Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
| (29 revisi perantara oleh 13 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{about|matematika|determinan dalam epidemiologi|Faktor resiko|determinan dalam imunologi|Epitop}}
[[Berkas:Area_parallellogram_as_determinant.svg|jmpl|Luas jajar genjang pada gambar di atas sama dengan [[nilai absolut]] dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor ''(a,b)'' dan vektor ''(c,d)'', yang mewakili sisi-sisi jajar genjang.]]
Dalam [[matematika]] khususnya [[aljabar linear]], '''determinan''' ({{Lang-en|determinant}}) adalah [[Skalar (matematika)|nilai skalar]] yang dihasilkan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari entri-entri suatu [[matriks persegi]]. Determinan dari matriks {{math|''A''}} umumnya dinyatakan dengan notasi {{math|det(''A'')}}, {{math|det ''A''}}, atau {{math|{{abs|''A''}}}}. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Nilai determinan mencirikan beberapa sifat dari matriks tersebut, dan [[peta linear]] yang diwakili oleh matriks tersebut. Contohnya, determinan bernilai tidak nol [[jika dan hanya jika]] matriks tersebut [[Matriks terbalikkan|tidak singular]] dan peta linear yang diwakilinya merupakan suatu [[isomorfisme]]. Determinan dari hasil perkalian matriks-matriks sama dengan hasil perkalian dari determinan matriks-matriks tersebut.
: <math>\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad-bc,</math>
: <math> \
Determinan dari matriks ukuran {{math|''n'' × ''n''}} dapat didefinisikan dalam beberapa cara yang berbeda. Cara paling umum adalah [[Rumus Leibniz untuk determinan|rumus Leibniz]], yang menyatakan determinan sebagai jumlah dari <math>n!</math> (''{{mvar|n}}'' [[faktorial]]) perkalian bertanda dari entri-entri matriks. Cara ini selanjutnya dapat dihitung dengan [[ekspansi Laplace]] yang menyatakan determinan sebagai [[kombinasi linear]] dari determinan-determinan submatriks; atau dengan [[eliminasi Gauss]] yang menyatakan determinan sebagai hasil kali entri-entri diagonal dari matriks diagonal, yang diperoleh dengan serangkaian [[Matriks elementer|operasi baris elementer]]. Determinan juga dapat didefinisikan dari beberapa sifat mereka. Determinan adalah suatu fungsi unik yang didefinisikan pada matriks {{math|''n'' × ''n''}} dan memiliki empat sifat berikut: determinan dari [[matriks identitas]] bernilai {{math|1}}; pertukaran dua baris matriks akan mengalikan nilai determinan dengan {{math|−1}}; mengalikan sebuah baris dengan sebuah bilangan, akan mengalikan nilai determinan dengan bilangan tersebut; dan menambahkan kelipatan dari sebuah baris dengan baris lainnya tidak mengubah determinan.
Determinan umum muncul dalam matematika. Sebagai contoh, sebuah matriks sering digunakan untuk merepresentasikan [[Koefisien|koefisien-koefisien]] dalam sebuah [[sistem persamaan linear]], dan determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut ([[aturan Cramer]]); meskipun ada metode penyelesaian lain yang jauh lebih efisien secara komputasi. Determinan digunakan untuk menentukan [[polinomial karakteristik]] dari sebuah matriks, yang [[Akar fungsi|akar-akarnya]] adalah [[Nilai dan vektor eigen|nilai-nilai eigen]] matriks tersebut. Dalam geometri, [[volume]] bertanda dari [[Balok jajar genjang|jajar genjang]] ''{{mvar|n}}''-dimensi dapat dinyatakan dengan sebuah determinan, dan determinan dari (matriks) [[Peta linear|transformasi linear]] menentukan cara orientasi dan volume objek ''{{mvar|n}}''-dimensi berubah. Hal ini selanjutnya digunakan [[determinan Jacobi]] dalam [[kalkulus]], khususnya untuk [[Integral substitusi|subtitusi variabel]] dalam [[integral lipat]].
== Matriks persegi dimensi 2 ==
Determinan dari matriks ukuran <math>2\times2</math> dengan entri-entri <math>\begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix}</math>, umumnya disimbolkan antara dengan "{{math|det}}" atau dengan garis tegak diantara matriks. Nilai dari determinannya selanjutnya didefinisikan sebagai
: <math>\det \begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>
Berikut adalah sebuah contoh perhitungan determinan,
: <math>\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & {-4} \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - 7 \cdot 1 = -19.</math>
Determinan memiliki beberapa sifat penting yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi determinan untuk matriks <math>2 \times 2</math>. Sifat-sifat ini selanjutnya masih berlaku untuk determinan matriks yang berukuran lebih besar. Sifat-sifat itu adalah:<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VII.1}}</ref> pertama, determinan dari [[matriks identitas]] <math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> bernilai <math>1</math>. Kedua, determinan akan bernilai nol jika ada dua baris yang sama pada matriks; secara aljabar: <math>\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = ab - ba = 0.</math> Sifat ini juga berlaku ketika ada dua kolom yang sama. Lebih lanjut, mengubah semua entri pada sembarang kolom (atau baris) pada matriks akan menghasilkan hubungan:<math display="block">\begin{vmatrix}a & b + b' \\ c & d + d' \end{vmatrix} = a(d+d')-(b+b')c = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a & b' \\ c & d' \end{vmatrix}.</math>Terakhir, jika sembarang kolom (atau baris) dikalikan dengan bilangan <math>r</math> (artinya setiap entri pada kolom tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut), nilai determinan matriks tersebut juga akan dikalikan dengan bilangan tersebut:
: <math>\begin{vmatrix} r \cdot a & b \\ r \cdot c & d \end{vmatrix} = rad - brc = r(ad-bc) = r \cdot \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix}.</math>
== Makna geometris ==
[[Berkas:Area_parallellogram_as_determinant.svg|ka|jmpl|Luas jajar genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor yang mewakili sisi-sisi jajar genjang tersebut.]]
Jika entri-entri matriks berupa [[bilangan riil]], matriks {{math|''A''}} dapat digunakan untuk merepresentasikan dua [[peta linear]]: satu yang memetakan vektor [[basis standar]] ke baris-baris dari {{math|''A''}}, dan satu lagi yang memetakannya ke kolom-kolom dari {{math|''A''}}. Pada kedua kasus tersebut, [[Bayangan (matematika)|bayangan]] dari vektor-vektor basis akan membentuk sebuah [[jajar genjang]] yang merepresentasikan bayangan [[persegi satuan]] akibat pemetaan tersebut. Menggunakan matriks {{math|2 × 2}} pada bagian sebelumnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh baris-baris matriks memiliki titik-titik sudut di {{math|(0, 0)}}, {{math|(''a'', ''b'')}}, {{math|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, dan {{math|(''c'', ''d'')}}, seperti yang ditunjukkan pada diagram disamping.
