalam artikel [[Duncan Farquharson Gregory]] berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di [[Royal Society of Edinburgh\|Transaksi Royal Society of Edinburgh]].<ref>{{Cite journal\|author=D. F. Gregory\|title=On the real nature of symbolical algebra\|periodical=Transactions of the Royal Society of Edinburgh\|volume=14\|pages=208–216\|year=1840\|url=https://archive.org/details/transactionsofro14royal}}</ref> == Logika proposisional == {{Kaidah transformasi}} === Kaidah penggantian === Dalam logika proposisional riil-fungsional, ''pergantian'',<ref>Moore and Parker</ref><ref>{{cite book \|last1=Copi \|first1=Irving M. \|last2=Cohen \|first2=Carl \|title=Introduction to Logic \|url=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 \|publisher=Prentice Hall \|year=2005}}</ref> atau ''komutatif''<ref>{{cite book \|title=A Concise Introduction to Logic 4th edition \|url=https://archive.org/details/studyguidetoacco00burc \|url-access=registration \|last=Hurley \|first=Patrick \|year=1991 \|publisher=Wadsworth Publishing }}</ref> mengacu pada dua [[Validitas (logika)\|valid]] [[kaidah penggantian]]. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan [[variabel proposisional]] dalam [[rumus bentuk formal\|ekspresi logika]] dalam [[bukti formal\|bukti logis]]. Rumusnya adalah: :<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math> and :<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math> dimana "<math>\Leftrightarrow</math>" adalah [[metalogika]] dari [[Simbol (formal)\|simbol]] yang menggunakan "[[Bukti formal\|bukti]] dengan formal". === Konektor fungsional riil === ''Komutatifita '' adalah sifat dari beberapa [[koneksi logika]] fungsi riil [[logika proposisional]]. [[Persamaan logika]] berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional [[tautologi (logika)\|tautologi]]. ;Komutatifitas konjungsi:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math> ;Komutatifitas disjungsi:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math> ;Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi):<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math> ;Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks):<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math> == Teori himpunan == Dalam [[teori grup\|grup]] dan [[teori himpunan]], [[struktur aljabar]] disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu [[Analisis matematika\|analisis]] dan [[aljabar linear]] komutatifitas operasi terkenal (yaitu [[penambahan]] dan [[perkalian]] pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.<ref>Axler, p.2</ref><ref name="Gallian, p.34">Gallian, p.34</ref><ref>p. 26,87</ref> == Struktur matematika dan komutatif == * [[Semigrup komutatif]] adalah himpunan dengan operasi total dari [[asosiatif]] dan komutatif. * Jika operasi menggunakan [[elemen identitas]] maka elemen tersebut adalah [[monoid komutatif]] * [[Grup abelian]], atau ''grup komutatif'' adalah [[grup (matematika)\|grup]] dimana operasi grupnya adalah sifat komutatif.<ref name="Gallian, p.34"/> * [[Gelanggang komutatif]] adalah [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]] dimana [[perkalian]] adalah komutatif.<ref>Gallian p.236</ref> * Dalam [[bidang (matematika)\|bidang]] penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif.<ref>Gallian p.250</ref> == Sifat terkait == === Asosiatif === {{Main\|Sifat asosiatif}} Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir. Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi :<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2},</math> yang jelas sifat komutatif (mengganti ''x'' dan ''y'' tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya, <math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math> but <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>). Contoh lainnya dapat ditemukan di [[magma non-asosiatif komutatif]]. === Distributif === {{Main\|Sifat distributif}} === Simetri === [[Berkas:Symmetry Of Addition.svg\|right\|thumb\|200px\|Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahan]] {{Main\|Simetri dalam matematika}} Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis ''y = x''. Sebagai contoh, jika fungsi ''f'' menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga ''f''(''x'',''y'') = ''x'' + ''y'', maka ''f'' adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya. Untuk relasi, [[relasi simetri]] adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi ''R'' simetris, maka <math>a R b \Leftrightarrow b R a</math>. == Operator non-komuter dalam mekanika kuantum == {{Main\|Hubungan pergantian kanonis}} Dalam [[Pengantar mekanika kuantum \| mekanika kuantum]] seperti yang dirumuskan oleh [[Erwin Schrödinger \| Schrödinger]], variabel fisik diwakili oleh [[operator linier]] seperti ''x'' (artinya dikalikan dengan ''x''), dan <math>\frac{d}{dx}</math>. Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek [[Komposisi fungsi \| komposisi]] ~~mereka~~mereka <math>x \frac{d}{dx}</math> dan <math>\frac{d}{dx} x</math> (juga disebut produk operator) pada [[fungsi gelombang]] satu dimensi <math>\psi(x)</math>: ::<math> x\cdot {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\psi = x\cdot \psi' \ \neq \ \psi + x\cdot \psi' = {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\left( x\cdot \psi \right) </math> Menurut [[prinsip ketidakpastian]] dari [[Werner Heisenberg \| Heisenberg]], jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling [[komplementaritas (fisika) \| komplementer]], yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan [[momentum]] linier dalam arah '' x '' sebuah partikel diwakili oleh operator <math>x</math> and <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>, masing-masing (di mana <math>\hbar</math> adalah [[konstanta Planck \| konstanta Planck tereduksi]]). