Determinan: Perbedaan antara revisi

{{Under construction}}{{about|matematika|determinan dalam epidemiologi|Faktor resiko|determinan dalam imunologi|Epitop}}

Jika entri-entri matriks berupa [[Bilanganbilangan riil|bilangan real]], matriks {{math|''A''}} dapat digunakan untuk merepresentasikan dua [[peta linear]]: satu yang memetakan vektor [[basis standar]] ke baris-baris dari {{math|''A''}}, dan satu lagi yang memetakannya ke kolom-kolom dari {{math|''A''}}. Pada kedua kasus tersebut, [[Bayangan (matematika)|bayangan]] dari vektor-vektor basis akan membentuk sebuah [[jajar genjang]] yang merepresentasikan bayangan [[persegi satuan]] akibat pemetaan tersebut. Menggunakan matriks {{math|2 × 2}} pada bagian sebelumnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh baris-baris matriks memiliki titik-titik sudut di {{math|(0, 0)}}, {{math|(''a'', ''b'')}}, {{math|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, dan {{math|(''c'', ''d'')}}, seperti yang ditunjukkan pada diagram disamping.

Untuk menunjukkan bahwa {{math|''ad'' − ''bc''}} adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, {{math|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}} dan {{math|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}, yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai {{math|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}, dengan ''θ'' adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat [[Sinus dan kosinus|sinus]], luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan [[perkalian vektor]], yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|1='''u'''^⊥ = (−''b'', ''a'')}} sehingga luas juga dapat ditulis sebagai {{math|{{!}}'''u'''^⊥{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ&prime;''}}:<math display="block">\text{Luas bertanda } =

</math>Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh {{math|''A''}}. Ketika determinan bernilai {{math|1}}, peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat ''equi-arealariil'' dan ''orientation-preserving.''

Jika matriks [[Bilangan riil|realriil]] {{math|''A''}} ukuran {{math|''n'' × ''n''}} ditulis dalam komponen vektor-vektor kolomnya, sehingga <math>A = \left[\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]</math>, maka<math display="block">

Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya [[Seki Takakazu]] di [[Jepang]] pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693.<ref>{{Cite book|last=Cajori|first=Florian|date=1919|url=http://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|title=A history of mathematics|publisher=New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd.|others=unknown library}}</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{harvnb|Eves|1990|p=405}}</ref><ref>{{Cite web|date=2012-09-10|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|website=web.archive.org|access-date=2023-11-27}}</ref> {{harvtxt|Cramer|1750}} menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|p=80}}</ref> Cramer dan {{harvtxt|Bezout|1779}} mempelajari determinan karena hubungannya dengan [[Lengkung bidang|kurva pada bidang]] yang melewati suatu himpunan titik.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|p=59}}</ref>

\end{bmatrix}.</math>Elemen-elemen dari <math>A</math> umumnya berupa [[Bilanganbilangan riil|bilangan real]] atau [[bilangan kompleks]], namun determinan juga dapat didefinisikan untuk matriks dengan elemennya berasal dari [[gelanggang komutatif]]. Terdapat banyak cara berbeda namun setara untuk mendefinisikan determinan dari <math>A</math>. [[Rumus Leibniz untuk determinan|Rumus Leibniz]] mendefinisikan rumus eksplisit yang menggunakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks. Beberapa cara lain menggunakan fungsi dari elemen-elemen matriks yang memenuhi sifat-sifat tertentu; pendekatan ini dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dengan menyederhanakan matriks yang dikerjakan.

Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan [[simbol Levi-Civita]] dengan [[Notasi Einstein|penjumlahan Einstein]]. Simbol Levi-Civita <math>\varepsilon_{i_1,\ldots,i_n}</math> terdefinisi pada rangkap-<math>n</math> dari bilangan bulat <math>\{1,\,\ldots,\,n\}</math>.<ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref><ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref> Simbol akan bernilai <math>0</math> jika ada dua [[bilangan bulat]] yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah<math display="block">\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \!\cdots a_{n,i_n}.</math>

Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks <math>A</math> berukuran <math>n\times n</math>  sebagai [[rangkap]]-<math>n</math> dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi, <math>A = \big( \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n \big),</math> dengan <math>\mathbf{a}_i</math> adalah vektor di kolom ke-<math>i</math> matriks.

# Determinan merupakan [[Peta multilinear|pemetaan multilinear]]: jika kolom ke-<math>j</math> matriks <math>A</math> dapat ditulis sebagai [[kombinasi linear]] <math>\mathbf{a}_j = r \cdot \mathbf{v} + \mathbf{w}</math> dari dua vektor kolom <math>\mathbf{v}</math> dan <math>\mathbf{w}</math> dan skalar <math>r</math>, maka determinan dari <math>A</math> dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear:    <math display="block">\begin{align}|A|

# Determinan bersifat ''alternating'': ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan <math>0</math>;  secara matematis <math>| \mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{v}, \dots, \mathbf{a}_n| = 0.</math>

Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut. <ref>{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§III.8, Proposition 1}} menunjukkan cara lain membuktikan hubungan ini dengan menggunakan [[Fungtor|functorialitas]] dari ''exterior power''.</ref> [[Rumus Cauchy–Binet]] adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).

Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat [[faktorisasi]] dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.

[[Teras (aljabar linear)|Teras]] (''trace'') dari matriks <math>A</math>, dinotasikan dengan <math>\operatorname{tr}(A)</math>, didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal <math>A</math>, dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks <math>A</math>, berlaku <math display="block">\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))</math>atau ekuivalen untuk matriks realriil <math>A</math>, berlaku hubungan <math>\operatorname{tr}(A) = \log(\det(\exp(A))).</math> Disini, notasi <math>\operatorname{exp}(A)</math> menyatakan [[perpangkatan matriks]] <math>A</math>, mengingat setiap nilai eigen <math>\lambda</math> dari <math>A</math> berkorespodensi dengan nilai eigen <math>\operatorname{exp}(\lambda)</math> dari <math>\operatorname{exp}(A)</math>. Secara khusus, untuk sebarang [[Logaritma matriks|logaritma]] dari <math>A</math>, dengan kata lain sebarang matriks <math>L</math> yang memenuhi <math>\exp(L) = A</math>, determinan dari <math>A</math> memiliki hubungan

Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk [[logaritma]] dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].

Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan realriil (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari <math>\R^{n \times n}</math> ke <math>\R</math>. Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan [[rumus Jacobi]]:<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§&nbsp;0.8.10}}</ref><math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>dengan <math>\operatorname{adj}(A)</math> menyatakan [[Matriks adjugat|adjugat]] dari <math>A</math>. Khususnya ketika <math>A</math> memiliki invers, terdapat hubungan <math display="block">\frac{d \det(A)}{d \alpha} = \det(A) \operatorname{tr}\left(A^{-1} \frac{d A}{d \alpha}\right).</math>

Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari [[sistem persamaan linear]], yang dinyatakan sebagai <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik <math>\mathbf x</math> jika dan hanya jika <math>\det (A)</math> tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan [[aturan Cramer]]: <math display="block">x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, 2, 3, \ldots, n</math>dengan <math>A_i</math> adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke-<math>i</math> matriks <math>A</math> dengan vektor <math>\mathbf b</math>. Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:

Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu <math>\operatorname O(n^3)</math>, yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti penguraian (dekomposisi) [[DekomposisiPenguraian LU|LU]], [[DekomposisiPenguraian QR|QR]], maupun [[Penguraian nilai singular|SVD]].<ref>{{harvnb|Habgood|Arel|2012}}</ref>

* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}