[[Nilai absolut]] dari {{math|''ad'' − ''bc''}} menyatakan luas dari jajar genjang, dan dengan demikian, mewakili faktor skala yang digunakan untuk mentransformasikan persegi satuan. (Jajar genjang yang dibentuk oleh kolom-kolom {{math|''A''}} pada umumnya merupakan jajar genjang yang berbeda dengan yang dibentuk dari baris-baris {{math|''A''}}, namun karena determinan bersifat simetris terhadap baris dan kolom, maka luasnya akan sama).
Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi ''luas bertanda'' (''oriented area'') dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan [[luas]] yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk [[matriks identitas]]).
Untuk menunjukkan bahwa {{math|''ad'' − ''bc''}} adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, {{math|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}} dan {{math|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}, yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai {{math|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}, dengan ''θ'' adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat [[Sinus dan kosinus|sinus]], luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan [[perkalian vektor]], yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|1='''u'''<sup>⊥</sup> = (−''b'', ''a'')}} sehingga luas juga dapat ditulis sebagai {{math|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}}:<math display="block">\text{Luas bertanda } =
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
</math>Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh {{math|''A''}}. Ketika determinan bernilai {{math|1}}, peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat ''equi-ariil'' dan ''orientation-preserving.''
[[Berkas:Determinant_parallelepiped.svg|jmpl|Volume [[balok jajar genjang]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom-kolom yang dibangun dari vektor <math>r_1,</math> <math>r_2,</math> dan <math>r_3 .</math>]]
Jika matriks [[Bilangan riil|riil]] {{math|''A''}} ukuran {{math|''n'' × ''n''}} ditulis dalam komponen vektor-vektor kolomnya, sehingga <math>A = \left[\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]</math>, maka<math display="block">
A\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_1, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_2, \quad
\ldots, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\1\end{pmatrix} = \mathbf{a}_n.
</math>Hal ini mengartikan {{math|''A''}} memetakan [[kubus]] dimensi-{{math|''n''}} menjadi [[balok jajar genjang]] dimensi-{{math|''n''}} dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> dengan domain <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>Nilai determinan menyatakan volume dimensi-{{math|''n''}} bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-{{math|''n''}} akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh {{math|''A''}}.<ref>{{Cite web|title=Determinants and Volumes|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|website=textbooks.math.gatech.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20230704002655/https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|archive-date=2023-07-04|access-date=2023-11-27}}</ref> (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (''preserve'') orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-{{math|''n''}} sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan {{math|''A''}} kurang dari {{math|''n''}}. Hal ini (menggunakan [[teorema rank-nolitas]]) menunjukkan transformasi {{math|''A''}} tidak bersifat [[Fungsi surjektif|surjektif]] maupun [[Bijeksi|bijektif]], sehingga tidak [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]] (invertibel).
== Sejarah ==
Dari sisi sejarah, determinan sudah digunakan sebelum konsep matriks muncul. Determinan awalnya dianggap sebagai salah satu sifat dari [[sistem persamaan linear]] untuk menentukan (''determines'') apakah sistem tersebut memiliki solusi yang unik (yang hanya terjadi ketika determinan bernilai tak-nol). Dalam konteks ini, determinan pertama kali digunakan dalam buku teks China ''[[Jiuzhang Suanshu]]'' sekitar abad ke-3 SM. Di Eropa, solusi dari sistem linear dua persamaan dapat dinyatakan dengan objek mirip-determinan oleh [[Gerolamo Cardano|Cardano]] pada tahun 1545.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|2003|loc=§6.6}}</ref>
Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya [[Seki Takakazu]] di [[Jepang]] pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693.<ref>{{Cite book|last=Cajori|first=Florian|date=1919|url=http://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|title=A history of mathematics|publisher=New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd.|others=unknown library}}</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{harvnb|Eves|1990|p=405}}</ref><ref>{{Cite web|date=2012-09-10|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|website=web.archive.org|access-date=2023-11-27}}</ref> {{harvtxt|Cramer|1750}} menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|p=80}}</ref> Cramer dan {{harvtxt|Bezout|1779}} mempelajari determinan karena hubungannya dengan [[Lengkung bidang|kurva pada bidang]] yang melewati suatu himpunan titik.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|p=59}}</ref>
[[Vandermonde]] (1771) adalah yang pertama menganggap determinan sebagai suatu fungsi tersendiri.<ref name="Campbell" /> {{harvtxt|Laplace|1772}} menyusun metode umum untuk menjabarkan determinan matriks dengan menggunakan komplemen dari [[Minor (aljabar linear)|minor-minornya]]; dengan kasus khusus metode ini sudah dibuat oleh Vandermonde<ref>Muir, Sir Thomas, ''The Theory of Determinants in the historical Order of Development'' [London, England: Macmillan and Co., Ltd., 1906].</ref> Langsung setelah itu, [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] (1773) meneliti determinan orde kedua dan ketiga dan menerapkannya pada pertanyaan-pertanyaan terkait [[teori eliminasi]], nama lawas bagi pendekatan algoritmik untuk menghilangkan beberapa variabel pada beberapa polinomial multivariabel.
Perkembangan besar selanjutnya dibuat oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pada tahun 1801. Seperti Lagrange, ia banyak menggunakan determinan dalam [[teori bilangan]]. Ia juga memperkenalkan istilah "''determinant''" (Laplace menggunakan istilah "''resultant''"), walau tidak dalam pemahaman modern melainkan sebagai [[diskriminan]] dari [[polinomial homogen]].<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|loc=§5.2}}</ref> Gauss juga mengembangkan konsep kebalikan (invers) dari determinan.
