Wikipedia

Grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(34 revisi perantara oleh 12 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|right|Manipulasi dari [[Kubus Rubik]] membentuk [[Grup Kubus Rubik]].]]
Dalam [[matematika]], '''grup''' adalah suatu [[himpunan]], beserta satu [[operasi biner]], seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa [[aksioma]] yang disebut ''aksioma grup''. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut [[teori grup]].
 
Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup [[sistem bilangan]], seperti bilangan bulat, [[bilangan rasional]], bilangan realriil, dan [[bilangan kompleks]] terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan realriil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.
 
Asal usul teori grup berawal dari kerja [[Evariste Galois]] (1830), yang berkaitan dengan masalah [[persamaan aljabar]] yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori [[bentuk-bentuk kuadrat]].
 
== SejarahDefinisi dan ilustrasi ==
=== Contoh pertama: bilangan bulat ===
{{Main|Teori grup}}
Salah satu grup yang paling dikenal adalah himpunan [[bilangan bulat]]<math display="block">\mathbb{Z} = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}</math>
Terdapat tiga akar sejarah teori grup: teori [[persamaaan aljabar]], [[teori bilangan]] dan [[geometri]]. [[Euler]], [[Gauss]], [[Lagrange]], [[Abel]], dan [[Galois]] merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan [[teori medan]], dengan teorinya yang sekarang disebut [[teori Galois]].
dengan [[penambahan]].<ref>{{harvnb|Lang|2005|loc = Lihat Apendiks 2, hlm. 360|nb = yes}}</ref> Untuk dua bilangan bulat <math> a </math> dan <math> b </math>, [[penambahan]] <math> a + b </math> menghasilkan bilangan bulat, dan sifat ''[[Ketertutupan (matematika)|ketertutupan]]'' mengatakan bahwa <math> + </math> adalah [[operasi biner]] <math>\mathbb{Z}</math>. Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.
 
* Untuk semua bilangan bulat <math> a </math>, <math> b </math> dan <math> c </math>, <math> (a + b) + c = a + (b + c)</math>. Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan <math> a </math> ke <math> b </math> terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke <math> c </math> akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan <math> a </math> ke penjumlahan <math> b </math> dan <math> c </math>. Sifat ini dikenal sebagai sifat ''[[asosiatif]]''.
Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada ''[[Hudde]]''(1659). ''[[Saunderson]]''(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan ''[[Le Soeur]]'' (1748) dan ''[[Waring]]'' (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.
* Jika <math> a </math> adalah bilangan bulat, maka <math> 0 + a = a </math> dan <math> a + 0 = a </math>. [[Nol]] disebut ''[[elemen identitas]]'' dari penambahan, sebab menambahkannya ke bilangan bulat akan tetap memberikan hasil bilangan bulat yang sama.
* Untuk setiap bilangan bulat <math> a </math>, terdapat bilangan bulat <math> b </math> sehingga <math> a + b = 0 </math> dan <math> b + a = 0 </math>. Bilangan bulat <math> b </math> disebut ''[[elemen invers]]'' dari bilangan bulat <math> a </math> dan dilambangkan dengan <math> -a </math>.
 
Bilangan bulat dengan operasi <math> + </math> membentuk objek matematika yang merupakan milik kelas yang luas yang membagi aspek struktural yang serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.
Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari ''[[permutasi grup]]'' ditemukan oleh ''[[Lagrange]]''(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari ''[[Vandermonde]]'' (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.
 
=== Definisi ===
''[[Ruffini]]'' (1799) membedakan intransitif dan ''[[transitif]]'', dan grup ''[[imprimitif]]'' dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari ''[[Abbati]]'' untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.
{{quote box
|align = right
|width=33%
|quote=Aksioma untuk grup itu sederhana dan sangat jelas... tetapi di balik semua aksioma tersebut terdapat [[Grup monster|grup monster sederhana]], objek matematika sangat luar biasa yang tampaknya suka bergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.
|source=[[Richard Borcherds]] dalam ''Mathematicians: An Outer View of the Inner World''{{sfn|Cook|2009|p=24}}
}}
 
Grup adalah suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math> G </math> dengan [[operasi biner]] <math> G </math>. Operasi biner tersebut dilambangkan sebagai <math> \cdot </math>, yang menggabungkan dua [[elemen (matematika)|elemen]] <math> a </math> dan <math> b </math> untuk membentuk elemen dari <math> G </math>, dan bentuk elemen tersebut dilambangkan <math> a \cdot b </math>. Akibatnya, suatu grup <math> G </math> memenuhi tiga syarat di bawah, yang dikenal sebagai '''aksioma grup''' (''group axiom''):{{sfn|Artin|2018|loc=§2.2|hlm=40}}{{sfn|Lang|2002|loc = hlm. 3, I.§1 dan hlm. 7, I.§2}}{{sfn|Lang|2005|loc=II.§1|hlm=16}}{{efn|Beberapa penulis menyertakan aksioma tambahan yang disebut ''ketertutupan'' terhadap operasi "<math>\cdot</math>", yang berarti bahwa <math>a\cdot b</math> adalah suatu elemen dari <math>G</math> untuk setiap <math>a</math> dan <math>b</math> di <math>G</math>. Syarat ini disertakan dengan memerlukan "<math>\cdot</math>" menjadi suatu operasi biner dalam <math>G</math>. Lihat {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002}}.}}
''[[Galois]]'' menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori ''[[persamaan modular]]'' dan ''[[fungsi eliptik]]''. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).
 
;Asosiatif: Untuk semua <math> a </math>, <math> b </math>, dan <math> c </math> dalam <math> G </math>, maka <math> (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) </math>.
''[[Arthur Cayley]]'' dan ''[[Augustin Louis Cauchy]]'' merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh ''[[Serret]]'', yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh ''[[Camille Jordan]]'', yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada ''[[Netto]]'' (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari ''[[abad ke-19]]'' adalah ''[[Bertrand]]'', ''[[Charles Hermite]]'', ''[[Frobenius]]'', ''[[Leopold Kronecker]]'', dan ''[[Mathieu]]''.
;Elemen identitas: Terdapat elemen <math> e </math> dalam <math> G </math>, sehingga untuk setiap <math> a </math> dalam <math> G </math>, maka <math> e \cdot a = a </math> dan <math> a \cdot e = a </math>. Elemen tersebut dikatakan tunggal (''unique'') ([[#Ketunggalan dari elemen invers|lihat di bawah]]), dan elemen itu disebut ''elemen identitas'' dari grup.
;Elemen invers: Untuk setiap <math> a </math> dalam <math> G </math>, terdapat elemen <math> b </math> dalam <math> G </math> sehingga <math> a \cdot b = e </math> dan <math> b \cdot a = e </math>, dengan <math> e </math> adalah elemen identitas. Untuk setiap <math> a </math>, elemen <math> b </math> adalah tunggal ([[#Ketunggalan dari elemen invers|lihat di bawah]]), dan elemen itu disebut sebagai ''invers'' dari <math> a </math> dan biasanya dilambangkan <math> a^{-1} </math>.
 
