Sifat komutatif: Perbedaan antara revisi

{{Periksa terjemahan|en|Commutative property}}[[Berkas:Commutativity of binary operations (without question mark).svg|thumb|Sebuah operasi <math>\circ</math> adalah komutatif ''[[jika dan hanya jika]]'' <math>x\circ y = y \circ x</math> untuk setiap <math>x</math> dan <math>y</math>. Gambar ini mengilustrasikan sifat ini dengan konsep dari sebuah operasi sebagai suatu "mesin kalkulasi". Hasil dari <math>x\circ y</math> atau <math>y \circ x</math> tidak dipengaruhi oleh urutan dari argumen <math>x</math> dan <math>y</math> – hasil akhirnya sama.]]

Dalam [[matematika]], suatu [[operasi biner]] memiliki '''sifat komutatif''' jika mengubah urutan [[operan]] tidak mengubah hasilnya. Ini adalah sifat [[fundamental]] dari banyak operasi biner, dan banyak [[pembuktian matematika]] bergantung pada sifat ini. Sifat ini paling dikenal sebagai nama sifat yang mengatakan {{nowrap|1="3 + 4 = 4 + 3"}} atau {{nowrap|1="2 × 5 = 5 × 2"}}. Sifat ini juga dapat digunakan dalam situasi yang lebih rumit. Nama ini diperlukan karena ada operasi, seperti [[pembagian]] dan [[pengurangan]], yang tidak memilikinya (misalnya, {{nowrap|"3 − 5 ≠ 5 − 3"}}); operasi semacam itu tidak bersifat komutatif, dan demikian disebut sebagai ''operasi nonkomutatif''. Gagasan bahwa operasi sederhana, seperti [[perkalian]] dan [[penjumlahan]] bilangan, bersifat komutatif telah diasumsikan secara implisit selama bertahun-tahun. Dengan demikian, properti ini tidak dinamai sampai abad ke-19, ketika matematika mulai menjadi formal.<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref name=":0">{{cite book|title=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|page=4}}</ref> Sifat yang terkait ada untuk [[relasi biner]]; suatu relasi biner dikatakan [[Relasi simetris|simetris]] jika relasi berlaku terlepas dari urutan operannya; misalnya, [[kesamaan]] bersifat simetris karena dua objek matematika yang sama adalah sama terlepas dari urutannya.<ref>{{MathWorld|id=SymmetricRelation|title=Symmetric Relation}}</ref>

'' Properti komutatif '' (atau '' hukum komutatif '') adalah properti yang umumnya terkait dengan operasi biner dan [[Fungsi (matematika) | fungsi]]. Jika properti komutatif berlaku untuk sepasang elemen di bawah operasi biner tertentu, maka kedua elemen tersebut dikatakan '' ngelaju '' di bawah operasi.

=== Operasi komutatif dalam kehidupan sehari-hari ===

:Sebagai konsekuensi langsung dari ini, itu juga berlaku bahwa ekspresi pada bentuk y% dari z dan y% dari z% adalah komutatif untuk semua bilangan real y dan z.<ref>{{cite web |url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |title=Compatible Numbers to Simplify Percent Problems |access-date=2020-07-17 |archive-date=2020-07-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200714155400/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U4/S33/S333.html |dead-url=yes }}</ref> Misalnya 64% dari 50 = 50% dari 64, karena kedua ekspresi sama dengan 32, dan 30% dari 50% = 50% dari 30%, karena kedua ekspresi tersebut sama dengan 15%.

* Contoh lebih lanjut dari operasi biner komutatif termasuk penambahan dan perkalian [[bilangan kompleks]], penjumlahan dan [[perkalian skalar|perkalian skalar]] dari [[ruang vektor|vektor]], dan [[persimpangan (teori himpunan)|persimpangan]] dan [[persatuan (teori himpunan)|persatuan]] dari [[himpunan (matematika)|himpunan]].

=== Operasi nonkomutatif dalam kehidupan sehari-hari ===

Ini juga berlaku lebih umum untuk [[peta linier | linier]] dan [[transformasi affine]] dari [[ruang vektor]] ke dirinya sendiri (lihat di bawah untuk representasi Matriks).

Produk vektor (atau [[perkalian silang]]) dari dua vektor dalam tiga dimensi adalah [[antikomutatif | anti-komutatif]]; yaitu, ''b'' × ''a'' = −(''a'' × ''b'').