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta <math>-i \hbar</math>, jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi. == Lihat pula == Baris 161 ⟶ 201: :''Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book. {{Cite book \|ref=harv \|last=Copi \|first=Irving M. \|last2=Cohen \|first2=Carl \|title=Introduction to Logic \|url=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 \|publisher=Prentice Hall \|year=2005}} {{Cite book\|first=Joseph\|last=Gallian\|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e\|url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall\|year=2006\|isbn=0-618-51471-6\|publisher=Houghton Mifflin\|location=Boston, Mass.}} :''Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.'' {{Cite book\| first=Frederick \| last=Goodman \| title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e \| url=https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2 \| publisher=Prentice Hall \| year=2003 \| isbn=0-13-067342-0}} :''Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book. {{Cite book \|title=A Concise Introduction to Logic 4th edition \|url=https://archive.org/details/conciseintroduct00hurl_0 \|last=Hurley \|first=Patrick \|coauthors= \|year=1991 \|publisher=Wadsworth Publishing }} === Artikel === Baris 188 ⟶ 228: Cabillón, Julio and Miller, Jeff. [http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Known Uses Of Mathematical Terms], Accessed 22 November 2008 :''Page covering the earliest uses of mathematical terms'' O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html \|date=2009-09-02 }}, Accessed 8 August 2007 :''Biography of Francois Servois, who first used the term'' Baris 194 ⟶ 234: [[Kategori:Aljabar abstrak]] [[Kategori:Aljabar ~~dasar~~elementer]] [[Kategori:~~Aturan~~Kaidah inferensi]] [[Kategori:Simetri]] [[Kategori:Operasi biner\|Komutatifitas]] ~~[[Kategori:Konsep dalam fisika]]~~ ~~[[Kategori:Analisis fungsional]]~~ ~~<!--~~ ~~== Lihat pula ==~~ ~~{{Wiktionary}}~~ [[Antikomutativitas]] [[Centralizer\|Centralizer and normalizer]] (also called a commutant) [[Diagram komutatif]] [[Komutatif (neuropsikologi)]] [[Komutator]] [[Hukum jajar genjang]] [[Statistika partikel]] (untuk komutativitas dalam [[fisika]]) [[Sifat kuasi-komutatif]] [[Trace monoid]] [[Commuting probability]] ~~== Catatan ==~~ ~~{{Reflist\|2}}~~ ~~== Referensi ==~~ ~~=== Buku ===~~ {{Cite book\| first=Sheldon \| last=Axler \| title=Linear Algebra Done Right, 2e \| publisher=Springer \| year=1997 \| isbn=0-387-98258-2}} ~~:''Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.~~ {{Cite book \|ref=harv \|last=Copi \|first=Irving M. \|last2=Cohen \|first2=Carl \|title=Introduction to Logic \|publisher=Prentice Hall \|year=2005}} {{Cite book\|first=Joseph\|last=Gallian\|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e\|year=2006\|isbn=0-618-51471-6\|publisher=Houghton Mifflin\|location=Boston, Mass.}} ~~:''Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.''~~ {{Cite book\| first=Frederick \| last=Goodman \| title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e \| publisher=Prentice Hall \| year=2003 \| isbn=0-13-067342-0}} ~~:''Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.~~ {{Cite book \|title=A Concise Introduction to Logic 4th edition \|last=Hurley \|first=Patrick \|coauthors= \|year=1991 \|publisher=Wadsworth Publishing }} ~~=== Artikel ===~~ https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript. ~~:''Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.''~~ Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. ''The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text''. London: British Museum Publications Limited. {{isbn\|0-7141-0944-4}} ~~:''Translation and interpretation of the [[Rhind Mathematical Papyrus]].''~~ ~~=== Sumber daring ===~~ {{springer\|title=Commutativity\|id=p/c023420\|ref=none}} Krowne, Aaron, {{PlanetMath\|title=Commutative\|urlname=Commutative}}, Accessed 8 August 2007. ~~:''Definition of commutativity and examples of commutative operations''~~ {{MathWorld\|title=Commute\|urlname=Commute}}, Accessed 8 August 2007. ~~:''Explanation of the term commute''~~ [http://planetmath.org/?op=getuser&id=2760 Yark]. {{PlanetMath\|title=Examples of non-commutative operations\|urlname=ExampleOfCommutative}}, Accessed 8 August 2007 ~~:''Examples proving some noncommutative operations''~~ O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html MacTutor history of real numbers], Accessed 8 August 2007 ~~:''Article giving the history of the real numbers''~~ Cabillón, Julio and Miller, Jeff. [http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Known Uses Of Mathematical Terms], Accessed 22 November 2008 ~~:''Page covering the earliest uses of mathematical terms''~~ O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois], Accessed 8 August 2007 ~~:''Biography of Francois Servois, who first used the term''~~ ~~[[Kategori:Aljabar abstrak]]~~ ~~[[Kategori:Aljabar dasar]]~~ ~~[[Kategori:Aturan inferensi]]~~ ~~[[Kategori:Simetri]]~~ ~~[[Kategori:Operasi biner\|Komutativitas]]~~ [[Kategori:Konsep dalam fisika]] [[Kategori:Analisis fungsional]]