Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
(4 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 36:
Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi ''luas bertanda'' (''oriented area'') dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan [[luas]] yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk [[matriks identitas]]).
Untuk menunjukkan bahwa {{math|''ad'' − ''bc''}} adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, {{math|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}} dan {{math|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}, yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai {{math|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}, dengan ''θ'' adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat [[Sinus dan kosinus|sinus]], luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan [[perkalian vektor]], yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|1='''u'''<sup>⊥</sup> = (−''b'', ''a'')}} sehingga luas juga dapat ditulis sebagai {{math|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}}:<math display="block">\text{Luas bertanda } =
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
Baris 51:
Dari sisi sejarah, determinan sudah digunakan sebelum konsep matriks muncul. Determinan awalnya dianggap sebagai salah satu sifat dari [[sistem persamaan linear]] untuk menentukan (''determines'') apakah sistem tersebut memiliki solusi yang unik (yang hanya terjadi ketika determinan bernilai tak-nol). Dalam konteks ini, determinan pertama kali digunakan dalam buku teks China ''[[Jiuzhang Suanshu]]'' sekitar abad ke-3 SM. Di Eropa, solusi dari sistem linear dua persamaan dapat dinyatakan dengan objek mirip-determinan oleh [[Gerolamo Cardano|Cardano]] pada tahun 1545.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|2003|loc=§6.6}}</ref>
Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya [[Seki Takakazu]] di [[Jepang]] pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693.<ref>{{Cite book|last=Cajori|first=Florian|date=1919|url=http://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|title=A history of mathematics|publisher=New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd.|others=unknown library}}</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{harvnb|Eves|1990|p=405}}</ref><ref>{{Cite web|date=2012-09-10|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|website=web.archive.org|access-date=2023-11-27}}</ref> {{harvtxt|Cramer|1750}} menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|p=80}}</ref> Cramer dan {{harvtxt|Bezout|1779}} mempelajari determinan karena hubungannya dengan [[Lengkung bidang|kurva pada bidang]] yang melewati suatu himpunan titik.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|p=59}}</ref>
[[Vandermonde]] (1771) adalah yang pertama menganggap determinan sebagai suatu fungsi tersendiri.<ref name="Campbell" /> {{harvtxt|Laplace|1772}} menyusun metode umum untuk menjabarkan determinan matriks dengan menggunakan komplemen dari [[Minor (aljabar linear)|minor-minornya]]; dengan kasus khusus metode ini sudah dibuat oleh Vandermonde<ref>Muir, Sir Thomas, ''The Theory of Determinants in the historical Order of Development'' [London, England: Macmillan and Co., Ltd., 1906].</ref> Langsung setelah itu, [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] (1773) meneliti determinan orde kedua dan ketiga dan menerapkannya pada pertanyaan-pertanyaan terkait [[teori eliminasi]], nama lawas bagi pendekatan algoritmik untuk menghilangkan beberapa variabel pada beberapa polinomial multivariabel.
Baris 78:
[[Aturan Sarrus]] dapat digunakan sebagai [[jembatan keledai]] untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.
Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan [[simbol Levi-Civita]] dengan [[Notasi Einstein|penjumlahan Einstein]]. Simbol Levi-Civita <math>\varepsilon_{i_1,\ldots,i_n}</math> terdefinisi pada rangkap-<math>n</math> dari bilangan bulat <math>\{1,\,\ldots,\,n\}</math>.<ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref><ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref> Simbol akan bernilai <math>0</math> jika ada dua [[bilangan bulat]] yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah<math display="block">\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \!\cdots a_{n,i_n}.</math>
=== Ekspansi Laplace ===
Baris 165:
=== Multiplikativitas dan grup matriks ===
Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut.
Matriks <math>A</math> dengan elemen-elemen berasal dari sebuah [[Lapangan (matematika)|lapangan]], dapat [[Matriks terbalikkan|dibalikkan]] (invertibel, memiliki invers) [[jika dan hanya jika]] determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah <math display="block">\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = [\det(A)]^{-1}.</math>Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran <math>n</math> atas suatu lapangan <math>K</math>) membentuk sebuah [[grup linear umum]] <math>\operatorname{GL}_n(K)</math>; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai <math>1</math>, membentuk sebuah subgrup bernama [[grup linear khusus]] <math>\operatorname{SL}_n(K) \subset \operatorname{GL}_n(K)</math>. Umumnya, kata "khusus" ("''special''") digunakan untuk menandakan [[subgrup]] dari grup matriks dengan determinan bernilai <math>1</math>. Contoh lainnya adalah [[grup ortogonal khusus]] (yang berisi semua [[matriks rotasi]] ketika <math>n=2</math> dan <math>n=3</math>), dan [[grup uniter khusus]].
=== Matriks blok ===
Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat [[faktorisasi]] dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.
Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika <math>C</math> dan <math>D</math> komutatif (artinya <math>CD=DC</math>), maka<ref>{{Cite journal|last=Silvester|first=J. R.|year=2000|title=Determinants of Block Matrices|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|journal=Math. Gaz.|volume=84|issue=501|pages=460–467|doi=10.2307/3620776|jstor=3620776|archive-url=https://web.archive.org/web/20220816084225/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01509379/document|archive-date=2022-08-16|s2cid=41879675}}</ref> <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).</math>Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari <math>2 \times 2</math> submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.<ref>{{cite journal|last1=Sothanaphan|first1=Nat|date=January 2017|title=Determinants of block matrices with noncommuting blocks|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=512|pages=202–218|arxiv=1805.06027|doi=10.1016/j.laa.2016.10.004|s2cid=119272194}}</ref>
Baris 194:
=== Batas atas dan batas bawah ===
Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk [[logaritma]] dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].
=== Turunan ===
Baris 236:
== Perhitungan ==
[[Berkas:Schema sarrus-regel.png|jmpl|Perhitungan determinan matriks orde ketiga menggunakan aturan Sarrus]]
Determinan umumnya digunakan sebagai alat teoritis. Determinan jarang dihitung secara eksplisit dalam [[aljabar linear numerik]], karena penerapannya untuk mengecek keterbalikan dan mencari nilai-nilai eigen dapat digantikan oleh teknik-teknik lain.<ref>(Terj.) "... kita menyebutkan bahwa determinan, dengan notasi teoritis yang umum, jarang memainkan peran penting dalam algoritma numerik.", lihat {{harvnb|Trefethen|Bau III|1997|loc=Lecture 1}}.</ref> Tapi di sisi lain, [[geometri komputasi]] sering melakukan perhitungan yang terkait dengan determinan.<ref>{{harvnb|Fisikopoulos|Peñaranda|2016|loc=§1.1, §4.3}}</ref>
Baris 264 ⟶ 265:
* {{Citation|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}
* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
* {{citation|first=Erwin|last=Bareiss|title=Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination|pages=565–578|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20121025053848/http://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf|archive-date=2012-10-25|url-status=live|journal=Mathematics of Computation|year=1968|volume=22|issue=102|doi=10.2307/2004533|jstor=2004533}}
* {{Citation|last1=de Boor|first1=Carl|author1-link=Carl R. de Boor|title=An empty exercise|url=http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|doi=10.1145/122272.122273|year=1990|journal=ACM SIGNUM Newsletter|volume=25|issue=2|pages=3–7|archive-url=https://web.archive.org/web/20060901214854/http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|archive-date=2006-09-01|url-status=live|s2cid=62780452}}
|