Determinan: Perbedaan antara revisi

Untuk menunjukkan bahwa {{math|''ad'' − ''bc''}} adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, {{math|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}} dan {{math|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}, yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai {{math|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}, dengan ''θ'' adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat [[Sinus dan kosinus|sinus]], luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan [[perkalian vektor]], yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|1='''u'''^⊥ = (−''b'', ''a'')}} sehingga luas juga dapat ditulis sebagai {{math|{{!}}'''u'''^⊥{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ&prime;''}}:<math display="block">\text{Luas bertanda } =

Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya [[Seki Takakazu]] di [[Jepang]] pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693.<ref>{{Cite book|last=Cajori|first=Florian|date=1919|url=http://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|title=A history of mathematics|publisher=New York, The Macmillan company; London, Macmillan & Co., Ltd.|others=unknown library}}</ref><ref name="Campbell">Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pages 111–112. Appleton Century Crofts, 1971</ref><ref>{{harvnb|Eves|1990|p=405}}</ref><ref>{{Cite web|date=2012-09-10|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|website=web.archive.org|access-date=2023-11-27}}</ref> {{harvtxt|Cramer|1750}} menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.<ref>{{harvnb|Kleiner|2007|p=80}}</ref> Cramer dan {{harvtxt|Bezout|1779}} mempelajari determinan karena hubungannya dengan [[Lengkung bidang|kurva pada bidang]] yang melewati suatu himpunan titik.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|p=59}}</ref>

Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan [[simbol Levi-Civita]] dengan [[Notasi Einstein|penjumlahan Einstein]]. Simbol Levi-Civita <math>\varepsilon_{i_1,\ldots,i_n}</math> terdefinisi pada rangkap-<math>n</math> dari bilangan bulat <math>\{1,\,\ldots,\,n\}</math>.<ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref><ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref> Simbol akan bernilai <math>0</math> jika ada dua [[bilangan bulat]] yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah<math display="block">\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \!\cdots a_{n,i_n}.</math>

Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math> yang berukuran sama, determinan dari [[perkalian matriks]] sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks, <math display="block">\det(AB) = \det (A) \det (B)</math> Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks <math>B</math> yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan ''alternating'' terhadap kolom-kolom <math>A</math>. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai <math>\det B</math> ketika <math>A</math> berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut. <ref>{{harvnb|Bourbaki|1998|loc=§III.8, Proposition 1}} menunjukkan cara lain membuktikan hubungan ini dengan menggunakan [[Fungtor|functorialitas]] dari ''exterior power''.</ref> [[Rumus Cauchy–Binet]] adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).

Rumus determinan untuk matriks ukuran <math>2\times2</math> masih berlaku untuk [[matriks blok]], dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks <math>A, B, C, D</math>, masing masing berdimensi <math>m \times m</math>, <math>m \times n</math>, <math>n \times m</math> dan <math>n \times n</math>. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat [[faktorisasi]] dengan [[komplemen Schur]], adalah <math display="block">\det\begin{pmatrix}A& 0\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D) = \det\begin{pmatrix}A& B\\ 0& D\end{pmatrix}.</math> Jika matriks <math>A</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan <math display="block">\begin{align} \det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} & = \det(A)\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} \underbrace{\det\begin{pmatrix}A^{-1}& -A^{-1} B\\ 0& I_n\end{pmatrix}}_{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\ & = \det(A) \det\begin{pmatrix}I_m& 0\\ C A^{-1}& D-C A^{-1} B\end{pmatrix}\\ & = \det(A) \det(D - C A^{-1} B), \end{align}</math> yang dapat disederhanakan menjadi <math>\det (A) (D - C A^{-1} B)</math> ketika <math>D</math> merupakan matriks ukuran <math>1\times1</math>. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan [[teorema determinan Sylvester]], yang menyatakan untuk matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan matriks <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, berlaku hubungan <math display="block">\det\left(I_\mathit{m} + AB\right) = \det\left(I_\mathit{n} + BA\right),</math>dengan <math>I_m</math> dan <math>I_n</math> masing-masing adalah matriks identitas dimensi <math>m</math> dan <math>n</math>.

Untuk matriks definit positif <math>A</math>, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk [[logaritma]] dari determinan:<math display="block">\operatorname{tr}\left(I - A^{-1}\right) \le \log\det(A) \le \operatorname{tr}(A - I),</math>dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika <math>A=I</math>. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus [[divergensi Kullback-Leibler]] antara dua [[distribusi normal multivariat]]. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan <math display="block">\frac{n}{\operatorname{tr}\left(A^{-1}\right)} \leq \det(A)^\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n}\operatorname{tr}(A) \leq \sqrt{\frac{1}{n}\operatorname{tr}\left(A^2\right)}.</math>Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa [[Rata-rata harmonik|rerata harmonik]] lebih kecil daripada [[Rata-rata geometrik|rerata geometrik]], yang selanjutnya lebih kecil daripada [[Rata-rata aritmetika|rerata aritmetika]], yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada [[Rata-rata kuadrat|rerata kuadrat]].

* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}