Selanjutnya pada tahun 1811-1812, [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] menyatakan secara formal teorema terkait perkalian dua matriks dengan <math>m</math> kolom dan <math>n</math> baris, yang pada kasus khusus <math>m=n=1</math> tereduksi menjadi teorema perkalian bilangan. Pada hari yang sama (30 November 1812) Binet mempresentasikan karyanya ke Akademi, [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] juga mempresentasikan karya dengan topik serupa. (lihat [[rumus Cauchy–Binet]].) Dalam karya ini Cauchy menggunakan istilah "determinan" dalam pengertian modern saat ini,<ref>Penggunaan istilah "determinan" dalam sudut pandang modern muncul di Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variables qu'elles renferment," yang pertama kali dibacakan di ''Institute de France'' di Paris pada 30 November 1812, dan selanjutnya dipublikasikan dalam ''Journal de l'Ecole Polytechnique'', Cahier 17, Tome 10, pages 29–112 (1815).</ref><ref>{{Cite web|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D)|url=https://jeff560.tripod.com/d.html|website=jeff560.tripod.com|access-date=2023-11-27}}</ref> merangkum dan menyederhanakan hal-hal yang telah diketahui, memperbaiki notasi, dan memberikan bukti teorema perkalian yang lebih memuaskan ketimbang Binet.<ref name="Campbell" /><ref>{{Cite web|title=Matrices and determinants|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants/|website=Maths History|language=en|access-date=2023-11-27}}</ref> Hal ini yang memulai teori terkait determinan secara umum.
{{harvtxt|Jacobi|1841}} mengembangkan determinan fungsional yang selanjutnya oleh Sylvester disebut [[matriks Jacobi]].<ref>{{harvnb|Eves|1990|p=494}}</ref> {{harvnb|Cayley|1841}} memperkenalkan notasi modern untuk determinan, yang menggunakan dua bar tegak.<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Vol. II, p. 92, no. 462}}</ref><ref>{{Cite web|title=Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors|url=https://jeff560.tripod.com/matrices.html|website=jeff560.tripod.com|access-date=2023-11-27}}</ref> Penelitian terkait bentuk-bentuk khusus dari determinan selanjutnya muncul secara alami sebagai akibat dari teori umum yang sudah lengkap.
== Definisi ==
Misalkan <math>A</math> adalah [[matriks persegi]] berdimensi-<math>n</math>, yang dapat dituliskan sebagai berikut<math display="block">A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{bmatrix}.</math>Elemen-elemen dari <math>A</math> umumnya berupa [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks]], namun determinan juga dapat didefinisikan untuk matriks dengan elemennya berasal dari [[gelanggang komutatif]]. Terdapat banyak cara berbeda namun setara untuk mendefinisikan determinan dari <math>A</math>. [[Rumus Leibniz untuk determinan|Rumus Leibniz]] mendefinisikan rumus eksplisit yang menggunakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks. Beberapa cara lain menggunakan fungsi dari elemen-elemen matriks yang memenuhi sifat-sifat tertentu; pendekatan ini dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dengan menyederhanakan matriks yang dikerjakan.
=== Rumus Leibniz ===
{{Main|Rumus Leibniz untuk determinan}}
Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati [[Gottfried Leibniz]], menyatakan determinan dari matriks persegi <math>A</math> sebagai [[permutasi]] dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu [[fungsi multilinear]] ''alternating'' <math>F(A)</math> terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi <math>F(I)=1</math> dengan <math>I</math> adalah [[matriks identitas]].<ref>[[Serge Lang]], '' Linear Algebra '', 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.</ref> Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai<math display="block">\det(A) = F(A) = \sum_{\tau \in S_n} \text{sgn}(\tau) \prod_{i = 1}^n a_{i\tau(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)i}</math>dengan <math>\text{sgn}</math> adalah [[fungsi tanda]] (signum) dari permutasi dalam [[grup permutasi]] <math>S_n</math>, yang menghasilkan nilai <math>+1</math> dan <math>-1</math> masing-masing untuk [[Paritas dari permutasi|permutasi genap dan ganjil]]. Fungsi multilinear ''alternating'' dan sifat <math>F(I)=1</math> dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian [[Determinan#Matriks persegi dimensi 2|§ Matriks persegi dimensi 2]]).
Rumus Leibniz untuk determinan dari matriks <math>3\times3</math> adalah<math display="block">\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.</math>Dalam ekspresi tersebut, setiap suku memiliki satu faktor dari setiap baris dan kolom yang unik. Sebagai contoh, <math>bdi</math> memiliki faktor <math>b</math> dari elemen baris pertama kolom kedua, <math>d</math> dari baris kedua kolom pertama, dan <math>i</math> dari baris ketiga kolom ketiga. Tanda dari suku ditentukan dari banyaknya pertukaran faktor-faktor agar terurut menaik berdasarkan urutan kolomnya. Tanda positif untuk pertukaran berjumlah genap dan negatif untuk berjumlah genap. Sebagai contoh, suku <math>bdi</math> memerlukan satu pertukaran agar menjadi <math>dbi</math>, yang masing-masing faktornya sekarang terurut menaik: kolom pertama, kedua, dan ketiga. Karena pertukaran berjumlah ganjil, suku <math>bdi</math> akan dikalikan <math>-1</math>.
[[Berkas:Sarrus_rule1.svg|jmpl|Bentuk visual dari [[aturan Sarrus]] untuk menghitung determinan matriks dimensi 3.]]
[[Aturan Sarrus]] dapat digunakan sebagai [[jembatan keledai]] untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.
Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan [[simbol Levi-Civita]] dengan [[Notasi Einstein|penjumlahan Einstein]]. Simbol Levi-Civita <math>\varepsilon_{i_1,\ldots,i_n}</math> terdefinisi pada rangkap-<math>n</math> dari bilangan bulat <math>\{1,\,\ldots,\,n\}</math>.<ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref><ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref> Simbol akan bernilai <math>0</math> jika ada dua [[bilangan bulat]] yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah<math display="block">\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \!\cdots a_{n,i_n}.</math>
=== Ekspansi Laplace ===
[[Ekspansi Laplace]], rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks <math>A</math> ukuran <math>n\times n</math> secara [[Rekursi|rekursif]] sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut [[Minor (aljabar linear)|minor]]. Minor <math>M_{i,j}</math> didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran <math>(n-1)\times(n-1)</math> yang dihasilkan dari menghapus baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> matriks <math>A</math>. Untuk sembarang <math>i</math>, akan berlaku hubungan<math display="block">\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}</math>
Ekspresi <math>(-1)^{i+j}M_{i,j}</math> dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke-<math>i</math>". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama (<math>i=1</math>) dari matriks ukuran <math>3\times3</math> menghasilkan rumus <math display="block">\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} = a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}</math>Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti [[matriks Vandermonde]]:<math display="block">\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right).</math>Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan [[Matriks terbalikkan|invers dari matriks]]. Matriks adjugat <math>\operatorname{adj}(A)</math> didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis <math display="block">(\operatorname{adj}(A))_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{ji}.</math>Definisi ini memastikan perkalian matriks <math>A</math> dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan [[matriks diagonal]] yang elemen [[Diagonal utama|diagonal utamanya]] bernilai <math>\det(A)</math>.<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.2}}.</ref> Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai <math>A\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A = (\det A) I,</math> dengan <math>I</math> merupakan [[matriks identitas]]. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni <math>A</math> memiliki invers [[jika dan hanya jika]] <math>\det(A)</math> tidak bernilai <math>0</math>. Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan <math>A^{-1}</math> dari kanan) sehingga <math display="block">\begin{align} \operatorname{adj}(A) &= \det(A) A^{-1}, \\ A^{-1} &= \det(A)^{-1} \operatorname{adj}(A). \end{align}</math>
== Sifat-sifat determinan ==
Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks <math>A</math> berukuran <math>n\times n</math> sebagai [[rangkap]]-<math>n</math> dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi, <math>A = \big( \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n \big),</math> dengan <math>\mathbf{a}_i</math> adalah vektor di kolom ke-<math>i</math> matriks.
