Grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''grup''' adalah suatu [[himpunan]], beserta satu [[operasi biner]], seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa [[aksioma]] yang disebut ''aksioma grup''. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut [[teori grup]].

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup [[sistem bilangan]], seperti bilangan bulat, [[bilangan rasional]], bilangan riil, dan [[bilangan kompleks]] terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja [[Evariste Galois]] (1830), yang berkaitan dengan masalah [[persamaan aljabar]] yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori [[bentuk kuadrat]].

Konsep [[Teori grup#Grup abstrak|grup abstrak]] yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika.{{sfn|Wussing|2007}}{{sfn|Kleiner|1986}}{{sfn|Smith|1906}} Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan [[persamaan polinomial]] dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, [[Évariste Galois]], memperluas karya [[Paolo Ruffini (matematikawan)|Paolo Ruffini]] dan [[Joseph-Louis Lagrange]] dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan [[polinomial]] khusus dalam [[grup simetri]] dari (penyelesaian) [[akar fungsi|akar]]nya. Elemen dari [[grup Galois]] tersebut bersesuaian dengan [[permutasi]] dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya.{{sfn|Galois|1908}}{{sfn|Kleiner|1986|p=202}} Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh [[Augustin Louis Cauchy]]. Dalam makalahnya yang berjudul ''On the theory of groups, as depending on the symbolic equation <math>\theta^n=1</math>'' (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai [[grup terhingga]].{{sfn|Cayley|1889}}

Oleh karena itu, sangat lzaimlazim untuk membahas mengenai ''invers'' dari suatu elemen.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.1|p=17}}