Relasi biner: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Fitur saranan gambar: 1 gambar ditambahkan. |
|||
| (48 revisi perantara oleh 35 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Tanpa referensi|date=Desember 2021}}
'''Relasi''', dalam [[matematika]], adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.▼
[[Berkas:The four types of binary relations.png|jmpl|Empat jenis relasi biner]]
▲'''Relasi biner'''
== Definisi ==
Jika terdapat himpunan ''A'' dan himpunan ''B'' (''A'' bisa sama dengan ''B''), maka relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' adalah [[subhimpunan]] dari ''A''×''B''.
:<math>R_{AB} \subseteq A \times B</math>
== Relasi dan fungsi proposisi ==
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah [[fungsi proposisi]] atau [[kalimat terbuka]] yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan ''B'' = { ''apel, jeruk, mangga, pisang'' } dengan himpunan ''W'' = { ''hijau, kuning, orange''}. Suatu relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' didefinisikan sebagai ''R'' = {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''),
== Relasi A×A ==
Sebuah relasi ''A''×''A'', yaitu relasi dari himpunan ''A'' kepada ''A'' sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
* Refleksif
* Irefleksif
* Simetrik
* Anti-simetrik
* Transitif
Kita menyebut relasi ''R'' dari ''A'' kepada ''A'' sebagai relasi ''R'' dalam ''A''.
=== Relasi
Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>
atau
:<math>\forall_{a \in A}\quad a R a </math>
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “''x'' selalu bersama ''y''.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
===Relasi Irefleksif===▼
=== Relasi irefleksif ===
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen ''A'' tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R </math>
atau
:<math>\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a) </math>
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “''x'' mampu mencukur rambut ''y'' dengan rapi sempurna.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.
===Relasi Simetrik===▼
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota ''A'' berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika ''a'' terhubung dengan ''b'', maka ''b'' juga terhubung dengan ''a''. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R</math>
atau
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a</math>
Sebuah relasi “<math>x+y</math> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang ''x'' dan ''y'' yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai ''y'' dan ''x'', relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
===Relasi Anti-simetrik===▼
Jika setiap ''a'' dan ''b'' yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi ''a'' dan ''b'' berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
:<math>\forall_{a, b
atau
:<math>\forall_{a, b
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b</math>
atau
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b</math>
Relasi <math>\leq</math> bersifat anti-simetrik, karena <math>5 \leq 6</math> mengakibatkan <math>\lnot (6 \leq 5)</math>. Demikian juga jika ada ''p'' dan ''q'' yang terhadap mereka berlaku <math>p \leq q</math> dan <math>q \leq p</math> berarti <math>p = q</math>.
===Relasi Transitif===▼
▲:<math>\forall_{a, b, c \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R</math>
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika ''a'' berhubungan dengan ''b'', dan ''b'' berhubungan dengan ''c'', maka ''a'' berhubungan dengan ''c'' secara langsung.
:<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R</math>
atau
▲:<math>\forall_{a, b, c \in A}\quad a R b \wedge b R c \rightarrow a R c</math>
:<math>\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}</math>
==Relasi khusus==▼
▲===Relasi Ekivalen===
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:▼
*Refleksif▼
*Simetrik, dan▼
*Transitif▼
Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.▼
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
===Orde Parsial===▼
▲== Relasi khusus ==
▲* Refleksif
▲* Simetrik, dan
▲* Transitif
▲Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
* Refleksif
* Anti-simetrik, dan
* Transitif
== Lihat
* [[Teori himpunan]]
* [[Himpunan]]
* [[Fungsi (matematika)|Fungsi]]
* [[Kelas
{{Authority control}}
[[Kategori:Teori himpunan]]
| |||