# <math>\det\left(I\right) = 1</math>, dengan <math>I</math> adalah [[matriks identitas]].
# Determinan merupakan [[Peta multilinear|pemetaan multilinear]]: jika kolom ke-<math>j</math> matriks <math>A</math> dapat ditulis sebagai [[kombinasi linear]] <math>\mathbf{a}_j = r \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}</math> dari dua vektor kolom <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{w}</math> dan skalar <math>r</math>, maka determinan dari <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear: <math display="block">\begin{align}|A|
&= \big | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_{j-1}, r \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}, \mathbf{a}_{j+1}, \dots, \mathbf{a}_n | \\
&= r \cdot | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots \mathbf{a}_n | + | \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{w}, \dots, \mathbf{a}_n |
\end{align}</math>
# Determinan bersifat ''alternating'': ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan <math>0</math>; secara matematis <math>| \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n| = 0.</math>
Ketiga sifat tersebut mengakibatkan beberapa sifat turunan:
* Determinan termasuk fungsi homogen, yakni, <math>\det(cA) = c^n\det(A)</math>
* Menukar dua kolom pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan <math>-1</math>: <math display="block">|\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_j, \dots \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_n| = - |\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_i, \dots, \mathbf{a}_j, \dots, \mathbf{a}_n|.</math>Rumus di atas dapat diterapkan secara iteratif jika ada beberapa kolom yang ingin ditukar. Sebagai contoh <math display="block">|\mathbf{a}_3, \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4 \dots, \mathbf{a}_n| = - |\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4, \dots, \mathbf{a}_n| = |\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4, \dots, \mathbf{a}_n|.</math>Lebih umum lagi, sebarang permutasi kolom-kolom akan mengalikan determinan dengan [[Paritas dari permutasi|tanda dari permutasi]] tersebut.
* Jika ada kolom pada matriks yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya (dengan kata lain kolom-kolom matriks saling [[Kebebasan linear|bergantung linear]]), determinan matriks tersebut sama dengan <math>0</math>. Salah satu contoh kasus ini adalah ketika ada kolom yang semua elemennya bernilai <math>0</math>.
* Jika suatu kelipatan skalar suatu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, determinan dari matriks yang dihasilkan tidak berubah.
* Jika <math>A</math> adalah matriks segitiga, yakni yang semua elemen <math>a_{ij}=0</math> ketika <math>i>j</math> (atau alternatif lain, ketika <math>i<j</math>), maka determinannya sama dengan hasil perkalian dari elemen-elemen [[diagonal utama|diagonal utamanya]], <math display="block">\det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii}.</math>
=== Contoh ===
Selain penting dari aspek teoritis, ketiga sifat utama dan sifat-sifat turunan dari matriks dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan nilai determinan. Sebagai contoh, metode [[eliminasi Gauss]] dapat diterapkan untuk mengubah matriks ke bentuk [[Matriks segitiga|matriks segitiga atas]], dalam langkah-langkah yang teratur. Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung determinan matriks <math>A</math> dengan metode tersebut:<math display="block">A = \begin{bmatrix}
-2 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 4 \\
-3 & 3 & -1
\end{bmatrix}.</math>
{| class="wikitable"
|+Perhitungan determinan dari matriks <math>A</math>
|Matriks
|<math>B = \begin{bmatrix}
-3 & -1 & 2 \\
3 & 1 & 4 \\
0 & 3 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>C = \begin{bmatrix}
-3 & 5 & 2 \\
3 & 13 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>D = \begin{bmatrix}
5 & -3 & 2 \\
13 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|<math>E = \begin{bmatrix}
18 & -3 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} </math>
|-
|Dihasilkan dari
|menambahkan kolom kedua ke yang pertama
|menambahkan 3 kali kolom ketiga ke yang kedua
|menukar dua kolom pertama
|menambahkan <math>-\tfrac{13}{3}</math> kali kolom kedua ke yang pertama
|-
|Determinan
| $ |<math>|A| = |B|</math>
| $ |<math>|B| = |C|</math>
| $ |<math>|D| = -|C|</math>
| $ |<math>|E| = |D|</math>
|}
Menggabungkan semua persamaan ini menghasilkan <math>|A| = -|E| = -(18 \cdot 3 \cdot (-1)) = 54.</math>
=== Transpos ===
Determinan dari [[transpos]] matriks <math>A</math> sama dengan determinan dari <math>A</math>: <math display="block">\det\left(A^\textsf{T}\right) = \det(A) .</math>Hubungan ini dapat ditunjukan dengan menginspeksi rumus Leibniz.<ref>{{harvnb|Lang|1987|loc=§VI.7, Theorem 7.5}}</ref> Hal ini mengakibatkan semua penggunaan kata "kolom" pada semua sifat-sifat sebelumnya, dapat digantikan dengan kata "baris". Sebagai contoh, menukar dua baris pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan <math>-1</math>.
=== Multiplikativitas dan grup matriks ===
Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut.<ref>{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§III.8, Proposition 1}} menunjukkan cara lain membuktikan hubungan ini dengan menggunakan [[Fungtor|functorialitas]] dari ''exterior power''.</ref> [[Rumus Cauchy–Binet]] adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).
Matriks <math>A</math> dengan elemen-elemen berasal dari sebuah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], dapat [[Matriks terbalikkan|dibalikkan]] (invertibel, memiliki invers) [[jika dan hanya jika]] determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah <math display="block">\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}.</math>Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran <math>n</math> atas suatu lapangan <math>K</math>) membentuk sebuah [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}_n(K)</math>; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai <math>1</math>, membentuk sebuah subgrup bernama [[grup linear khusus]] <math>\operatorname{SL}_n(K) \subset \operatorname{GL}_n(K)</math>. Umumnya, kata "khusus" ("''special''") digunakan untuk menandakan [[subgrup]] dari grup matriks dengan determinan bernilai <math>1</math>. Contoh lainnya adalah [[grup ortogonal khusus]] (yang berisi semua [[matriks rotasi]] ketika <math>n=2</math> dan <math>n=3</math>), dan [[grup uniter khusus]].