=== Notasi dan terminologi ===
Pada tahun 1882, ''[[Walther von Dyck]]'' berhasil merumuskan definisi modern dari suatu grup.
Secara formal, grup adalah [[pasangan terurut]] yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi [[aksioma grup]]. Himpunan itu disebut ''himpunan pendasar'' (''underlying set'') grup, dan operasi binernya disebut ''operasi grup'' atau ''hukum grup''. Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua [[objek matematika]] yang berbeda. Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir yang informal, bahwa grup sama saja dengan himpunan tetapi diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi. Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan [[bilangan riil|bilangan real]] <math>\mathbb R</math>, yang memiliki operasi penjumlahan <math>a+b</math> dan perkalian <math>ab</math>. Secara formal, <math>\mathbb R</math> adalah suatu himpunan, <math>(\mathbb R,+)</math> adalah suatu grup, dan <math>(\mathbb R,+,\cdot)</math> adalah suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]]. Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai <math>\mathbb R</math> untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.
 
''Grup aditif'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah <math>\mathbb R</math>, dan operasinya adalah penambahan. Sementara itu, ''grup perkalian'' dari lapangan <math>\mathbb R</math> adalah grup <math>\mathbb{R}^{\times}</math> yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol <math>\mathbb{R} \setminus \{0\}</math> dan operasinya adalah perkalian.
Pembahasan mengenai ''[[grup Lie]]'', dan ''[[subgrup diskrit]]'', sebagai ''[[grup transformasi]]'', mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh ''[[Sophus Lie]]''; diikuti oleh ''[[Killing]]'', ''[[Study]]'', ''[[Schur]]'', dan ''[[Maurer]]''. Teori diskontinu (''[[grup diskrit]]'') dicetuskan oleh ''[[Felix Klein]]'', Lie, ''[[Poincaré]]'', and ''[[Charles Emile Picard]]'', dihubungkan dengan ''[[bentuk modular]]'' dan ''[[monodromi]]''.
 
Secara umum, kita berbicara tentang ''grup aditif'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan <math>0</math>, dan invers dari elemen <math>x</math> dilambangkan dengan <math>-x</math>. Demikian pula, kita berbicara tentang ''grup perkalian'' setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan <math>1</math>, dan inversi elemen <math>x</math> dilambangkan dengan <math>x^{-1}</math>. Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, sehingga bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, yakni <math>ab</math> sebagai pengganti <math>a \cdot b</math>.
Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah ''[[Emil Artin]]'', ''[[Emmy Noether]]'', ''[[Sylow]]'' dan masih banyak lagi.
 
Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa <math>a \cdot b = b \cdot a</math> untuk semua elemen <math> a </math> dan <math> b </math> dalam <math> G </math>. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan [[komutatif]], dan grup tersebut disebut [[grup abelian]]. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.
== Definisi ==
Suatu grup adalah suatu [[himpunan]] <math>G</math> beserta satu [[operasi biner]] <math>*</math> yang memenuhi ''aksioma-aksioma grup'' berikut:
* '''Ketertutupan''' (''closure''): untuk setiap <math>a,b\in G</math>, berlaku <math>a*b\in G</math>.
* '''Sifat asosiatif''': untuk setiap <math>a,b,c\in G</math>, berlaku <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>.
* '''Unsur identitas''': terdapat suatu <math>i\in G</math> sehingga untuk setiap <math>a\in G</math> berlaku <math>a*i=i*a=a</math> (dapat dibuktikan bahwa dalam grup manapun hanya terdapat satu unsur identitas).
* '''Unsur invers''': untuk setiap <math>a\in G</math>, terdapat suatu <math>b\in G</math> sehingga <math>a*b=b*a=i</math>, di mana <math>i</math> adalah unsur identitas (dapat dibuktikan bahwa setiap unsur <math>G</math> memiliki tepat satu unsur invers).
 
Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya [[fungsi (matematika)|fungsi]], operasi sering kali digunakan dalam [[komposisi fungsi]] <math>f\circ g</math>; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan {{math|id}}. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup [[transformasi geometris]], grup [[simetri (matematika)|simetri]], [[grup permutasi]], dan [[grup automorfisme]], simbol <math>\circ</math> dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.
== Notasi grup ==
Suatu grup yang terdiri atas himpunan <math>G</math> dan operasi <math>*</math> dapat ditulis <math>(G,*)</math>.
 
=== Definisi alternatif ===
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari [[perkalian]], dan operasi grup ditulis seperti perkalian (''notasi perkalian''):
Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu [[operasi biner]] yang merupakan operasi grup, [[operasi uner]] sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan [[operasi nullari]] yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.
* Kita menulis <math>a\cdot b</math>, atau bahkan <math>ab</math>, untuk <math>a*b</math>.
* Kita menulis <math>1</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur satuan''.
* Kita menulis <math>a^{-1}</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''kebalikan'' dari <math>a</math>.
 
Varian definisi ini menghindari [[kuantifer eksistensial]]. Biasanya lebih sering digunakan untuk [[teori grup komputasi|komputasi dengan grup]] dan untuk [[bukti bantuan komputer]]. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi [[aljabar universal]]. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan [[grup topologi]] dan [[objek grup]].
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari [[penjumlahan]] dan ditulis seperti penjumlahan (''notasi penjumlahan''):
* Kita menulis <math>a + b</math> untuk <math>a * b</math> dan menyebutnya jumlah <math>a</math> dan <math>b</math>.
* Kita menulis <math>0</math> untuk unsur identitas dan menyebutnya ''unsur nol''.
* Kita menulis <math>-a</math> untuk invers <math>a</math> dan menyebutnya ''lawan'' dari <math>a</math>.
 
