Basis (aljabar linear): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k baru, rintisan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (17 revisi perantara oleh 14 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Himpunan vektor yang digunakan untuk mendefinisikan koordinat}}
{{redirect|Vektor basis|vektor basis dalam konteks kristal|Struktur kristal|konsep yang lebih umum dalam fisika|Kerangka acuan}}
[[Berkas:3d_two_bases_same_vector.svg|jmpl|265x265px|Vektor yang sama (panah berwarna biru tua) dapat dinyatakan dengan menggunakan dua basis yang berbeda (panah-panah berwarna ungu dan berwarna merah).]]
Dalam [[matematika]], sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] vektor ''{{mvar|B}}'' dalam suatu [[ruang vektor]] {{math|''V''}} disebut '''basis''', jika setiap elemen di {{math|''V''}} dapat dituliskan sebagai [[kombinasi linear]] terhingga yang unik dari elemen-elemen di ''{{mvar|B}}''. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai ''koordinat'' dari vektor terhadap ''{{mvar|B}}''. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai ''vektor basis''. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan ''{{mvar|B}}'' yang elemen-elemennya saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] dan setiap elemen di {{math|''V''}} adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di ''{{mvar|B}}''.<ref>{{cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|year=1987|url=https://books.google.com/books?id=mdWeEhA17scC&pg=PA10|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|location=New York|publisher=Springer|isbn=978-0-387-90093-3|edition=4th|page=10|author-link=Paul Halmos}}</ref> Dengan kata lain, basis adalah [[Rentang linear|himpunan merentang]] (''spanning'') yang bebas linear.
Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai [[Dimensi (ruang vektor)|''dimensi'' dari ruang vektor]]. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.
== Definisi ==
Basis untuk ruang vektor <math>V</math> (atas [[Medan (matematika)|medan]] <math>F</math>) adalah suatu himpunan bagian <math>B\subset V</math> yang memenuhi:
# Setiap <math>\mathbf{v}\in V</math> dapat dituliskan sebagai <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^ka_i\mathbf{b}_i</math> dengan <math>k\in\mathbb{N}, a_1,\ldots,a_k\in F, \mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k\in B</math>.
# Jika <math>\mathbf{v}=\sum _{i=1}^{\tilde{k}}\tilde{a}_i\tilde{\mathbf{b}}_i</math> representasi lain, maka <math>k=\tilde{k}</math> dan ada suatu permutasi <math>\iota:\{1,\ldots,k\}\to\{1,\ldots,k\}</math> yang <math>a_i=\tilde{a}_{\iota (i)}</math> dan <math>\mathbf{b}_i=\tilde{\mathbf{b}}_{\iota (i)}</math>.
Sebarang basis <math>B</math> dari suatu [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>F</math> (seperti [[bilangan riil]] <math>\R</math> atau [[bilangan kompleks]] <math>\C</math>) adalah suatu [[Himpunan bagian|subset]] dari <math>V</math> yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] dan [[Rentang linear|merentang]] <math>V</math>. Hal ini mengartikan suatu subset <math>B</math> dari <math>V</math> merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:
; ''kebebasan linear''
: Untuk setiap subset [[Himpunan hingga|terhingga]] <math>\{\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_m\}</math> dari <math>B</math>, jika <math>c_1 \mathbf v_1 + \cdots + c_m \mathbf v_m = \mathbf 0</math> untuk suatu <math>c_1,\dotsc,c_m</math> di {{math|''F''}}, maka {{nowrap|<math>c_1 = \cdots = c_m = 0</math>;}}
; ''merentang linear''
: Untuk setiap vektor <math>\mathbf v \in V</math>, terdapat <math>n</math> skalar <math>a_1,\dotsc,a_n</math> di {{math|''F''}} dan <math>n</math> vektor <math>\mathbf v_1, \dotsc, \mathbf v_n</math> di ''{{mvar|B}}'', sehingga {{nowrap|<math>\mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n</math>.}}
[[Skalar (matematika)|Skalar-skalar]] <math>a_i</math> disebut ''koordinat'' dari vektor <math>\mathbf v</math> terhadap basis <math>B</math>, dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut ''[[Dimensi (ruang vektor)|berdimensi hingga]]'' jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.
Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki [[urutan total]] untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]], atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah ''basis terurut'' terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] tak-terurut, melainkan sebagai suatu [[barisan]] (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian [[Pengguna:Kekavigi/bak pasir#koordinat|Koordinat]] di bawah.
== Contoh ==
[[Berkas:Basis_graph_(no_label).svg|jmpl|Gambar ini mengilustrasikan [[basis standar]] di <math>\R^2,</math> yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini [[bergantung linear]] pada mereka.]]
Himpunan <math>\R^2</math> dari [[pasangan terurut]] [[bilangan riil]] adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponen<math display="block">(a, b) + (c, d) = (a + c, b+d)</math>dan perkalian<math display="block">\lambda (a,b) = (\lambda a, \lambda b),</math>dengan <math>\lambda</math> adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor <math>\mathbf{e}_1 = (1,\,0)</math> dan <math>\mathbf{e}_2 = (0,\,1) </math>. Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut ''basis standar'') karena sebarang vektor <math>\mathbf{v} = (a,\,b) </math> di <math>\R^2</math> dapat ditulis secara unik sebagai<math display="block">\mathbf v = a \mathbf e_1 + b \mathbf e_2.</math>Sebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di <math>\R^2</math>, seperti <math>(1,\,1)</math> dan <math>(-1,\,2)</math>, juga membentuk sebuah basis untuk <math>\R^2</math>. Secara umum, jika <math>F</math> berupa [[Lapangan (matematika)|lapangan]], maka himpunan <math>F^n</math> yang berisi [[Rangkap|rangkap-''n'']] elemen-elemen dari <math>F^n</math> adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkan<math display="block">\mathbf e_i = (0,\,\ldots,\,0,\,1,\,0,\,\ldots,\,0)</math>adalah rangkap-''n'' dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-''i'', yang bernilai 1. Himpunan <math>\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n</math> membentuk suatu basis (terurut) untuk <math>F^n,</math> yang disebut dengan ''basis standar'' dari <math>F^n.</math> Contoh yang berbeda terlihat pada [[gelanggang polinomial]]. Jika <math>F</math> berupa [[Lapangan (matematika)|lapangan]], himpunan <math>F[x]</math> dari semua [[polinomial]] satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di <math>F</math>, merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah [[basis monomial]] ''{{mvar|B}}'', yang berisi semua [[monomial]]:<math display="block">B=\{1, x, x^2, \ldots\}.</math>Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah [[Polinomial Bernstein|polinomial basis Bernstein]] dan [[polinomial Chebyshev]].
== Sifat-sifat ==
Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari [[lema pertukaran Steinitz]], yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor <math>V</math>, dan sebarang penetapan [[Rentang linear|himpunan merentang]] <math>S</math> dan himpunan [[Kebebasan linear|bebas linear]] <math>L</math> berisi <math>n</math> elemen dari <math>V</math>, <math>n</math> elemen dari <math>S</math> dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di <math>L</math> sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung <math>L</math>, elemen-elemen yang lainnya berada di <math>S</math>, dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan <math>S</math>. Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan [[aksioma pemilihan]] atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti [[lema ultrafilter]].
Jika <math>V</math> adalah ruang vektor atas lapangan <math>F</math>, maka:
* Untuk sebarang subset bebas linear <math>L</math> dari sebarang himpunan merentang <math>S\subseteq V</math>, terdapat suatu basis <math>B</math> sehingga <math display="block">L\subseteq B\subseteq S.</math>
* <math>V</math> memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih <math>L</math> sebagai [[himpunan kosong]], dan <math>S=V</math>).