=== Matriks blok ===
Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat [[faktorisasi]] dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.
Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika <math>C</math> dan <math>D</math> komutatif (artinya <math>CD=DC</math>), maka<ref>{{Cite journal|last=Silvester|first=J. R.|year=2000|title=Determinants of Block Matrices|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|journal=Math. Gaz.|volume=84|issue=501|pages=460–467|doi=10.2307/3620776|jstor=3620776|archive-url=https://web.archive.org/web/20220816084225/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|archive-date=2022-08-16|s2cid=41879675}}</ref> <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math>Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari <math>2 \times 2</math> submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|date=January 2017|title=Determinants of block matrices with noncommuting blocks|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=512|pages=202–218|arxiv=1805.06027|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|s2cid=119272194}}</ref>
== Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya ==
=== Nilai eigen dan polinomial karakteristik ===
Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni [[nilai eigen]] dan [[polinomial karakteristik]] dari matriks. Misalkan <math>A</math> adalah matriks ukuran <math>n \times n</math> dengan elemen berupa [[bilangan kompleks]]. Dengan menggunakan [[teorema dasar aljabar]], disimpulkan <math>A</math> pasti memiliki tepat <math>n</math> nilai eigen <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> (dalam konteks ini, nilai eigen dengan [[Nilai dan vektor eigen#Kegandaan aljabar|kegandaan aljabar]] <math>\mu</math> muncul <math>\mu</math> kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari <math>A</math> ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini,<math display="block">\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.</math>Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks <math>A</math> memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika <math>0</math> bukan nilai eigen dari <math>A</math>. Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VIII.2}}, {{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=Def. 1.2.3}}</ref><math display="block">\chi_A(t) = \det(t \cdot I - A),</math>dengan <math>t</math> merupakan variabel (lebih tepatnya ''indeterminate'') dari polinomial, dan <math>I</math> adalah matriks identitas berukuran sama dengan <math>A</math>. Polinomial ini selanjut memiliki [[Akar fungsi|akar]] berupa nilai-nilai eigen dari <math>A</math>; yakni bilangan-bilangan kompleks <math>\lambda</math> yang memenuhi <math>\chi_A(\lambda) = 0.</math>
=== Teras ===
[[Teras (aljabar linear)|Teras]] (''trace'') dari matriks <math>A</math>, dinotasikan dengan <math>\operatorname{tr}(A)</math>, didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal <math>A</math>, dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks <math>A</math>, berlaku <math display="block">\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))</math>atau ekuivalen untuk matriks riil <math>A</math>, berlaku hubungan <math>\operatorname{tr}(A) = \log(\det(\exp(A))).</math> Disini, notasi <math>\operatorname{exp}(A)</math> menyatakan [[perpangkatan matriks]] <math>A</math>, mengingat setiap nilai eigen <math>\lambda</math> dari <math>A</math> berkorespodensi dengan nilai eigen <math>\operatorname{exp}(\lambda)</math> dari <math>\operatorname{exp}(A)</math>. Secara khusus, untuk sebarang [[Logaritma matriks|logaritma]] dari <math>A</math>, dengan kata lain sebarang matriks <math>L</math> yang memenuhi <math>\exp(L) = A</math>, determinan dari <math>A</math> memiliki hubungan
: <math>\det(A) = \exp(\operatorname{tr}(L)).</math>
Sebagai contoh, untuk {{math|1=''n'' = 2}}, {{math|1=''n'' = 3}}, dan {{math|1=''n'' = 4}}, secara berurutan akan berlaku,
: <math>\begin{align}
\det(A) &= \frac{1}{2}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^2 - \operatorname{tr}\left(A^2\right)\right), \\
\det(A) &= \frac{1}{6}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^3 - 3\operatorname{tr}(A) ~ \operatorname{tr}\left(A^2\right) + 2 \operatorname{tr}\left(A^3\right)\right), \\
\det(A) &= \frac{1}{24}\left(\left(\operatorname{tr}(A)\right)^4 - 6\operatorname{tr}\left(A^2\right)\left(\operatorname{tr}(A)\right)^2 + 3\left(\operatorname{tr}\left(A^2\right)\right)^2 + 8\operatorname{tr}\left(A^3\right)~\operatorname{tr}(A) - 6\operatorname{tr}\left(A^4\right)\right).
\end{align}</math>
=== Batas atas dan batas bawah ===
Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk [[logaritma]] dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].