=== Contoh kedua: grup simetri ===
Biasanya, hanya [[grup abelian]] (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat ''noncommittal'', kita dapat menggunakan notasi (dengan <math>*</math>) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi <math>a^{-1}</math> sebagai invers dari <math>a</math>.
Dua bangun pada bidang adalah [[kekongruenan (geometri)|kongruen]] jika bangun tersebut dapat diubah menjadi bangun yang lain menggunakan gabungan dari [[rotasi (matematika)|rotasi]], [[refleksi (matematika)|refleksi]], dan [[translasi (geometri)|translasi]]. Setiap bangun kongruen dengan dirinya sendiri. Namun, beberapa bangun kongruen dengan sendiri dapat dilakukan dengan berbagai cara, dan kekongruenan tambahan tersebut dinamakan [[simetri]]s. Persegi memiliki delapan simetri, yaitu:
 
* [[operasi identitas]], yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id;
Bila <math>S</math> adalah sub himpunan dari <math>G</math> dan <math>x</math> unsur dari <math>G</math> maka dalam notasi perkalian <math>xS</math> merupakan himpunan dari semua hasil perkalian <math>xs</math> untuk <math>s</math> dalam <math>S</math> (dengan kata lain, <math>xS=\{xs | s\in S\}</math>). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi <math>Sx=\{sx | s\in S\}</math>, dan untuk dua sub himpunan <math>S</math> dan <math>T</math> dari <math>G</math> kita dapat menulis <math>ST</math> untuk <math>\{st | s\in S,t\in T\}</math>. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan <math>x+S,S+x,</math> dan <math>S+T</math> untuk masing-masing pasangan.
* persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan <math>r_1</math>, <math>r_2</math> dan <math>r_3</math>;
* refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal (<math>f_\mathrm{v}</math> dan <math>f_\mathrm{h}</math>, atau terhadap dua [[diagonal|garis diagonal]] (<math>f_\mathrm{d}</math> dan <math>f_\mathrm{c}</math>).
 
{{multiple image
== Beberapa contoh grup dan contoh bukan grup ==
|header = Elemen dari grup simetri persegi, <math> \mathrm{D}_4 </math>. Titik sudutnya dinyatakan dengan warna ataupun bilangan.
=== Sebuah grup abelian: bilangan bulat terhadap penjumlahan ===
|align = center
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan <math>\mathbb{Z}</math> merupakan himpunan bilangan bulat, <math>\{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...\}</math> dan simbol <math>+</math> sebagai operasi [[penjumlahan]]. Dengan demikian, <math>(\mathbb{Z},+)</math> merupakan suatu grup.
|perrow = 4
|total_width = 800
|image1 = group D8 id.svg
|caption1 = {{math|id}}, persegi tetap tidak berubah
|image2 = group D8 90.svg
|caption2 = <math> r_1 </math>, persegi berputar 90° searah jarum jam
|image3 = group D8 180.svg
|caption3 = <math> r_2 </math>, persegi berputar 180° searah jarum jam
|image4 = group D8 270.svg
|caption4 = <math> r_3 </math>, persegi berputar 270° searah jarum jam
|image5 = group D8 fv.svg
|caption5 = <math>f_\mathrm{v}</math>, persegi cermin terhadap garis vertikal|
|image6 = group D8 fh.svg
|caption6 = <math>f_\mathrm{h}</math>, persegi cermin terhadap garis horizontal
|image7 = group D8 f13.svg
|caption7 = <math>f_\mathrm{d}</math>, persegi cermin terhadap garis diagonal
|image8 = group D8 f24.svg
|caption8 = <math>f_\mathrm{c}</math>, persegi cermin terhadap kontra-diagonal
}}
 
Simetri diatas adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]]. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, {{math|''r''<sub>1</sub>}} untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan {{math|''f''<sub>h</sub>}} untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. [[Komposisi fungsi|Komposisi]] dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut [[grup dihedral]] dengan derajat 4, dilambangkan {{math|''D''<sub>4</sub>}}. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah [[komposisi fungsi]].<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, p. 54|nb = yes}}</ref> Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali {{math|''a''}} dan kemudian {{math|''b''}} ditulis secara simbolis ''dari kanan ke kiri'' sebagai <math>b\circ a</math> ("terapkan simetri {{math|''b''}} setelah melakukan simetri {{math|''a''}}"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.
Bukti:
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat maka <math>a + b</math> juga merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah bilangan bulat maka <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>0</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>0 + a = a + 0 = a</math> (elemen identitas).
* Bila <math>a</math> sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat <math>b = -a</math> sedemikian sehingga <math>a + b = b + a = 0</math> (elemen invers).
 
[[Tabel grup]] di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam ({{math|''r''<sub>3</sub>}}) dan kemudian merefleksikan secara horizontal ({{math|''f''<sub>h</sub>}}) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal ({{math|''f''<sub>d</sub>}}). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:
Grup ini juga merupakan abelian, karena <math>a + b = b + a</math> (sifat komutatif).
:<math>f_\mathrm h \circ r_3= f_\mathrm d.</math>
 
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari gelanggang apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari gelanggang.
|+ [[Tabel Cayley|Tabel grup]] dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}
|-
! style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"|
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|id}}
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|r<sub>2</sub>}}
! style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}} !! style="width:11%;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|-
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|id}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|id}}
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}}
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>v</sub>}}
| {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}}|| {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>h</sub>}}
| {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>d</sub>}}
| {{math|''f''<sub>d</sub>}} || {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''f''<sub>c</sub>}} || {{math|''f''<sub>v</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|id}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}}
|- style="height:10%"
! {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>c</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>v</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>d</sub>}}
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | {{math|''f''<sub>h</sub>}} || {{math|''r''<sub>1</sub>}} || {{math|''r''<sub>3</sub>}} || {{math|''r''<sub>2</sub>}} || {{math|id}}
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Elemen {{math|id}}, {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2}}</sub>, dan {{math|''r''<sub>3}}</sub> sebagai bentuk [[subgrup]] tabel grup ditarik dalam {{color box|#FDD}} merah (wilayah kiri atas). [[Kohimpunan]] kiri dan kanan subgrup ini ditarik di {{color box|#9DFF93}} hijau (di baris terakhir) dan {{color box|#FFFC93}} kuning (kolom terakhir).
|}
Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.
 
