Wikipedia

Bilangan rasional: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.198 suntingan
Subjudul 'Teorema Midy' masih perlu pengembangan, butuh referensi yang jelas. Untuk sementara, ditulis kalimat pengantarnya dulu.
Wirasmartkomp (bicara | kontrib)
244 suntingan
Image suggestions feature: 1 image added.
 
(35 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Under construction}}
[[Berkas:Number-systems.svg|jmpl|300x300px|Himpunan bilangan rasional terdiri dari himpunan [[bilangan bulat]].]]
'''Bilangan rasional''' ({{Lang-en|Rationalrational number}}) adalah [[bilangan]] yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua [[bilangan bulat]] <math>a</math> dan <math>b</math>, dengan syarat <math>b \ne 0</math> tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai <math>\Q</math><ref name=":1"/>, yang berasal dari kata [[bahasa Jerman]], ''quotient'', yang diterjemahkan sebagai "rasio".<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Rational Number|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-16}}</ref> Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{1}{2}</math> adalah bilangan rasional, sedangkan <math>\sqrt{5}</math> dan <math>\pi</math> bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan
 
:<math>\Q = \left\{\left.\frac{a}{b} \right| a,b, \in \Z, b \ne 0 \right\}</math>.
 
Dengan memisalkan <math>bpenyebut =adalah 1</math>satu dan <math>apembilang \inadalah \Z</math>[[bilangan bulat]] sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai <math>\frac{a}{1}</math>bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, makamenjadi himpunan bilangan bulat.<ref>Jusmawati, S.Pd, M.Pd, [https://osf.io/25c8k/download/?format=pdf ''Bilangan Rasional''], hlm. 6.</ref>
 
Dalam [[teori himpunan]], himpunan bilangan rasional adalah [[subhimpunan]] dari himpunan [[bilangan real]], yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.<ref>{{Cite web|title=Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond|url=https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/number-systems|website=www.varsitytutors.com|access-date=2021-11-16}}</ref> Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan [[bilangan bulat]].<ref name=":6">{{Cite web|title=Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers|url=https://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut3_sets.htm|website=www.wtamu.edu|access-date=2021-11-15}}</ref>
:<math>\Z \sub \Q</math>.<ref>Jusmawati, S.Pd, M.Pd, [https://osf.io/25c8k/download/?format=pdf ''Bilangan Rasional''], hlm. 6.</ref>
 
== Notasi himpunan ==
== Representasi bilangan desimal ==
[[Berkas:Irrationnels.png|jmpl|Bilangan Rasional]]
Bilangan rasional merupakan bilangan desimal yang berulang atau berhenti. Sebagai contoh, <math>\frac{1}{2}</math> merupakan bilangan rasional. Kita dapat mengkonversinya dalam bentuk desimal, yaitu <math>0.5</math>. Bilangan lain, seperti <math>\frac{1}{3}</math> merupakan bilangan rasional dapat dikonversi dalam bentuk desimal <math>0.333\dots</math> atau <math>0.\bar{3}</math>. Representasi desimal <math>\frac{a}{b}</math> dapat dikatakan berhenti jika dan hanya jika terdapat bilangan asli <math>n</math> dan <math>c_i \in \{0,\dots,9\}</math>, dengan <math>c_n \ne 0</math> sehingga
Beragam notasi himpunan rasional <math>\Q</math>, yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai <math>\Q_+</math> dan bilangan rasional negatif sebagai <math>\Q_-</math><ref>{{Cite web|date=2018-10-12|title=Set of Rational Numbers {{!}} Lexique de mathématique|url=https://lexique.netmath.ca/en/set-of-rational-numbers/|language=en-US|access-date=2021-11-16}}</ref>. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu [[bilangan aljabar]], yang dinotasikan dengan lambang <math>\overline{\Q}</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Algebraic Number|url=https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-14}}</ref>, [[Bilangan p-adik|medan bilangan ''p''-adik]], dinotasikan <math>\Q_p</math>.<ref name=":1">{{Cite web|date=2020-03-25EDT16:23:50-04:00|title=Comprehensive List of Algebra Symbols {{!}} Math Vault|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|language=en-US|access-date=2021-11-14}}</ref>
 
Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu <math>\Q</math>, juga memiliki kaitan dengan <math>\R</math>, himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan [[bilangan irasional]] yang dinotasikan sebagai <math>\R \setminus \Q</math>.<ref name=":1" />
<math>\frac{a}{b} = 0.c_1c_2c_3\dots c_n 000</math>.
 
== Sifat aljabar ==
Sedangkan, representasi desimal <math>\frac{a}{b}</math> dapat dikatakan berulang jika dan hanya jika terdapat bilangan asli <math>n</math> dan <math>N</math> sehingga
Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|
|'''Penambahan'''
|'''Perkalian'''
|-
|[[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]]
|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref name=":0">[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref name=":0" />
|-
|[[Asosiatif]]
|<math>\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{p}{q} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right)</math><ref name=":0" />
|<math>a\times (b\times c) = (a\times b) \times c</math><ref name=":0" />
|-
|[[Komutatif]]
|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d}{c} \cdot \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
|-
|Elemen identitas
|<math>\frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
|-
|Elemen invers
|<math>\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0</math><ref name=":0" />
|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1</math><ref name=":0" />
|-
|[[Distributif]]
| colspan="2" align="center" |<math>\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q}</math><ref name=":0" />
|}
 
== Pecahan tak tersederhanakan ==
<math>\frac{a}{b} = 0.c_1\dots c_N c_{N+1} \dots c_{N+b} c_{N+b+1}\dots</math>.<ref>Moh. Affaf, [http://download.garuda.ristekdikti.go.id/article.php?article=1473311&val=10401&title=DESIMAL%20BERULANG%20UNTUK%20SUATU%20NUMERATOR Desimal Berulang Untuk Suatu Numerator], hlm. 20.</ref>
{{Main|Pecahan tak tersederhanakan}}
 
Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa [[pecahan taktereduksi|pecahan tak tersederhanakan]], dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{3}{8}</math> adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena <math>3</math> bukan merupakan faktor dari <math>8</math>.
=== Teorema Midy ===
{{Main article|Teorema Midy}}
Teorema Midy, dinamai dari E. Midy, adalah pernyataan mengenai [[Representasi desimal|ekspansi desimal]] berulang (dengan periode [[Bilangan genap|genap]]) dari [[pecahan]] <math>\frac{a}{p}</math>, dimana <math>a</math> adalah bilangan bulat dan <math>p</math> adalah [[bilangan prima]] sehingga
 
<math>\frac{a}{p} = 0.\overline{a_1a_2\dots a_n\dots a_{2n}}</math>.
 
== Lihat juga ==
{{portal|matematika}}
* [[Bilangan asli]]▼
* [[Bilangan bulat]]
* [[Bilangan cacah]]
* [[Bilangan imajiner]]
* [[Bilangan kompleks]]
* [[Bilangan riil]]
* [[Bilangan irasional]]
* [[Bilangan prima]]
* [[Bilangan komposit]]
* [[Pecahan]]
 
Baris 40 ⟶ 58:
<references />
{{Sistem Bilangan}}
{{matematika-stub}}▼
 
[[Kategori:Bilangan]]
▲* [[Kategori:Bilangan aslirasional]]
[[Kategori:Himpunan bilangan real]]
[[Kategori:Lapangan (matematika)]]
[[Kategori:Matematika dasar]]
[[Kategori:Pecahan (matematika)]]
 
 
▲{{matematika-stub}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Bilangan_rasional"