=== Turunan ===
Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan riil (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari <math>\R^{n \times n}</math> ke <math>\R</math>. Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan [[rumus Jacobi]]:<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§ 0.8.10}}</ref><math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>dengan <math>\operatorname{adj}(A)</math> menyatakan [[Matriks adjugat|adjugat]] dari <math>A</math>. Khususnya ketika <math>A</math> memiliki invers, terdapat hubungan<math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \det(A) \operatorname{tr}\left(A^{-1} \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>
== Penerapan ==
=== Aturan Cramer ===
Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari [[sistem persamaan linear]], yang dinyatakan sebagai <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik <math>\mathbf x</math> jika dan hanya jika <math>\det (A)</math> tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan [[aturan Cramer]]:<math display="block">x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, 2, 3, \ldots, n</math>dengan <math>A_i</math> adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke-<math>i</math> matriks <math>A</math> dengan vektor <math>\mathbf b</math>. Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:
: <math>\det(A_i) =
\det\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \ldots & \mathbf{b} & \ldots & \mathbf{a}_n\end{bmatrix} =
\sum_{j=1}^n x_j\det\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \ldots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{a}_j & \mathbf{a}_{i+1} & \ldots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} =
x_i\det(A)
</math>
dengan <math>\mathbf{a}_j</math> adalah vektor kolom ke-<math>j</math> dari <math>A</math>. Aturan ini juga dapat dihasilkan dari identitas <math>A\, \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\, A = \det(A)\, I_n.</math>
Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu <math>\operatorname O(n^3)</math>, yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti penguraian (dekomposisi) [[Penguraian LU|LU]], [[Penguraian QR|QR]], maupun [[Penguraian nilai singular|SVD]].<ref>{{harvnb|Habgood|Arel|2012}}</ref>
=== Kebebasan linear ===
{{see_also|Determinan Wronski}}
Determinan dapat digunakan untuk mencirikan vektor-vektor yang [[Kebebasan linear|bergantung linear]], dengan menggunakan fakta <math>\det A</math> bernilai <math>0</math> jika dan hanya jika vektor-vektor kolom (atau ekuivalen dengan itu, vektor-vektor baris) di <math>A</math> saling bergantung linear.<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VII.3}}</ref> Sebagai contoh, untuk sebarang <math>\mathbf{v}_1,\,\mathbf{v}_2\in\R^3</math>, vektor <math>\mathbf{v}_3</math> akan berada di [[Bidang (geometri)|bidang]] yang [[Span (aljabar linear)|direntang]] (''spanned'') oleh kedua vektor sebelumnya, jika matriks yang dibentuk dari ketiga vektor tersebut memiliki determinan bernilai <math>0</math>. Ide yang sama juga digunakan dalam teori [[persamaan diferensial]]: [[determinan Wronski]] (Wronskian) dari fungsi <math>f_1(x), \dots, f_n(x)</math> (yang dianggap [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]] <math>n-1</math> kali) didefinisikan sebagai<math display="block">W(f_1, \ldots, f_n)(x) =
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}.</math>Fungsi ini bernilai tak-nol (untuk nilai <math>x</math> tertentu) di suatu selang yang ditetapkan, jika dan hanya jika fungsi-fungsi tersebut berserta semua turunan sampai orde ke-<math>(n-1)</math> saling bebas linear. Ketika Wronskian bernilai nol dimanapun pada suatu [[Selang (matematika)|selang]], maka pada kasus fungsi analitik, hal ini mengartikan fungsi tersebut bergantung linear. Selain Wronskian, penerapan lain determinan dalam hal kebebasan linear adalah [[resultan]], yang memberikan kriteria untuk dua polinomial memiliki [beberapa] [[Akar fungsi|akar]] solusi yang sama.<ref>{{harvnb|Lang|2002|loc=§IV.8}}</ref>
=== Volume dan determinan Jacobi ===
Seperti yang ditunjukkan pada beberapa bagian sebelumnya, [[nilai mutlak]] dari determinan vektor-vektor riil sama dengan volume [[balok jajar genjang]] yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Sebagai konsekuensinya, jika <math>f : \mathbf \R^n \to \mathbf \R^n</math> adalah peta linear yang diberikan oleh perkalian dengan sebuah matriks <math>A</math>, dan <math>S \subset \mathbf \R^n</math> adalah sebarang [[subset]] yang [[Ukuran Lebesgue|terukur]], maka volume <math>f(S)</math> dapat dihitung lewat mengalikan <math>|\det(A)|</math> dengan volume <math>S</math>.<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VII.6, Theorem 6.10}}</ref> Secara lebih umum, jika peta linear <math>f : \R^n \to \R^m</math> direpresentasikan oleh matriks <math>A</math> berukuran <math>m \times n</math>, maka volume [[dimensi]]-<math>n</math> dari <math>f(S)</math> diberikan lewat hubungan:<math display="block">\operatorname{volume}(f(S)) = \sqrt{\det\left(A^\textsf{T} A\right)} \operatorname{volume}(S).</math>
[[Berkas:Jacobian_determinant_and_distortion.svg|ka|jmpl|350x350px|Sebuah peta nonlinear <math>f \colon \R^2 \to \R^2</math> mengubah persegi kecil (kiri, warna merah) ke suatu jajar genjang yang melengkung (kanan, warna merah). Matris Jacobi di suatu titik akan memberikan hampiran linear terbaik dari jajar genjang melengkung di titik tersebut (kanan, warna putih), dan determinannya memberikan rasio luas hampiran jajar genjang dengan luas persegi awalnya.]]
Sifat di atas juga berlaku untuk [[Fungsi terdiferensialkan|fungsi terdiferensial]] <math>f</math>, dengan memperhatikan [[matriks Jacobi]] dari fungsi tersebut. Untuk <math>f: \mathbf \R^n \rightarrow \mathbf \R^n ,</math> matriks Jacobi adalah matriks berukuran <math>n \times n</math> yang elemen-elemennya adalah [[turunan parsial]] dari <math>f</math>, yang secara matematis ditulis
: <math>D(f) = \left(\frac {\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}.</math>
Determinan matriks tersebut (juga disebut dengan Jacobian) muncul dalam [[Integral substitusi|integrasi dengan substitusi]]: untuk [[fungsi multivariabel]] <math>f</math> yang sesuai dan himpunan terbuka <math> U \in \R^n</math> (domain dari <math>f</math>), integral atas <math>f(U)</math> dari suatu fungsi <math>\phi : \R^n \to \R^m</math> adalah<math display="block">\int_{f(U)} \phi(\mathbf{v})\, d\mathbf{v} = \int_U \phi(f(\mathbf{u})) \left|\det(\operatorname{D}f)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.</math>Jacobian juga muncul dalam [[teorema fungsi invers]].
Dalam penerapannya di bidang [[kartografi]], determinan Jacobi dapat digunakan untuk mengukur laju perluasan (''rate of expansion'') dari peta di sekitar kutub.<ref>{{Cite book|last=Lay|first=David|year=2021|title=Linear Algebra and It's Applications 6th Edition|publisher=Pearson|pages=172|language=English}}</ref>
== Perhitungan ==
[[Berkas:Schema sarrus-regel.png|jmpl|Perhitungan determinan matriks orde ketiga menggunakan aturan Sarrus]]
Determinan umumnya digunakan sebagai alat teoritis. Determinan jarang dihitung secara eksplisit dalam [[aljabar linear numerik]], karena penerapannya untuk mengecek keterbalikan dan mencari nilai-nilai eigen dapat digantikan oleh teknik-teknik lain.<ref>(Terj.) "... kita menyebutkan bahwa determinan, dengan notasi teoritis yang umum, jarang memainkan peran penting dalam algoritma numerik.", lihat {{harvnb|Trefethen|Bau III|1997|loc=Lecture 1}}.</ref> Tapi di sisi lain, [[geometri komputasi]] sering melakukan perhitungan yang terkait dengan determinan.<ref>{{harvnb|Fisikopoulos|Peñaranda|2016|loc=§1.1, §4.3}}</ref>
Walau nilai determinan dapat dihitung secara langsung menggunakan rumus Leibniz, metode ini sangat tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Hal ini disebabkan dari formulasi yang memerlukan perhitungan <math>n!</math> (<math>n</math> [[faktorial]]) perkalian untuk matriks <math>n \times n</math>; menyebabkannya memiliki [[Notasi O besar|kompleksitas]] <math>\operatorname O (n!)</math>. Serupa dengan itu, ekspansi Laplace juga tidak efisien. Akibatnya, beberapa teknik yang lebih lanjut dikembangkan untuk menghitung determinan.