''Komposisi adalah operasi biner.'' Artinya, <math>a\circ b</math> adalah simetri untuk dua simetri {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}. Sebagai contoh,
=== Bukan grup: bilangan bulat terhadap perkalian ===
:<math>r_3\circ f_\mathrm h = f_\mathrm c,</math>
Bilangan bulat terhadap [[perkalian]] yang dilambangkan dengan <math>\times</math>. Maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan sebuah grup. Alasannya:
yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal ({{math|''f''<sub>c</sub>}}). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.
* Bila <math>a</math> dan <math>b</math> bilangan bulat maka <math>a \times b</math> merupakan bilangan bulat (ketertutupan).
* Bila <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> bilangan bulat maka <math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math> (sifat asosiatif).
* <math>1</math> adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat <math>a</math>, <math>1 \times a = a \times 1 = a</math> (elemen identitas).
* Tetapi, bila <math>a</math> sebaramg bilangan bulat bukan <math>0</math> maka tidak ada bilangan bulat bukan <math>0</math> yang memenuhi <math>ab = ba = 1</math>. Sebagai contoh, misalkan <math>a = 2</math> maka berapapun <math>b</math> (bilangan bulat bukan <math>0</math>) maka <math>|ab| = |2b| > 1</math> (Syarat elemen invers tidak dipenuhi).
 
''Aksioma asosiatif'' berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen {{math|''a''}}, {{math|''b''}} dan {{math|''c''}} dari {{math|''D''<sub>4</sub>}}, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan {{math|''c''}}. Cara lainnya adalah dengan menulis {{math|''b''}} dan {{math|''c''}}, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan {{math|''a''}}. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,
Karena tidak semua elemen dari <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> mempunyai invers maka <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut <math>(\mathbb{Z}, \times)</math> sebuah [[monoid]] komutatif.
:<math>(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c),</math>
Sebagai contoh, <math>(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 = f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2)</math> dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:
:<math>\begin{align}
(f_\mathrm d\circ f_\mathrm v)\circ r_2 &=r_3\circ r_2=r_1\\
f_\mathrm d\circ (f_\mathrm v\circ r_2) &=f_\mathrm d\circ f_\mathrm h =r_1.
\end{align}</math>
 
''Elemen identitas'' adalah {{math|id}}, karena tidak mengubah simetri {{mvar|a}} saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.
=== Sebuah grup abelian: bilangan rasional bukan 0 terhadap perkalian ===
Misalkan <math>\mathbb{Q}</math> sebagai himpunan [[bilangan rasional]], yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan <math>\frac{a}{b}</math> dengan <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan bilangan bulat dan <math>b</math> bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol <math>\times</math> Karena bilangan rasional [[0]] tidak memiliki invers untuk perkalian maka <math>(\mathbb{Q},\times)</math>, sebagaimana juga <math>(\mathbb{Z},\times)</math> bukan sebuah grup.
 
Semua simetri memiliki ''kebalikan'': {{math|is}}, pantulan {{math|''f''<sub>h</sub>}}, {{math|''f''<sub>v</sub>}}, {{math|''f''<sub>d</sub>}}, {{math|''f''<sub>c</sub>}} dan rotasi 180° {{math|r{{sub|2}}}} adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi {{math|''r''<sub>3</sub>}} dan {{math|''r''<sub>1</sub>}} adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.
Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan <math>\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}</math>, yang mencakup setiap bilangan rasional ''kecuali'' nol maka <math>(\mathbb{Q}\ \backslash\ \{0\}, \times)</math> merupakan grup abelian. Invers <math>\frac{a}{b}</math> adalah <math>\frac{b}{a}</math> dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan ketertutupan dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.
 
Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, {{math|''D''<sub>4</sub>}}, misalnya <math>f_\mathrm h\circ r_1=f_\mathrm c</math> but <math>r_1\circ f_\mathrm h=f_\mathrm d</math> Dengan kata lain, {{math|''D''<sub>4</sub>}} bukan abelian.
Sama seperti bilangan bulat yang membentuk gelanggang, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari [[medan (matematika)|medan]]. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut “grup perkalian” dari medan.
 
== Sejarah ==
=== Grup bukan abelian tertentu: permutasi dari himpunan ===
{{Main|Sejarah teori grup}}
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan ''a'' merupakan aksi “menukarkan blok pertama dan blok kedua” dan ''b'' merupakan aksi “menukarkan blok kedua dan ketiga”.
Konsep [[Teori grup#Grup abstrak|grup abstrak]] yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika.{{sfn|Wussing|2007}}{{sfn|Kleiner|1986}}{{sfn|Smith|1906}} Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan [[persamaan polinomial]] dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, [[Évariste Galois]], memperluas karya [[Paolo Ruffini (matematikawan)|Paolo Ruffini]] dan [[Joseph-Louis Lagrange]] dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan [[polinomial]] khusus dalam [[grup simetri]] dari (penyelesaian) [[akar fungsi|akar]]nya. Elemen dari [[grup Galois]] tersebut bersesuaian dengan [[permutasi]] dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya.{{sfn|Galois|1908}}{{sfn|Kleiner|1986|p=202}} Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh [[Augustin Louis Cauchy]]. Dalam makalahnya yang berjudul ''On the theory of groups, as depending on the symbolic equation <math>\theta^n=1</math>'' (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai [[grup terhingga]].{{sfn|Cayley|1889}}
 
Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari [[program Erlangen]] milik [[Felix Klein]] di tahun 1872.{{sfn|Wussing|2007|loc=§III.2}} Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti [[geometri hiperbolik]] dan [[geometri proyektif]], Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti. Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, [[Sophus Lie]] menemukan kajian [[grup Lie]] di tahun 1884.{{sfn|Lie|1973}}
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan ''xy'' untuk melambangkan aksi “pertama-tama lakukan ''y'' kemudian lakukan ''x''” sehingga ''ab'' adalah aksi MHB → MBH → BMH yaitu “ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan”. Bila kita menuliskan ''e'' untuk aksi “biarkan blok sebagaimana adanya” (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam [[permutasi]] dari himpunan tiga blok sebagai berikut:
* ''e'': MHB → MHB
* ''a'': MHB → HMB
* ''b'': MHB → MBH
* ''ab'': MHB → BMH
* ''ba'': MHB → HBM
* ''aba'': MHB → BHM
 
Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah [[teori bilangan]]. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya [[Carl Friedrich Gauss]] yang berjudul ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798). [[Leopold Kronecker]] juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail.{{sfn|Kleiner|1986|p=204}} Pada tahun 1847, [[Ernst Kummer]] mencoba membuktikan [[Teorema Terakhir Fermat]] dengan mengembangkan [[grup kelas|grup yang menjelaskan faktorisasi]] menjadi [[bilangan prima]].{{sfn|Wussing|2007|loc=§I.3.4}}
Perhatikan bahwa aksi ''aa'' akan menyebabkan MHB → HMB → MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi “biarkan blok sebagaimana adanya”. Dengan demikian, kita dapat menuliskan ''aa'' = ''e''.
Demikian pula,
* ''bb'' = ''e''
* (''aba'')(''aba'') = ''e'', dan
* (''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''.
Jadi, tiap aksi di atas mempunyai sebuah invers.
 
Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik [[Camille Jordan]] yang berjudul ''{{lang|fr|Traité des substitutions et des équations algébriques}}'' (1870).{{sfn|Jordan|1870}} [[Walther von Dyck]] (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (''generator'') dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak".{{sfn|von Dyck|1882}} Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik [[Ferdinand Georg Frobenius]] dan [[William Burnside]] yang membahas tentang [[teori representasi]] dari grup terhingga, karya [[Richard Brauer]] yang membahas tentang [[teori representasi modular]] dan karya milik [[Issai Schur]].{{sfn|Curtis|2003}} Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah [[grup kompak lokal]] (''locally compact group'') dikaji oleh [[Hermann Weyl]], [[Élie Cartan]] dan banyak matematikawan lainnya.{{sfn|Mackey|1976}} Pasangan teorinya, teori [[grup aljabar]], dikembangkan oleh [[Claude Chevalley]] di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh [[Armand Borel]] dan [[Jacques Tits]].{{sfn|Borel|2001}}
Dengan menyelidiki, kita juga dapat menentukan sifat asosiatif dan ketertutupan. Sebagai contoh perhatikan,
* (''ab'')''a'' = ''a''(''ba'') = ''aba'', dan
* (''ba'')''b'' = ''b''(''ab'') = ''aba''.
 
== Konsekuensi elementer dari aksioma grup ==
Grup ini disebut [[grup simetri]] pada tiga huruf, atau S<sub>3</sub>. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3!), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh ''ab'' ≠ ''ba''). Karena S<sub>3</sub> dibangun dari aksi dasar ''a'' dan ''b'' maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan {''a'',''b''} membangun S<sub>3</sub>.
Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam ''teori grup elementer''.<ref>{{Harvard citations|last = Ledermann|year = 1953|loc = §1.2, pp. 4–5|nb = yes}}</ref> Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang [[Induksi matematika|berulang]] menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu dari<math display="block">a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>memperumum lebih dari tiga faktor. Karena notasi tersebut menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja di suku-suku tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.{{sfn|Ledermann|1973|loc=§I.1|p=3}}
 
Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan [[Elemen identitas|identitas kiri]] dan [[Elemen invers|invers kiri]]. Berdasarkan <nowiki>''aksioma sepihak''</nowiki> ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, aksioma tersebut tidak menjadi lemah.<ref>{{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc = §I.2, p. 7}}</ref>
Setiap grup dapat diungkapkan dalam [[grup permutasi]] seperti S<sub>3</sub>. Hasilnya merupakan [[Teorema Cayley]] dan dipelajari sebgai bagian dari subyek [[aksi grup]].
 
=== ContohKetunggalan lanjutandari elemen identitas ===
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika <math>e</math> dan <math>f</math>adalah elemen identitas dari suatu grup, maka <math>e = e \cdot f = f</math>. Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai identitas.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.1|p=17}}
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.
 
=== Ketunggalan dari invers ===
== Teorema sederhana ==
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa invers (atau kebalikan) dari setiap elemen adalah tunggal: jika elemen grup <math>a</math> memiliki <math>b</math> dan <math>c</math> yang merupakan invers, maka
* Sebuah grup mempunyai hanya satu elemen identitas.
* Setiap elemen mempunyai hanya satu invers.
* Kita dapat membagi grup yaitu elemen grup ''a'' dan ''b'' dari grup <math>G</math>, hanya ada satu solusi ''x'' dalam <math>G</math> terhadap persamaan ''x'' * ''a'' = ''b'' dan hanya satu solusi ''y'' dalam <math>G</math> untuk persamaan ''a'' * ''y'' = ''b''.
* Ungkapan ''a<sub>1</sub>'' * ''a<sub>2</sub> * ... * ''a<sub>n</sub>'' tidak ambigu karena hasilnya akan sama dimana saja kita menempatkan tanda kurung.
* Invers perkalian adalah hasil kali invers dalam susunan terbalik: (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>.
 
:{|
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari [[teori grup elementer]].
|''<math>b</math>'' ||<math>=</math>||<math>b \cdot e</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena ''<math>e</math>'' adalah elemen identitas
|-
| ||<math>=</math>||<math>b \cdot (a \cdot c)</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena <math>c</math> adalah invers dari <math>a</math>, sehingga <math>e = a \cdot c</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>(b \cdot a) \cdot c</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||berdasarkan sifat asosiatif, yang memungkinkan penyusunan ulang tanda kurung
|-
| ||<math>=</math>||<math>e \cdot c</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;||karena <math>b</math> adalah invers dari <math>a</math>, sehingga <math>b \cdot a = e</math>
|-
| ||<math>=</math>||<math>c</math>||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| karena ''<math>e</math>'' adalah elemen identitas.
|}
 
Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai ''invers'' dari suatu elemen.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.1|p=17}}
== Membuat grup baru dari suatu grup tertentu ==
 
# Bila sebuah sub himpunan <math>H</math> dari grup <math>(G,*)</math>,
=== Pembagian ===
# Hasil kali dari dua grup <math>(G,*)</math> dan <math>(H, \times)</math> merupakan himpunan <math>G</math>x<math>H</math> bersama dengan operasi (''g<sub>1</sub>'', ''h<sub>1</sub>'')(''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>2</sub>'') = (''g<sub>1'' * ''g<sub>2</sub>'', ''h<sub>1</sub>'' × ''h<sub>2</sub>'').
Diberikan elemen <math> a </math> dan <math> b </math> dari grup <math> G </math>, maka terdapat solusi tunggal <math> x </math> dalam <math> G </math> untuk persamaan <math> a \cdot x = b </math>, yaitu <math> a^{-1} \cdot b </math>. (Biasanya notasi seperti <math> b/a </math> dihindari , kecuali jika <math> G </math> adalah abelian, karena notasi tersebut dapat berarti <math> a^{-1} \cdot b </math> atau <math> b \cdot a^{-1}</math>.){{sfn|Artin|2018|p=40}} Oleh karena itu, untuk setiap <math> a </math> dalam <math> G </math>, fungsi <math> G \to G </math> yang memetakan <math> x \to a \cdot x </math> adalah [[bijeksi|bijektif]]; itu disebut ''perkalian kiri dengan <math> a </math>'' atau ''translasi kiri dengan <math> a </math>''. Dengan cara yang serupa, diberikan <math> a </math> dan <math> b </math>, maka solusi tunggal untuk <math> x \cdot a = b </math> adalah <math> b \cdot a^{-1} </math>. Untuk setiap <math> a </math>, fungsi elemen <math> a </math> dan <math> b </math> yang memetakan <math> x \to x \cdot a </math> adalah bijektif yang disebut ''perkalian kanan dengan <math> a </math>'' atau ''translasi kanan dengan <math> a </math>''.
# “Penjumlahan eksternal secara langsung” dari anggota grup merupakan sub grup perkalian yang diwakilkan oleh elemen-elemen yang mempunyai sejumlah bagian bukan nol. Bila anggota bersifat tertentu maka penjumlahan langsung dan perkalian adalah sama.
 