* Setiap basis dari <math>V</math> memiliki [[kardinalitas]] yang sama, yang disebut dengan dimensi dari <math>V</math>. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
* Sebarang himpunan pembangkit <math>S</math> adalah basis dari <math>V</math> jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, <math>S</math> bukan subset sejati (''proper subset'') dari sebarang himpunan yang bebas linear.
Jika <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math>, suatu subset berisi <math>n</math> elemen dari <math>V</math> merupakan basis dari <math>V</math> jika dan hanya jika:
* Subset tersebut bebas linear;
* Subset tersebut himpunan merentang dari <math>V</math>.
== Koordinat ==
Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math> (hingga) atas lapangan <math>F</math>, dan<math display="block">B = \{\mathbf b_1, \ldots, \mathbf b_n\}</math>adalah basis dari <math>V</math>. Berdasarkan definisi dari basis, setiap <math>\mathbf v</math> di <math>V</math> dapat ditulis secara unik sebagai<math display="block">\mathbf v = \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_n,</math>dengan koefisien-koefisien <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari <math>F</math>), yang disebut sebagai ''koordinat'' dari <math>\mathbf v</math> atas <math>B</math>. Akan tetapi, pembahasan terkait ''himpunan'' koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki ''himpunan'' koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor <math>3 \mathbf b_1 + 2 \mathbf b_2</math> dan <math>2 \mathbf b_1 + 3 \mathbf b_2</math> yang berbeda memiliki himpunan koefisien <math>\{2,\,3\}</math> yang sama. Oleh karena itu, konsep ''basis terurut'' umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan [[Himpunan indeks|mengindeks]] elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.
Misalkan, seperti biasa, <math>F^n</math> adalah himpunan [[Rangkap|rangkap-''n'']] dari elemen-elemen di <math>F</math>). Himpunan ini adalah ruang vektor-<math>F</math>, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaan<math display="block">\varphi: (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \mapsto \lambda_1 \mathbf b_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf b_n</math>adalah suatu [[Peta linear|isomorfisme linear]] dari ruang vektor <math>F^n</math> pada (''onto'') <math>V</math>. Dalam kata lain, <math>F^n</math> adalah [[Ruang vektor#Ruang koordinat|ruang koordinat]] dari <math>V</math>, dan rangkap-''n'' <math>\varphi^{-1}(\mathbf v)</math> adalah [[vektor koordinat]] dari <math>\mathbf v</math>. Secara khusus, invers bayangan dari <math>\mathbf b_i</math> oleh <math>\varphi</math> adalah vektor <math>\mathbf e_i</math>, yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-''i'' yang bernilai 1. Himpunan <math>\mathbf e_i</math> membentuk suatu basis terurut bagi <math>F^n</math>, yang disebut dengan ''basis standar'' atau ''basis kanonik''.
== Perubahan basis ==
{{main|Perubahan basis}}
Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor berdimensi <math>n</math> atas lapangan {{math|''F''}}. Untuk dua basis (terurut) <math>B_\text{lama} = (\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)</math> dan <math>B_\text{baru} = (\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n)</math>, terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor <math>\mathbf z</math> atas <math>B_\mathrm{lama}</math>, dalam bentuk koordinat atas <math>B_\mathrm{baru}</math>. Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.
Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,<math display="block">\mathbf w_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} \mathbf v_i.</math>Jika <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> dan <math>(y_1, \ldots, y_n)</math> adalah koordinat vektor <math>\mathbf z</math>, masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalah<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j,</math>Untuk <math>i=1,\,\dots,\,n.</math> Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi [[Matriks (matematika)|matriks]]. Misalkan <math>\mathbf A</math> adalah matriks dengan entri-entri {{nowrap|<math>a_{i,j}</math>,}} dan<math display="block">\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}</math>adalah vektor kolom dari koordinat <math>\mathbf z</math> masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebaga<math display="block">x = \mathbf{A} y.</math>Rumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor <math>\mathbf z</math> pada kedua basis: di satu sisi kita memiliki<math display="block">\mathbf z = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf v_i,</math>dan di sisi lain,<math display="block">\mathbf z =\sum_{j=1}^n y_j \mathbf w_j
= \sum_{j=1}^n y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf v_i
= \sum_{i=1}^n \biggl(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\biggr)\mathbf v_i.</math>Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubungan<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j,</math>untuk {{math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}.
== Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis ==
Misalkan <math>V</math> adalah sebarang ruang vektor atas lapangan <math>F</math>, dan <math>X</math> adalah himpunan semua subset yang bebas linear di <math>V</math>. Himpunan <math>X</math> tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari <math>V</math> dan bebas linear). Himpunan <math>X</math> juga [[Himpunan terurut parsial|terurut parsial]] oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan <math>\subseteq</math>.
Misalkan <math>Y</math> adalah suatu subset dari <math>X</math> yang terurut total oleh <math>\subseteq</math>, dan misalkan <math>L_Y</math> adalah gabungan dari semua elemen di <math>Y</math>. Karena <math>(Y,\,\subseteq)</math> terurut total, setiap subset terhingga dari <math>L_Y</math> adalah suatu subset dari suatu elemen di <math>Y</math>, yang merupakan suatu subset bebas linear dari <math>V</math>. Akibatnya, <math>L_Y</math> juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari <math>X</math>. Hal ini mengartikan <math>L_Y</math> adalah batas atas bagi <math>Y</math> dalam <math>(X,\,\subseteq)</math>: himpunan itu adalah elemen dari <math>X</math>, dan berisi semua elemen dari <math>Y</math>.
Karena <math>X</math> tak-kosong, dan semua subset terurut total dari <math>(X,\,\subseteq)</math> memiliki batas atas dalam <math>X</math>, [[Lemma Zorn|lema Zorn]] menyatakan bahwa <math>X</math> memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen <math>L_\text{max}</math> di <math>X</math> yang memenuhi kondisi: kapanpun <math>L_\text{max} \subseteq L </math> untuk suatu elemen <math>L</math> dari <math>X</math>, maka <math>L=L_\text{max} </math>.
Karena <math>L_\text{max}</math> elemen dari <math>X</math>, kita menyimpulkan <math>L_\text{max}</math> adalah subset yang bebas linear di <math>V</math>. Sekarang kita cukup membuktikan <math>L_\text{max}</math> adalah basis dari <math>V</math>.
Anggap ada suatu vektor <math>\mathbf w</math> di <math>V</math> yang tidak berada dalam [[Rentang linear|rentang]] (''span'') dari <math>L_\text{max}</math>, maka <math>\mathbf w</math> bukan menjadi elemen dari <math>L_\text{max}</math>. Misalkan <math>L_\mathbf{w} = L_\text{max} \cup \{w\}</math>. Himpunan ini adalah elemen dari <math>X</math> (karena <math>\mathbf w</math> tidak berada dalam rentang <math>L_\text{max}</math>, dan <math>L_\text{max}</math> bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di <math>V</math>. Karena <math>L_\text{max} \subseteq L_\mathbf{w} </math> namun <math>L_\text{max} \neq L_\mathbf{w} </math> (karena <math>L_\mathbf{w} </math> mengandung <math>\mathbf w</math> yang tidak ada di <math>L_\text{max}</math>), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari <math>L_\text{max}</math>. Alhasil, <math>L_\text{max}</math> merentang <math>V</math>.
Kita dapatkan <math>L_\text{max}</math> bebas linear dan merentang <math>V</math>, menjadikannya sebagai basis bagi <math>V</math> dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan [[aksioma pemilihan]]. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.<ref>{{Harvnb|Blass|1984}}</ref> Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.