Rekaman penggunaan implisit dari properti komutatif kembali ke zaman kuno. Para [[Mesir]] ian menggunakan properti komutatif dari [[perkalian]] untuk menyederhanakan komputasi [[Produk (matematika)|produk]].<ref>Lumpkin, p.11</ref><ref>Gay and Shute, p.?</ref> [[Euklides]] diketahui telah mengasumsikan properti komutatif perkalian dalam bukunya [[Elemen Euklides| '' Elemen '']].<ref>O'Conner and Robertson, ''Real Numbers''</ref> Penggunaan formal properti komutatif muncul pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19, ketika ahli matematika mulai mengerjakan teori fungsi. Saat ini properti komutatif adalah properti terkenal dan dasar yang digunakan di sebagian besar cabang matematika.

Penggunaan istilah '' komutatif '' yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh [[François-Joseph Servois|François Servois]] pada tahun 1814,<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref>O'Conner and Robertson, ''Servois''</ref> yang menggunakan kata '' komutatif '' saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis '' commuter '' yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks '' -ative '' yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam [[bahasa Inggris]] pada tahun 1838<ref name=":0">{{cite book|title=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|page=4}}</ref> dalam artikel [[Duncan Farquharson Gregory]] berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di [[Royal Society of Edinburgh|Transaksi Royal Society of Edinburgh]].<ref>{{Cite journal|author=D. F. Gregory|title=On the real nature of symbolical algebra|periodical=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=14|pages=208–216|year=1840|url=https://archive.org/details/transactionsofro14royal}}</ref>

Dalam logika proposisional riil-fungsional, ''pergantian'',<ref>Moore and Parker</ref><ref>{{cite book |last1=Copi |first1=Irving M. |last2=Cohen |first2=Carl |title=Introduction to Logic |url=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 |publisher=Prentice Hall |year=2005}}</ref> atau ''komutatif''<ref>{{cite book |title=A Concise Introduction to Logic 4th edition |url=https://archive.org/details/studyguidetoacco00burc |url-access=registration |last=Hurley |first=Patrick |year=1991 |publisher=Wadsworth Publishing }}</ref> mengacu pada dua [[Validitas (logika)|valid]] [[kaidah penggantian]]. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan [[variabel proposisional]] dalam [[rumus bentuk formal|ekspresi logika]] dalam [[bukti formal|bukti logis]]. Rumusnya adalah:

Dalam [[teori grup|grup]] dan [[teori himpunan]], [[struktur aljabar]] disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu [[Analisis matematika|analisis]] dan [[aljabar linear]] komutatifitas operasi terkenal (yaitu [[penambahan]] dan [[perkalian]] pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.<ref>Axler, p.2</ref><ref name="Gallian, p.34">Gallian, p.34</ref><ref>p. 26,87</ref>

Dalam [[Pengantar mekanika kuantum | mekanika kuantum]] seperti yang dirumuskan oleh [[Erwin Schrödinger | Schrödinger]], variabel fisik diwakili oleh [[operator linier]] seperti ''x'' (artinya dikalikan dengan ''x''), dan <math>\frac{d}{dx}</math>. Kedua operator ini tidak bolak-balik seperti yang terlihat dengan mempertimbangkan efek [[Komposisi fungsi | komposisi]] ​​merekamereka <math>x \frac{d}{dx}</math> dan <math>\frac{d}{dx} x</math> (juga disebut produk operator) pada [[fungsi gelombang]] satu dimensi <math>\psi(x)</math>:

Menurut [[prinsip ketidakpastian]] dari [[Werner Heisenberg | Heisenberg]], jika dua operator yang mewakili sepasang variabel tidak bolak-balik, maka pasangan variabel itu saling [[komplementaritas (fisika) | komplementer]], yang artinya tidak dapat diukur atau diketahui secara bersamaan. Misalnya, posisi dan [[momentum]] linier dalam arah '' x '' sebuah partikel diwakili oleh operator <math>x</math> and <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>, masing-masing (di mana <math>\hbar</math> adalah [[konstanta Planck | konstanta Planck tereduksi]]). Ini adalah contoh yang sama kecuali konstanta <math>-i \hbar</math>, jadi sekali lagi operator tidak bolak-balik dan arti fisiknya adalah bahwa posisi dan momentum linear dalam arah tertentu saling melengkapi.

*{{Cite book|first=Joseph|last=Gallian|title=Contemporary Abstract Algebra, 6e|url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall|year=2006|isbn=0-618-51471-6|publisher=Houghton Mifflin|location=Boston, Mass.}}

*{{Cite book| first=Frederick | last=Goodman | title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e | url=https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2 | publisher=Prentice Hall | year=2003 | isbn=0-13-067342-0}}

*{{Cite book |title=A Concise Introduction to Logic 4th edition |url=https://archive.org/details/conciseintroduct00hurl_0 |last=Hurley |first=Patrick |coauthors= |year=1991 |publisher=Wadsworth Publishing }}

*O'Conner, J J and Robertson, E F. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html MacTutor biography of François Servois] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |date=2009-09-02 }}, Accessed 8 August 2007