# Grup tertentu <math>G</math> dan sebuah [[sub grup normal]] <math>N</math>, maka [[grup kuosien]] adalah himpunan dari kohimpunan dari <math>G / N</math> terhadap operasi (''g''<math>N</math>)(''h''<math>N</math>) = ''gh''<math>N</math>.
== Catatan==
{{reflist|group=lower-alpha}}
 
== Kutipan ==
{{Reflist}}
 
== Referensi ==
=== Referensi umum ===
{{refbegin|30em}}
* {{Citation
| last1=Artin
Baris 135 ⟶ 213:
| year=2018
}}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{Citation |last=Cook |first=Mariana R. |year=2009 |title=Mathematicians: An Outer View of the Inner World |publisher=Princeton University Press |location=Princeton, N.J. |isbn=978-0-691-13951-7 |url=https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 |accessdate=2021-04-09 |archive-date=2023-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230809114242/https://books.google.com/books?id=06h8NT77OgMC&q=Richard+Ewen+Borcherds&pg=PA24 |dead-url=no }}
* {{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | author-link1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* {{Citation | author-link=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied groupGroup theoryTheory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | year=1967}}, an elementary introduction.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |author-link1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebraAlgebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebraAlgebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
* {{Lang Algebra}}<!-- Don't add a fullstop here: it breaks the layout! -->
* {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theoryTheory of finiteFinite groupsGroups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | mr=0054593 | year=1953}}.
* {{Citation | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to groupGroup theoryTheory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
* {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A courseCourse in the theoryTheory of groupsGroups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.
{{refend}}
 
