Relasi biner: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 22 Juni 2007 13.35 sunting RPras (bicara \| kontrib) 82 suntingan k Kategori: Teori Himpunan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 10 Juni 2024 00.54 sunting balikkan Wirasmartkomp (bicara \| kontrib) 319 suntingan Fitur saranan gambar: 1 gambar ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan gambar
(42 revisi perantara oleh 34 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Tanpa referensi\|date=Desember 2021}} '''Relasi''', dalam [[matematika]], adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.▼ [[Berkas:The four types of binary relations.png\|jmpl\|Empat jenis relasi biner]] ▲'''Relasi biner''', dalam [[matematika]], singkatnya '''relasi''', adalah hubungan antara dua elemen [[Himpunan (matematika)\|himpunan .]] Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara ~~konkrit~~konkret maupun secara matematis. == Definisi == Jika terdapat himpunan ''A'' dan himpunan ''B'' (''A'' bisa sama dengan ''B''), maka relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' adalah [[subhimpunan]] dari ''A''×''B''. :<math>R_{AB} \subseteq A \times B</math> == Relasi dan fungsi proposisi == Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah [[fungsi proposisi]] atau [[kalimat terbuka]] yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut. Sebagai contoh, pandang himpunan ''B'' = { ''apel, jeruk, mangga, pisang'' } dengan himpunan ''W'' = { ''hijau, kuning, orange''}. Suatu relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' didefinisikan sebagai ''R'' = {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}. Terdapat fungsi proposisi ''w''(''x, y'') = "''x'' berwarna ''y''", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}, yang tidak lain adalah relasi ''R''. == Relasi A×A == Sebuah relasi ''A''×''A'', yaitu relasi dari himpunan ''A'' kepada ''A'' sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut: * Refleksif * Irefleksif * Simetrik * Anti-simetrik * Transitif Kita menyebut relasi ''R'' dari ''A'' kepada ''A'' sebagai relasi ''R'' dalam ''A''. === Relasi ~~Refleksif~~refleksif === Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan ~~dengan~~ dengan dirinya ~~sendiri~~. :<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math> atau Baris 26 ⟶ 28: Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “''x'' selalu bersama ''y''.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri. === Relasi ~~Irefleksif~~irefleksif === Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen ''A'' tidak berhubungan dengan dirinya sendiri. :<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R </math> Baris 35 ⟶ 37: Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif. === Relasi ~~Simetrik~~simetrik === Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota ''A'' berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika ''a'' terhubung dengan ''b'', maka ''b'' juga terhubung dengan ''a''. Jadi terdapat hubungan timbal balik. :<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R</math> Baris 42 ⟶ 44: Sebuah relasi “<math>x+y</math> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang ''x'' dan ''y'' yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai ''y'' dan ''x'', relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga. === Relasi ~~Anti~~anti-simetrik === Jika setiap ''a'' dan ''b'' yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi ''a'' dan ''b'' berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik. :<math>\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)</math> Baris 53 ⟶ 55: Relasi <math>\leq</math> bersifat anti-simetrik, karena <math>5 \leq 6</math> mengakibatkan <math>\lnot (6 \leq 5)</math>. Demikian juga jika ada ''p'' dan ''q'' yang terhadap mereka berlaku <math>p \leq q</math> dan <math>q \leq p</math> berarti <math>p = q</math>. === Relasi ~~Transitif~~transitif === Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika ''a'' berhubungan dengan ''b'', dan ''b'' berhubungan dengan ''c'', maka ''a'' ~~juga~~ berhubungan dengan ''c'' secara langsung. :<math>~~\forall_{a, b, c \in A}\quad~~ (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R</math> atau :<math>\forall_{a, b, c \in A}\quad a R b \wedge b R c \rightarrow a R c</math>▼ Sebagai contoh, relasi < bersifat transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.▼ ▲:<math>\forall_{a, b, c \in A}~~\quad~~ {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}</math> ==Relasi khusus==▼ ===Relasi Ekivalen===▼ Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:▼ Refleksif▼ Simetrik, dan▼ Transitif▼ Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.▼ ▲Sebagai contoh, relasi ~~< bersifat~~dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7. ===Orde Parsial===▼ ▲== Relasi khusus == ▲=== Relasi ~~Ekivalen~~ekuivalen === ▲Sebuah relasi disebut sebagai relasi ~~ekivalen~~ekuivalen jika relasi tersebut bersifat: ▲ Refleksif ▲* Simetrik, dan ▲* Transitif ▲Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ~~ekivalen~~kesetaraan atau kelas kesetaraan. ▲=== Orde ~~Parsial~~parsial === Orde parsial adalah relasi yang bersifat: * Refleksif * Anti-simetrik, dan * Transitif == Lihat ~~Juga~~pula == * [[Teori himpunan]] * [[Himpunan]] * [[Fungsi (matematika)\|Fungsi]] * [[Kelas ~~ekivalen~~kesetaraan]] {{Authority control}} [[Kategori: Teori ~~Himpunan~~himpunan]]