=== Metode penguraian ===
Beberapa teknik menghitung <math>\det(A)</math> dilakukan dengan menulis matriks sebagai perkalian beberapa matriks yang determinannya lebih mudah dihitung. Teknik-teknik tersebut dirujuk sebagai teknik penguraian. Contoh teknik ini adalah [[penguraian LU]], [[penguraian QR]], dan [[penguraian Cholesky]] (untuk [[matriks definit positif]]). Teknik-teknik ini memiliki kompleksitas <math>\operatorname O(n^3)</math>, yang jauh lebih baik dibandingkan dengan <math>\operatorname O (n!)</math>.<ref>{{cite arXiv|last=Camarero|first=Cristóbal|date=2018-12-05|title=Simple, Fast and Practicable Algorithms for Cholesky, LU and QR Decomposition Using Fast Rectangular Matrix Multiplication|class=cs.NA|eprint=1812.02056}}</ref>
Sebagai contoh, penguraian LU menyatakan <math>A</math> sebagai perkalian
: <math> A = PLU, </math>
dengan <math>P</math> adalah [[matriks permutasi]] (matriks yang setiap kolomnya hanya mengandung satu nilai <math>1</math>, dan sisanya bernilai <math>0</math>), matriks segitiga bawah <math>L</math>, dan matriks segitiga atas <math>U</math>. Determinan dari [[matriks segitiga]] <math>L</math> dan <math>U</math> dapat dengan mudah dihitung, karena nilainya sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama. Sedangkan determinan dari <math>P</math> hanya nilai tanda <math>\varepsilon</math> dari permutasi kolom-kolom <math>P</math> (yang bernilai <math>+1</math> untuk permutasi genap dan <math> -1 </math> untuk permutasi ganjil). Ketika penguraian LU dihasilkan untuk <math>A</math>, nilai determinannya dapat dihitung sebagai
: <math> \det(A) = \varepsilon \det(L)\cdot\det(U). </math>
=== Metode lainnya ===
Kompleksitas <math>\operatorname O(n^3)</math> yang dihasilkan oleh metode penguraian telah ditingkatkan lewat beberapa teknik berbeda. Jika dua matriks dimensi <math>n</math> dapat dikalikan dalam waktu <math>M(n)</math>, dengan <math>M(n) \ge n^a</math> untuk suatu <math>a>2</math>, maka ada algoritma untuk menghitung determinan dalam waktu <math>O(M(n))</math>.<ref>{{harvnb|Bunch|Hopcroft|1974}}</ref> Hal ini mengartikan ada algoritma <math>\operatorname O(n^{2.376})</math> untuk menghitung determinan, berdasarkan [[algoritma Coppersmith–Winograd]]. Nilai pangkat ini telah diperkecil lebih lanjut; sampai tahun 2016, nilainya menjadi 2.373.<ref>{{harvnb|Fisikopoulos|Peñaranda|2016|loc=§1.1}}</ref>
Selain kompleksitas, kriteria-kriteria lain dapat digunakan untuk membandingkan algoritma perhitungan determinan. Algoritma dapat diukur dari [[kompleksitas bit]] mereka, yakni besar bit yang diperlukan untuk menjaga akurasi perhitungan ketika algoritma berjalan. Sebagai contoh, [[eliminasi Gauss]] (atau penguraian LU) yang memiliki kompleksitas <math>\operatorname O(n^3)</math>, dapat memiliki bit yang dapat membesar secara eksponensial dalam pengerjaannya.<ref>{{Cite conference|first1=Xin Gui|last1=Fang|first2=George|last2=Havas|title=On the worst-case complexity of integer Gaussian elimination|book-title=Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation|conference=ISSAC '97|pages=28–31|publisher=ACM|year=1997|location=Kihei, Maui, Hawaii, United States|url=http://perso.ens-lyon.fr/gilles.villard/BIBLIOGRAPHIE/PDF/ft_gateway.cfm.pdf|doi=10.1145/258726.258740|isbn=0-89791-875-4|access-date=2011-01-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20110807042828/http://perso.ens-lyon.fr/gilles.villard/BIBLIOGRAPHIE/PDF/ft_gateway.cfm.pdf|archive-date=2011-08-07|url-status=dead}}</ref> Sebagai pembanding, [[algoritma Bareiss]], masih dengan kompleksitas yang sama, menggunakan pembagian eksak (''exact-division'') memiliki kompleksitas bit yang kurang-lebih sama dengan <math>n</math> kali ukuran bit elemen-elemen matriks.<ref>{{harvnb|Fisikopoulos|Peñaranda|2016|loc=§1.1}}, {{harvnb|Bareiss|1968}}</ref>
Charles Dodgson (nama asli dari [[Lewis Carroll]] pencipta ''[[Alice's Adventures in Wonderland]]'') menemukan metode menghitung determinan yang disebut [[kondensasi Dodgson]]. Malangnya metode menarik ini tidak selalu berhasil dalam bentuk orisinalnya.<ref>{{Cite journal|last=Abeles|first=Francine F.|date=2008|title=Dodgson condensation: The historical and mathematical development of an experimental method|url=https://www.academia.edu/10352246|journal=Linear Algebra and Its Applications|language=en|volume=429|issue=2–3|pages=429–438|doi=10.1016/j.laa.2007.11.022}}</ref>
== Catatan kaki ==
<references responsive="" />
== Referensi ==
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
* {{citation|first=Erwin|last=Bareiss|title=Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination|pages=565–578|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20121025053848/http://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-date=2012-10-25|url-status=live|journal=Mathematics of Computation|year=1968|volume=22|issue=102|doi=10.2307/2004533|jstor=2004533}}
* {{Citation|last1=de Boor|first1=Carl|author1-link=Carl R. de Boor|title=An empty exercise|url=http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|doi=10.1145/122272.122273|year=1990|journal=ACM SIGNUM Newsletter|volume=25|issue=2|pages=3–7|archive-url=https://web.archive.org/web/20060901214854/http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|archive-date=2006-09-01|url-status=live|s2cid=62780452}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=Algebra I, Chapters 1-3|isbn=9783540642435|publisher=Springer|year=1998}}
* {{cite journal|last1=Bunch|first1=J. R.|last2=Hopcroft|first2=J. E.|year=1974|title=Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=28|issue=125|pages=231–236|doi=10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8|doi-access=free}}
* {{Citation|title=Abstract algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|date=2004|publisher=Wiley|isbn=9780471452348|edition=3rd|location=Hoboken, NJ|oclc=248917264}}
* {{Citation|last1=Fisikopoulos|journal=[[Computational Geometry (journal)|Computational Geometry]]|volume=54|year=2016|pages=1–16|title=Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation|first1=Vissarion|first2=Luis|last2=Peñaranda|doi=10.1016/j.comgeo.2015.12.001|doi-access=free}}