=== Referensi khusus ===
{{refbegin|30em}}
* {{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Galois Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-62342-9 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Aschbacher | first1=Michael | author1-link = Michael Aschbacher | title=The Statusstatus of the Classificationclassification of the Finitefinite Simplesimple Groupsgroups | url=httphttps://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf | year=2004 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=51 | issue=7 | pages=736–740 | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2023-04-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230404065746/http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf | dead-url=no }}.
* {{Citation|title=Category Theory| last = BecchiAwodey| first = C.Steve|arxivisbn=hep978-ph/9705211|title=Introduction to Gauge Theories0-19-958736-0|year = 19972010|bibcode = 1997hep.ph....5211B| page publisher=Oxford 5211University Press}}.
* {{Citation|title=Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers|first1=Florian|last1=Behler|first2=Mathias S.|last2= Wickleder|first3=Jens|last3=Christoffers|doi=10.3998/ark.5550190.p008.911|journal=Arkivoc|year=2014|volume=2015|issue=2|pages=64–75|doi-access=free}}
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7| doi-access=free }}.
* {{citation |title=The Jahn–Teller Effect |first=Isaac |last=Bersuker |isbn=0-521-82212-2 |publisher=Cambridge University Press |year=2006 |url=https://archive.org/details/jahntellereffect0000bers/page/2 }}.
* {{Citation | last1=Bishop | first1=David H. L. | title=Group theory and chemistry | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-67355-4 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Besche | first1=Hans Ulrich | last2=Eick | first2=Bettina | last3=O'Brien | first3=E. A. | title=The groups of order at most 2000 | url=https://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | mr=1826989 | year=2001 | journal=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | pages=1–4 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00087-7 | doi-access=free | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2009-08-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090827060744/http://www.ams.org/era/2001-07-01/S1079-6762-01-00087-7/home.html | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=CarterBishop | first1=RogerDavid WH. | author1-link=Roger Carter (mathematician)L. | title=SimpleGroup groupsTheory ofand Lie typeChemistry | publisher=[[John Wiley &Dover Sons]]Publications | location=New York | isbn=978-0-471486-5068367355-64 | year=19891993}}.
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear Algebraic Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012 | year=1991 | volume=126}}.
* {{Citation | last1=Carter | first1=Roger W. | author1-link=Roger Carter (mathematician) | title=Simple Groups of Lie Type | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-50683-6 | year=1989}}.
* {{Citation | title=The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes|first1=C. C.|last1= Chancey|first2=M. C. M.|last2=O'Brien|year=2021|isbn=978-0-691-22534-0|publisher=Princeton University Press}}
* {{Citation | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Delgado Friedrichs | first2=Olaf | last3=Huson | first3=Daniel H. | last4=Thurston | first4=William P. | author4-link=William Thurston | title=On three-dimensional space groups | arxiv=math.MG/9911185 | mr=1865535 | year=2001 | journal=Beiträge zur Algebra und Geometrie | volume=42 | issue=2 | pages=475–507}}.
* {{Citation | last1=Coornaert | first1=M. | last2=Delzant | first2=T. | last3=Papadopoulos | first3=A. | title=Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory]| publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-52977-4 | mr=1075994 | year=1990 | volume=1441|language=fr}}.
* {{Citation | last1=Denecke | first1=Klaus | last2=Wismath | first2=Shelly L. | title=Universal algebraAlgebra and applicationsApplications in theoreticalTheoretical computerComputer scienceScience | publisher=[[CRC Press]] | location=London | isbn=978-1-58488-254-1 | year=2002}}.
* {{citation |title=Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials |first=Martin T|last= Dove |page=265 |isbn=0-19-850678-3 |publisher=Oxford University Press |year=2003 }}.
* {{Citation| last=Dudek |first=W.A. |title=On some old problems in n-ary groups |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages= 15–36}}.
* {{Citation |last=Dudek |first=Wiesław A. |title=On some old and new problems in {{mvar|n}}<!-- not math so it appears correctly colored in the linked title -->-ary groups |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages=15–36 |mr=1876783 |url=https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf |accessdate=2023-03-10 |archive-date=2021-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210726223722/https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/15-36_On%20some%20old%20and%20new%20problems%20in%20n-ary%20groups.pdf |dead-url=no }}.
* {{Citation | author-link=R. Frucht | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of Graphs with Prescribed Group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | volume=6 | pages=239–50 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=2008-12-01 }}.
* {{Citation|title=Stereochemistry of Organic Compounds|last1=Eliel|first1=Ernest|last2=Wilen|first2=Samuel|last3=Mander|first3=Lewis|year=1994 |isbn=978-0-471-01670-0 |publisher=Wiley}}
* {{Citation| last1 = Fulton| first1 = William| author1-link = William Fulton (mathematician)| last2 = Harris| first2 = Joe| author2-link = Joe Harris (mathematician)| year = 1991| title = Representation theory. A first course| publisher = Springer-Verlag| location = New York| series = [[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics| volume = 129| isbn = 978-0-387-97495-8| mr = 1153249}}
* {{citation | last = Ellis | first = Graham | contribution = 6.4 Triangle groups | doi = 10.1093/oso/9780198832973.001.0001 | isbn = 978-0-19-883298-0 | mr = 3971587 | pages = 441–444 | publisher = Oxford University Press | title = An Invitation to Computational Homotopy | year = 2019}}.
* {{Citation | author-link=Robert Frucht | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of graphs with prescribed group] | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | volume=6 | pages=239–50 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=2008-12-01 }}.
* {{Citation| last1 = Fulton| first1 = William| author1-link = William Fulton (mathematician)| last2 = Harris| first2 = Joe| author2-link = Joe Harris (mathematician)| year = 1991| title = Representation Theory: A First Course| publisher = Springer-Verlag| location = New York| series = [[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics| volume = 129| isbn = 978-0-387-97495-8| mr = 1153249}}
* {{Citation| last = Goldstein | first = Herbert | author-link = Herbert Goldstein | year = 1980 | title = [[Classical Mechanics (textbook)|Classical Mechanics]] | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley Publishing | location = Reading, MA | isbn = 0-201-02918-9 | pages = 588–596}}.
* {{Citationcitation | last1=HatcherGollmann | first1=AllenDieter | author-linktitle=AllenComputer HatcherSecurity | titleyear=Algebraic2011 topology| edition=2nd | urlpublisher=http://wwwJohn Wiley & Sons, Ltd.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisherlocation=[[CambridgeWest UniversitySussex, Press]]England | isbn=978-0-521470-7954074115-13 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Hatcher | first1=Allen | author-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-79540-1 | year=2002 | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2012-02-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120206155217/http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Husain | first1=Taqdir | title=Introduction to Topological Groups | publisher=W.B. Saunders Company | location=Philadelphia | isbn=978-0-89874-193-3 | year=1966}}
* {{Citation | last1 = Jahn | first1=H.| author1-link=Hermann Arthur Jahn|last2=Teller|first2=E.|author2-link=Edward Teller| title = Stability of Polyatomicpolyatomic Moleculesmolecules in Degeneratedegenerate Electronicelectronic Statesstates. I. Orbital Degeneracydegeneracy | year = 1937 | journal = [[Proceedings of the Royal Society A]] | volume = 161 | issue = 905 | pages = 220–235 | doi = 10.1098/rspa.1937.0142 | bibcode=1937RSPSA.161..220J| doi-access = free }}.
* {{Citation | last1=Kuipers | first1=Jack B. | title=Quaternions and rotationRotation sequences—ASequences: primerA Primer with applicationsApplications to orbitsOrbits, aerospaceAerospace, and virtualVirtual realityReality | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-05872-6 | mr=1670862 | year=1999| bibcode=1999qrsp.book.....K }}.
* {{Citation | last1=Kuga | first1=Michio | author-link=Michio Kuga | title=Galois' dreamDream: groupGroup theoryTheory and differentialDifferential equationsEquations | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | isbn=978-0-8176-3688-3 | mr=1199112 | year=1993 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/galoisdreamgroup0000kuga }}.
* {{Citation | last1=Kurzweil | first1=Hans | last2=Stellmacher | first2=Bernd | title=The theoryTheory of finiteFinite groupsGroups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-40510-0 | mr=2014408 | year=2004}}.
* {{Citation | last1=Lay | first1=David | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-201-70970-4 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link=Saunders Mac Lane | title=[[Categories for the Working Mathematician]] | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998}}.
* {{citation |author-link=Wilhelm Magnus |first1=Wilhelm |last1=Magnus |first2=Abraham |last2=Karrass |first3=Donald |last3=Solitar |title=Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations |url=https://books.google.com/books?id=1LW4s1RDRHQC&pg=PR2 |year=2004 |orig-year=1966 |publisher=Courier |isbn=978-0-486-43830-6 }}
* {{Citation | last1=Michler | first1=Gerhard | title=Theory of finite simple groups | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-86625-5 | year=2006}}.
* {{Citation|url=https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=20&co6=AND&pg7=ALLF&s7=&co7=AND&dr=pubyear&yrop=eq&arg3=2020&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&review_format=html&Submit=Suche|title=List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020|url-access=registration|access-date=14 May 2021|last=MathSciNet|year=2021}}
* {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}
* {{Citation | last1=MumfordMichler | first1=DavidGerhard | author1-linktitle=DavidTheory Mumfordof |Finite last2=FogartySimple | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theoryGroups | publisher=Springer-VerlagCambridge |University location=Berlin, New York | edition=3rdPress | isbn=978-30-540521-5696386625-3 | mr=13049065 | year=1994 | volume=342006}}.
* {{Citation | last1=NaberMilne | first1=GregoryJames LS. | title=TheÉtale geometry of Minkowski spacetimeCohomology | publisher=DoverPrinceton PublicationsUniversity | location=New YorkPress | isbn=978-0-486691-4323508238-97 | mryear=20442391980 | yearurl=2003https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}.
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric Invariant Theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-56963-3 | mr=1304906 | year=1994 | volume=34}}.
* {{Citation | last1=Naber | first1=Gregory L. | title=The Geometry of Minkowski Spacetime | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-43235-9 | mr=2044239 | year=2003}}.
* {{Citation | last = Neukirch| first = Jürgen| author-link = Jürgen Neukirch| title = Algebraic Number Theory| publisher = Springer-Verlag| location = Berlin| series = {{lang|de|Grundlehren der mathematischen Wissenschaften}}| isbn = 978-3-540-65399-8| mr = 1697859| zbl = 0956.11021 | year = 1999| volume = 322}}
* {{Citation | last1=Romanowska | first1=A. B.|author1-link=Anna Romanowska | last2=Smith | first2=J. D. H. | title=Modes | publisher=[[World Scientific]] | isbn=978-981-02-4942-7 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Ronan | first1=Mark | author1-link= Mark Ronan|title=Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-280723-6 | year=2007}}.
* {{Citation | last1=Rosen | first1=Kenneth H. | title=Elementary numberNumber theoryTheory and its applicationsApplications | publisher=Addison-Wesley | edition=4th | isbn=978-0-201-87073-2 | mr=1739433 | year=2000}}.
* {{Citation| last = Rudin | first = Walter | author-link = Walter Rudin | title = Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Blackwell|series=Wiley Classics|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}.
* {{Citation | last1=Seress | first1=Ákos | title=An introductionIntroduction to computationalComputational groupGroup theoryTheory | url=httphttps://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | mr=1452069 | year=1997 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=44 | issue=6 | pages=671–679 | accessdate=2023-03-10 | archive-date=2022-12-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221231194958/http://www.ams.org/notices/199706/seress.pdf | dead-url=no }}.
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Linear representationsRepresentations of finiteFinite groupsGroups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90190-9 | mr=0450380 | year=1977 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/linearrepresenta1977serr }}.
* {{Citation | last1last=ShatzSchwartzman | first1first=StephenSteven S.| year=1994 | title=ProfiniteThe groups,Words arithmetic,of andMathematics: geometryAn Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English | publisher=PrincetonMathematical UniversityAssociation Pressof America | isbn=978-0-69188385-08017511-89 | mr=0347778 | year=1972}}.
* {{Citation | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778 | year=1972}}
* {{Citation|title=An Introduction to Theoretical Chemistry |last1=Simons|first1=Jack|isbn=978-0-521-53047-7|year=2003|publisher=Cambridge University Press}}
* {{Citation|last1=Solomon|first1=Ronald|title=The classification of finite simple groups: A progress report|journal=Notices of the AMS|year=2018|volume=65|issue=6|page=1|doi=10.1090/noti1689|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Galois Theory |edition=4th |publisher=CRC Press |year=2015 |isbn=978-1-4822-4582-0}}
* {{Citation|last = Suzuki|first= Michio|author-link = Michio Suzuki (mathematician)|title = On the lattice of subgroups of finite groups|journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]| volume = 70| issue = 2| year = 1951| pages = 345–371| doi = 10.2307/1990375|jstor = 1990375|doi-access = free}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Weibel IHA|mode=cs2}}
* {{Citation | last1=Weinberg | first1=Steven | author1-link=Steven Weinberg | title=Gravitation and Cosmology | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | year=1972 | isbn=0-471-92567-5 | url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0 }}.
* {{Citation | last1=Welsh | first1=Dominic | title=Codes and cryptographyCryptography | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853287-3 | year=1989}}.
* {{Citation | last1=Weyl | first1=Hermann | author1-link=Hermann Weyl | title=Symmetry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-02374-8 | year=1952}}.
* {{Citation |title=Quantum Field Theory in a Nutshell|title-link=Quantum Field Theory in a Nutshell |first=A.|last=Zee |author-link=Anthony Zee |date=2010|edition=second |publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14034-6|location=Princeton, N.J.|oclc=768477138}}
{{refend}}
 