== Catatan kaki ==
<references responsive="1"></references>
== Referensi ==
=== Referensi umum ===
* {{Citation|last1=Blass|first1=Andreas|title=Axiomatic set theory|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=Contemporary Mathematics volume 31|mr=763890|year=1984|chapter=Existence of bases implies the axiom of choice|pages=31–33|isbn=978-0-8218-5026-8|chapter-url=http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf}}
* {{Citation|last1=Brown|first1=William A.|title=Matrices and vector spaces|publisher=M. Dekker|location=New York|isbn=978-0-8247-8419-5|year=1991|url=https://books.google.com/books?id=pFQYKlnW5Z0C}}
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Linear algebra|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-96412-6|year=1987}}
=== Referensi sejarah ===
* {{Citation|last1=Banach|first1=Stefan|author1-link=Stefan Banach|title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations)|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf|year=1922|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|issn=0016-2736|volume=3|pages=133–181|language=fr|doi=10.4064/fm-3-1-133-181}}
* {{Citation|last1=Bolzano|first1=Bernard|author1-link=Bernard Bolzano|title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry)|url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338|year=1804|language=de}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics)|publisher=Hermann|location=Paris|year=1969|language=fr}}
* {{Citation|last1=Dorier|first1=Jean-Luc|title=A general outline of the genesis of vector space theory|mr=1347828|year=1995|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=22|issue=3|pages=227–261|doi=10.1006/hmat.1995.1024|url=http://archive-ouverte.unige.ch/unige:16642|doi-access=free}}
* {{Citation|last1=Fourier|first1=Jean Baptiste Joseph|author1-link=Joseph Fourier|title=Théorie analytique de la chaleur|url=https://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ|publisher=Chez Firmin Didot, père et fils|year=1822|language=fr}}
* {{Citation|last1=Grassmann|first1=Hermann|author1-link=Hermann Grassmann|title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik|url=https://books.google.com/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1|year=1844|language=de}}, reprint: {{Citation|others=Kannenberg, L.C.|title=Extension Theory|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-2031-5|year=2000|author=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg.}}
* {{Citation|last=Hamel|first=Georg|author1-link=Georg Hamel|title=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)|journal=Mathematische Annalen|location=Leipzig|volume=60|pages=459–462|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002260395|year=1905|issue=3|doi=10.1007/BF01457624|s2cid=120063569|language=de}}
* {{Citation|last1=Hamilton|first1=William Rowan|author1-link=William Rowan Hamilton|title=Lectures on Quaternions|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9|publisher=Royal Irish Academy|year=1853}}
* {{Citation|last1=Möbius|first1=August Ferdinand|author1-link=August Ferdinand Möbius|title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry)|url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|year=1827|language=de|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20090412013616/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|archive-date=2009-04-12}}
* {{Citation|last1=Moore|first1=Gregory H.|title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940|year=1995|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=22|issue=3|pages=262–303|doi=10.1006/hmat.1995.1025|doi-access=free}}
* {{Citation | last1=Peano | first1=Giuseppe | author1-link=Giuseppe Peano | title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | year=1888 | location=Turin|language=it}}
== Pranala luar ==
* Video pembelajaran dari Khan Academy ([[bahasa Inggris]])
** [https://web.archive.org/web/20120426050335/http://khanexercises.appspot.com/video?v=zntNi3-ybfQ ''Introduction to bases of subspaces'']
** [https://web.archive.org/web/20120426050418/http://khanexercises.appspot.com/video?v=Zn2K8UIT8r4 ''Proof that any subspace basis has same number of elements'']
* {{Cite web|date=August 6, 2016|title=Linear combinations, span, and basis vectors|url=https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3|work=Essence of linear algebra|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211117/k7RM-ot2NWY|archive-date=2021-11-17|via=[[YouTube]]|url-status=live}}
* {{springer|title=Basis|id=p/b015350}}
{{Aljabar linear}}
[[Kategori:Aljabar linear]]
| |||