Sifat komutatif: Perbedaan antara revisi

{{Periksa terjemahan|en|Commutative property}}[[Berkas:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|thumb|Sebuah operasi <math>\circ</math> adalah komutatif ''[[jika dan hanya jika]]'' <math>x\circ y = y \circ x</math> untuk setiap <math>x</math> dan <math>y</math>. Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari <math>x\circ y</math> atau <math>y \circ x</math> tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen <math>x</math> dan <math>y</math> – hasil akhirnya sama.]]

Dalam [[matematika]], suatu [[operasi biner]] memiliki '''sifat komutatif''' jika mengubah urutan [[operan]] tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat [[fundamental]] dari banyak operasi biner, dan banyak [[pembuktian matematika]] bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan {{nowrap|1="3 + 4 = 4 + 3"}} atau {{nowrap|1="2 × 5 = 5 × 2"}}. Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti [[pembagian]] dan [[pengurangan]], yang tidak memilikinya (misalnya, {{nowrap|"3 − 5 ≠ 5 − 3"}}); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai ''operasi nonkomutatif''. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti [[perkalian]] dan [[penjumlahan]] bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal.<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref name=":0">{{cite book|title=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|page=4}}</ref> Sifat yang terkait ada untuk [[relasi biner]]; suatu relasi biner dikatakan [[Relasi simetris|simetris]] jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, [[kesamaan]] bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.<ref>{{MathWorld|id=SymmetricRelation|title=Symmetric Relation}}</ref>

'' Properti komutatif '' (atau '' hukum komutatif '') adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan [[Fungsi (matematika) | fungsi]]. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan '' ngelaju '' di bawah operasi.

=== Operasi komutatif dalam kehidupan sehari-hari ===

:Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z.<ref>{{cite web |url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |title=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems |access-date=2020-07-17 |archive-date=2020-07-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200714155400/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |dead-url=yes }}</ref> Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.

* Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian [[bilangan kompleks]], penjumlahan dan [[perkalian skalar|perkalian skalar]] dari [[ruang vektor|vektor]], dan [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dan [[persatuan (teori himpunan)|persatuan]] dari [[himpunan (matematika)|himpunan]].

=== Operasi nonkomutatif dalam kehidupan sehari-hari ===

==== Fungsi kebenaran ====

Ini juga berlaku lebih umum untuk [[peta linier | linier]] dan [[transformasi affine]] dari [[ruang vektor]] ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

==== Perkalian matriks ====

==== Produk vektor ====

Produk vektor (atau [[perkalian silang]]) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah [[antikomutatif | anti-komutatif]]; yaitu, ''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b'').

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para [[Mesir]] ian menggunakan properti komutatif dari [[perkalian]] untuk menyederhanakan komputasi [[Produk (matematika)|produk]].<ref>Lumpkin, p.11</ref><ref>Gay and Shute, p.?</ref> [[Euklides]] diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya [[Elemen Euklides| '' Elemen '']].<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref> Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Dalam [[Pengantar mekanika kuantum | mekanika kuantum]] seperti yang dirumuskan oleh [[Erwin Schrödinger | Schrödinger]], variabel fisik diwakili oleh [[operator linier]] seperti ''x'' (artinya dikalikan dengan ''x''), dan <math>\frac{d}{dx}</math>. Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek [[Komposisi fungsi | komposisi]] ​​merekamereka <math>x \frac{d}{dx}</math> dan <math>\frac{d}{dx} x</math> (juga disebut produk operator) pada [[fungsi gelombang]] satu dimensi <math>\psi(x)</math>:

Menurut [[prinsip ketidakpastian]] dari [[Werner Heisenberg | Heisenberg]], jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling [[komplementaritas (fisika) | komplementer]], yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan [[momentum]] linier dalam arah '' x '' sebuah partikel diwakili oleh operator <math>x</math> and <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>, masing-masing (di mana <math>\hbar</math> adalah [[konstanta Planck | konstanta Planck tereduksi]]). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta <math>-i \hbar</math>, jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

*{{Cite book|first=Joseph|last=Gallian|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e|url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall|year=2006|isbn=0-618-51471-6|publisher=Houghton Mifflin|location=Boston, Mass.}}

*{{Cite book| first=Frederick | last=Goodman | title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e | url=https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2 | publisher=Prentice Hall | year=2003 | isbn=0-13-067342-0}}

*{{Cite book |title=A Concise Introduction to Logic 4th edition |url=https://archive.org/details/conciseintroduct00hurl_0 |last=Hurley |first=Patrick |coauthors= |year=1991 |publisher=Wadsworth Publishing }}

*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |date=2009-09-02 }}, Accessed 8 August 2007