===HistoricalReferensi referencesbersejarah===
{{See also|ListDaftar ofterbitan publicationsdalam in mathematicsmatematika#GroupTeori theorygrup|l1=HistoricallyTerbitan penting importantdan publicationsbersejarah indalam groupteori theorygrup}}
{{refbegin|30em}}
* {{Citation | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0288-5 | year=2001}}
* {{Citation | last1=Cayley | first1=Arthur | author1-link=Arthur Cayley | title=The collectedCollected mathematicalMathematical papersPapers of Arthur Cayley | url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1889 | volume=II (1851–1860) }}.
* {{MacTutor | id=Development_group_theory | class=HistTopics | title = The development of group theory}}
* {{Citation | last1=Curtis | first1=Charles W. | author-link = Charles W. Curtis | title=Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-2677-5 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=von Dyck | year=1882 | first1=Walther | author1-link=Walther von Dyck | title=Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studiesstudies) | doi=10.1007/BF01443322 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=20 | issue=1 | pages=1–44 | s2cid=179178038 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | language=de | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20140222213905/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 | archive-date=2014-02-22 }}.
* {{Citation | last1=Galois | first1=Évariste | author1-link=Évariste Galois | editor1-last=Tannery | editor1-first=Jules | title=Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] | url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1908 | language=fr | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2011-05-21 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110521005315/http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 | dead-url=no }} (Galois work was first published by [[Joseph Liouville]] in 1843).
* {{Citation | last1=Jordan | first1=Camille | author-link=Camille Jordan | title=Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] | url=https://archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | year=1870 | language=fr }}.
* {{Citation | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | author-link=Israel Kleiner (mathematician) | title=The Evolutionevolution of Groupgroup Theorytheory: A Briefbrief Surveysurvey | mr=863090 | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]] | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312 }}.
* {{Citation | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=Sophus Lie | title=Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] | publisher=Johnson Reprint Corp. | location=New York | mr=0392459 | year=1973|language=de}}.
* {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=The theoryTheory of unitaryUnitary groupGroup representationsRepresentations | publisher=[[University of Chicago Press]] | mr=0396826 | year=1976}}
* {{Citation | last1=Smith | first1=David Eugene | author1-link=David Eugene Smith | title=History of Modern Mathematics | url=https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 | series=Mathematical Monographs, No. 1 | year=1906 | accessdate=2021-01-30 | archive-date=2023-06-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230604193407/https://www.gutenberg.org/ebooks/8746 | dead-url=no }}.
* {{Citation | last=Weyl | first=Hermann | author-link=Hermann Weyl |title=The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publisher=Dover |orig-year=1931 | year = 1950 | translator-first=H. P. |translator-last=Robertson | isbn = 978-0-486-60269-1}}.
* {{Citation | last1=Wussing | first1=Hans | author-link=Hans Wussing | title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-45868-7 | year=2007}}.
{{refend}}
 
== Pranala luar ==
Baris 210 ⟶ 309:
 
{{DEFAULTSORT:Group (Mathematics)}}
 
[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_(matematika)"