* {{Citation|last1=Garibaldi|first1=Skip|title=The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions|journal=American Mathematical Monthly|volume=111|year=2004|issue=9|pages=761–778|mr=2104048|doi=10.2307/4145188|jstor=4145188|arxiv=math/0203276}}
* {{Cite journal|last1=Habgood|first1=Ken|last2=Arel|first2=Itamar|year=2012|title=A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf|journal=Journal of Discrete Algorithms|volume=10|pages=98–109|doi=10.1016/j.jda.2011.06.007|archive-url=https://web.archive.org/web/20190505060158/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf|archive-date=2019-05-05|url-status=live|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Harris|first=Frank E.|year=2014|title=Mathematics for Physical Science and Engineering|publisher=Elsevier|isbn=9780128010495}}
* {{Citation|last=Kleiner|first=Israel|editor1-first=Israel|editor1-last=Kleiner|title=A history of abstract algebra|year=2007|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4684-4|mr=2347309|doi=10.1007/978-0-8176-4685-1}}
* {{Citation|first1=Joseph P.S.|last1=Kung|first2=Gian-Carlo|last2=Rota|first3=Catherine|last3=Yan|author3-link=Catherine H. Yan|title=[[Combinatorics: The Rota Way]]|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=9780521883894}}
* {{Citation
| last = Lay
Baris 47 ⟶ 286:
| isbn = 978-0-321-28713-7
}}
* {{Citation|last1=Lombardi|first1=Henri|last2=Quitté|first2=Claude|title=Commutative Algebra: Constructive Methods|year=2015|isbn=9789401799447|publisher=Springer}}
* {{Citation|last=Mac Lane|first=Saunders|title=Categories for the Working Mathematician|year=1998|series=Graduate Texts in Mathematics '''5'''|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-98403-8|author-link=Saunders Mac Lane|title-link=Categories for the Working Mathematician}}
* {{Citation |last = Meyer
|first = Carl D.
|date = February 15, 2001
Baris 55 ⟶ 295:
|isbn = 978-0-89871-454-8
|url = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|archive-date=2009-10-31}}
* {{citation | last=Muir | first=Thomas | title=A treatise on the theory of determinants | others=Revised and enlarged by William H. Metzler | year=1960 | publisher=Dover | location=New York, NY |author-link=Thomas Muir (mathematician)|orig-year=1933}}
* {{Citation
| last = Poole
Baris 71 ⟶ 307:
}}
* [[G. Baley Price]] (1947) "Some identities in the theory of determinants", [[American Mathematical Monthly]] 54:75–90 {{mr|id=0019078}}
* {{Cite book|last1=Horn|first1=Roger Alan|last2=Johnson|first2=Charles Royal|year=2018|title=Matrix Analysis|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-54823-6|edition=2nd|author-link=Roger Horn|author-link2=Charles Royal Johnson|orig-year=1985}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Introduction to Linear Algebra|edition=2|year=1985|publisher=Springer|isbn=9780387962054|series=Undergraduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|title=Linear Algebra|edition=3|year=1987|publisher=Springer|isbn=9780387964126|series=Undergraduate Texts in Mathematics}}
* {{cite book|last1=Lang|first1=Serge|date=2002|title=Algebra|location=New York, NY|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95385-4|series=Graduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation
| last = Leon
Baris 98 ⟶ 319:
| edition = 7th
}}
* {{Citation|last1=Rote|first1=Günter|chapter=Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches|title=Computational discrete mathematics|series=Lecture Notes in Comput. Sci.|volume=2122|pages=119–135|publisher=Springer|year=2001|mr=1911585|doi=10.1007/3-540-45506-X_9|isbn=978-3-540-42775-9|doi-access=free|chapter-url=https://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Division-free+algorithms.pdf|access-date=2020-06-04|archive-date=2007-02-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20070201145100/http://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/pdf/Division-free+algorithms.pdf|url-status=dead}}
* {{Citation|last1=Trefethen|first1=Lloyd|last2=Bau III|first2=David|location=Philadelphia|isbn=978-0-89871-361-9|year=1997|title=Numerical Linear Algebra|publisher=SIAM|edition=1st}}
=== Referensi sejarah ===
* {{Citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of the history of mathematics|translator-first=John|translator=Meldrum|publisher=Springer|year=1994|isbn=3-540-19376-6|doi=10.1007/978-3-642-61693-8}}
* {{Citation|last=Cajori|first=Florian|title=A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals|publisher=Dover|year=1993|isbn=0-486-67766-4|mr=3363427}}
* {{Citation|last=Bezout|first=Étienne|year=1779|location=Paris|title=Théorie générale des equations algébriques|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k106053p.image}}
* {{Citation|last=Cayley|first=Arthur|title=On a theorem in the geometry of position|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=2|pages=267–271|year=1841}}
* {{Citation|last=Cramer|first=Gabriel|title=Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques|year=1750|doi=10.3931/e-rara-4048|location=Genève|publisher=Frères Cramer & Cl. Philibert}}
* {{Citation|last=Eves|first=Howard|title=An introduction to the history of mathematics|edition=6|publisher=Saunders College Publishing|year=1990|isbn=0-03-029558-0|mr=1104435}}
* {{Citation|editor1-last=Grattan-Guinness|editor1-first=I.|title=Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences|volume=1|year=2003|isbn=9780801873966|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]}}
* {{Citation|last1=Jacobi|first1=Carl Gustav Jakob|author1-link=Carl Gustav Jakob Jacobi|title=De Determinantibus functionalibus|url=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002142724&physid=phys325#navi|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|year=1841|volume=1841|issue=22|pages=320–359|doi=10.1515/crll.1841.22.319|s2cid=123637858}}
* {{Citation|last=Laplace|first=Pierre-Simon, de|author-link=Pierre-Simon Laplace|title=Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde|journal=Histoire de l'Académie Royale des Sciences|location=Paris|year=1772|issue=seconde partie|pages=267–376|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77596b/f374}}
[[Kategori:Matriks]]
| |||